Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Краснозоренская средняя общеобразовательная школа

 

 

 

 

ИТОГОВЫЙ ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

Тема: «Математические исследования живой природы»

(математика/исследовательский)

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                           

                                                                                                                  Выполнил:

                                                                                       Мосин Андрей Алексеевич,

обучающийся 11 класса

 

 

 

                                                                                                          Руководитель:

                                                                                Юнина Екатерина Алексеевна, учитель

                                 МБОУ Краснозоренская СОШ

 

 

 

 

 

                                                 Красная Заря, 2019-2021 г.                                                                                                                    

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………………..3

ГЛАВА 1. Математические закономерности в живой природе…………………………..5

1.1. Понятие математической закономерности и ее виды в живой природе…………….5

1.2. «Золотое сечение» в живой природе…………………………………………………..8

ГЛАВА 2. Практическое применение математических исследований в живой природе……………………………..…………………………………….............................15

2.1. «Золотое сечение» на примере растений…………………………………………… 15

2.2. Ряд чисел Фибоначчи в скелете человека....................................................................17

2.3. «Золотая пропорция» в теле человека………………………………………………..18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………….19

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………………….20

ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………………….21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Математика — инструмент познания мира. Математика наука точная, не терпящая произвола в толковании. Это воплощение порядка и жесткой логики. Она помогает понять мир вокруг нас, узнать больше о его законах, так как эти законы подчинены тому же самому порядку, что царит в математике!

Язык, на котором говорит природа, мы успешно можем перевести на язык математики и осознать структуру взаимосвязей какого-либо явления. После того, как мы эти связи поймем, то сможем предсказывать будущие состояния явлений!

На уроках математики ученикам зачастую не хватает времени, чтобы больше узнать о роли математических наук в жизни человека и их связи с различными областями жизнедеятельности.

Эврика! Все в мире и в жизни тесно связано с математикой! Вот и нашлась прекрасная тема для проекта: «Математические исследования живой природы». Считаю, что она является актуальной. Эта тема актуальна в силу того, что может показать применимость математических законов на практике, способствует пониманию стратегии развития природы и воспитанию бережного отношения к окружающему миру.

Цель проекта: выяснить, что значит математика в живой природе: показать красоту математики при помощи закономерностей, существующих в живой природе.

Задачи проекта: 

1.      Изучить разнообразие математических закономерностей, используемых природой.

2.      Дать описание закономерностей.

3.      Проанализировать научную и научно-популярную литературу по теме исследования, как связана математика с жизнью.

4.      Выяснить, по каким математическим законам происходят изменения в процессе роста и развития живых организмов.

5.      Развить навыки самостоятельной работы с текстом, с анкетой, навыков общения, умения анализировать и систематизировать полученные данные.

Объект исследования: Живая природа.

Предмет исследования: Взаимосвязь науки математики и живой природы

Гипотеза: Можно ли утверждать, что математика и живая природа едины?

Проблема: Существует ли взаимосвязь между математикой и природой?

Методы исследования: наблюдение, измерение, анализ.

Актуальность: Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес, к форме какого – либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в природе. Повышение уровня знаний о математических исследованиях живой природы делает более полноценной жизнь каждого человека в современном обществе, обеспечит потребности квалифицированных специалистов для наукоёмкого и высокотехнологичного производства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. Математические закономерности в живой природе

1.1.          Понятие математической закономерности и ее виды в живой природе

Математическая закономерность – это определенное правило, по которому в числовом, фигурном или другом ряду элементов происходит повторение или изменение самих элементов или их свойств в соответствии с заданным правилом.

Математические закономерности можно искать как в живой, так и в неживой природе.

Математические закономерности, найденные в природе:

1.      Золотое сечение. Числа Фибоначчи (спираль Архимеда). А также другие виды спиралей.

2.      Различные виды симметрии: центральная, осевая, поворотная.

3.      Углы и геометрические фигуры.

