ФЕСТИВАЛЬ УЧЕНИЧЕСКИХ ПРОЕКТОВ – 2018

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с. Белово»

Искитимского района

Секция – Точные науки, предмет – Математика

Тип проекта – исследовательский

ПРОЕКТ

УДИВИТЕЛЬНАЯ ПЯТЕРКА – ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА

Выполнили: Михеенко Арина,

Экажева Милана,

обучающиеся 5 класса

Руководитель: Кухтикова С.А.

2018 г.

Оглавление

Введение………………………….............………………………………3 стр.

Глава I. Основная часть………………………………………….……….4 стр.

1. Определение правильного многогранника………………4 стр.

2. Из истории многогранников.………...……………………5 стр.

3. Использование форм и применение правильных многогранников…………..…………………………………6 стр.

4. Практическая работа……………………………………….8 стр.

Глава II. Заключение…………………………………………………….10 стр.

Литература ……………………………………………………………….11 стр.

Приложение………………………………………………………………12 стр.

Введение

В 5 классе при изучении темы: «Многогранники» мы познакомились с правильными многогранниками, такими как куб и треугольная пирамида. Так же узнали, что их называют «Платоновы тела». Изучая эти фигуры, конструируя их развёртки, складывая многогранники, мы поняли, что нам это интересно.

Проблема: «Сколько и какие еще бывают правильные многогранники и почему их назвали «Платоновы тела»? Как можно изготовить их модели?»

Актуальность проекта

Нам захотелось самостоятельно изучить данную тему, больше узнать о правильных многогранниках, познакомиться с историей их появления, научиться их строить оптимально, легко и быстро, исследовать их роль в окружающем мире, и, наконец, разобраться, а пригодятся ли нам эти фигуры и знания о них в практической жизни.

Объект исследования: правильные многогранники.

Предмет исследования: значение и применение этих фигур.

Цель: расширение круга знаний о правильных многогранниках, изучение практического применения в окружающем мире, изготовление моделей многогранников.

Задачи:

• изучить информационные источники по данной теме;

• изготовить коллекцию правильных многогранников и отследить интерес к ним;

• найти примеры правильных многогранников в окружающей природе и в бытовой среде.

Гипотеза: правильные многогранники – гармоничные и выгодные фигуры и их можно широко использовать.

Методы исследования:

• поиск, сбор и обработка информации по теме;

• наблюдение;

• анкетирование;

• практическая работа.

Практическая значимость проекта:

• конструирование моделей правильных многогранников;

• предложить другим школьникам выставку моделей;

• использование моделей правильных многогранников как наглядный материал.

Глава I. Основная часть

1.Определение правильного многогранника.

Многогранники - это простейшие тела в пространстве, как, например, многоугольники - простейшие фигуры на плоскости. Если рассматривать многогранник с точки зрения геометрии, то это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны и вершины граней называют рёбрами и вершинами самого многогранника.

Правильным называют многогранник, все грани которого – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.[5]

Доказано существование только пяти правильных многогранников:

Названия этих фигур запомнить очень легко. В переводе с греческого «эдра» - означает грань, «тетра» - 4, «гекса» - 6, «окта» - 8, «додека» - 12, «икоса» - 20. Основными характеристиками многогранника являются число и вид граней, число вершин и число ребер. Эти характеристики для правильных многогранников мы представили в таблице. (Приложение 1)

Изучив, внимательно содержание таблицы, мы увидели, что у пары гексаэдр и октаэдр одинаковое число ребер, так же это наблюдается у пары додекаэдр и икосаэдр. Кроме этого если число ребер рассматриваемого многогранника увеличить на 2, то получится число, равное сумме числа граней и вершин этого многогранника. Сформулируем это правило так:

 « Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2», то есть Г + В = Р + 2 .

Таким образом, мы увидели закономерность, которая впервые была обнаружена французским физиком, математиком и философом Рене Декартом (1596 – 1650 г. г.) в 1640 году, а позднее вновь открыта швейцарским, немецким и российским математиком Леонардом Эйлером (1707-1783 г. г.) в 1752 году, имя которого с тех пор она и носит.[6]

2. Из истории многогранников.

О правильных многогранниках человечество знает давно. Их орнаментные модели можно найти на резных шарах из камней, появившихся в Шотландии, задолго до их открытия. Разновидные игральные кости того времени, также по форме напоминают правильные многогранники. Уже тогда люди использовали бронзовые аналоги этих удивительных фигур.

