Проект по математике "Интересный счёт"

Оглавление

1.Введение……………………………………………………………………………….……. 3

2.Цели и задачи………………………………………………………………………….……. 4

3 Упрощённые приёмы устных вычислений при умножении натуральных чисел…… .... 5

4. Алгоритмы ускоренных вычислений………………………………………………………8

4.Вывод…………………………………………………………………………….……...…... 15

5.Список литературы…………………………………………………………………………..16

Интересный счет.

Автор: Козлова Ксения, 8а класс, МБОУ “Барсовская СОШ №1”

Научный руководитель: Романенкова Галина Витальевна, учитель математики, МБОУ «Барсовская СОШ № 1»

Введение.

      Одну из самых важных ролей в школьном курсе обучения занимают вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычисления. Поэтому я поставила перед собой проблему: найти и рассмотреть нестандартные приёмы устного быстрого счёта, не рассматриваемые в школьном курсе математики.

Математика развивает логическое, нестандартное мышление. Освоение вычислительных навыков в уме развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы естественно – математического цикла.

В наше время высоких технологий и повсеместного использования компьютера, умение быстро и правильно вычислять в уме не утратило своей актуальности.

Гибкость ума и способность быстро производить в уме вычисления, могут помочь человеку в учебе, быту, профессиональной деятельности. Используя способы быстрого счёта, мы сможем быстро считать в уме, а также повысим свою успеваемость, как на алгебре, так и на других уроках. Это особенно актуально, т.к. на ЕГЭ и ОГЭ по математике использование калькулятора запрещено, а время на решение ограничено, и любая сэкономленная минута для выполнения задания идет в плюс, так как останется больше времени на решение других заданий и проверки всего написанного.

      Актуальность выбранной темы: На уроках математики мы очень много считаем устно, и мне захотелось узнать, как считать ещё быстрее, какие приёмы для этого существуют, а также познакомить с ними моих одноклассников и знакомых.    

     Я считаю, что навык быстрого счета может быть полезен всем людям так как это то что мы можем использовать в образовательных, экономических и многих других сферах.

Цель: Просмотреть литературу, в которой представлены способы для быстрого счета с использованием нестандартных приёмов, и отобрать наиболее нужные и интересные для нас сейчас.

Задачи.

1.Познакомится с историей создания счета.

2.Изучить различные способы умножения.

3.Научиться умножать числа легко, быстро, а главное удобно.

4. Поделиться полученной информацией с моими сверстниками.

Гипотеза исследования: Проверить, что устный счет может быть интересным, быстрым и лёгким. И если человек имеет хорошее логическое мышление, знает приёмы устного счёта и умеет их применять, то сможет устно решать сложные примеры.

Объект исследования: приемы быстрого счета, математическое действие-умножение.

Предмет исследования: натуральные числа.

Математика - одна из самых главных и важных наук в мире ведь именно с ней мы сталкиваемся каждый день.

Возникновение математических наук несомненно было связано с потребностями экономики. Требовалось, например, узнать сколько земли засеять зерном чтобы прокормить семью, для этого нужно было измерить поле и оценить масштабы урожая.

Математика одна из древнейших наук, имеющих дело с числами, количеством и формой. Ее основы были заложены не год, не два и даже не сто лет назад. Математика как наука сформировалась около двух тысяч лет. Об этом свидетельствуют дошедшие до нас египетские папирусы, клинописные вавилонские таблички, где встречаются решения арифметических, геометрических и алгебраических задач. Все то что было заложено в те времена до сих пор актуально. Очень малая часть информации изменилась в наше время.

Устный счет в жизни людей.

Все люди пользуются устным счетом, сами того не замечая. Подсчитать цену продуктов, вычислить процент скидки, купить по наиболее выгодной цене, решить: стоит ли покупать по акции и т.д

Однако, во все времена существовали люди, которые смогли развить у себя феноменальную скорость устного счета.

Одним из математиков с феноменальной скоростью устного счета был знаменитый Карл Фридрих Гаусс (1777-1855). Да-да, тот самый Гаусс, который придумал нормальное распределение.

По его собственным словам, он научился считать раньше, чем говорить.  Когда Гауссу было 3 года, мальчик взглянул на платежную ведомость своего отца и заявил: «Подсчеты неверны». После того как взрослые все перепроверили, выяснилось, что маленький Гаусс был прав.

В дальнейшем этот математик достиг немалых высот, а его труды до сих пор активно используются в теоретических и прикладных науках. До самой смерти большую часть вычислений Гаусс производил в уме.

В наше время существует много людей которые могут быстро считать в уме благодаря постоянной практике и тренировкам памяти.

Однако есть несколько приемов устного счета которыми может овладеть любой человек без специальной подготовки. Сейчас мы их разберем поподробнее.

