Проект по математике "Практическое применение подобия треугольников "

 МБОУ СОШ № 4 им. Г.К. Жукова

Исследовательская работа по геометрии

 

Научный руководитель:

Шильдкравт Екатерина Викторовна

Автор работы:

ученик 9 «Г» класса

Комаров Даниил Николаевич

г.о. Краснознаменск Московской области, 2019-2020 учебный год

Содержание

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………2

Глава 1. Обзор литературы.

1.1.  Историческая справка …………………………………………………3

1.2.  Основные определения и понятия подобия треугольников..…… ….4

Глава 2. Измерение высоты объекта

2.1.  По длине тени…………………………………………………………..7

2.2.  С помощью шеста…………………………………..………………  …8

2.3.  С помощью зеркала ……………………………………  ……………..9

2.4. Практическая часть ………………………………….…… …................9

Заключение ….…………………………………………………………….12

Список литературы ………………………………………………………13

Введение.

Геометрия есть знание величин, фигур и их границ, а также отношений между ними и производимых над ними операций, разнообразных положений и движений, она начинает с неделимой точки, завершает объемными фигурами и исследованием многообразных различий между ними, и уже после этого от более сложного возвращается к более простому и к началам более сложного.— Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. Ч. II. Гл. 5.

...Вернемся к началу прошлого столетия. Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Всё вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг — всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Воистину, современная цивилизация — это Цивилизация Геометрии. Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых.

На уроках геометрии мы изучили тему  «Подобие треугольников».  В своей работе я тоже хочу рассмотреть принципы применения подобия в реальной жизни на примере подобных треугольников. Актуальность моей темы заключается в том, что без каких - либо инструментов, только опираясь на подобие треугольников, можно измерить высоту столба, колокольни, дерева, ширину реки, озера, оврага, длину острова, глубину пруда и т.д.

Гипотеза:

Если человек знает признаки подобия треугольников, возникает ли необходимость их применять в жизни?

Цель:                                                                                                                                                                              

Найти области применения подобия треугольников в жизни человека.

Задачи:

1.    изучить литературу по данной теме;

2.    изучить историю возникновения понятия подобия;

3.    узнать, где применяется подобие треугольников;

4.    измерить высоту объекта при помощи подобия треугольников одним из способов.

Методы исследования: 

поиск, анализ, математическое моделирование.

Глава 1.

1.1.                   Историческая справка

Обратимся к Википедии.

Геоме́трия (от др.-греч. γεωμετρία, от γῆ — земля и μετρέω — измеряю) — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают написанные в III веке до н. э. «Начала» Евклида.

Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием.

Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Пропорциональность отрезков, образующихся на прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна ещё вавилонским ученым, хотя некоторые приписывают это открытие Фалесу Милетскому. 

По преданию, Фалес измерил высоту египетской пирамиды (предположительно пирамиды Хеопса), применив геометрическую теорему, носящую его имя, — теорему Фалеса.

Дело было так. Фараон привез Фалеса к пирамидам и, желая испытать его, предложил измерить их высоту. Ученый принял вызов. Он воткнул в землю палку, дождался, когда длина тени от палки стала равной ее высоте, и повелел измерить тень от пирамиды, заявив, что высота тени в этот момент равна высоте самой пирамиды.

1.2.  Основные определения и понятия подобия треугольников.

В жизни мы встречаемся не только с равными фигурами, но и с такими, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры. Геометрия называет такие фигуры подобны.

         Некоторые думают, что подобными могут быть только треугольники, но на самом деле совершенно произвольные фигуры могут быть подобны. Подобными могут являться пятиугольники, фигуры-звёзды, фигуры-стрелки, параллелограммы, многоугольники.

У всех подобных фигур одинаковые формы, но разные размеры.

Определение:

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. 