4.      Фракталы. Термин фрактал образовал от латинского fractus (ломать, разламывать), т.е. создавать фрагменты неправильной формы.

5.      Арифметическая и геометрия прогрессии.

Рассмотрим более подробно выделенные закономерности, но в несколько другой последовательности.

Первое, что бросается в глаза, это наличие симметрии в природе. В переводе с греческого это слово обозначает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Математически строгое представление о симметрии сформировано относительно недавно – в 19 веке. В наиболее простой трактовке (по Г.Вейлю) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

В природе наиболее распространены два вида симметрии – «зеркальная» и «лучевая» («радиальная») симметрии. Однако помимо одного названия у этих видов симметрии есть и другие. Так зеркальная симметрия еще называется: осевая, билатеральная, симметрия листка. Лучевая симметрия еще носит название радиальной.

Осевая симметрия встречается в нашем мире больше всего. Люди симметричны тем, что у всех здоровых людей две руки, на каждой руке пять пальцев, если ладони сложить, то будет как бы зеркальное отражение. Проверить симметричность очень просто. Достаточно взять зеркало, и приложить его примерно посередине объекта. Если та часть объекта, что находится на матовой, неотражающей стороне зеркала, соответствует отражению, то предмет симметричен.

Все, что растет или движется по вертикали, т.е. вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется радиально-лучевой симметрии.

Листья и цветы многих растений имеют радиальную симметрию. (Приложение 1)

На поперечных сечениях тканей, образующих корень или стебель растения, отчетливо бывает видна радиальная симметрия (плоды киви, срез дерева). Радиальная симметрия характерна для малоподвижных и прикрепленных форм (кораллы, гидра, медузы, актинии). (Приложение 2)

Поворотная симметрия. Поворот на определенное число градусов, сопровождаемый трансляцией на расстояние вдоль оси поворота, порождает винтовую симметрию – симметрию винтовой лестницы. Пример винтовой симметрии – расположение листьев на стебле многих растений. Головка подсолнечника имеет отростки, расположенные по геометрическим спиралям, раскручивающимся от центра наружу. (Приложение 3)

Но надо сказать, что природа не терпит точной симметрии. Всегда есть хотя бы незначительные отклонения. Так, наши руки, ноги, глаза и уши не полностью идентичны друг другу, пусть и очень похожи.

Следующий вид математической закономерности в живой природе является золотое сечение. Но известно, что золотое сечение, или золотая пропорция – это соотношение меньшей части к большей, дающее одинаковый результат при делении всего отрезка на большую часть и деление большей части на меньшую. Формула: A/B=B/C.

В основном соотношение 1/1,618. Золотая пропорция очень часто встречается в животном мире.     Великий астроном 16 в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обратил внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). 

Человек, можно сказать, полностью «состоит» из золотой пропорции. К примеру, расстояние между глазами (1,618) и между бровями является золотым сечением. А расстояние от пупка до ступни и рост тоже будет золотой пропорцией. Все наше тело «усыпано» золотыми пропорциями. (Приложение 4) Так же в качестве примера золотого сечения в живой природе можно привести подсолнечник, ракушку и др. (Приложение 5)

Углы и геометрические фигуры в живой природе тоже встречаются часто. Есть заметные углы, например они четко видны в семенах подсолнечника, в сотах, на крыльях насекомых, в листьях клена и т.д. Молекула воды имеет угол 104,7⁰С. Но есть и малозаметные углы. Например, В соцветии подсолнечника семена расположены под углом 137,5 градусов относительно центра.

          Геометрические фигуры в живой природе также видели все, только мало обращали на них внимания. Как известно, радуга – это часть эллипса, центр которого находится ниже уровня земли. Форму эллипса имеют листочки растений, плоды слив. (Приложение 6) Хотя наверняка их можно рассчитать по какой-то более сложной формуле. Например, вот такой: + у =3х. 

Некоторые виды ракушек имеют форму конуса. Некоторые соцветия похожи то ли на пирамиду, то ли на октаэдр, то ли на тот же самый конус.