Честь открытия и детального изучения правильных многогранников приписывают древнегреческим учёным. В некоторых источниках можно найти информацию о том, что древнегреческий математик и философ Пифагор (570-490 г. г. до н.э.) впервые выделил эти фигуры. В других источниках утверждается, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а октаэдр и икосаэдр открыл древнегреческий математик Теэтет Афинский (417 - 369 г. г. до н. э), который ещё описал все пять правильных многогранников.[11]

Значительное внимание правильным многогранникам уделял древнегреческий философ  Платон (около 429 – 347 г. г. до н. э), в честь которого они и названы «Платоновы тела». Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Каждой из четырёх стихий он сопоставил определённый правильный многогранник. Куб или Гексаэдр предназначался Земле, Октаэдр - Воздуху, Икосаэдр - Воде, а Тетраэдр - Огню. Такое сопоставление очень легко объяснить: жар огня ощущается чётко и остро как маленькие тетраэдры; воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон писал: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Он символизировал весь мир.[4]

Полное математическое описание пяти правильных многогранников дал древнегреческий математик Евклид (около 365 – 300 г. г. до н.э.) и доказал, что других правильных многогранников нет.[4]

3. Использование форм и применение правильных многогранников

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. Человек и природа этим широко пользуются. Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных многогранников встречаются в природе в виде кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. Мы в этом убедились, рассмотрев кристаллы поваренной соли в микроскоп. (Приложение 2)

Много разных бактерий и вирусов имеют форму многогранников. Но все они имеют форму икосаэдра или додекаэдра. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.

Из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. [8]

Художники разных эпох проявляли постоянный интерес к изучению и изображению многогранников. Изучая явления природы, художники стремились найти обоснованные с точки зрения науки способы их изображения. Для некоторых мастеров многогранники являлись весьма удобной моделью для оттачивания мастерства изображения. Были и такие, кто искренне восхищался их симметрией и красотой. Увлекался многогранниками и часто писал их на своих полотнах знаменитый итальянский художник Леонардо да Винчи (1452-1519 г. г.). Он обогатил книгу «О божественной пропорции» своего друга итальянского математика Луки Палочи (1445 – 1514 г. г.) 60 рисунками многогранников в виде «скелетов». [8]

Испанский художник Сальвадор Дали на картине «Тайная вечерня» изобразил Иисуса Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

В наши дни многогранники – это главное открытие человечества. Мы в постоянном окружении многогранников: многие предметы быта имеют форму многогранников, все архитектурные строения возведены в стиле многогранных моделей.[8]

Гармоничность и простота правильных многогранников позволила создать серию игрушек, головоломок и конструкторов. Играя, в эти игрушки у нас развивается логическое мышление, воображение.

Формы правильных многогранников также используются в бытовых предметах и упаковке товаров: чайные и молочные пакеты, коробочки и различные сувениры и др. Мы побывали на экскурсии в музее МКОУ «СОШ с. Белово», где увидели экспонаты в форме куба.

А какие необычные и смелые идеи воплощают архитекторы, строители и дизайнеры с помощью форм правильных многогранников. В интернете мы нашли очень много фотографий как эти удивительные фигуры используются при строительстве зданий, оформлении парков и дизайне бытовых интерьерных решений. (Приложение 3)

4. Практическая часть

Изготовление моделей правильных многогранников

Мы познакомились и воспользовались методом развёрток - способом изготовления моделей правильных многогранников.[3]

Чаще всего при создании моделей многогранников из плоских разверток используют такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер.

Можно вырезать каждую грань отдельно, а затем склеить их в многогранник. Этот способ позволяет сэкономить расходный материал. Так мы создали модели тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра.

Кроме изготовления многогранников с помощью развёрток есть ещё и другие способы построения этих фигур. Это, например, изготовление Платоновых тел способом плетения, с помощью оригами. Эти способы позволяют создать удивительные по красоте конструкции.

Таким образом, мы создали коллекцию правильных многогранников, а некоторым из них нашли собственное практическое применение. Например, модели тетраэдра, гексаэдра, октаэдра и додекаэдра использовать на уроках математики как наглядный материал, 12 граней додекаэдра можно использовать в качестве настольного календаря, а любой другой многогранник можно оформить в виде новогодней игрушки. (Приложение 4)

Мы организовали выставку своих работ в классе. Провели небольшой опрос среди обучающихся нашей школы.

