Скачивание материала началось

Предлагаем Вам установить расширение «Инфоурок» для удобного поиска материалов:

ПЕРЕЙТИ К УСТАНОВКЕ

Новый курс повышения квалификации!

Цифровая грамотность педагога. Дистанционные технологии обучения

Разработан летом 2020 специально для учителей

Успеть записаться

-50% До конца лета

Каждую неделю мы делим 100 000 ₽ среди активных педагогов. Добавьте свои разработки в библиотеку “Инфоурок”
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Математика Научные работыПроект по математике 5 класс по теме "Линейные уравнения и способы их решения".

Проект по математике 5 класс по теме "Линейные уравнения и способы их решения".

библиотека
материалов



Муниципальное Казённое Образовательное Учреждение

"Средняя общеобразовательная школа №4"















Научный проект по математике

"Виды линейных уравнений"



Автор проекта:

Ученица 5Г класса

Комарова Ксения

Руководитель проекта:

Чухманова Наталия

Викторовна






2016-2017 уч. год


Содержание.


1. Введение:

1.1 Возникновение проблемы.

1.2 Цель и задачи проекта.


2. Теоретическая часть:

2.1 Понятие линейного уравнения.

2.2 Случаи решения линейного уравнения.


3. Практическая часть:

3.1

3.3 Решение уравнений с дробными коэффициентами (с переносом

слагаемых).

Примеры решение уравнений.

3.4 Применение линейных уравнений при решении задач.


4. Заключение: Решение линейных уравнений, делением на коэффициент.

Примеры решение уравнений.

3.2 Решение линейных уравнений, способом переноса слагаемых

из одной части равнения в другую.

Примеры решение уравнений.

5. Самооценка.

6. Отзыв учителя.

7. Информационные ресурсы.








  1. Введение.

    1. Возникновение проблемы.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Актуальность: чтобы перейти к исследованию данной темы, нам необходимо было ответить на вопрос «Зачем нужно изучать уравнения?». С линейными уравнениями мы знакомы из математики начальной школы, но в курсе 6 класса будет изучена новая тема - перенос слагаемых из одной части уравнения в другую и свойства уравнений. Этот материал в курсе математики -5 класса представляет некоторую сложность и научный интерес.

Проблема: углубить представления об уравнениях. Ответить на вопрос: «Какими способами можно решить уравнение и показать где, когда и какие уравнения приходится решать современному человеку.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал и изучить новый.

    1. Цель и задачи проекта.

Цель проекта: Рассмотреть различные виды линейных уравнений и способы их решений.

Задачи проекта:

  1. Рассмотреть виды линейных уравнений.

  2. Привести примеры различных способов решения уравнений..

  3. Обобщить знания по этой теме.

  4. Защитить проект и приготовить презентацию.



  1. Теоретическая часть.

2.1 Понятие линейного уравнения.

Существуют уравнение в правах, уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке; астр.) и т.д..

В математике – это математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определенных значениях этих неизвестных величин.

В уравнениях с одной переменной неизвестное обычно обозначают буквой «х».

Уравнения бывают разных видов:

ax + b = 0. - Линейное уравнение.

ax2 + bx + c = 0. - Квадратное уравнение.

ax3 + bx2 + cx + d = 0. - Кубическое уравнение.

ax4 + bx2 + c = 0. - Биквадратное уравнение.

Уравнение вида a·x=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Примеры линейных уравнений.

5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x, здесь коэффициент a равен 5, а число b есть 10.

2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y, в котором a=−2,3 и b=0.

А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 числовые коэффициенты a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2, а во втором - b=3,33.

А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6, и т.п. тоже линейные.

2.2 Случаи решения линейного уравнения.


Рассмотрим способы решения линейных уравнений a·x+b=0. Выясним , имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.

Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b. При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет

  • единственный корень при a≠0,

  • не имеет корней при a=0 и b≠0,

  • имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0, в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.

При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0. Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x, при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0. Это равенство верное, когда b=0, а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.

Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0. А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0.

Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:

Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b.

Если a=0 и b=0, то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.

Если a=0 и b≠0, то исходное уравнение не имеет корней.

Если же a отлично от нуля, то

коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b,

после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a, что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .

Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.

Похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b. Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.

Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:

Если a=0 и b=0, то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.

Если a=0 и b≠0, то исходное уравнение не имеет корней.

Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a, откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a.














  1. Практическая часть:


3.1 Решение линейных уравнений, делением на коэффициент.

Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Примеры решение уравнений.

Решение уравнений с дробными коэффициентами (с переносом

слагаемых).

Применение линейных уравнений при решении задач.

Решение линейных уравнений, делением на коэффициент.

Решение линейных уравнений, способом переноса слагаемых

из одной части равнения в другую.