Упрощённые приёмы устных вычислений при умножении натуральных чисел

1.Умножение чисел на 11.

1 способ.

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр

Попробуем решить пример этим способом: я решила умножить 27 на 11. Складываем 2 и 7. Получится 9, теперь вставляем 9 между 2 и 7 в числе. Ответ: 297

2 способ.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих чисел, а затем к первой цифре прибавить единицу, вторую и третью цифру мы оставляем без изменений.

Пример: 86*11= 8(8+6)6= 8(14)6= (8=1)46= 946

3 способ.

Чтобы умножить число на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число.

Пример: 345* 11= 3450+345= 3795

2. Умножение чисел на 22, 33, 99.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33=3*11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Пример: 18*44= 18*4*11= 72*11= 792

3. Умножение чисел на 111, 1111 и т.д.

Такие примеры можно решать при помощи предложенных выше алгоритмов. Рассмотрим пример: 32*111= 3(3+2) (3+2)2= 3552

4.Умножение чисел на 101, 1001 и т.д.

Чтобы любое двузначное число умножить на 101, надо к этому числу справа приписать это же число.

Пример: 32*101= 3232

Следовательно, 324*1001= 324324

5.Умножение чисел на 37.

Чтобы число умножить на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.

Пример: 24*37= (24:3) * 37*3= 8*111= 888

6. Умножение чисел на 5 и 25.

Чтобы устно умножить число на 5 к нему приписывают ноль и делят пополам

Пример: 74*5= 740:2= 370

Чтобы устно умножить число кратное 4 на 25 необходимо разделить его на 4 и приписать к полученному результату два ноля

Если число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют к частному при остатке: 1-25, 2-50, 3-75

7. Способ прибавления 7,8,9.

Для упрощения вычислений числа 7,8, 9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку.

Пример: 56+7=56+10-3=63

8. Быстрое складывание двузначных чисел.

Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, а затем из полученной суммы отнимаем добавку.

Пример: 54+39=54+40-1=93

9. Быстрое складывание трехзначных чисел.

Необходимо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.

Пример: 249+533=(200+500) +(40+30) +(9+3) =782

10. Быстрое вычитание трехзначных чисел.

Вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.

Пример: 843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247

11. Способ быстрого деления на 5, 50 и 500

Чтобы число разделить на 5, 50 или 500 надо его разделить на 1, 10, 100 или 1000 и результат умножить на 2

Пример: 42400: 5=42400:10*2=8480

12. Деление на 25.

Чтобы число разделить на 25 надо это число разделить на 100 и умножить на 4

Пример: 12100: 25=12100:100*4=484

13. Способ последовательного деления.

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление.

Пример: 240:15=(240:3):5=80:5=16

14. Деление на 4 и 8.

Этот метод кажется очевидным, однако много людей не догадываются о том, что им очень удобно пользоваться.

Чтобы разделить число на 4 его дважды делят пополам.

Пример: 72:4= 72:2:2=18

Чтобы разделить число на 8 его трижды делят пополам.

Пример: 448:8=448:2:2:2=56

15. Умножение чисел на 9,99,999

К первому множителю приписать столько нулей сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель

Пример:286*9=2860-286=2574

16. Способ изменения сомножителей.

Если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не измениться.

Примеры: 43*16=86*8=172*4=344*2=688*1=688

17. Тайное правило суммы квадратов.

Сумма квадратов трех последовательных чисел равна сумме квадратов, следующих за ними двух чисел.

10 во второй степени+11 во второй степени+12во второй степени=13во второй степени+14во второй степени

18. Необычная закономерность.

Сумма любого количества натуральных нечетных последовательных чисел, начиная с единицы, равна квадрату числа слагаемыхю

Пример: 1+3=4

       1+3+5=9

Алгоритмы ускоренных вычислений.

Алгебра позволяет найти удобные алгоритмы быстрого выполнения арифметических, вычислений- например, для быстрого умножения чисел или возведения в квадрат.

1. Алгоритм перемножения двузначных чисел, близких к 100.

Для того чтобы перемножить два двузначных числа близких к 100 нужно:

1) Найти недостатки сомножителей до сотни;

2) Вычесть из одного сомножителя недостаток второго до сотни;

3) К результату приписать двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.

2. Алгоритм возведения в квадрат двузначных чисел, начинающихся с 5-ти

Для того чтобы возвести в квадрат число, начинающееся на 5, надо:

1) 5(степень 2) = 25 прибавить число единиц "а"

2) К полученному числу приписать справа квадрат единиц.

