Проект по математике на тему "Четыре замечательные точки треугольника"

Тема проекта:

«Замечательные точки треугольника»

Автор проекта: Дарья Ионкина, обучающаяся 7 класса

МКОУ «ООШ №8» г. Миасса Челябинской области

Наставник проекта: Ирина Алексеевна Потапушкина,

учитель математики

Содержание

Содержание. 2

Аннотация наставника. 3

Введение. 4

1.          Теоретическая часть. 5

1.1 Из истории замечательных точек треугольника. 5

2.          Практическая часть. 6

2.1 Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 6

2.2 Точка пересечения биссектрис треугольника. 7

2.3 Точка пересечения медиан треугольника (центроид) 8

2.4 Точка пересечения высот треугольника (ортоцентр) 8

2.5 Окружность девяти точек. 9

2.6 Прямая Эйлера. 10

Заключение. 11

Список литературы.. 12

Аннотация наставника

Тема исследовательского проекта «Замечательные точки треугольника». В этом учебном году учащиеся начали изучать новый предмет – геометрию. Для тогочтобы расширить представление о треугольнике и его свойствах, Даша более глубоко изучила эту тему. В данной работе были рассмотрены свойства биссектрис, медиан, серединных перпендикуляров и высот треугольника, расширено число замечательных точек и линий треугольника, сформулированы теоремы. В практической части Дашей самостоятельно были выполнены все построения и этих замечательных точек. Продуктом данной исследовательской работы является буклет, демонстрирующий построение всех замечательных точек треугольника. Представленный материал может быть использован как на основных уроках, так и на факультативных занятиях.

Введение

Геометрия начинается с треугольника. Он является символом в геометрии, можно сказать, что треугольник это - атом геометрии. Геометрия становиться интересной и содержательной только с появлением треугольника. Уже с первых шагов своего развития человек, а особенно современный человек сталкивается со всевозможными геометрическими объектами, фигурами и телами.

Известны случаи, когда увлечение геометрическими фигурами и изучение их свойств меняло в целом жизни людей. Например, Блез Паскаль - физик, математик, философ, писатель. Человек поразительных интеллектуальных способностей, проявившихся уже в раннем детстве.Именно треугольник Паскаля дает нам представление о красоте геометрии в целом, ведь треугольникнеисчерпаем. Постоянно открываются его новые свойства. Данное исследование раскрывает свойства замечательных точек в треугольнике.Самым удивительным из них является то, что некоторые из замечательных точек связаны друг с другом определенными соотношениями.

Предметы окружающего нас мира обладают определенными свойствами, изучением которых занимаются различные науки.

Меня заинтересовали так называемые «замечательные точки треугольника».

После прочтения литературы по данной теме, я зафиксировала для себя определения и свойства замечательных точек треугольника. Но на этом моя работа не закончилась, и мне захотелось самой исследовать эти точки.

Поэтому цель данной работы – изучение некоторых замечательных точек и линий треугольника, применение полученных знаний к решению задач. В процессе достижения поставленной цели я поставила следующие задачи:

1.      Подобрать и изучитьнеобходимый материал из различных источников информации, литературы;

2.      Углубить представления о треугольнике, изучить основные свойства замечательных точек и линий треугольника;

3.      Научиться строить замечательные точки треугольника;

4.      Познакомиться с приемами построения прямойЭйлера.

1.      Теоретическая часть

1.1 Из истории замечательных точек треугольника

Геометрия - это раздел математики, который рассматривает различные фигуры и их свойства, своими корнями уходит в далёкое прошлое.

В четвертой книге «Начал» Евклид решает задачу: «Вписать круг в данный треугольник». Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке - центре описанного круга. В «Началах» не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово «ортос» означает «прямой», «правильный»). Это предложение было, однако, известно Архимеду. Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника.

На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и,  начиная с XVIII века, они были названы «замечательными» или «особенными» точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – «геометрии треугольника» или «новой геометрии треугольника», одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер.

В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже «прямой Эйлера». В двадцатых годах XIX века французские математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности. Эта окружность называется «окружностью девяти точек», или «окружностью Фейербаха», или «окружностью Эйлера». К. Фейербах установил,  что центр этой окружности лежит на прямой Эйлера.

