Проект по математике "Хитрости умножения"

Управление образования Администрации Колыванского района

Новосибирской области

Районная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку – 2018»

Физико-математическая секция

Проект

Хитрости умножения.

Автор: Олешко Мария Даниловна

5 «А» класс, МБОУ КСОШ №3

проживающая по адресу: ул.Калинина, д.91,

р.п. Колывань Новосибирской области

т. 8 913788 98 20

Руководитель: Варданян Татьяна Михайловна

учитель математики высшей

квалификационной категории

МБОУ «Колыванская СОШ №3»

р.п. Колывань, 2018г.

Оглавление

Введение. 4

Теоретическая часть. 6

Исследование быстрых способов умножения. 8

Умножение на 9 с помощью клеток тетради. 8

Древнерусский способ умножения на пальцах. 8

Умножение на пальцах на 6, 7 и 8. 8

Крестьянский способ. 9

Умножение графическим методом. 10

Умножение двузначного числа на 11. 11

Умножение двузначных чисел с одинаковым десятком, у которых сумма единиц равна 10. 11

Способ умножения «Маленький замок». 12

Быстрое возведение в квадрат. 12

Возведение в квадрат чисел, которые начинаются на 5. 13

Метод «обратной пирамиды». 13

Практическая часть. 17

Эксперимент. 18

Анкетирование. 19

Вывод. 21

Заключение. 22

Список используемой литературы: 23

Гипотеза: существует ли потребность учащихся в ознакомлении с другими способами умножения и применении их при вычислениях.

Объект и предмет исследования:

- математическое действие умножение;

- предметом исследования являются способы умножения.

Методы работы:

- анализ;

- систематизация;

- сопоставление.

Источники информации:

 - книги;

 - интернет - ресурсы.

Актуальность: Как ученица, я прекрасно знаю, что многим ребятам математика нелегко дается при изучении. И я хочу заинтересовать  не только своих одноклассников, но и учащихся других классов, приемами быстрого счета, чтобы облегчить им процесс вычисления различных примеров, математических величин.

Введение.

Умножение чисел сейчас изучают во втором классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения.

Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел.

Почему же сейчас почти все умножают «столбиком»?

Почему люди больше не пользуются старинными способами?

Надо ли знать таблицу умножения?

Какие способы удобнее: старинные или современные?

Мне нужно ответить на эти вопросы.

Цель исследования: изучить необычные способы умножения натуральных чисел, которые мы не изучали в школе, для применения их в решении различных задач.

Задачи исследования:

1.        Изучить различные способы быстрого умножения чисел.

2.        Выяснить, какие из способов являются наиболее рациональными   при решении задач.

3.        Провести анкетирование среди учащихся.

4.        Создать буклет «Математические хитрости» для применения учащимися в вычислениях.

Новизна исследования: использование способов умножения, возникших в древности, а также и авторские разработки в школьном курсе математики.

Умения и навыки:

1.   Использование специальной литературы;

2.   Приобретение умений делать обзор собранного материала;

3.   Оформление работы схемами.

Методы исследования:

- поисковый метод с использованием интернета;

- исследовательский метод при определении способов умножения;

- практический метод при решении примеров.

Теоретическая часть.

Чтобы совершать несложные арифметические операции: умножать двузначное число на однозначное, перемножать два небольших двузначных числа и т.д. – все эти действия можно производить в уме и достаточно быстро. Для выполнения более сложных примеров нужен опыт и постоянная тренировка, которая играет важнейшую роль в развитии любых способностей.

Существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме. Я изучила некоторые подходы к обучению навыку считать устно и выделила несколько необходимых составляющих, без которых приобретение данных навыков невозможно:

1.     Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2.     Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3.     Регулярные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнений позволят нам улучшить скорость и качество устного счета.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. В своей работе я рассмотрела наиболее интересные, на мой взгляд, методы устного умножения, которые можно применять для быстрого вычисления.