1. Встречались ли Вы ранее с правильными многогранниками? Если - да, то где?

Из 45 опрошенных почти все обучающиеся встречались ранее с правильными многогранниками: в виде игрушек, сувениров, упаковок предметов, люстр, наглядных пособий в кабинете математики.

2.

Из диаграммы видно, что всем участникам опроса понравились представленные фигуры. Наибольший интерес вызвали додекаэдр (20 обучающихся) и икосаэдр (23 обучающихся) так как они необычные и красивые.

3. Захотелось ли Вам самим попробовать изготовить их?

Желающих, попробовать изготовить модели, было достаточно. Мы показали мастер - класс и тем убедили всех, что это совсем нетрудное и, главное, полезное занятие, потому что развивается фантазия и творческие способности. (Приложение 5)

3. Как Вы думаете: где могут найти применение формы

правильных многогранников?

На этот вопрос мы получили самые разнообразные ответы: кормушки для птиц, шкатулки, сувениры, украшения, и даже мебель.

Опрос показал, что правильные многогранники вызывают интерес, многим хочется заниматься таким творчеством, а самое главное – эти фигуры находят своё применение в учебной деятельности и в повседневной жизни.

Глава II. Заключение

В ходе работы над проектом мы не раз убедились в необходимости изучения литературы разного характера, а также мы ознакомились с новыми понятиями, проводили самостоятельно опрос, наблюдение, анкетирование.

Анализируя работу и подводя итоги, хочется отметить, что были приложены все усилия, что бы все задуманное получилось. Наша гипотеза подтвердилась, что правильные многогранники – гармоничные и выгодные фигуры и их можно широко использовать.

Мы узнали имена учёных, художников, которые посвятили этому свои труды. Ещё раз убедились, что истоки математики – в природе, в окружающей нас действительности.

Мы научились конструировать модели правильных многогранников, с помощью циркуля и линейки, совершенствуя тем самым свои чертёжные навыки и математические знания. Научились плести модели с помощью оригами. Нашли связь форм правильных многогранников с природными объектами, применение в повседневной жизни. Мы убедились, что эти фигуры вызывают интерес у окружающих.

В результате практической работы, у нас развивались фантазия и воображение, трудолюбие и настойчивость в достижении поставленных целей.

Модели Платоновых тел могут найти применение на уроках математики как наглядный материал, а так же, как материал для дальнейших исследований всех заинтересовавшихся.

В наших планах больше узнать о полуправильных и звёздчатых многогранниках и научиться изготовлять их модели.

Форма демонстрации: презентация, модели правильных многогранников.

Литература

1. Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.

2. Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.

3. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992

4. https://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_многогранник#История

5. https://yunc.org/Многогранник

6. http://mnogograns.narod.ru/-Все о многогранниках

7. http://www.sdamna5.ru/mnogranniki

8. http://www.hintfox.com/article/pravilnie-mnogogranniki-v-nayke-i-povsednevnoj-zhizni.html - Правильные многогранники в науке и повседневной жизни

9. https://multiurok.ru/index.php/files/

10. priezientatsiia-po-ghieomietrii-pravil-nyie-i-polu.html - Презентация «Правильные и полуправильные многогранники»

11. https://infourok.ru/prezentaciya-istoriya-pravilnih-mnogogrannikov-1225418.html - история правильных многогранников

12. http://floowers.ru/?y=The+Rubik+s+Cube+twisty+puzzle++Ruwix

Приложение 1

4

4

6

8

Куб (гексаэдр) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов.

6

8

12

14

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников.

8

6

12

14

Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

12

20

30

32

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти равносторонних треугольников.

20

12

30

32

Приложение 2

Исследование кристаллов

Вот что мы увидели

Приложение 3

Использование форм и

применение правильных многогранников

феодария

«Тайная вечерня»

Экскурсия в музей МКОУ «СОШ с. Белово»

Правильные многогранники в архитектуре, строительстве, дизайне

Памятник правильным многогранникам в Германии

Пирамида перед Лувром во Франции Плавающая пирамида Нового Орлеана

Установка на крыше музея Метрополитен в Нью-Йорке Космические многогранники

из Сан - Франциско

Приложение 4

Изготовление моделей правильных многогранников

Вот что у нас получилось

Приложение 5

Выставка моделей

Мастер - класс по изготовлению моделей правильных многогранников