2.      Практическая часть

2.1 Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Серединный перпендикуляр – это прямая, проходящая через середину отрезка, перпендикулярно к нему. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов и обратно, если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника.

Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центром является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Экспериментальным путём я определила, что центр описанной окружности не всегда лежит внутри треугольника.

Далее следует отметить, что центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный;на середине гипотенузы, если он прямоугольный.

остроугольный	тупоугольный	прямоугольный

 

2.2 Точка пересечения биссектрис треугольника

Характеристическая особенность точек лежащих на биссектрисе угла: точка, лежащая на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.

Верно и обратное утверждение: если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Вывод: таким образом, если точка О- точка пересечения биссектрис углов треугольника, то OЕ=OD= OF=r, т.е. точка О равноудалена от всех сторон треугольника АВС, значит, она является центром вписанной окружности. Точка О- пересечения биссектрис углов треугольника – замечательная точка треугольника.

2.3 Точка пересечения медиан треугольника (центроид)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин.

Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом или центром тяжести треугольника. Это название связано с тем, что именно в этой точке находиться центр тяжести однородной треугольной пластины.

2.4 Точка пересечения высот треугольника (ортоцентр)

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

2.5 Окружность девяти точек

Пусть в треугольнике ABC (рис. 8), H – точка пересечения высот треугольника; точки A₁, B₁, C₁ обозначают основания высот; A₂, B₂, C₂ – середины соответствующих сторон; A₃, B₃, C₃ – середины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁. Тогда точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂, A₃, B₃, C₃ лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.

Действительно, A₃B₂ – средняя линия треугольника AHC и, следовательно, A₃B₂ || CC₁. B₂A₂ – средняя линия треугольника ABC и, следовательно, B₂A₂ || AB. Так как CC₁ ┴ AB, то A₃B₂A₂ = 90°. Аналогично, A₃C₂A₂ = 90°. Поэтому точки A₂, B₂, C₂, A₃ лежат на одной окружности с диаметром A₂A₃. Так как AA₁ ┴BC, то точка A₁также принадлежит этой окружности. Таким образом, точки A₁ и A₃ лежат на окружности, описанной около треугольника A2B2C2. Аналогичным образом показывается, что точки B₁ и B₃, C₁ и C₃ лежат на этой окружности. Значит, все девять точек лежат на одной окружности.

2.6 Прямая Эйлера

В треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

При этом центр окружности девяти точек лежит посередине между центром пересечения высот и центром описанной окружности. Действительно, пусть в треугольнике ABC (рис. 9), точка O – центр описанной окружности; G – точка пересечения медиан. H точка пересечения высот. Требуется доказать, что точки O, G, H лежат на одной прямой и центр окружности девяти точек N делит отрезок OH пополам.

Заключение

Геометрия треугольника, наравне с другими разделами элементарной математики, дает возможность почувствовать красоту математики вообще и может стать для кого-то началом пути в «большую науку».

Геометрия - удивительная наука. Ее история насчитывает ни одно тысячелетие, но каждая встреча с ней способна одарить и обогатить (как ученика, так и учителя) волнующей новизной маленького открытия, изумляющей радостью творчества. Действительно, любая задача элементарной геометрии является, по существу, теоремой, а ее решение – скромной (а иногда и огромной) математической победой.

Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии. Школьная геометрия только тогда может стать интересной и содержательной, только тогда может стать собственно геометрией, когда в ней появляется глубокое и всестороннее изучение треугольника. Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения - никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.

В данной работе были рассмотрены свойства биссектрис, медиан, серединных перпендикуляров и высот треугольника, расширено число замечательных точек и линий треугольника, сформулированы и доказаны теоремы.

Представленный материал может быть использован как на основных уроках, так и на факультативных занятиях.

Список литературы

1.      Берже М. Геометрия в двух томах – М: Мир, 1984.

2.      Киселёв А. П. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1980.

3.      Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978.

4.      АтаносянЛ.А. Геометрия 7 - 9. – Москва: Мнемозина, 2016.

5.      Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – М.: Наука, 1986. – Ч. 1.

6.      Сканави М. И. Математика. Задачи с решениями. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1998.

7.      Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии: Планиметрия. – М.: Наука, 1986.