В истории математики известно около 30 общих способов умножения, отличающихся либо схемой записи, либо самим ходом вычисления. Рассмотренные мною способы быстрого счета рассчитаны на "обычного" человека и не требуют особых способностей. Главное – регулярная тренировка.

Рассмотрим три вида технологии устного счёта, которые используют различные физические возможности человека:

·        "пальцевый счет";

·        аудиомоторная технология счёта;

·        визуальная технология счёта.

Пальцевый счёт — это математические вычисления, осуществляемые человеком с помощью сгибания, разгибания или указывания пальцев рук (иногда и ног). Пальцы рук считаются самым первым счётным инструментом древнего человека.  Эту технологию эффективнее применять в начальной школе, когда дети учат таблицу умножения на 9. Недостатком этого способа счета является сложность работы с многозначными числами.

Характерной особенностью аудиомоторного устного счёта является сопровождение каждого действия и каждого числа словесной фразой типа «трижды три — девять». Традиционная система счёта является именно аудиомоторной технологией. Недостатками аудиомоторного способа ведения расчётов являются:

·        отсутствие в запоминаемой фразе взаимосвязей с соседними результатами,

·        невозможность выделить во фразах о таблице умножения отдельно десятки и единицы произведения без повторения всей фразы;

·        медленная скорость воспроизведения словесной фразы.

Визуальной технологией счета обладают люди, которые владеют скоростными вычислениями и не используют слов в процессе решения примера в уме. Данная технология лишена главного недостатка – замедленной скорости выполнения элементарных действий с числами.

Разработкой приемов быстрого счета занимались многие ученые: Яков Исидорович Перельман,  Яков Трахтенберг, Георгий Берман, Сергей Александрович Рачинский и другие.

Рассмотрев, достаточное количество способов быстрого умножения чисел, я остановилась на исследовании так называемых "Математических хитростях", т.е. вычисления при некоторых условиях.

Исследование быстрых способов умножения.

Умножение на 9 с помощью клеток тетради.

Возьмём, к примеру, 10 клеток тетради. Зачёркиваем восьмую клетку. Слева осталось 7, а справа 2. Значит, 9·8=72. Очень просто!

 

Древнерусский способ умножения на пальцах.

Это один из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы.

Пальцы рук служили вспомогательным вычислительным устройством.

Для начала положим свои руки на стол и мысленно пронумеруем пальчики слева направо от 1 до 10. Чтобы выполнить действие умножения, допустим 9 х 3 = ?, загибаем третий слева пальчик. Всё! Ответ готов: оставшиеся не загнутыми пальчики слева образуют количество десятков в ответе, а не загнутые справа — количество единиц. Считаем, и говорим ответ: 27!

Умножение на пальцах на 6, 7 и 8.

Поверните кисти ладонями к себе и присвойте каждому пальцу цифры от 6 и до 10 начиная с мизинца. Теперь попробуем умножить, например, 7х8. Для этого соедините палец №7 на левой руке с пальцем №8 на правой. А теперь считаем пальцы: количество пальцев под соединенными — это десятки. А пальцы левой руки, оставшиеся сверху, умножаем на пальцы правой — это и будут наши единицы (3х2=6). Итог равен 56.

Крестьянский способ.

В России среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.

Напишем одно число слева, а другое справа на одной строке. Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.

Затем вычеркиваем те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце.

Умножение графическим методом.

Данный способ заключается в изображении множителей с помощью пересечения вертикальных и горизонтальных линий соответственно множителям. Результатом произведения считается количество пересечений.

Перемножим два двузначных числа: 13·23

Шаг 1. первое число 13:

Рисуем первую цифру – одной линией.

Рисуем вторую цифру – тремя линиями.

Шаг 2. второе число 23:

Рисуем первую цифру – двумя линиями.

Рисуем вторую цифру – тремя линиями.

Шаг 3. Подсчитываем количество точек в группах.

Шаг 4. Результат – 299

Умножение двузначного числа на 11.

При умножении двузначного числа на 11 цифры числа раздвигаются и в середину вставляется сумма этих цифр.

