Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проект по математике - информатике на тему "Мир фракталов"(9 - 10 классы)

Проект по математике - информатике на тему "Мир фракталов"(9 - 10 классы)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

5


hello_html_2a47b310.gifhello_html_2a47b310.gifhello_html_2a47b310.gifhello_html_2a47b310.gifhello_html_2a47b310.gifhello_html_2a47b310.gifhello_html_2a47b310.gif

ОГЛАВЛЕНИЕ


Глава 1. Введение…………………………………………………………………………………3

Глава 2. История возникновения фракталов……………………………………………………5

Глава 3. Геометрические фракталы ….………………………………………………………….7

Кривая Коха………………………………………….…………………………………….8

Снежинка Коха…………………………………………….………………………………9

Крест Коха………………………………………………….………………………………9

Фрактал Мандельброта (Квадратный остров Коха)……….……………….…………10

Дерево Пифагора…………………………………………….………………….……….10

Треугольник Серпинского……………………………………….………………..……11

Ковер Серпинского……………………………………………….………………..……12

Кривая Дракона………………………………………………….………………………12

Кривая Гильберта…………………………………………….………………….………13

Глава 4. Алгебраические фракталы ……………………………………………………...……14

Множества Мандельброта и Жюлиа……………………………..………………….…14

Глава 5.Стохастические фракталы……………………………………………………….…….16

Глава 6. Фрактальная геометрия природы…………….……………………………………….17

Глава 7. Фрактал, созданный мной…………………………………………………………...….20

Глава 8. Практическое применение фракталов. ………………….…………………………….22

Глава 9. Галерея фракталов………………………………………………………………………24

Заключение…………………………………..……………………………………………………26Литература…………………………………………………………………………………………28

Интернет ресурсы ……………………………………………………………………………….28

















Глава 1. Введение

Математика,

если на нее правильно посмотреть,

отражает не только истину,

но и несравненную красоту.

Бертранд Рассел

Слово “фрактал” — это что-то, о чем много людей говорит в наши дни, от ученых до учеников средней школы. Оно появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Цветные изображения фракталов сегодня можно найти везде: от открыток, футболок до картинок на рабочем столе персонального компьютера. Итак, что это за цветные формы, которые мы видим вокруг?

Математика – древнейшая наука. Большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, многоугольник, сфера и т.д. Как оказалось многие природные системы настолько сложны, что использование только знакомых объектов обычной геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических разнообразий, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Как представить всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела? Представить строение легких и почек, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной?

Фракталы - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Нередко то, что мы видим в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько-то раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды - вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.

Изучение фракталов открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области математики. Применение фракталов очень обширно! Ведь эти объекты настолько красивы, что их используют дизайнеры, художники, с помощью них в графике рисуются многие элементы деревья, облака, горы и т.д. А ведь фракталы используются даже как антенны во многих сотовых телефонах.

Для многих хаологов (ученых изучающих фракталы и хаос) – это не просто новая область познания, которая объединяет математику, теоретическую физику, искусство и компьютерные технологии — это революция. Это открытие нового типа геометрии, той геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе и везде в безграничной вселенной.

В своей работе я тоже решила «прикоснуться» к миру прекрасного и определила для себя…

Цель работы: создание фрактальных изображений в программах Adobe Photoshop CS5 и Ultra Fractal 5.0.

Методы исследования: сравнительный анализ, синтез, моделирование.

Задачи:

  • знакомство с понятием, историей возникновения и исследованиями Б.Мандельброта,

Г. Коха, В. Серпинского и др.;

  • знакомство с различными видами классификаций фрактальных множеств;

  • нахождение подтверждения теории фрактальности окружающего мира;

  • изучение применения темы в других науках и на практике;

  • проведение эксперимента по созданию собственного фрактального изображения.

Проектным продуктом будет создание фрактала и буклета. С помощью них я смогу достичь цели проекта, а именно сконцентрировать в них основную информацию о фракталах и донести ее до ребят, интересующихся математикой.




















Глава 2. История возникновения фрактала.

Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Обыкновенная евклидова геометрия утверждает, что пространство ровное и плоское. Свойства такого пространства задают точки, линии, углы, треугольники, кубы, сферы, тетраэдры и т. д. Одной из идей, выросших из открытия фрактальной геометрии была идея нецелых значений для количества измерений в пространстве.

Мандельброт верил, что действительный ландшафт пространства не ровный и что в нашем мире нет ничего, что было бы совершенно плоским, круглым, то есть все фрактально. Следовательно, объект, имеющий точно 3 измерения невозможен. Вот почему концепция фрактального измерения была нужна для измерения степени неровности вещей.

Мандельброт и другие ученые, такие как Клиффорд А., Пикковер , Джеймс Глейк или Г. О. Пейтген пытаются расширить область фрактальной геометрии так, чтобы она могла быть применена практически ко всему в мире, от предсказания цен на рынке ценных бумаг до совершения новых открытий в теоретической физике.

Фракталы всегда ассоциируются со словом хаос. Фракталы проявляют хаотическое поведение, благодаря которому они кажутся такими беспорядочными и случайными. Но если взглянуть достаточно близко, можно увидеть много аспектов самоподобия внутри фрактала. Например, посмотрите на дерево, затем выберите определенную ветку и изучите ее поближе. Теперь выберите связку из нескольких листьев. Для ученых, занимающихся фракталами (которых иногда называют хаологами), все эти три объекта представляются идентичными.

Слово хаос наводит большинство людей на мысли о чем-то беспорядочном и непредсказуемом. На самом деле, это не совсем так. Хаос, в действительности, достаточно упорядочен и подчиняется определенным законам. Проблема состоит в том, что отыскание этих законов может быть очень сложным. Цель изучения хаоса и фракталов — предсказать закономерность в системах, которые могут казаться непредсказуемыми и абсолютно хаотическими.

Для многих хаологов, изучение хаоса и фракталов не просто новая область познания, которая объединяет математику, теоретическую физику, искусство и компьютерные технологии — это революция. Это открытие нового типа геометрии, той геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе и везде в безграничной вселенной.


В основном фракталы классифицируют по трем группам:

  1. Геометрические фракталы

  2. Алгебраические фракталы

  3. Стохастические фракталы

Рассмотрим каждую из них.































Глава 3. Геометрические фракталы.

Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая уже стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей.

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

Фракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность при любых масштабах наблюдения. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (Рис.7), кривая Пeано (Рис.8), кривая Минковского.

В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом показывала движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую.




Кривая Коха.

На рисунке приведены три первых шага процедуры построения для кривой Коха:



250px-Fractal_koch








Кривая Коха была изобретена в девятнадцатом веке немецким математиком по имени Хельге фон Кох. Эта кривая вызвала огромный интерес в математическом мире, поскольку она образует бесконечно длинную линию внутри области конечной площади. Форма нулевого поколения (К0) – это просто горизонтальный отрезок. Для создания кривой первого порядка (К1) разделим отрезок К0 на три равные части и заменим средний из них треугольным зубцом со сторонами длиной 1/3 К0. Длина всей кривой теперь составляет 4/3 К0. Кривая второго поколения (К2) образуется путем построения зубца на каждом из четырех отрезков линии К1. Для создания кривой Коха Кn+1 порядка необходимо разделить каждый отрезок кривой Кn на три равные части и заменить среднюю часть зубцом в форме равностороннего треугольника.


В течение этого процесса длина каждого отрезка увеличивается в 4/3 раза, значит общая длина кривой в 4/3 раза больше длины кривой предыдущего поколения. Тогда при стремлении порядка кривой к бесконечности, ее длина тоже стремится к бесконечности.

В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани.








Снежинка Коха.


hello_html_m5cc6d2b0.pnghello_html_mde67812.png


3 порядка

4 порядка

Снежинка Коха образуется из трех соединенных вместе кривых Коха следующим образом: рисуем кривую Коха i-го порядка (Кi), затем рисуем Кi повернутую на 120 градусов и затем еще раз поворачиваемся на 120 градусов и рисуем Кi. Периметр i-го поколения снежинок Коха втрое больше длины простой кривой Коха и равен 3*(4/3)I, то есть неограниченно возрастает при увеличении I, в то время как площадь остается ограниченной.




