Проект по математике на тему "Математические иллюзии"

МБОУ «Гимназия №4» г. Брянска

УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ

по математике

на тему

«В мире математических иллюзии»

выполнила ученица 6-а класса

Сидорова Вера

куратор проекта

Мороко С.В.

Брянск 2016г.

Оглавление

1.                 Общее представление об иллюзиях.

2.                  

3.                  

4.                  

5.                  

6.                  

7.                  

8.                  

9.                  

10.             

11.             

12.             

13.             

Паспорт проекта

Цель: Познакомиться с одним из способов восприятия окружающего мира – изучение иллюзий

Задачи: 1) рассмотреть понятие иллюзии; 2) выяснить причины возникновения иллюзий; 3) собрать коллекцию иллюзий; 4) показать значимость точных математических законов; 5) показать применение иллюзий в работе художника.

 Проектная идея.

 Зрительные иллюзии можно объяснить с помощью математических законов.
А «волшебство» зрительных иллюзий  обосновать математически.

Причина выбора темы.

Часто взрослые, отвечая на мои вопросы, говорят мне: «Это же  очевидно!». Потом я и сама часто стала так думать. Например, зачем доказывать на уроке математики равенство двух нарисованных треугольников, если видно зрительно, что они равны?

Своими сомнениями поделилась с родителями. На что услышала странный ответ: «Не верь глазам своим!  Они попросили меня нарисовать домик. Я нарисовала дом. И вот вопрос: «Почему в твоем доме углы не прямые?» Я удивилась: «На моем рисунке дом в форме прямоугольного параллелепипеда. У него все углы прямые!» Но, измерив транспортиром углы моего нарисованного домика, я увидела, что действительно углы не прямые. А рисунок мой – иллюзорный обман.

Мне стало интересно, что же это за обман-иллюзия и как это происходит? Я занимаюсь в художественной школе и знаю, что эти математические секреты часто использовались многими художниками. Я заинтересовалась и этим вопросом и нашла информацию об М.Эшере – художнике, который в своем творчестве использовал всевозможные математические иллюзии.

1.                  Проектные шаги:

Ø    Шаг первый.            Изучение теории вопроса.

Ø    Шаг второй.             Подбор коллекции иллюзий.

Ø    Шаг третий.             Изучение биографии М.Эшера.

Ø    Шаг четвертый.        Создание презентации.

                              .

2.                  Проектный продукт – коллекция иллюзий, презентация на тему.

3.                  Полезность проекта. Мой проект можно использовать на уроках математики в качестве дополнительного прикладного материала.

4.                  Самоанализ проектной деятельности. Мне было интересно и одновременно трудно работать над проектом. Трудность заключалась в работе с материалом, т.к. используется много непонятных понятий, специальных математических и геометрических терминов. Еще понятие иллюзии очень многогранное. Есть много причин возникновения и разновидностей иллюзий. Но каждую из них имеет признаки не одного, а нескольких видов иллюзий, например, оптической и математической одновременно. Тяжело было выделить именно математические. И все равно не обошлось без отступления от темы в сторону общих понятий.

Еще было много фамилий ученых и их гипотез относительно иллюзий. В работе я частично ссылаюсь на  них.

  Горе тому, кто отдает свое сердце 

                   иллюзии — этой единственной реальности

 на земле, но горе и тому, кто этого не делает.

Одного ждут разочарование и боль,

другого — запоздалые сожаления.

Теодор Драйзер.

Что такое иллюзия?

            Иллю́зия (лат. illusio — ошибка, обман), это: обман чувств, нечто кажущееся, то есть искажённое восприятие реально существующего объекта, допускающее неоднозначную интерпретацию; программный номер иллюзиониста; в переносном смысле, как нечто несбыточное, мечта.

             Иллюзии - это искаженное, неадекватное отражение свойств воспринимаемого объекта.