53 х 11 = 583 (5 и 3 записываем, 5+3 = 8)

26 х 11 = 286 (2 и 6 записываем, 2+6 = 8)

45 х 11 = 495 (4 и 5 записываем, 4+5 = 9)

Но бывают и такие случаи, как:

57 х 11 = 627 (5+7=12)

69 х 11 = 759 (6+9=15)

В таких случаях мы перекидываем единицу налево, если сумма на предыдущем шаге оказалась больше 9.

Умножение двузначных чисел с одинаковым десятком, у которых сумма единиц равна 10.

В начале нужно умножить цифру десятков на последующую в натуральном ряду цифру, а потом записать результат и произведение единиц.

23 х 27 = 621 (2 х 3 = 6) (7 х 3 = 21)

52 х 58 = 3016 (5 х 6 = 30) (2 х 8 = 16)

34 х 36 = 1224 (3 х 4 = 12) (4 х 6 = 24)

Способ умножения «Маленький замок»

Другой способ называется «маленький замок». Сначала, как мы и привыкли, одно число записывается под другим, но затем цифры верхнего числа поочерёдно умножаются на нижнее число, причём начинают с цифры старшего разряда, и каждый раз добавляют нужное число нулей.

Умножение чисел 1998 и 987 методом «маленький замок».

На рисунке показано умножение чисел 1998 и 987 этим способом. Его преимущество в том, что уже с самого начала определяются цифры, требуется только быстро оценить величину.

Быстрое возведение в квадрат.

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.

85 х 85 = 7225 (8 х 9 = 72 и приписываем 25)

45 х 45 = 2025 (4 х 5 = 20 и приписываем 25)

25 х 25 = 625 (2 х 3 = 6 и приписываем 25)

В таких случаях мы умножаем первую цифру на последующую в натуральном ряду и приписываем 25.

Очень просто!

Возведение в квадрат чисел, которые начинаются на 5.

Для возведения в квадрат чисел, которые начинаются на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

56² = (25+6 = 31), приписать 6² =36, 56² = 3136

58² = (25+8 = 33), приписать 8² = 64, 58² = 3364

53²= (25+3 = 28), приписать 3² = 09, 53² = 2809

Метод «обратной пирамиды»

Схема возведения в квадрат представлена на примерах на рисунках 1,2 и 3.

67 * 67 = 4489

Рис.1 Возведение числа "67" в квадрат по новому методу

В первой строке в ряд записываются квадраты цифр возводимого в квадрат числа по порядку.

Например, на рис. 1 для числа 67 это - 36 и 49. Следующая строка представляет собой удвоенное произведение цифр числа, в данном примере цифр 6 и 7. Эта двойка (2) фигурирует во всех последующих примерах и специально выделена. Затем вся эта "пирамида наоборот" складывается в столбик и получается искомый результат.

Если какая-то цифра в квадрате своем дает однозначное число, или же удвоенное произведение каких-либо цифр является однозначным числом, то в ячейке, отведенной для записи данного результата в разряде десятков записывается "0", в разряде единиц - получившееся число, как в следующем примере:

381 * 381 = 145161

Рис.2 Возведение числа "381" в квадрат по новому методу

Если же, наоборот, при удвоении произведения цифр получилось трехзначное число, начинающееся на "1" (в том, что это будет именно единица, а не двойка или другая цифра, нетрудно убедиться, перебрав все варианты: из удвоенных произведений самое громоздкое - 9*9*2 = 81*2 = 162; из квадратов - 9*9=81), то эта единица переносится в соседнюю слева ячейку в разряд единиц (в примере на рис. 3 ячейки, в которые была "внесена" единица, выделены толстой линией).

3456789 * 3456789 = 11949390190521

Рис.3 Возведение числа "3456789" в квадрат по новому методу

Сравнение "обратной пирамиды" со стандартной схемой

(по правилу умножения в столбик)

1.     Недостатки:

·        невозможность перемножать разные числа с той же простотой, что и возводить в квадрат: Можно перемножать двузначные числа с помощью несколько преобразованного метода обратной пирамиды.
Поясним на примере:

29 * 45 = 1305

Рис.4 Перемножение чисел "29" и "45"

·        при обычном умножении число последовательно умножается на различные цифры, при этом каждая из них постоянно держится в уме, что облегчает процесс. В приведенной здесь схеме пары перемножаемых цифр постоянно меняются, притом полученное еще требует умножения на "2", что несколько усложняет процесс вычисления.

