Проект по математике на тему "Числовая линия в ШКМ" 7 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение

 средняя общеобразовательная школа № 1

 р.п. Чунский Иркутской области

Проект по математике

на тему:

«Числовая линия в ШКМ»

Выполнила: Маткаримов С.,

обучающийся 7 «б» класса

                                                                      Руководитель: Филатникова М.В.,

учитель математики

2016 год

Оглавление

Понятие числовой линии. 3

История возникновения. 3

Доисторические времена. 3

Появление письменности. 4

Появление арифметики. 4

Введение отрицательных чисел. 5

Введение действительных чисел. 6

Введение комплексных чисел. 6

Числовые множества. 7

Изучение чисел в школьном курсе математики (ШКМ) 9

Круги Эйлера для видов чисел. 10

Понятие числовой линии

Базовое понятие числовой линии – число есть фундаментальное понятие математики, является первоначальным, неопределяемым понятием. В школьных курсах содержание этого понятия раскрывается в процессе последовательного расширения. Учащиеся должны знать, как и какие потребности человеческой практики привели к возникновению и последовательному расширению понятия числа.

Иными словами, числовая линия- это процесс расширения понятия числа, от натуральных до комплексных.

Что же такое число?

Число́ — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

История возникновения

Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и усложнялось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании. Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более усложняясь. Позже число становится основным понятием математики, и потребности этой науки определяют дальнейшее развитие этого понятия.

Доисторические времена

Считать предметы человек умел ещё в глубокой древности, тогда и возникло понятие натурального числа. На первых ступенях развития понятие отвлечённого числа отсутствовало. В те времена человек мог оценивать количества однородных предметов, называемых одним словом, например "три человека", "три топора". При этом использовались разные слова "один" "два", "три" для понятий "один человек", "два человека", "три человека" и "один топор", "два топора", "три топора". Это показывает анализ языков первобытных народностей. Такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием "много". Разные слова для большого количества предметов разного рода существуют и сейчас, такие, как "толпа", "стадо", "куча". Примитивный счёт предметов заключался «в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона»^[3], которым у большинства народов являлись пальцы ("счёт на пальцах"). Это подтверждается лингвистическим анализом названий первых чисел. На этой ступени понятие числа становится не зависящим от качества считаемых объектов.

Появление письменности

Возможности воспроизведения чисел значительно увеличились с появлением письменности. Первое время числа обозначались чёрточками на материале, служащем для записи, например папирус, глиняные таблички, позже стали применяться специальные знаки для некоторых чисел (сохранившиеся до наших дней "римские цифры") и знаки для больших чисел. О последних свидетельствуют вавилонские клинописные обозначения или знаки для записи чисел в кириллической системе счисления. Когда в Индии появилась позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков (цифр), это стало большим достижением человека.

Осознание бесконечности натурального ряда явилось следующим важным шагом в развитии понятия натурального числа. Об этом есть упоминания в трудах Евклида и Архимеда и других памятниках античной математики 3 века до н. э. В "Началах" Евклид устанавливает безграничную продолжаемость ряда простых чисел. Здесь же Евклид определяет число, как “множество, составленное из единиц. Архимед в книге "Псаммит" описывает принципы для обозначения сколь угодно больших чисел.

Появление арифметики

Со временем начинают применяться действия над числами, сначала сложение и вычитание, позже умножение и деление. В результате длительного развития сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от рассматриваемых предметов, о том, что, например, два предмета и три предмета составляют пять предметов независимо от характера этих предметов. Когда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства и создавать методы решения задач, тогда начинает развиться арифметика — наука о числах. Потребность в изучении свойств чисел как таковых проявляется в самом процессе развития арифметики, становятся понятными сложные закономерности и их взаимосвязи, обусловленные наличием действий, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных чисел и так далее. Тогда появляется раздел математики, который сейчас называется теория чисел. Когда было замечено, что натуральные числа могут характеризовать не только количество предметов, но и ещё могут характеризовать порядок предметов, расположенных в ряд, возникает понятие порядкового числа. Вопрос об обосновании понятия натурального числа, столь привычного и простого, долгое время в науке не ставился. Только к середине 19 века под влиянием развития математического анализа и аксиоматического метода в математике, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Введение в употребление дробных чисел было вызвано потребностью производить измерения и стало исторически первым расширением понятия числа.