Крест Коха.



Крест Коха — это один из вариантов кривой Коха, изобретенный Мандельбротом. Вместо отрезка прямой, он использовал в качестве инициатора квадрат или прямоугольник. В этом фрактале использована та же самая идея, что и в оригинальной кривой Коха. То есть для создания креста Коха первого порядка (К1) разделим каждый из отрезков, образующих квадрат, на три равные части и заменим среднюю из них треугольным зубцом (угол смотрит вовнутрь квадрата) со сторонами длиной 1/3 стороны квадрата К0. Для получения креста большего порядка применим тот же алгоритм для каждого из полученных отрезков креста К1.



hello_html_m2019211d.png

Фрактал Мандельброта (квадратный остров Коха).


hello_html_26031009.png

На рисунке показаны 1,2 и 3 поколения. Инициатором выступает квадрат.


Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату.

Дерево Пифагора.


Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман во время второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку.

Одним из свойств дерева Пифагора является то, что если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице.

Если в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам, то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при использовании других углов. Такое дерево часто называют обдуваемое ветром дерево Пифагора. Если изображать только отрезки, соединяющие каким-либо образом выбранные «центры» треугольников, то получается обнаженное дерево Пифагора.


hello_html_4be8dc96.png


Слева классическое дерево Пифагора, справа обнаженное дерево Пифагора.


Треугольник Серпинского.

Построение треугольника Серпинского:


image004

На этой последовательности изображены треугольники Серпинского разных порядков. Сначала нам дан равносторонний треугольник. Из середины мы вырезаем другой треугольник, образованный точками, которые делят стороны исходного треугольника пополам. Далее операция проделывается для каждого из оставшихся треугольников.


hello_html_20511da5.pnghello_html_m60593d30.png


Нарисован с помощью алгоритма случай-

ных итераций

Нарисован с помощью метода L-си

Ковер Серпинского.

Чтобы получить ковер Серпинского, возьмем квадрат, разделим его на девять квадратов, а средний вырежем. То же сделаем и с остальными, меньшими квадратами. В конце концов образуется плоская фрактальная сетка, не имеющая площади, но с бесконечными связями.

hello_html_29a3b9c8.png


Кривая Дракона.


Кривая Дракона изобретена итальянским математиком Джузеппе Пеано. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона.


hello_html_14cbda55.pnghello_html_m5d144e30.png


Нарисован с помощью алгоритма случайных итераций

Нарисован с помощью метода L-систем



Ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла.

hello_html_m6b96a5cb.png

Кривая Гильберта.

Генератором является ломаная на рисунке 1, ее ширина не изменяется с каждой итерацией.

Кривая второго порядка получается путем соединения прямыми линиями четырех кривых первого порядка.

hello_html_3f3bd7c3.png Кривые 1 и 2 порядков




Аналогичным образом получается кривая третьего порядка, но при этом в качестве "кирпичиков" используются кривые второго порядка. Таким образом, чтобы нарисовать кривую третьего порядка, надо нарисовать четыре кривых второго порядка. В свою очередь, чтобы нарисовать кривую второго порядка, надо нарисовать четыре кривых первого порядка.




hello_html_3f58f201.pnghello_html_m2c64537b.png

На рисунках изображены кривые 4 и 5 порядка



Глава 4. Алгебраические фракталы.


Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f (Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка.

При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

  • С течением времени стремится к бесконечности.

  • С течением времени стремится к 0.

  • С течением времени принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.

  • С течением времени поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Большая часть встречающихся сегодня фракталов не являются детерминированными. Они не линейны и не собраны из повторяющихся геометрических форм. Такие фракталы называются сложными.

Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике - множествам Мандельброта и Жюлиа.


Множества Мандельброта и Жюлиа.


Множества Мандельброта и Жюлиа, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана.

Для их создания используется простая функция f(z)=z2+c, где z,c – комплексные числа.

