Проект по математике на тему: "Доли и дроби"

        

                              Содержание

I Часть. Теоретическая

1.   Общая история возникновения дробей

2.   История возникновения дробей в разных странах.

3.   Дробь и ее виды.

4.   Доля + картинки.

5.   Задачи на нахождение доли числа и числа по его доли с решением.

6.   Задачи на проценты с решением.

7.   Анализ трех программ.

II Часть. Исследовательская

Анализ программ:

1) УМК «Начальная школа XXI века»
2) УМК «Школа – 2100»
3) УМК « Перспектива»

Список литературы

ЧАСТЬ I.

Теоретическая
 
                   ОБЩАЯ ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ДРОБЕЙ

Необходимость в дробных числах возникла у человека на весьма ранней стадии развития. Уже дележ добычи, состоявший из нескольких убитых животных, между участниками охоты, когда число животных оказывалось не кратным числу охотников, могло привести первобытного человека к понятию о дробном числе.

Наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удаётся выразить натуральным числом, приходится учитывать и части употребляемой меры. Исторически дроби возникли в процессе измерения. Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

В связи с этой необходимой работой люди стали употреблять выражения: половина, треть, два с половиной шага. Откуда можно было сделать вывод, что дробные числа возникли как результат измерения величин. Народы прошли через многие варианты записи дробей, пока не пришли к современной записи.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ДРОБЕЙ В РАЗНЫХ СТРАНАХ

Дроби в Древней Греции

Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции, только греки знаменатель записывали сверху, а числитель – снизу. Дроби в привычном для нас виде впервые стали записывать индусы около 1500 лет назад, но они не использовали черту между числителем и знаменателем. Черта дроби стала общеупотребительной лишь с XVIв.   А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

Дроби в Древнем Вавилоне

В древнем Вавилоне предпочитали постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям.

Дроби в Древнем Риме

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

                           
                                 
                                      ДРОБЬ И ЕЁ ВИДЫ

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида   и десятичные.

Виды:
1.Обыкновенные дроби.
Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде или  где Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

2.Правильные и неправильные дроби.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби ,   — правильные дроби, в то время как  ,   — неправильные дроби. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

3.Смешанные дроби.

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например,      В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

4.Высота дроби.

Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби   равна . Высота же соответствующего рационального числа равна  так как дробь сокращается на .

5. Составные дроби.

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

  или     или

6. Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

Пример:

Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

                                                 ДОЛЯ + КАРТИНКИ

Доля — качественно или количественно выраженная часть от чего-нибудь целого.

Доля — старорусская единица измерения массы.

Наглядное представление дроби  

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ДОЛИ ЧИСЛА И ЧИСЛА ПО ЕГО ДОЛИ + РЕШЕНИЕ

Задача 1
Руда содержит в себе 3/5 железа. Сколько железа можно получить из 1 т руды?
Решение:
1) 1000 : 5 = 200
2) 200 * 3 = 600
Ответ: 600 кг.

Задача 2
2/3 отрезка прямой 12 см Чему равен весь отрезок?
Решение:
1) 12 : 2 = 6
2) 6 * 3 = 18
Ответ: 18 см.

Задача 3
При помоле на белую муку отходит в отруби 2/5 веса зерна. Сколько отрубей и сколько белой муки получится при помоле 1 т зерна?
Решение:
1) 1000 : 5 = 200
2) 200 * 2 = 400
3) 5 - 2 = 3
4) 200 * 3 = 600
Ответ: 400 кг. муки и 600 кг. отрубей.

Задача 4
Сколько месяцев содержит 5/6 года?
Решение:
1) 12 : 6 = 2
2) 2 * 5 = 10
Ответ: 10 месяцев.

Задача 5
2/5 кружки сахарного песку весит 100 г. Сколько весит кружка сахарного песку''
Решение:
1) 100 * 5 = 500
2) 500 : 2 = 250
Ответ: 250 грамм.

           
                                ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ С РЕШЕНИЕМ

Задача 1
В классе 20 человек. Контрольную работу по математике 25% учащихся написали на «5», 35 % написали на «4», 10% всех учащихся получили «2». Сколько пятерок, четверок, троек и двоек получил класс?

Решение. 
1)25:100∙20=5 (уч.)- получили «5»

2)35:100∙20=7 (уч.)- получили «4»

3)10:100∙20=2 (уч.) - получили «2»

4)20-(5+7+2)=6 (уч.)

Ответ: оценку «5» получило 5 учащихся; оценку «4» получили 7 учащихся; оценку «3» получило 6 учащихся и оценку «2» получили 2 ученика.