Самым известным природным шестиугольником являются соты (пчелиные, осиные, шмелиные и т.д.). (Приложение 7) В отличие от многих других форм, они имеют практически идеальную форму и отличаются только размерами ячеек. Но если обратить внимание, то заметно, что фасетчатые глаза насекомых тоже близки к этой форме.

Выше уже было рассмотрено золотое сечение. Теперь обратим свое внимание на числа Фибоначчи и другие спирали, которые тесно связаны с золотой пропорцией.

       Спирали очень распространены в природе. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. (Приложение 8)

"Золотые" спирали широко распространены в биологическом мире. Как отмечалось выше, рога животных растут лишь с одного конца. Этот рост осуществляется по логарифмической спирали. В книге "Кривые линии в жизни" Т. Кук исследует различные виды спиралей, проявляющихся в рогах баранов, коз, антилоп и других рогатых животных.

Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке – филлотаксис, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.

И, наконец, носители информации – молекулы ДНК – также скручены в спираль. Гете называл спираль «кривой жизни».

Однако вернемся к одной выбранной спирали – числам Фибоначчи. Это очень интересные числа. Число получается при сложении двух предыдущих. Вот начальные числа Фибоначчи по 144: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… И обратимся к наглядным примерам.

         Фракталы были открыты не так давно. Понятие фрактальной геометрии появилось в 70-х годах 20 века. Сейчас фракталы активно вошли в нашу жизнь, и даже развивается такое направление как фрактальная графика.

Фрактал — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Например, зонтичные растения. (Приложение 9)

В природе фракталы встречаются довольно часто. Однако это явление больше характерно для растений. Например, листья папоротника. (Приложение 10)

Геометрическая прогрессия в самом элементарном ее определении – это умножение предыдущего числа на коэффициент. Эта прогрессия присутствует у одноклеточных организмов. К примеру, любая клетка делится на две, эти две делятся на четыре и т.д. То есть это геометрическая прогрессия с коэффициентом 2. А простым языком – количество клеток с каждым делением возрастает в 2 раза. У бактерий всё точно также. Деление, увеличение популяции вдвое.

Таким образом, я изучил математические закономерности, существующие в природе, и привел соответствующие примеры.

Необходимо отметить, что на данный момент математические законы в природе активно изучаются и даже существует наука, которая называется биосимметрикой. Она описывает намного более сложные закономерности, чем были рассмотрены в работе.

 

 

 

 

 

 

 

1.2.          «Золотое сечение» в живой природе

             В математике принцип «золотого сечения» впервые был сформулирован в «Началах» Эвклида, самом известном математическом сочинении античной науки, написанном в III веке до н.э. Переводчик Дж. Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.
В целом все первые геометрические системы – эвклидова геометрия, теорема Пифагора – свидетельствуют о том, насколько волновали древних греков проблемы гармонии, поиск идеальных пропорций и форм. Однако есть предположение, что первыми к принципу золотого сечения пришли все же египтяне.

          Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название «золотое сечение». Леонардо да Винчи использовал для композиционного построения своей знаменитой Джоконды т.н. «золотой равнобедренный треугольник», в котором отношение бедра к основе равно золотому сечению.  В XV-XVI веках усилился интерес к «золотому сечению» среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Пачоли считают творцом начертательной геометрии. По его мнению, даже Бог использовал принцип золотого сечения для создания Вселенной. Эта идея была позже использована Иоганом Кеплером (1596 год), последняя книга которого так и называлась «Гармония Вселенной». Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя. «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

         Систематизировать знания по золотому сечению и придать им четкую арифметическую форму фундаментальной пропорции мироздания удалось уже только в наше время. Большая роль в исследовании золотого сечения принадлежит украинскому учёному Алексею Стахову, в 80-х годах прошлого века обосновавшему базис нового учения о гармонии систем, должного стать, по его мнению, основной интегрирующей наукой XXI века. Математика гармонии применима и к современной экономике. Довольно известны, например, работы российского ученого Харитонова об экономическом развитии российских регионов и страны, в целом исходя из принципов золотого сечения. Однако, нас интересует «золотое сечение» именно в живой природе.

            Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции. «Золотая пропорция» – математический символ этого взаимодействия, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юного побега до зрелости и замедленный рост «по инерции» до момента цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь новому побегу.       

            Одним из первых проявлений золотого сечения в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571 – 1630). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.

            Начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Можно отметить два вида проявлений золотого сечения в живой природе: иррациональные отношения по Пифагору - 1.62 и целочисленные, дискретные – по Фибоначчи.
         Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.

            "Золотые" спирали широко распространены в биологическом мире. Этот рост осуществляется по логарифмической спирали. Логарифмическая спираль единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо, это свойство и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других. По логарифмической спирали свернуты раковины многих улиток и моллюсков; та же спираль встречается в соцветиях растений; даже пауки, сплетая паутины, закручивают нити вокруг центра по логарифмической спирали. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровне.

       Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, "отточенной" конструкции.

Но еще более убедительной демонстрацией проявления золотого сечения в мире растений является явление "филлотаксиса". 

        Все в природе подчинено строгим математическим законам. Оказывается, что расположение листьев на стеблях также носит строгий математический характер и это явление называется в ботанике "филлотаксисом". Суть филлотаксиса состоит в винтовом расположении листьев на стебле растений (ветвей на деревьях, лепестков в соцветьях и т.д.).

       В явлении филлотаксиса используются более сложные понятия симметрии, в частности понятие "винтовая ось симметрии". Рассмотрим, например, расположение листьев на стебле растения. Мы видим, что листья находятся на различных высотах стебля вдоль винтовой линии, обвивающейся вокруг его поверхности. Для того чтобы перейти от нижележащего листа к следующему, приходится мысленно повернуть лист на некоторый угол вокруг вертикальной оси стебля, а затем поднять его на определенный отрезок вверх. В этом и состоит суть "винтовой симметрии".

Ботаники утверждают, что дроби, характеризующие винтовые оси растений, образуют строгую математическую последовательность, состоящую из отношений соседних чисел Фибоначчи, то есть:

1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, ... .

(1)

Вспомним, что ряд Фибоначчи есть следующая последовательность чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .

(2)

    Сравнивая (1) и (2) нетрудно увидеть, что дроби в последовательности (1) образуются числами Фибоначчи, взятыми через одно число.

       Ботаники установили, что для различных растений характерны свои дроби филлотаксиса из последовательности (1). Например, дробь 1/2 свойственна злакам, березе, винограду; 1/3 - осоке, тюльпану, ольхе; 2/5 - груше, смородине, сливе; 3/8 - капусте, редьке, льну; 5/13 - ели, жасмину и т.д. Какова же "физическая" причина, лежащая в основе "законов филлотаксиса"? Ответ очень прост. Оказывается, что именно при таком расположении листьев достигается максимум притока солнечной энергии к растению.

       Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
       Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйца птиц. Их всевозможные формы колеблются между двумя крайними типами: один из них может быть вписан в прямоугольник золотого сечения, другой – в прямоугольник с модулем

            В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

        Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

       Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

            У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

            Золотое сечение можно найти и в анатомии. Закон золотого сечения просматривается в количественном членении человеческого тела, соответствующем числам ряда Фибоначчи. Примером может быть число костей туловища, черепа и конечностей. Так, в скелете туловища различают 3 костных системы: позвоночник, реберный его отдел и грудину. Грудина включает 3 кости (рукоятку, тело и мечевидный отросток). Позвоночник состоит из 33 (34) позвонков; от них отходят 12-13 пар ребер. Мозговой череп состоит из 8 костей. В верхней и нижней челюстях с каждой стороны имеется по 8 альвеол и соответственно - корни 8 зубов. Скелет верхней конечности состоит из 3 частей (плечевой, костей предплечья и костей кисти). Кисть включает 8 костей запястья, 5 пястных костей и кости 5 пальцев. Каждый палец, кроме большого, имеет по 3 фаланги. Таким образом, морфогенез кисти, включающей два соседних члена числового ряда Фибоначчи - в частности, 8 костей запястья и 5 костей пясти - приближается к золотому сечению 1.618, поскольку 8/5=1.6. Сопоставляя длины фаланг пальцев и кисти руки в целом, а также расстояния между отдельными частями лица, также можно найти "золотые" соотношения:

       Но фибоначчиева закономерность характерна не только для костей. Например, в строении головного мозга различают семь частей: кора, мозолистое тело, мозжечок, мозговой желудочек, моси, продолговатый мозг, гипофиз. В основании головного мозга выделяют 8 частей, выполняющих разные функции. В теле человека насчитывается 8 различных желез внутренней секреции. Кишечник и соседние с ним органы (желудок, печень, желчный пузырь и т.д.) составляют в сумме 13 органов. Дыхательные органы человека состоят из 8 частей. Печень также состоит из 8 частей; почки состоят из 5 частей, а сердце из 13.

      Этот список частей человека, в перечне которых обнаруживаются числа Фибоначчи, можно было бы продолжить. Случайно ли это? Скорее всего - нет. Человек, как и другие творения природы, подчиняется всеобщим законам развития. Корни этих законов нужно искать глубже - в строении клеток, хромосом и генов, а далее - в возникновении самой жизни на Земле.
      Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения. Золотая пропорция отвечает не только делению тела на две неравные части линией талии. Высота лица (до корней волос) относится к вертикальному расстоянию между дугами бровей и нижней частью подбородка, как расстояние между нижней частью носа и нижней частью подбородка относится к расстоянию между углами губ и нижней частью подбородка, это отношение равно золотой пропорции.

        Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что для взрослых мужчин это отношение равно в среднем примерно 13/8 = 1,625, а для взрослых женщин оно составляет 8/5 = 1,6. Так что пропорции мужчин ближе к "золотому сечению", чем пропорции женщин (однако женщина в обуви на каблуках может оказаться ближе к "золотым" пропорциям). У новорожденного пропорция составляет отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году у мужчин равняется 1,625. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Равномерно бьется сердце человека – около 60 ударов в минуту в состоянии покоя. Сердце как поршень сжимает , а затем выталкивает кровь и гонит ее по телу. Предсердия выполняют роль резервуара, принимающего кровь из вен, а желудочки -  насоса, ритмически перекачивающего кровь в артерии. Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке в момент его сжатия (систолы) . В артериях во время систолы желудочков кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм рт.ст. у здорового молодого человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастолы) давление снижается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6 ,т.е. близко к золотой пропорции.

        Таким образом, человеческие представления о красивом формируются явно под влиянием того, какие воплощения порядка и гармонии человек видит в живой природе. А природа, как известно, любит повторения. В различных своих творениях, казалось бы, очень далеких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы.

       «Золотое сечение» - один из этих основополагающих принципов природы.

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Практическое применение математических исследований в живой природе

2.1 «Золотое сечение» на примере растений

Возьмём утверждение из школьного учебника: «Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В)».  (Приложение 11)

Чтобы проверить, так ли это, я  выбрал 7 различных комнатных растений:

1)Декабрист – Зигокактус.

2)Денежное дерево – Толстянка.

3)Традесканция.                  

4)Традесканция цветущая.

5) Плющ.

6)Герань – Пеларгония.