Давайте зададимся вопросом: Что такое обман зрения? Скорее всего ответите вы на этот вопрос  так: обман зрения-это когда мы видим то, чего нет на самом деле. И мы очень часто встречаемся с этим в жизни.

Взгляните на представленную  сбоку   картинку. Внимательно смотрите на точку (в середине картинки)и в этот момент двигайте головой назад и вперед  . Вы увидите ,что круги вращаются, это ОБМАН ЗРЕНИЯ.

Часто обман зрения – иллюзию можно обосновать математически.

Учёные объясняют, что основными причинами возникновения оптических иллюзий является:

1. Наши глаза так воспринимают идущий от предмета свет, что в мозг приходит ошибочная информация;

2. Нарушения происходят уже во время передачи по нервным путям к мозгу.

3. Мозг не всегда правильно реагирует на сигналы, проходящие от глаз.

Разновидности иллюзий восприятия:

·             Физические — связаны с действующими в мире объективными законами физики (например, оптическая иллюзия: чайная ложка, погруженная в стакан с водой, воспринимается как надломленная).

·             Оптические иллюзии — ошибки в зрительном восприятии, вызванные неточностью или неадекватностью процессов не осознаваемой коррекции зрительного образа (например, если рассматривать какой-либо объект через псевдоскоп, то, вследствие создаваемой прибором отрицательной диспаратности, человек получает возможность наблюдать эффекты обратной перспективы)

·             Звуковые иллюзии, например, тон Шепарда.

·             Физиологические — связаны с особенностями периферических или центральных звеньев анализаторов (органов чувств) человека (например, если несколько раз поднять одновременно обеими руками пару различных по массе предметов, а затем другую пару предметов одинаковой массы, то предмет, оказавшийся в руке, в которой до того был более легкий, покажется более тяжелым, чем предмет, находящийся в другой руке).

·             Аффективные — возникают под влиянием выраженных колебаний настроения или в связи с остроформирующимся аффектом страха, тревоги.

·             Вербальные — возникают в результате искажённого восприятия реальных разговоров окружающих людей.

·             Органические (метаморфопсии) — искаженное зрительное восприятие формы, величины, цвета, пространственного расположения, состояния покоя или движения реально существующего предмета; различают аутометаморфопсии (ощущения изменения величины, формы частей собственного тела) и экзометаморфопсии(нарушения восприятия окружающих предметов); данный вид расстройств восприятия может наблюдаться не только у психически больных, но и у психически здоровых людей с патологией органа зрения.

·             Иллюзии осознаваемости (воплощенной осознаваемости) — ощущение, что рядом якобы кто-то находится; этот вид иллюзий выделен К. Ясперсом; по мнению автора, данный вид иллюзий является признаком формирования галлюцинаций и бреда.

·             Парейдолические (функциональные иллюзии) — особый вид иллюзий, при которых из сложных узоров (на ковре, зимнем стекле) возникают и постепенно развиваются сложные фантастические картины.     

Как человек воспринимает окружающий мир? Человек воспринимает большую часть информации об окружающем мире благодаря зрению, но мало кто задумывается о том, как именно это происходит. Чаще всего глаз считают похожим на фотоаппарат или телекамеру, проецирующую внешние объекты на сетчатку, которая является светочувствительной поверхностью. Мозг "смотрит" на эту картинку и "видит" все, что нас окружает. Однако не все так просто.

 Во-первых, изображение на сетчатке перевернуто. Во-вторых, из-за несовершенных оптических свойств глаза картинка на сетчатке расфокусирована или размазана. В-третьих, глаз совершает постоянные движения, то есть изображение находится в постоянной динамике. В-четвертых, глаз моргает приблизительно 15 раз в минуту, а это значит, что изображение через каждые 5-6 секунд перестает проецироваться на сетчатку.