Задача 2

В школьной библиотеке 5000 учебников, что составляет 50 % всех книг, имеющихся в библиотеке. Сколько всего книг в школьной библиотеке?

Решение. 

1) 5000∙2= 10 000 (кн.)

Ответ: всего в библиотеке 10 000 книг.

Задача 3
В бочке объемом 200 литров перевозили масло. На станции отлили 60 литров. Сколько процентов от объёма осталось?
Решение:
200-60=140 (л);
140/200*100%=70 %
Ответ: Осталось 70% объема бочки.

Задача 4
Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?
Решение:
60 % = 0,6 - общее количество насосов
1)500 · 0,6 = 300 насосов высшей категории качества.
Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

Задача 5
В классе 28 учеников. 75% из них занимаются спортом. Сколько учеников в классе занимаются спортом?

Решение. 

1)75:100·28=21(уч.)

Ответ: 21 ученик в классе занимается спортом.

ЧАСТЬ II . ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ

Анализ программ

                         УМК: «Начальная школа XXI века»

Авторы: Рудницкая В.Н., Кочурова Е.Э., Рыдзе О.А., Юдачёва Т.В.

В УМК нет четких понятий о долях и дроби. Данные темы начинают изучаться во 2 классе. На темы отводится 9 часов.
Темы: «Половина числа», «Треть числа», «Четвертая часть числа», «Пятая часть числа», «Шестая часть числа», «Седьмая часть числа», «Восьмая часть числа» , «Девятая часть числа» , « Нахождение нескольких частей числа». Нам кажется, что для детей – это довольно сложно, но вместе с этим дети получают огромный багаж знаний, научатся решать сложные задачи и логически размышлять.

Формируемые УУД:

КУУД:
•планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками — определение цели, функций участников, способов взаимодействия;
•постановка вопросов — инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;
•умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;
•владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, современных средств коммуникации.

РУУД:
•целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что ещё неизвестно;
•планирование — определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата; составление плана и последовательности действий;
•прогнозирование — предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик;
•контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;
ЛУУД:
Смыслообразование – формирование ценностных ориентиров и смыслов учебной деятельности на основе:
•развития познавательных интересов, учебных мотивов;

ПУУД:
Общеучебные универсальные действия:
•самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;
•поиск и выделение необходимой информации
•структурирование знаний;
•осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;
•выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;
•рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;
•знаково-символические действия:
моделирование
Логические универсальные действия:
•анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);
•синтез — составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов;
•выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;
•подведение под понятие, выведение следствий;
•установление причинно-следственных связей, представление цепочек объектов и явлений;
•построение логической цепочки рассуждений, анализ истинности утверждений;
•доказательство;
•выдвижение гипотез и их обоснование.

Постановка и решение проблемы:
•формулирование проблемы;
•самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

Результаты:
1.Выполнять устный счет при нахождении долей
2.Выполнять письменно сложение ,вычитание долей и дробей
3.Выполнять проверку вычислений
4.Решать задачи с долями и дробями
5.Знать несколько видов дробей

                                         УМК: «Школа 2100»

Авторы: Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.

Изучение темы «Доли» в УМК «Школа 2100» изучается в 3 классе. В 3 классе отводится 5 часов, где изучаются 4 темы: «Доли», «Нахождение доли числа» , «Сравнение долей» , «Нахождение числа по доле». Чтобы закрепить данную тему в учебнике есть тема « Решения задач». 
Учебник очень красочен и разнообразен различными картинками и схемами, поэтому детям очень интересно выполнять различные задания из этого учебника.       

 Тема «Дроби» в УМК «Школа 2100» начинают изучать с 4 класса в 1 четверти в разделе:  «Числа от 1 до 1 000» .
Всего отводится 9 часов на данную тему. Всего 8 тем: «Дроби. Нахождение части числа»,« Нахождение числа по его части», «Нахождение части числа», «Нахождение числа по его части», «Сравнение дробей» , «Сложение дробей с одинаковыми знаменателями», «Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями», «Какую часть одно число составляет от другого».
Для закрепления материала предлагается тема «Решение задач».

Формируемые УУД:

КУУД:
•планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками — определение цели, функций участников, способов взаимодействия;
•умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;
•владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, современных средств коммуникации.