7)Китайская роза

Все эти растения я посчитал наиболее красивыми. Сделал необходимые измерения между тройками листьев и посчитал соответствующие отношения (с точностью до тысячных), где a(AB),  b(BC), c (AC) , d(a/b) и f(b/c):

 1)a/b=3,5/4= 0,875(d)

    b/c =4/7,5=0,533(f)

 2) a/b=2/2= 1(d)

     b/c =2/4=0,5(f)

 3) a/b=2/2,5= 0,8(d)

     b/c =2,5/4,5=0,556(f)

 4) a/b=2/2,5= 0,8(d)

      b/c =2,5/4,5=0,556(f)

 5)a/b=2.2/2,4= 0,916(d)

     b/c =2,4/4,6=0,522(f)

 6)a/b=1,5/2,5= 0,6(d)

     b/c =2,5/4=0,625(f)

 7)a/b=3/3,5= 0,857(d)

     b/c =3,5/6,5=0,538(f)

Данные измерений и вычислений занесены в таблицу. (Приложение 12)

Из таблицы видно, что все отношения получаются близкими к числу золотому сечению: 0,6, так как мы меньший отрезок делили на больший. Наиболее совершенным с точки зрения математики, оказался цветок под номером 6 – это герань. Следовательно, действительно расположение листьев на стебле подчиняется «божественной пропорции».                                                                                                                                               

                          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Ряд чисел Фибоначчи в скелете человека

 

                    Скелет 3 костные системы (позвоночник, реберный его отдел и грудина). Грудина включает 3 кости (рукоятку, тело и мечевидный отросток). Позвоночник состоит из 33 (34) позвонков; 12 – 13 пар ребер. 2 руки и две ноги 1 голова. (Приложение 13)

Кисть включает 8 костных запястий, 5 пястых костей, 5 пальцев. Каждый палец имеет по 3 фаланги. Большой палец 2 фаланги.

Стопа у человека включает 26 костей и образует три отдела: Предплюсна – 7 костей проксимального отдела стопы, соединяющихся с костями плюсны. Плюсна – 5 коротких трубчатых костей стопы, расположенных между предплюсной и фалангами пальцев. Фаланги – 14 коротких трубчатых костей, составляющих сегменты пальцев стопы. 2 фаланги образуют большой палец, остальные пальцы состоят из 3-х фаланг.

Мозговой череп состоит из 8 костей и 32 зубов.

Найдём пропорции различных частей нашего тела, и убедимся, что они действительно составляют число, очень близкое к золотому сечению:

1)расстояние от кончиков пальцев до запястья / от запястья до локтя 37 / 22 ≈ 1,62 ≈ 1,618

2)расстояние от уровня плеча до макушки головы /от плеча до бровей 29 / 18 ≈ 1,61 ≈ 1,618

3)длина головы / ширина головы 24 / 14,8 ≈ 1,62 ≈ 1,618

4)От макушки головы до пупка/от макушки головы до плеча 47 / 29 ≈ 1,63 ≈ 1, 618

5)От макушки головы до плеча/ длина головы 29 / 18 ≈ 1,61 ≈ 1, 618

6)От бровей до середины губ/ от бровей до основания носам 8 / 5 ≈ 1, 6 ≈ 1, 618

Занесём данные измерений и вычислений в таблицу

Вывод:

Из таблицы видно (Приложение 14), что соотношение между частями тела неидеальны, но приближенно равны к золотому числу 1,618. Наши измерения находятся в пределах от 1,3 до 2,3., т.е. погрешность составляет 0,3 – 0,7.

Пропорция мужчин ближе к «Золотому сечению», чем пропорции женщин.

 На основании проделанной работы можно сделать вывод, что, природа, заложенная в первозданном виде, содержит либо числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…либо дает отношение «золотого числа» равное 1,618.

 

 

 

2.3. «Золотая пропорция» в теле человека

 

Для того чтобы проверить, выполняется ли золотое сечение в пропорциях тела человека,  я провел исследование среди моих одноклассников и измерил себя. У каждого участника были сняты мерки двух видов: мерка от верхней точки головы до талии, мерка от талии до пола.  Их отношение сравнивалось с числом отношения золотого сечения. (Приложение 15)

Проведем вычисления:

1)      103:65=1,584 и 168:103=1,631;

2)      101:62=1,629 и 163:101=1,619;

3)      107:69=1,55 и 176:107=1,645;

4)      109:69= 1,58 и 178:109 =1,633;

5)      103:65= 1,585 и 168:103=1,631;

6)      103:65= 1,585 и 168:103=1,631;

7)      104:68= 1,53 и 172:104=1,653;

8)      97:64= 1,516 и 163:97=1,68;

9)      99:58= 1,707 и 157:99=1,586;

10)  109:67= 1,627 и 176:109=1,615;

11)  106:65= 1,631 и 171:106=1,613.