Пример: 56(степень 2) = (25+6) *(6 степень 2) = 3136

3. Алгоритм возведения в квадрат двузначных и трехзначных чисел, оканчивающихся на 5.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число десятков (6), на число десятков увеличенное на 1 (на 6+1=7)6*7=42, и к полученному числу приписывают 25, 65(в степени 2) =4225

4.Алгоритм возведения в квадрат чисел, близких к 50.

Для возведения в квадрат числа близкого к 50 нужно:

1) Вычесть из этого числа 25;

2) Приписать к результату двумя цифрами квадрат избытка этого числа над 50.

Примеры: 58(во второй степени) =3364 Пояснение: 58-25=33, 8(во второй степени) =64, 58(во второй степени) =3364

Старинные, необычные способы умножения.

Старинный способ умножения на 9 на пальцах.

Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например, 9*3- загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9*3- это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае-7). Ответ-27.

Новый способ умножения.

Интересен новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения. Изобретатель новой системы устного предлагает следующее:

К примеру, умножим число 97 на 88. Вначале от 100 отнимаем разность первого множителя. Потом то же самое повторяем со вторым множителем. Данные разности умножаем. Дальше от множителя 97 отнимаем 12 или от второго множителя 88 отнимаем 3, в обоих случаях получается 85. Потом остается умножить из двух скобок 3 на 12, получится 36. Получаем ответ 8536.

Записываем 97*88=(100-3) *(100-12) =8536

Крестьянский старинный способ умножения.

Использовался для определения площади земельного участка. Например, имеем поле длиной 6 и шириной 5. Чтобы узнать сколько будет 6 на 5 делаем следующее: левое число делим на 2, а правое умножаем на 2, пока от левого числа не останется единица.

Что происходит при таком способе? Мы разделяем прямоугольник пополам пока его ширина не станет равняться единице. Делить на два не сложно.

Индийский способ умножения.

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль-Хорезми жил и работал в Багдаде. В своей "Книге об индийском счете" ученый описал один из способов чисел.

Основа этого способа заключается в идее что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи в зависимости от того какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких- нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.

 Умножение начинаем со старшего разряда и записываем неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу виден старший разряд полного произведения и кроме того исключается пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен поэтому между множителями оставляли небольшое расстояние

Пример: 546*7

1.5*7=35

2.350+4*7=378

3.3780+6*7=3822

Ответ:3822

Русский способ умножения.

Русские крестьяне умели умножать и без таблицы умножения. Их способ умножения использовал лишь умножение и деление на 2.

Чтобы перемножить два числа их записывали рядом, а затем левое число делили на 2 а правое умножали на 2.

Пример: 32* 23

32-23

16-46

8-92

4-184

2-368

1-736

Ответ: 736

В случае нечётного числа нужно откинуть единицу и делить остаток пополам; к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят напротив нечётных чисел левого столбца: сумма и будет искомым результатом.

Китайско-японский способ умножения.

На картинке подробно показано как выполняется умножение по китайско-японскому методу умножения. (умножаем 21 на 23).

Основа китайского метода заключается в рисовании линий «сеткой». Преимуществом является графическая визуализация процесса умножения. Основная суть способа — параллельные и перпендикулярные линии представляют те числа, которые перемножаются между собой. Рассмотрим на «живом» примере «25*15»:

Необходимо нарисовать 2 параллельные линии и через некоторое расстояние еще 5 параллельных.

Перпендикулярно им рисуем 1 линию и на небольшом расстоянии еще 5.

Считаем количество точек-пересечений, как указано на схеме.

Если получились двузначные числа, первый знак числа мы прибавляем к «соседнему» с левой стороны. Вторые знаки в числах и являются результатом умножения.

Собираем числа в одно целое и получаем наш ответ: 25*15=375.

Именно визуализация, то есть изображение всех точек пересечения прямых (множителей) на одной плоскости, дает нам зрительную поддержку, тогда как традиционный способ умножения подразумевает большое количество арифметических действий только в уме. Китайское или японское умножение помогает не только быстро и эффективно умножать двухзначные и трехзначные числа друг на друга без калькулятора, но и развивает эрудицию. Согласитесь, не каждый сможет похвастаться тем, что на практике владеет древнейшим китайским методом умножения, который актуален и прекрасно работает и в современном мире.

Итальянский способ умножения.

Этим способом пользовались ещё в древности, в Средние века он широко распространился на Востоке, а в эпоху Возрождения — в Европе. Способ решётки именовали также индийским, мусульманским или «умножением в клеточку». А в Италии его называли «джелозия», или «решётчатое умножение» (gelosia в переводе с итальянского — «жалюзи», «решётчатые ставни»). Действительно, получавшиеся при умножении фигуры из чисел имели сходство со ставнями-жалюзи, которые закрывали от солнца окна венецианских домов.

Палочки Непера как один из самых интересных способов умножения.