2.     Достоинства нового метода

·        При новой форме записи в следующую ячейку переносится (иногда) только цифра "1", тогда как при обычной - цифры от "1" до "8", значит, записывая по-новому, нам будет легче все время прибавлять "1", чем по-старому - какую-либо из цифр "1"..."8".

·        Если рассмотреть все удвоенные произведения цифр, то только 6 из них - трехзначные (9*9*2=162, 9*8*2=144, 9*7*2=126, 9*6*2=108, 8*8*2=128, 8*7*2=112), а всего удвоенных произведений насчитывается 45. Значит, всего 6 раз из 45 мы будем переносить единицу в следующую ячейку. При этом из 45 произведений цифр от 0 до 9 всего лишь 23 - однозначные, значит, возводя в квадрат по-обычному, мы 22 раза из 45 будем переносить цифру от "1" до"8" в старший разряд, что, конечно, потребует ее запоминания для последующего складывания со следующим произведением.

         Вывод: при обычном способе требуется гораздо чаще запоминать разные цифры, тогда как при новом - гораздо реже и всего одну цифру - "1". 

         Если натренироваться, можно в уме возводить в квадрат новым способом практически все двузначные числа и некоторые трехзначные (особенно содержащие цифру "0"), представляя себе, как бы это выглядело на бумаге. Это крайне трудно сделать обычным способом из-за несимметричности его построения. "Эксперименты" с новым методом показали увеличение скорости вычислений как устно, так и письменно примерно в 3 раза (конечно, степень улучшения зависит от конкретного человека).

Практическая часть.

необычный                обычный        необычный                обычный

   способ                       способ              способ                      способ

35*35=1225	35		13*22=286	13
	*  35			*_22_
	+175			+ 26
	105			_26__
	1225			286
23*27=621	23		43*11=473	43
	*_27			*_ 11
	+ 161			+   43
	_46__			_43__
	621			473
1342*523=701866	1342		1342*523=701866	1342
	*  523			*  523
	4026			523000
	2684			156900
	6710___			20920
	701866			1046
				701866

Вывод: таким образом, практическое применение необычных способов умножения в некоторых случаях помогает считать быстрее, а в некоторых, наоборот, усложняет решение примеров.

Эксперимент.

Я провела эксперимент, во время которого разделила класс, в котором учусь, на три команды. Каждая команда должна была решить примеры, применяя разные способы:

1.     команда решала примеры «столбиком»;

2.     команда решала необычными способами;

3.     команда решала и теми и другими способами на выбор.

Затем я засекла время, чтобы узнать какая команда справится быстрее.

Примеры:

62 х 11 = (682)                        73 х 77 = (5621)

75 х 75 = (5625)                      54 х 11 = (594)

42 х 48 = (2016)                      12 х 13 = (156)

13 х 22 = (286)                        65 х 65 = (4225)

12 х 14 = (168)                        43 х 47 = (2021)

Все команды хорошо справились с заданием, но быстрее всех справилась команда № 3.

Вывод: используя разные способы решения примеров, сочетая между собой привычные способы с необычными, можно быстрее добиться нужного результата.

В десятом классе я выступила со своей презентацией, предложила ряд примеров для решения. Способ решения ребята выбирали сами.

Проведенное с ними анкетирование, выражает их мнение по применению данных методов в дальнейшем обучении.

Анкетирование.

Также я решила провести анкетирование и задала ученикам пятого и десятого классов следующие вопросы:

1. Необходим ли современному человеку устный счёт?

Да Нет

2. Какими способами вы бы хотели пользоваться в дальнейшем?

1)                Графический;

2)                Умножение двузначного числа на 11.