Как видно из расчетов все показатели достаточно близки к «золотым». Отклонения есть в несколько сотых, это не значительно. Из приведенных примеров наиболее близки показатели из строчек 2, 10 и 11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Кто сказал, что математика не может быть интересной? Казалось бы, фракталы слишком идеальны для хаотичной природы, но это совсем не так. Когда мы видим что-то гармоничное и идеальное, мы полагаем, что к этому приложил руку человек, ведь сложно представить, чтобы такая красота создавалась «сама по себе». Но ещё Галилео Галилей писал, что Вселенная «написана» на языке математики. А чтобы постичь язык гармонии, нужно присматриваться к природе. Ведь именно она – главный художник, вдохновитель и математик. В работе было изучено разнообразие математических закономерностей, существующих в природе, дано описание этих закономерностей и примеры их проявления в природе, рассказано одноклассникам о взаимосвязи природы и математики. Для этого изучена литература по данной теме, проведен опрос среди обучающихся пятого класса с целью выяснения, что они знают о взаимосвязи математики и природы.

      Социальная значимость данного проекта проявляется в том, что повышение уровня знаний о математических исследованиях живой природы делает более полноценной жизнь каждого человека в современном обществе, обеспечит потребности квалифицированных специалистов для наукоёмкого и высокотехнологичного производства.

Как положительные моменты работы над данным проектом можно отметить следующее:

- изучены теоретические вопросы о взаимосвязи природы и математики;

- опытом поиска математических закономерностей можно поделится с одноклассниками;

- расширен кругозор знаний об окружающем нас мире и взаимосвязи природы и математики.

Как отрицательные моменты работы над данным проектом можно отметить следующее: для понимания некоторых математических закономерностей, существующих в природе, недостаточно имеющихся знаний в области математики (например, тяжела для понимания пропорция «золотого сечения»).

В своей работе я исследовал литературу по теме и изучил основные теоретические вопросы. На конкретных примерах доказал, что в природе очень многое, если не все подчиняется математическим законам.

Поставленная в работе цель и задачи достигнуты.

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.      Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. – М.: Школа – Пресс, 1998.

2.      Зенкевич И.Г. Эстетика урока математики. – М.: Просвещение, 1981.

3.      Геометрия: Красота и гармония. Авт.-сост. Л.С. Сагателова, В.Н. Студенецкая. – Волгоград: Учитель, 2007.

4.      Геометрия: Доп. Главы к шк. Учеб. 8 кл. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. М.: Просвещение, 1996.

5.      Семёнов С.Е. Изучаем геометрию: Кн. Для учащихся 6 – 8 классов сред.шк. – М.: Просвещение, 1987.

6.      Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1982.

7.      Н. Д. Угринович Информатика. Базовый курс: Учебник для 8 класса / Н.Д. Угринович – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. - 205 с.: ил

8.      Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. 5 – 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа,1999.

9.      Рональд Хольт. СПИРАЛЬ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ И МЕР-КА-БА . 21 апреля 1999 года.

10.  Кеплер И. О шестиугольных снежинках. М.; Наука, 1983.

11.  Каретин Ю. А. Синергетика: курс лекций для биологов. – ДВГУ, 2007.

12.  Научно-популярный фильм «Первая жизнь с Дэвидом Аттенборо», 2010.

13.  Л. И. Лотова. Ботаника. Морфология и анатомия высших растений. - М.: Эдиториал УРСС, 2001.

14.  Заренков Н.А. Биосимметрика. – М.: Книжный дом «Либроком», 2009.