Свойства подобных треугольников:

·       Отношение соответственных линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту их подобия. К таким элементам подобных треугольников относятся те, которые измеряются в единицах длины. Это, например, сторона треугольника, периметр, медиана. Угол или площадь к таким элементам не относятся.

·       Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Признаки подобия треугольников:

·       Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

·       Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

·       Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Глава 2. Измерение высоты объекта

2.1 По длине тени.

В основе этого метода  лежит видоизмененный способ Фалеса, позволяющий использовать тень любой длины.  Для  измерения высоты объекта  необходимо на некотором отдалении от дерева воткнуть в землю шест.

По данным с рисунка мы можем рассчитать высоту статуи:

500 мм х 4000 мм : 350 мм = 5 714 мм или 5 метров 71 см

Ответ: высота статуи 5 м 71 см

2.2 С помощью шеста

         Этот метод был подробно описан в известном, захватывающем, приключенческом романе Жюль Верна «Таинственный остров». Шест длиной приблизительно равный росту человека втыкается в землю отвесно. Место для шеста надо выбрать так, чтобы человек, лежащий на земле, видел верхушку дерева на одной прямой с верхней точкой шеста. Недостаток этого метода состоит в том, что нельзя производить измерения в плохую погоду, т.к. необходимо ложиться на землю и можно испачкаться.

Расчет по данному методу я буду делать в практической части работы.

2.3 С помощью зеркала

         На некотором расстоянии от дерева на ровной земле кладётся зеркало, и отходят от него назад в такую точку, стоя в которой наблюдатель видит верхушку дерева.

∆ ADB подобен ∆FDE, т.к.

∟A = ∟E = 90°

∟BDA = ∟FDE, т.к. угол падения равен углу отражения.

 =  ; FE =

2.4 Практическая часть

Для проведения собственных измерений я решил взять метод с помощью шеста. Во втором случае, будем измерять расстояние до выбранного объекта, зная его высоту.

Все измерения мне помогала проводить мама.

2.4.1 Измерения при помощи шеста

BC - расстояние от лежащего человека до дерева

AC – высота дерева

DE – высота шеста

EB – расстояние от шеста до лежащего человека.

∆АВС подобен ∆DBE  т. к. ∟C = ∟E (соответственные), ∟B – общий =>

𝐵𝐶/𝐵𝐸 = 𝐴𝐶/𝐷𝐸;  AC = (𝐵𝐶 х 𝐷𝐸)/𝐵𝐸 = 9,56 х 2,0 / 1,85 = 9,56 м

Высота ели равна 10,33 м.

2.4.2 Измерения расстояния до недоступной точки.

Мы взяли то же самое дерево и удалились от него на такое расстояние, чтобы длина большого пальца издалека была равна высоте дерева.

Вот, что у нас получилось.

•      Длина пальца – 0,07 м

•      Расстояние от глаза до пальца – 0,55 м

•      Высота ели - 10,33 м

         Расстояние до ели (Х):

 Х =  = 81,16 м

Заключение.

Изучение темы обогатили меня новыми знаниями, расширили кругозор по геометрии. Мною были изучены различные способы измерения высоты предмета. Полученные знания достаточно легко применяются на практике.  Высоту столба, дерева можно измерить разными способами: с помощью лужи, зеркала, используя шест, и специальные приспособления. Исследованные мною методы дают результаты с минимальной погрешностью.

Можно сделать выводы:

1.      Применение подобия треугольников незаменимы в нахождении высоты объекта.

2.      Результаты исследования получаются более точные, если мы  более точно измеряем  расстояние до объекта.

3.      Существует большое количество способов измерения высоты объекта.

Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых и многих других профессий. Знания,  полученные в ходе исследовательской работы, останутся в моей памяти надолго, и я теперь с легкостью могу применять их на практике.

Список литературы:

1.    Википедия  https://ru.wikipedia.org/

2.    Атанасян Л. С, Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г. Геометрия: учебник для 7-9 классов. М.: Просвещение 1990.

3.    https://infourok.ru/