(Комплексное число - это число, состоящее из двух частей - действительной и мнимой, и обозначается оно a+bi. Действительная часть a это обычное число в нашем представлении, а вот мнимая часть bi интересней. i - называют мнимой единицей. Почему мнимой? А потому, что если мы возведем i в квадрат, то получим -1. Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х это действительная часть a, а Y это коэффициент при мнимой части b. )

Берем начальное значение – z0, возводим в квадрат и прибавляем c. Полученное число z1 снова возводим в квадрат и прибавляем c. Продолжая процесс, получим последовательность z0, z1, z2 …, которая называется орбитой. Если орбита остается конечной, то точка принадлежит множеству, если же орбита уходит в бесконечность, то точка не принадлежит множеству.

Для множества Мандельброта начальное значение (z0) берется равным нулю. Дадим определение: множество Мандельброта – это множество всех комплексных чисел c, которым соответствуют конечные нулевые орбиты. То есть мы можем построить единственное множество Мандельброта, как показано на рисунке.


hello_html_m2b845019.png


Удивительно, но множества Жюлиа образуются по той же самой формуле, что и множество Мандельброта. Множество Жюлиа было изобретено французским математиком Гастоном Жюлиа, по имени которого и было названо множество. Файл:Julia set (highres 01).jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/Fractal_julia.png

Определение: Плотным множеством Жюлиа в точке с называется множество всех стартовых точек, орбиты которых конечны. То есть мы можем построить много таких множеств в зависимости от выбора c. На рисунке изображены два множества Жюлиа.

Глава 5. Стохастические фракталы.


Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д.

Типичным представителем этой группы фракталов является «плазма».

Для ее построения берется прямоугольник и для каждого его угла определяется цвет. Далее находится центральная точка прямоугольника и раскрашивается в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если же предположить, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладывается текстура и фотореалистичные горы готовыКартинка 4 из 97358

Если посмотреть на этот фрактал в разрезе то мы увидим этот фрактал объемный, и имеет «шероховатость», как раз из-за этой «шероховатости» есть очень важное применение этого фрактала. Картинка 4 из 30

Допустим нужно описать форму горы. Обычные фигуры из Евклидовой геометрии тут не помогут, ведь они не учитывают рельеф поверхности. Но при совмещении обычной геометрии с фрактальной можно получить ту самую «шероховатость» горы. На обычный конус нужно наложить плазму и мы получим рельеф горы. Такие операции можно выполнять со многими другими объектами в природе, благодаря стохастическим фракталам можно описать саму природу.




Глава 6. "Фрактальная геометрия природы"

" Почему геометрию часто называют "холодной" и "сухой"? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой. В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько иррегулярные и фрагментированы, что по сравнению с Евклидом - термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, - Природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для всех практических целей бесконечно".

(Бенуа Мандельброт "Фрактальная геометрия природы").

Красота фракталов двояка: она услаждает глаз, о чем свидетельствует хотя бы обошедшая весь мир выставка фрактальных изображений, организованная группой бременских математиков под руководством Пайтгена и Рихтера. Позднее экспонаты этой грандиозной выставки были запечатлены в иллюстрациях к книге тех же авторов "Красота фракталов". Но существует и другой, более абстрактный или возвышенный, аспект красоты фракталов, открытый, по словам Р. Фейнмана, только умственному взору теоретика, в этом смысле фракталы прекрасны красотой трудной математической задачи. Бенуа Мандельброт указал современникам (и, надо полагать, потомкам) на досадный пробел в "Началах" Евклида, по которому, не замечая упущения, почти два тысячелетия человечества постигало геометрию окружающего мира и училось математической строгости изложения. Разумеется, оба аспекта красоты фракталов тесно взаимосвязаны и не исключают, а взаимно дополняют друг друга, хотя каждый из них самодостаточен.1226395842_14