3.2 Решение линейных уравнений, способом переноса слагаемых

из одной части равнения в другую.

Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перевести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

Переносите из левой части уравнения в правую то слагаемое, которое не содержит неизвестного:

а) 8х+5,9=7х+20

8х-7х=20-5,9

х=14,1


б) 6z-8=-5z-1.6

6z+5z=8-1.6

11z=6.4

z=6,4: 11

z= 0,58

Соберём в левой части уравнения все слагаемые, содержащие неизвестные, а в правой - не содержащие неизвестное:


в) 15y-8=-6y+4.6

15y+6y=8+4.6

21y= 12.6

У=12.6:21

У=0,6


г) -16n+1.7=2n-1

-16n-2n=-1.7-1

-18n=-2.7

18n=2.7

n=2,7:18

n=0,15


3.3 Решение уравнений с дробными коэффициентами (с переносом слагаемых).

Если в уравнении встречается дробный коэффициент – он него стараются избавиться – способном домножения на дробь обратную коэффициенту.

Примеры решение уравнений.

Решим уравнение 1/3х +12=х.

Решение. Умножим левую и правую части уравнения на 3 для того, чтобы освободится от дробного коэффициента. Получим х+36=3х. Перенесём с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в правую, а слагаемое из правой части в левую: х-3х = -36. Упростим левую часть уравнения: -2х = -36. Теперь разделим обе части уравнения на -2, получим х=18.

Число 18 является корнем данного уравнения 1/3х + 12=х, так как верно равенство 1/3*18 + 12=18.

Уравнение, которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых, называют линейным уравнением с одним неизвестным.




3.4 Применение линейных уравнений при решении задач.

Решение линейных уравнений широко применяется при решении задач, рассмотрим примеры. Решим с помощью уравнения задачи.

Задача1.

На одной полке 42 книги, а на другой 34. Со второй полки сняли несколько книг, а с первой - столько, сколько осталось на второй. После этого на первой полке осталось 12 книг. Сколько книг сняли со второй полки ?

Пусть х книг сняли со второй полки, тогда на второй полке осталось 34-х книг. После того, как с первой полки сняли 34-х книг, на ней осталось 12 книг.

Составим уравнение:

42-(34-х)=12

42-34+х=12

х=4.

Ответ: со второй полки сняли 4 книги.

Задача2.

Стены дома 8 каменщиков сложили за 42 дня. Сколько нужно каменщиков, чтобы сложить стены такого же дома за 28 дней?

Пусть х - количество каменщиков, необходимое для того, чтобы сложить стены такого же дома за 28 дней. Составим и решим пропорцию:

8/х = 28/48

х = 8*42/28 = 12 каменщиков.

Ответ: 12 каменщиков.

Задача3.

Отрезок на плане, масштаб которого 2:7, изображается отрезок 4,2 см. Какой длины будет этот отрезок на плане, сделанном в масштабе 5:3?

Длина отрезка в натуре:

4,2: х = 2:7

х= 4,2*7/2

х = 14,7 см.

Длина отрезка на другом плане:

х : 14,7 = 5:3

х = 14,7*5

х=24,5 см

Ответ: 24,5 см.

Задача 4.

Длина отрезка АВ а 2 см больше, чем длина отрезка CD. Если длину отрезка АВ увеличить на 10 см, а длину отрезка CD увеличить в 3 раза, то получается равные результаты. Найдите длину отрезка АВ.

Пусть х - длина отрезка АВ, тогда длина отрезка CD равна х - 2 см. Если длину отрезка АВ увеличить на 10 см, а длину отрезка CD увеличить в 3 раза, то получается равные результаты.

Составим и решим уравнение:

х+10 = 3(х-2)

х+10 = 3х-6

-2х= -16

х=8 см.

Ответ: 8 см.







4.Заключение.

Самооценка



В целом, значение темы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во всех современных технологиях (Физике, Химии и Алгебры, Геометрии), а так же открывает простор для созданий новых.


Работа над проектом, изучение линейных уравнений и их виды позволила более широко изучить данную тему.


По изученному мною материалу, использованного в процессе подготовке проекта можно сделать вывод о том, что большое количество людей знакомы с уравнениями и знают где можно применить в практической деятельности линейные уравнения. Это ещё раз говорит об актуальности данной темы.




















6. Отзыв учителя.































7.Информационные ресурсы.




1. https://www.calc.ru/Lineynyye-Uravneniya-Vidy-Lineynykh-Uravneniy.html


2. http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/sistema-lineynyh-uravneniy.html


3. http://www.cleverstudents.ru/equations/linear_equations.html#definition


4. http://www.cleverstudents.ru/





Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики и информатики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.