Джон Непер- шотландский математик,известный как изобретатель нового вида вычислительных инструметов- логарифмов, толчком к появлению которых стали палочки Непера. Наука нуждалась в появлении необходимых приемов для проведения сложных расчетов.

Палочки Непера представляли собой комплект специальных палочек, состоящих из дощечки с разметкой от одного до девяти и остальными палочками на которые была помещена таблица умножения с такой же разметкой цифр. Вверху каждой дощечки располагались числа в порядке возрастания, а по всей длине выложенной таблицы собственно Непер разместил результаты умножения чисел на цифры от одного до девяти. Иными словами, таблица давала возможность совершать операции умножения. Для того чтобы получить результат при умножении нужно было выбрать палочки , которые бы отвечали разряду множимогои расположить их в линию , ряд чисел которой обозначал бы само число. Дощечка с вертикально расположенными числами ставилась слева.С помощью нее можно было выбирать строку соответствующую для разряда множителя.

Палочки Непера были универсальным изобретением. При помощи них можно было делить, умножать, вычислять коренью.

История создания: в 1617 году Непер предложил не логарифмический способ перемножения чисел. Инструмент получивший название палочки или костяшки Непера состоял из тонких пластин или блоков. Каждая сторона блока несет числа образующие математическую прогрессию. Манипуляции с блоками позволяют извлекать квадратные и кубические корни, а также умножать и делить большие числа.

Исследование скорости и качества устных вычислений при умножении натуральных чисел учащихся 5-7 классов МБОУ "Барсовская СОШ №1"

Я решила провести исследование скорости качества устных вычислений при умножении натуральных чисел с целью проверить помогут ли способы устного счета про которые я рассказала выше. Для этого я подготовила небольшие самостоятельные работы для обучающихся 5-7 классов. (Приложение № 1) В каждой работе было 5 примеров с умножением натуральных чисел. Главным правилом было то, что ученики должны были использовать только свои знания (пользоваться справочным материалом, техникой, калькуляторами было запрещено)

Результаты первой самостоятельной представлены в диаграмме.

Через несколько дней я тем же ребятам дала задания, заменив примеры на другие. (Приложение № 2) Однако в этот раз перед проверкой я провела обучающий урок на котором рассказала про удобные способы устного счета, а также алгоритмы, упрощающие вычисления.

После проверки работ я убедилась в том, что во второй раз результаты стали лучше в несколько раз.

Результат второй самостоятельной я также занесла в диаграмму. (Приложение № 3)

Исходя из результатов мы можем сделать вывод что навыки быстрого счета значительно упрощают вычисления. Также стоит заметить, что вторую самостоятельную ребята закончили быстрее. На выполнение работ давалось 7 минут. В первый раз последняя работа была сдана через 7 минут, во второй раз через 3.  Это означает что благодаря обучению, навыкам устного счета. у ребят было затрачено меньшее количество времени, а также повысилась техника выполнения алгебраических вычислений.

Этот факт еще раз подтверждает, что навыки устного счета незаменимая вещь в жизни каждого школьника, так как именно благодаря им, можно считать быстро и удобно не прикладывая при этом много усилий.

Вывод.

В ходе работы мы узнали очень много новой и полезной информации. Мы углубились в историю создания математических наук, познакомились с новыми способами устного счета. Мы изучили не только древнейшие способы, но и алгебраические алгоритмы которые просты в использовании благодаря их незамысловатости. Я провела исследование скорости качества устных вычислений при умножении натуральных чисел учащихся 5- 7 классов, благодаря которому доказала, что благодаря улучшению навыков устного счета у школьников уменьшилось время выполнения заданной работы и улучшилась техника алгебраического счета. Я уверена, что полученные в ходе исследования знания обязательно пригодятся и помогут им в дальнейшем обучении.

На основании своих исследований я сделала вывод о том, что знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов. Работа, проведенная мною, доказывает, что знание этих приёмов и их применение особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц или калькулятора.

Изучив много информации из разных источников, мы открыли для себя множество способов быстрого счета, которые теперь мы можем использовать в своей жизни, а также поделиться ими с одноклассниками и знакомыми.

Список литературы:

1. Я. Перельман. «Быстрый счёт. Тридцать простых приёмов устного счёта». Ленинград. Дом занимательной науки. 1941.

2. Я. Перельман. «Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел». Москва. ГОНТИ. Издание седьмое просмотренное и дополненное.1938.

3. http://www.slideboom.com/presentations/539172/

4. http://www.myshared.ru/slide/203108/

5. http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=224

                                                                    Приложение № 1

Задания первого теста

32*64

85*15

46*11

22*67

48*54

                                                                     Приложение № 2

Задания второго теста

75*41

11*34

13*65

48*53

70*22

                                                                         Приложение № 3