Изучив литературу, я выяснила, что человек видит таким образом:
1. Свет проходит сквозь роговицу и зрачок к хрусталику.
2. Затем он проходит через хрусталик и жидкость, заполняющую глазное яблоко, и попадает на сетчатку.
3. Сетчатка принимает световой импульс и передает его зрительному нерву.
4. Зрительный нерв посылает сигнал мозгу.
5. Мозг переводит сигнал в зрительный образ.

Так что же все таки "видит" мозг? Существует много научных направлений, которые, используя различные экспериментальные методики, пытаются понять, каким образом мы воспринимаем окружающий мир. Один из самых интересных способов изучения - исследование зрительных иллюзий.

Оптических иллюзий огромное количество:

§  Зрительные искажения

§  Кажущиеся фигуры

§  Невозможные фигуры

§  Перевёрнутые картинки

§  Двойственные изображения

§  Парейдолические иллюзии

§  Иллюзии движения

§  Иллюзии цвета и контраста

§  Иллюзии восприятия глубины

В своей же работе я уделю внимание иллюзиям математическим

Вот такую коллекцию мне удалось собрать:

 

Вертикально-горизонтальная иллюзия (Иллюзия Вундта - Фика )

У изображённой Т – образной фигуры вертикальная линия кажется длиннее горизонтальной. На самом деле они равны.

 

Иллюзия восприятия размера

Интересный факт:

Ещё во времена античности людей приводил в замешательство тот факт, что на горизонте луна и солнце кажутся больше, чем когда они находятся высоко в небе. Этот обман зрения получил название иллюзии луны. Весь эффект состоит в том, что наличие земли создает впечатление, что луна у горизонта находится дальше, чем луна в зените, так как заполненное пространство между наблюдателем и горизонтом создает впечатление большей протяженности, чем незанятое пространство между наблюдателем и небом над головой. Поэтому нам кажется, что луна на горизонте выглядит больше, чем взошедшая луна.

Мы вообще привыкли, что все удаляющиеся к горизонту предметы уменьшаются на сетчатке по своим линейным размерам: люди, поезда, облака, самолеты...

Иллюзия Мюллера-Лайера – очень известная  иллюзия. Она известна уже более ста лет: к концам двух равных по длине отрезков пририсованы стрелки, к одной - расходящиеся в разные стороны, а к другой - сходящиеся навстречу друг другу. Посмотрев на этот рисунок, большинство наблюдателей скажет, что левый отрезок со стрелочками наружу длиннее правого со стрелочками, направленными внутрь. Впечатление настолько сильное, что, согласно экспериментальным данным, испытуемые утверждают, что длина левого отрезка на 25-30% превышает длину правого.

 Иллюзия Понцо —оптическая иллюзия, впервые продемонстрированная итальянским психологом Марио Понцо в 1913 году. Он предположил, что мозг человека определяет размер объекта по его фону. Понцо нарисовал два одинаковых отрезка на фоне двух сходящихся линий, наподобие уходящего вдальжелезнодорожного полотна. Верхний отрезок кажется крупнее, поскольку мозг интерпретирует сходящиеся линии какперспективу (как две параллельные линии, сходящиеся на расстоянии). Поэтому мы думаем, что верхний отрезок расположен дальше, и полагаем, что его размер больше. Кроме сходящихся линий силу эффекту добавляет уменьшающееся расстояние между промежуточными горизонтальными отрезками.

 

 Все пары одного размера. Не верите? Можете измерить.

 Какой человечек выше?На самом деле они одинаковые.

 Человек на заднем плане и карлик на переднем - одного роста

Иллюзии часто приводят к совершенно неверным количественным оценкам реальных геометрических величин. Оказывается, что можно ошибиться на 25 % и больше, если глазомерные оценки не проверить линейкой.

Глазомерные оценки геометрических реальных величин очень сильно зависят от характера фона изображения. Это относится к длинам, площадям, радиусам кривизны.

Динамические иллюзии.