Введение отрицательных чисел

В Средние века были введены отрицательные числа, с помощью которых стало легче учитывать долг или убыток. Необходимость введения отрицательных чисел была связана с развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Отрицательные числа систематически применялись при решении задач ещё в 6—11 веках в Индии и истолковывались примерно так же, как это делается в настоящее время.

После того, как Декарт разработал аналитическую геометрию, позволившую рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, что окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, отрицательные числа окончательно вошли в употребление в европейской науке.

 

 

 

Введение действительных чисел

Ещё в Древней Греции в геометрии было совершено принципиально важное открытие: не всякие точно заданные отрезки соизмеримы, другими словами, не у каждого отрезка длина может быть выражена рациональным числом, например сторона квадрата и его диагональ. В "Началах" Евклида была изложена теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. В Древней Греции умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия в геометрической форме. Хотя греки обращались с такими отношениями, как с числами, они не осознали, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как число. Это было сделано в период зарождения современной математики в 17 веке при разработке методов изучения непрерывных процессов и методов приближённых вычислений. И. Ньютон во "Всеобщей арифметике" даёт определение понятия действительного числа: "Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу". Позже, в 70 годах 19 века, понятие действительного числа было уточнено на основе анализа понятия непрерывности Р. Дедекиндом, Г. Кантором и К. Вейерштрассом.

Введение комплексных чисел

С развитием алгебры возникла необходимость введения комплексных чисел, хотя недоверие к закономерности пользования ими долго сохранялось и отразилось в сохранившемся до сих пор термине "мнимое". Уже у итальянских математиков 16 века (Дж. Кардано, Р. Бомбелли), в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней, возникла идея комплексного числа. Дело в том, что даже решение квадратного уравнения, в том случае, если уравнение не имеет действительных корней, приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Казалось, что задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, не имеет решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось, что в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными, по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных чисел.

После установления в конце XVIII века геометрического истолкования комплексных чисел в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных чисел в теории алгебраических уравнений, в особенности после знаменитых работ Л. Эйлера и К. Гаусса, комплексные числа были признаны математиками и начали играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Значение комплексных чисел особенно возросло в 19 веке в связи с развитием теории функций комплексного переменного.

Числовые множества

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается N {1, 2, 3, 4, 5…}. То есть  N  {0,1, 2, 3, 4,…}, (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть  N= {0,1,2,3,..}.     Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Важным подмножеством натуральных чисел являются простые числа. Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Ряд простых чисел начинается так: { 2,3,5,7,11,13,17,...}.

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством чисел противоположных натуральным и нулём, обозначаются {Z} = {...-2,-1,0,1,2,...}. Любое целое число можно представить как разность двух натуральных. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления). Такая алгебраическая структура называется кольцом.

Рациональные числа — числа, представимые в виде дроби m/n (n ≠ 0), где m — целое число, а n — натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q.

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается R. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, включает множество иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых.

Комплексные числа  C, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде { z=x+iy}, где i —  мнимая единица, для которой выполняется равенство { i^{2}=-1}. Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других.   Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

 

Изучение чисел в школьном курсе математики (ШКМ)

         Изучая процесс изучения чисел в ШКМ, я понял, что рассказать о числах довольно сложно. Поэтому я решил составить схему, в которой отражена последовательность изучения различных видов чисел.

 

Опираясь на эту схему, можно сделать вывод: для школьника изучение новых чисел заканчивается только в 8 классе.

Круги Эйлера для видов чисел

Как же все виды чисел связанны между собой? На этот вопрос ответить довольно трудно, но если использовать хитрость, то все становится проще. Нашей хитростью станут Круги Эйлера.

Круги́ Э́йлера  — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Именно с помощью них можно наглядно рассмотреть какие числовые множества связаны, а какие нет.

N – натуральные числа

Z – целые числа

Q – рациональные числа

R – действительные числа

C – комплексные числа

Описание данной схемы выглядит так:

«Самое обширное множество чисел – это комплексные числа, любое число математики можно назвать комплексным, так все они находятся внутри этого множества. Первым подмножеством становятся действительные числа, их круг более мал, но не менее важен. Внутри множества действительных чисел находятся рациональные, внутри рациональных целые, а внутри целых натуральные числа.»

По схеме видно, что натуральные числа – это самое маленькое множество, но даже оно содержит в себе бесконечное количество чисел. Зная это можно сказать, в мире математике существует бессчётное количество чисел и все их никогда не сосчитать.

Речь для защиты проекта «Язык математики»

Аникеева Ирина

 Слайд 1: Здравствуйте, меня зовут Маткаримов Саша, я ученик 7 «б» класса. И сегодня я хочу представить вам проект по математике на тему «Числовая линия в школьном курсе математики».

Слайд 2: Что же такое число?  Число́ — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

Слайд 3: Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и усложнялось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании. Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более усложняясь. Позже число становится основным понятием математики, и потребности этой науки определяют дальнейшее развитие этого понятия.

Слайд 4: Считать предметы человек умел ещё в глубокой древности, тогда и возникло понятие натурального числа. Возможности воспроизведения чисел значительно увеличились с появлением письменности. Первое время числа обозначались чёрточками на материале, служащем для записи, например папирус, глиняные таблички, позже стали применяться специальные знаки для некоторых чисел и знаки для больших чисел. Со временем начинают применяться действия над числами, сначала сложение и вычитание, позже умножение и деление. В результате длительного развития сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от рассматриваемых предметов, о том, что, например, два предмета и три предмета составляют пять предметов независимо от характера этих предметов. В Средние века были введены отрицательные числа, с помощью которых стало легче учитывать долг или убыток. Необходимость введения отрицательных чисел была связана с развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач. С развитием алгебры возникла необходимость введения комплексных чисел, хотя недоверие к закономерности пользования ими долго сохранялось и отразилось в сохранившемся до сих пор термине "мнимое". Так начиная с древних времен и до 16 века появились все известные на сегодняшний день числовые множества. Давайте их рассмотрим.

Слайд 5: Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается буквой N. К ним относятся числа пригодные для счета реальных предметов: 1,2,3,4,5 и так далее.

Слайд 6: Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством чисел противоположных натуральным и нулём, обозначаются буквой Z.

Слайд 7:  Рациональные числа – это объединение целых чисел и всех известных конечных дробей. Они обозначаются буквой Q.

Слайд 8: так же есть действительные и комплексные числа, понять которые семиклассник не может, но упомянуть их нужно, для того чтобы иметь представление насколько много различных чисел существует в математике.

Слайд 9: Изучая процесс изучения чисел в школьном курсе математики, я понял, что рассказать о числах довольно сложно. Поэтому я решил составить схему, в которой отражена последовательность изучения различных видов чисел. По этой схеме видно что процесс изучения чисел начинается с самого детства с натуральных чисел. Затем в 6 классе изучаются отрицательные числа из множества целых и дроби из множества рациональных. Затем лишь в 8 класса изучаются действительные числа. А множество комплексных чисел не изучается вообще.

Слайд 10: Как же все виды чисел связанны между собой? На этот вопрос ответить довольно трудно, но если использовать хитрость, то все становится проще. Нашей хитростью станут Круги Эйлера.

Круги́ Э́йлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. Именно с помощью них можно наглядно рассмотреть какие числовые множества связаны, а какие нет.

Слайд 11: (ВЫУЧИТЬ НАИЗУСТЬ!!!!!)  «Самое обширное множество чисел – это комплексные числа, любое число математики можно назвать комплексным, так все они находятся внутри этого множества. Первым подмножеством становятся действительные числа, их круг более мал, но не менее важен. Внутри множества действительных чисел находятся рациональные, внутри рациональных целые, а внутри целых натуральные числа.»

По схеме видно, что натуральные числа – это самое маленькое множество, но даже оно содержит в себе бесконечное количество чисел. Зная это можно сказать, в мире математике существует бессчётное количество чисел и все их никогда не сосчитать.