15.  Стахов А.П. Коды золотой пропорции. – М.: «Радио и связь», 1984. – 152 с., ил.

Интернет-ресурсы:

1.     http://www.km.ru/referats/A21498B7F33A4CEF9E597D0A0E890A5B

2.     http://itions.ucoz.ru/news/style_kanal_princip_zolotogo_sechenija_v_odezhde/2013-06-24-21

3.     http://sakva.net/old/fractals_rus/. Данные соответствуют 14.04.12.
Источник: http://yaychys.ru/vne-urokov/prezentatsii/193-matematika-v-prirode

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1

Рисунок 1. Осевая симметрия

Приложение 2

Рисунок 2. Радиальная симметрия

Приложение 3

 

Рисунок 3. Поворотная симметрия

Приложение 4

 

Рисунок 4. Золотое сечение в теле человека

 

 

 

Приложение 5

Рис. 5. Золотое сечение в природе

 

 

 

 

Приложение 6

Рисунок 6.  Слива (пример эллипса в природе)

                                                    Приложение 7

                                                    Приложение 8

Рисунок 7. Соты (пример шестиугольника в природе)

 

 

 

 

Рисунок 8. Спирально завитая раковина

                                                    Приложение 9

Рисунок 9. Зонтичные растения

                                                  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Приложение 10

Рисунок 10. Папоротник

Приложение 11

 

Рисунок 11. Золотое сечение на примере растений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 12

Таблица 1. Расчет золотого сечения на примере растений

№	Название	a(AB)	b(BC)	c(AС)	d(a/b)	f(b/c)
1.	Декабрист – Зигокактус - Шлюмбергера	3,5 см	4 см	7,5 см	0,875	0,533
2.	Плющ	2 см	2 см	4 см	1	0,5
3.	Денежное дерево - Толстянка	2 см	2,5 см	4,5 см	0,8	0,556
4.	Традесканция цветная	2 см	2,5 см	4,5 см	0,8	0,556
5.	Традесканция	2,2 см	2,4 см	4,6 см	0,916	0,522
6.	Герань	1,5 см	2,5см	4 см	0,6	0,625
7.	Китайская роза	3 см	3,5 см	6,5 см	0,857	0,538

 

Приложение 13

 

Рисунок 12.  Ряд чисел Фибоначчи в скелете человека

 

                    

 

 

 

 

Приложение 14

Таблица 2. Ряд чисел Фибоначчи в скелете человека

№	t/s	Наши измерения
1.	расстояние от кончиков пальцев до запястья / от запястья до локтя	37 / 22 ≈ 1,62 ≈ 1,618
2.	расстояние от уровня плеча до макушки головы /от плеча до бровей	29  / 18 ≈  1,61 ≈ 1,618
3.	длина головы / ширина головы	24  / 14,8 ≈ 1,62 ≈ 1,618
4.	От макушки головы до пупка/от макушки головы до плеча	47 / 29 ≈ 1,63 ≈ 1, 618
5.	От макушки головы до плеча/ длина головы	29 / 18 ≈ 1,61 ≈ 1, 618
6.	От бровей до середины губ/ от  бровей до основания носа	8 / 5 ≈ 1, 6 ≈ 1, 618

 

Приложение 15

Таблица 3. Золотая пропорция в теле человека

Ученик (ца)	От головы до талии (в)	От талии до пола (а)	а/в	Полный рост/а
1  .Бочкова Н.	65	103	1,584	1,631
2.  Праслова  Л.	62	101	1,629	1,619
3.  Хрипков М.	69	107	1,55	1,645
4.  Мосин А	69	109	1,5	1,633
5.  Прохорова Е.	65	103	1,585	1,631
6.  Полухина  К.	65	103	1,585	1,631
7  .Матюшкина К.	68	104	1,53	1,653
8.  Занина Е.	64	97	1,516	1,68
9.  Плешанова В.	58	99	1,707	1,586
10. Калинин И.	67	109	1,627	1,615
11. Этманов Н	65	106	1,631	1,613