 На рисунке мы видим кружки разных размеров. Но если большие кружки будут быстро двигаться вправо, а маленькие медленно влево, то наблюдателю покажется, что плоская картинка превращается в объемную: большие кружки кажутся нам более близкими, чем маленькие.

 

 

Наиболее интересным для меня был материал о художнике, который ловко использовал законы математике в своих работах.

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.

Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу закончить образование, и он стал художником. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и трехмерного пространства.

Мозаики

Эскиз из Альгамбры

Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными  а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.

Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости  подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник.  Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч.

Регулярное разбиение  плоскости птицами	Рептилии	Цикл	Эволюция 1

Логика пространства

Куб с полосками

Под "логикой" пространства здесь понимаются оптические иллюзии.

На литографии "Куб с полосками" выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине.

 

Картины с использованием "невозможных фигур". Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии. Наиболее интересная работа - литография "Водопад" - основана на фигуре невозможного треугольника, В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. (Примечание. Обратите внимание на многогранники, установленные на башнях водопада.)

Использование Эшером различных математических фигур и законов не ограничивается лишь вышеприведенными примерами. Внимательно изучая его картины, можно обнаружить и другие, не упомянутые в данной статье, геометрические тела или визуальную интерпретацию математических законов.

Узлы

Обобщив, собранный материал, полученные знания  можно сделать следующие выводы:

1.       Математические иллюзии показывают, что не всегда можно верить тому, что видишь;

2.       Мы часто полагаем, что реально только то, что у нас перед глазами. Математические иллюзии отражают наличие неочевидного в жизни 

3.       Игры с математическими иллюзиями помогают изменять сознание - мы хитростью заманиваем мозг на новые уровни восприятия, мы начинаем видеть то, чего нет.

4.       Восприятие размера Иллюзии часто приводят к совершенно неверным количественным оценкам реальных   размеров и величин. Оказывается, что можно ошибиться на 25 % и больше, если глазомерные оценки не проверить линейкой.

5.       Математические иллюзии – оригинальный и необычный способ создания достояний живописи.

Заключение: не всегда верьте своему зрению. Нужны математические расчеты измерения и доказательства, чтобы подтвердить истину.

• 1 слайд

  Горе тому, кто отдает свое сердце
  иллюзии — этой единственной реальности
  на земле, но горе и тому, кто этого не делает.
  Одного ждут разочарование и боль,
  другого — запоздалые сожаления.
  Теодор Драйзер.
   
  Математические иллюзии
  

• 2 слайд

  Давайте зададимся вопросом :,,Что такое обман зрения? Скорее всего ответите вы на этот вопрос так: обман зрения-это когда мы видим то, чего нет на самом деле . И мы очень часто встречаемся с этим в жизни.
  
  Взгляните на представленную с боку картинку. Внимательно смотрите на точку(в середине картинки)и в этот момент двигайте головой назад и вперед . Вы увидите ,что круги вращаются, это ОБМАН ЗРЕНИЯ.
  
  Иллюзии – это искаженное, неадекватное отражение свойств воспринимаемого объекта. В переводе с латыни слово «иллюзия» означает «ошибка, заблуждение».
  Часто обман зрения – иллюзию можно обосновать математически.
  

• 3 слайд

  Учёные объясняют, что основными причинами возникновения оптических иллюзий является:
  
  1. Наши глаза так воспринимают идущий от предмета свет, что в мозг приходит ошибочная информация;
  2. Нарушения происходят уже во время передачи по нервным путям к мозгу.
  3. Мозг не всегда правильно реагирует на сигналы, проходящие от глаз.
  
  Причины иллюзий
  

• 4 слайд

  Изучив литературу, я выяснила, что человек видит таким образом:
  1. Свет проходит сквозь роговицу и зрачок к хрусталику.
  2. Затем он проходит через хрусталик и жидкость, заполняющую глазное яблоко, и попадает на сетчатку.
  3. Сетчатка принимает световой импульс и передает его зрительному нерву.
  4. Зрительный нерв посылает сигнал мозгу.
  5. Мозг переводит сигнал в зрительный образ.
  