3)                Умножение двузначных чисел с одинаковым десятком, у которых сумма единиц равна 10.

4)                Быстрое возведение в квадрат.

5.                 Испытывали ли вы сложности при применении данных способов при решении примеров?

  Да Нет

6.                 Воспользуетесь ли вы этими способами на предстоящих экзаменах?

  Да Нет

В анкетировании приняли участие 19 пятиклассников и 13 десятиклассников. Результаты анкетирования представлены в диаграммах. Как видно из диаграмм, практически все участники анкетирования, как пятиклассники, так и десятиклассники, считают устный счёт необходимым современному человеку. Далее, при ответе на вопрос о том, какими способами умножения участники анкетирования хотели бы пользоваться в дальнейшем, все участники отдали предпочтение способам «умножение двузначного числа на 11» и «быстрое возведение в квадрат». При этом пятиклассники практически не испытывали сложностей при применении данных способов умножения, тогда как десятиклассники столкнулись с определёнными трудностями. При ответе на последний вопрос пятиклассники изъявили практически единодушное желание использовать данные способы умножения на экзаменах, а мнение десятиклассников по этому вопросу разделилось.

Вывод.

В своей работе я попыталась показать эффективность использования различных приемов устного счета, из которых каждый ученик может выбрать те, которые показались ему наиболее понятными и целесообразными, чтобы в дальнейшем применять их на практике.

В результате проведения практических занятий я подтвердила, что различные приемы устного счета помогают быстрее и правильнее выполнять вычисления, а это, в свою очередь, тренирует внимание, формирует числовую зоркость и развивает память.

Моя гипотеза подтвердилась. Научиться быстро и правильно считать не так уж сложно. Вышеперечисленные способы быстрого устного счета рассчитаны на "обычного" человека и не требуют уникальных способностей. Главное – не лениться и тренироваться.

Заключение.

В ходе исследования были изучены различные источники информации по теме, анализ которых показал, что существуют различные необычные способы умножения, достаточно быстрые и надежные. В результате исследования подтвердилась моя гипотеза: существует потребность учащихся в ознакомлении с другими способами умножения и применении их при вычислениях.

С помощью этих способов можно быстрее решать различные примеры и задачи.

В заключение хочу сказать, что устный счет развивает механическую память, быстроту реакции, умение сосредоточиться, а поиски и обоснование новых приемов служат формированию логических умений.

Список используемой литературы:

1.        Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка: Пособ. для уч-ся 4-8 кл. сред. шк. / Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин - 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988. – 160с.

2.        Перельман Я.И. Занимательные задачи и опыты / Я.И. Перельман. – Д.: ВАП, 1994. - 527 с.

3.        Перельман Я.И. Быстрый счёт.30 простых приёмов устного счёта / Я.И. Перельман. – Л. : 1941.-13 с.

4.        Перельман Я.И. Быстрый счёт.30 простых приёмов устного счёта [Текст] / Я.И. Прельман. – Л. : 1941.-13 с.

5.        Ткачева М.В. Домашняя математика [Текст] / М.В. Ткачев. - М. : Просвещение,1993.

6.        Трошин В.В. Магия чисел и фигур [Текст] : Занимат. материалы по математике – М. : Глобус, 2007 .- 382 с.: ил.. -  (Учение с увлечением).

7.        Энциклопедический словарь юного математика [Текст] / Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.

Интернет-источники:

1.    Как быстро считать? Хитрые приемчики счета в уме: Математ. – Режим доступа: http://skolkobudet.ru/publ/4-1-0-3.

2.    Додонова Е. 10 способов как быстро считать в уме!: Математ. / Е. Додонова. – Режим доступа:  http://iq230.com/399-10-sposobov-kak-bystro-schitat-v-ume .

3.    Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета [Электронный ресурс] / Я.И. Прельман. ; Сост. Н.В. Косухина - . М. : ЛитМир - Электронная Библиотека.  – Режим доступа: https://www.litmir.co/br/?b=135733 . – Загл. с экрана.

4. Авторские разработки http://www.samartsev.ru/nikboris/person/us.htm