РУУД:
•целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что ещё неизвестно;
•планирование — определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата; составление плана и последовательности действий;
•прогнозирование — предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик;
•контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;
ЛУУД:
Смыслообразование – формирование ценностных ориентиров и смыслов учебной деятельности на основе:
•развития познавательных интересов, учебных мотивов;

ПУУД:
Общеучебные универсальные действия:
•самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;
•поиск и выделение необходимой информации
•структурирование знаний;
•осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;
•выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;
•рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;
Логические универсальные действия:
•анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);
•синтез — составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов;
•выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;
•подведение под понятие, выведение следствий;
•установление причинно-следственных связей, представление цепочек объектов и явлений;
•построение логической цепочки рассуждений, анализ истинности утверждений;
•доказательство;

Постановка и решение проблемы:
•формулирование проблемы;
•самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

Результаты:

1)Самостоятельно определять и высказывать самые простые, общие для всех людей правила поведения при совместной работе и сотрудничестве
2)В предложенных педагогом ситуациях общения и сотрудничества, опираясь на общие для всех простые правила поведения, самостоятельно делать выбор, какой поступок совершить.
3) Средством достижения этих результатов служит учебный материал и задания учебника, нацеленные на 2-ю линию развития – умение определять своё отношение к миру.
4)Выполнять устный счет при нахождении долей
5)Выполнять письменно сложение ,вычитание долей и дробей
6)Выполнять проверку вычислений
7)Решать задачи с долями и дробями
8)Знать несколько видов дробей

                                                       УМК: «Перспектива»

Автор: Дорофеев Г.В

Изучение темы «Доли и дроби» начинается с 4 класса с раздела «Числа, которые больше 1000 . Самая первая тема в данном разделе:  «Доли и дроби». На данную тему отводится 3 часа. Темы распределены не по порядку. Тема доли и дроби идет первая в разделе. Следующая тема «Нахождение дроби от числа» идёт перед темой «Деление и умножение чисел, оканчивающиеся нулями». Тема «Нахождение числа по его дроби» идет перед темой «Шар». В конце раздела есть задания на повторение и самоконтроль, куда включены задания из данных тем. Дети хорошо могут усвоить материал. Минусы состоят в том, что учебный материал не распределен не по порядку, и в этом могут возникнуть некоторые трудности.

Формируемые УУД:

КУУД:
•планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками — определение цели, функций участников, способов взаимодействия;
•умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;
•владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, современных средств коммуникации.

РУУД:
•целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что ещё неизвестно;
•планирование — определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата; составление плана и последовательности действий;
•прогнозирование — предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик;
•контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;
ЛУУД:
Смыслообразование – формирование ценностных ориентиров и смыслов учебной деятельности на основе:
•развития познавательных интересов, учебных мотивов;

ПУУД:
Общеучебные универсальные действия:
•самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;
•поиск и выделение необходимой информации
•структурирование знаний;
•осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;
•выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;
•рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;
Логические универсальные действия:
•анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);
•синтез — составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов;
•выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;
•подведение под понятие, выведение следствий;
•установление причинно-следственных связей, представление цепочек объектов и явлений;
•построение логической цепочки рассуждений, анализ истинности утверждений;
•доказательство;

Постановка и решение проблемы:
•формулирование проблемы;
•самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

Результаты:
1) Самостоятельность мышления; умение устанавливать, с какими учебными задачами ученик может самостоятельно успешно справиться;
2) Готовность и способность к саморазвитию;
3) Называть и обозначать дробью доли предмета, разделённого на равные части;
4) Моделировать ситуации, требующие умения находить доли предмета
5)Заинтересованность в расширении и углублении получаемых математических знаний;
6)Умение использовать получаемую подготовку, как в учебной деятельности, так и при решении практических задач, возникающих в повседневной жизни;
7)Способность преодолевать трудности, доводить начатую работу до её завершения;
8) Понимать, что такое дробь, числитель и знаменатель
9) Решать задачи с использованием дробей.

                                                  Список литературы

1)Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. – М., Просвещение, 2010.
2) Учебно-методический комплект (УМК) «Школа 2100» - Математика. 1-4 класс. Авторы: Демидова Т.Е, Козлова С.А., Тонких А.П;

3) Учебно-методический комплект (УМК) «Начальная школа XXI века» - Математика. 1-4 класс. Авторы: Рудницкая В.Н.

4) Учебно-методический комплект (УМК) «Перспектива»- Математика. 1-4 класс. Авторы: Дорофеев Г.

Список электронных источников
1)http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_12_0.php
2)http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm
3)http://allbest.ru/k-2c0b65625a3ac78b5c53b89521206c27...
4)https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Доля