Фрактальная геометрия природы по Мандельброту - самая настоящая геометрия, удовлетворяющая определению геометрии, предложенному в "Эрлангенскрй программе" Ф. Клейна. Дело в том, что до появления неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевского - Л. Больяи, существовала только одна геометрия - та, которая была изложена в "Началах", и вопрос о том, что такое геометрия и какая из геометрий является геометрией реального мира, не возникал, да и не мог возникнуть. Но с появлением еще одной геометрии возник вопрос, что такое геометрия вообще, и какая из множества геометрий отвечает реальному миру. По Ф.Клейну, геометрия занимается изучением таких свойств объектов, которые инвариантны относительно преобразований: евклидова - инвариантов группы движений (преобразований, не изменяющих расстояния между любыми двумя точками, т.е. представляющих суперпозицию параллельных переносов и вращений с изменением или без изменения ориентации), геометрия Лобачевского-Больяи - инвариантов группы Лоренца. Фрактальная геометрия занимается изучением инвариантов группы самоаффинных преобразований, т.е. свойств, выражаемых степенными законами.

Что же касается соответствия реальному миру, то фрактальная геометрия описывает весьма широкий класс природных процессов и явлений, и поэтому мы можем вслед за Б.Мандельбротом с полным правом говорить о фрактальной геометрии природы. Новые - фрактальные объекты обладают необычными свойствами. Длины, площади и объемы одних фракталов равны нулю, других - обращаются в бесконечность.

Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения. И вот их примеры:

1226395814_21226395835_171

Морские раковины





1226395779_4


Молнии восхищают своей красотой. Фракталы, созданные молнией не произвольны и не регулярны





P:\250px-Fractal_Broccoli.jpg


Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora). Это особый вид является особенно симметричным фракталом.


Папоротник так же является хорошим примером фрактала среди флоры.1226395860_6


1226395820_9



Павлины всем известны своим красочным опереньем, в котором спрятаны сплошные фракталы.

0_276ab_5646479_XL


Лёд, морозные узоры на окнах это тоже фракталы.




1226395842_14


От увеличенного изображения листочка, до ветвей дерева - во всём можно обнаружить фракталы.Картинка 7 из 122






Фракталы есть везде и всюду в окружающей нас природе. Вся Вселенная построена по удивительно гармоничным законам с математической точностью. Разве можно после этого думать, что наша планета это случайное сцепление частиц? Едва ли.






Глава 7. Фрактал, созданный мной.


Теперь, когда я поняла, что такое фрактал и как его строить, я попробовала создать своё собственное фрактальное изображение. В программе Adobe Photoshop я создала небольшую подпрограмму или action, особенность этого экшена заключается в том, что он повторяет действия, которые я проделываю, и так у меня получается фрактал.укп


Для начала я создала фон для нашего будущего фрактала с разрешением 600 на 600. Дальше я нарисовала на этом фоне 3 линии - основу нашего будущего фрактала.



2




Следующим шагом будет запись скрипта.

продублируем слой (layer > duplicate) и изменим тип смешивания на "Screen" .

Назовём его "fr1". Скопируем этот слой ("fr1") еще 2 раза.

Дальше делаем свободную трансформацию объекта. Надо повернуть слой и переключиться на следующий слой и повторите с ним аналогичную операцию.

Теперь надо переключиться на последний слой (fr3) и дважды слить его с предыдущим (Ctrl+E). Уменьшить яркость слоя (Image > Ajustments > Brightness/Contrast, яркость установить 50%). Опять слить с предыдущим слоем и обрезать края всего рисунка, чтобы убрать невидимые части.

Останавливаем запись скрипта. А дальше просто запускаем его.

43











Как вы можете наблюдать, у нас уже вырисовывается фрактал… А если выполнить ещё несколько шагов скрипта то получится красивое фрактально изображение.55



Итак, у меня получился полноценный фрактал! Основой этого фрактала является первые три линии, о которых я упоминала в начале. 66


Фрактальное свойство - это мини ёлочки по бокам главной ёлки, у маленьких ёлок тоже есть свои маленькие ёлки и так до бесконечности.







Глава 6. Практическое применение фракталов.


Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Это фрактальное сжатие изображений. Современная физика и механика только начинают изучать поведение фрактальных объектов.Fractal_tree_(Plate_b_-_2)

Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации (плохого качества изображения – большими квадратами). Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg. В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.

Компанией Iterated разработан новый формат изображений "Sting", сочетающий в себе фрактальное и «волновое» (такое как в формате jpeg) сжатие без потерь. Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью последующего высококачественного масштабирования, причем объем графических файлов составляет 15-20% от объема несжатых изображений.