• 5 слайд

  Оптических иллюзий огромное количество:
  Зрительные искажения
  Кажущиеся фигуры
  Невозможные фигуры
  Перевёрнутые картинки
  Двойственные изображения
  Парейдолические иллюзии
  Иллюзии движения
  Иллюзии цвета и контраста
  Иллюзии восприятия глубины
  …
  
  Ниже я приведу иллюзии, которые объяснимы с помощью математики.
  

• 6 слайд

  Линии параллельны
  Зрительные искажения
  

• 7 слайд

  Квадрат кажется искаженным
  

• 8 слайд

  Кажется, что круги расположены по дуге. На самом деле они все лежат на одной прямой.
  

• 9 слайд

  Вертикально-горизонтальная иллюзия
  У изображённой Т – образной фигуры вертикальная линия кажется длиннее горизонтальной. На самом деле они равны.
  

• 10 слайд

  Круги в центре абсолютно одинаковы
  Иллюзия восприятия размера
  

• 11 слайд

  отрезки одинаковой длины
  

• 12 слайд

  Столбы одинаковы по высоте
  

• 13 слайд

  Все пары одного размера
  Человек на заднем плане и карлик на переднем - одного роста
  Человечки одинаковые
  

• 14 слайд

  Картинки на самом деле не двигаются
  Иллюзия движения
  

• 15 слайд

• 16 слайд

• 17 слайд

  Смотрите в центр и двигайте головой вперед-назад.
  Хотя эта иллюзия возникает даже без движения головой.
  

• 18 слайд

  Не отрывая взгляда от центра круга, подвигайте головой.
  Возникла иллюзия, что узор вокруг шара сдвигается?
  

• 19 слайд

  Если человек, сидя в вагоне поезда, фиксирует взгляд на пейзаже за окном, ему кажется, что объекты, находящиеся ближе точки фиксации, движутся на него.
  Явление двигательного параллакса.
  

• 20 слайд

  Невозможное возможно.
  В далеком 1934 году шведский художник Оскар Реутерсвард изобразил на одном из своих полотен треугольник, составленный из девяти абсолютно одинаковых кубиков. При более внимательном рассмотрении можно заметить противоречия в соединениях элементов фигуры.
  Именно поэтому сей необычный объект и был назван
  «невозможным треугольником» или «трибаром».
  

• 21 слайд

  Интересно, что если прикрыть ладонью хоть один из углов «бешеного» треугольника, то наваждение сразу же пропадает. Можете проверить!
  

• 22 слайд

  Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.
  Иллюзии Эшера
  В процессе своей работы он всевозможным образом разбивал плоскости и трехмерного пространства.
  Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами"
  

• 23 слайд

  Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.
  Мозаики
  

• 24 слайд

  Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости  подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч.
  

• 25 слайд

  Эшер использовал «невозможные фигуры». Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии. Наиболее интересная работа - литография "Водопад" - основана на фигуре невозможного треугольника. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру.
  

• 26 слайд

  Работа Эшера «Куб с полосками».
  Чистый пример оптической иллюзии.
  

• 27 слайд

  Использование Эшером различных математических фигур и законов не ограничивается лишь вышеприведенными примерами. Внимательно изучая его картины, можно обнаружить и другие, геометрические тела или наглядную интерпретацию математических законов.
  

• 28 слайд

  По средствам глаза, а не глазам
  Смотреть на мир умеет разум.
  
  Уильям Блейк
  
  Нет радостей выше тех,
  Которые нам доставляет…
  Изучение истин
  Френсис Бэкон
  
  

• 29 слайд

  Вывод:
  не всегда верьте своему зрению. Нужны математические расчеты измерения и доказательства,чтобы подтвердить истину.