В механике и физике фракталы используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты, обладают "шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь угодно большом увеличении модели. Наличие на фракталах равномерной меры, позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях.

Также фрактальную геометрию используют для проектирования антенных устройств. Впервые это было применено американским инженером Натаном Коэном, который жил тогда в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Коэн вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и затем наклеил ее на лист бумаги, а затем присоединил к приемнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну обосновать собственную компанию и наладить их серийный выпуск. В данный момент американская фирма “Fractal Antenna System” разработала антенну нового типа. Теперь можно отказаться от использования в мобильных телефонах торчащих наружных антенн. Так называемая фрактальная антенна располагается прямо на основной плате внутри аппарата.Картинка 51 из 3120http://festival.1september.ru/articles/518889/img5.jpg

Также существуют множество гипотез по поводу применения фракталов – например, лимфатическая и кровеносная системы, лёгкие и многое другое тоже имеют фрактальные свойства.






















Глава 9. Галерея фракталов.


Программисты и специалисты в области компьютерной техники без ума от фракталов, так как фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира.


hello_html_m349381ba.pnghello_html_m49c82819.png


hello_html_7d51d56d.pnghello_html_256497cb.png


hello_html_41fe0c5f.pngjeweltree.jpg


hello_html_m4b2b6dbc.png2719269829_e2c5127c5f.jpg



hello_html_4be0b79.pnghello_html_m28cfa57.png




Заключение

Данная работа является введением в мир фракталов. Я рассмотрела только самую малую часть того, какие бывают фракталы, на основе каких принципов они строятся.

Фрактальная графика - это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Вся окружающая нас природа состоит из них. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств. Фракталы очень сильно облегчают рисование компьютерной графики, с помощью фракталов создаются множество спецэффектов, различных сказочных и невероятных картинок и т.д. Также с помощью фрактальной геометрии рисуются деревья, облака, берега и вся другая природа. Фрактальная графика необходима везде, и развитие "фрактальных технологий" - это одна из немаловажных задач на сегодняшний день.

В будущем я планирую научиться строить алгебраические фракталы, когда более подробно изучу комплексные числа. Также хочу попробовать построить свои фрактальные изображение в языке программирования Паскаль с помощью циклов.

Следует отметить применение фракталов в компьютерных технологиях, помимо простого построения красивых изображений на экране компьютера. Фракталы в компьютерных технологиях применяются в следующих областях:

1. Сжатие изображений и информации

2. Сокрытие информации на изображении, в звуке,…

3. Шифрование данных с помощью фрактальных алгоритмов

4. Создание фрактальной музыки

5. Моделирование систем

В работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Хочу сказать, что со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Может быть, в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на существование, и мы сожалеем, что в последнее время она как-то забылась и осталась уделом избранных. При подготовке данной работы мне было очень интересно находить применения теории на практике. Потому что очень часто возникает такое ощущение, что теоретические знания стоят в стороне от жизненной реальности.

Таким образом, концепция фракталов становится не только частью “чистой” науки, но и элементом общечеловеческой культуры. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.





















Список литературы

  1. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2001 г.

  2. Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-1995

  3. Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, «Фракталы в физике». М.: Мир 1988 г.

  4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.

  5. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 1999 г.

  6. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.


Интернет ресурсы

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://arbuz.uz/s_fractal.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://ega-math.narod.ru/Nquant/Fractals.htm

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://www.math.yale.edu/mandelbrot/

http://fractalworld.xaoc.ru/

http://fractbifur.narod.ru/html/index1.html

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html













Краткое описание документа:

Цель создания этого проекта – возможность собрать и представить наиболее полную информацию по данной теме для того, чтобы дать возможность другим ученикам познакомиться с новыми математическими понятиями, получить интересные и познавательные сведения после изучения темы «Мир фракталов».

Первое что привлекло в этой теме – это возможность изучить применение фрактальных множеств в других областях науки.

Второе – роль в современной жизни.

Автор
Дата добавления 08.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров349
Номер материала ДВ-316086
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх