Проект по математике "Приёмы быстрого счёта"

Школьная научно-практическая конференция
школьников «День науки»
Секция « Естественно математические дисциплины»

Тема «Приёмы быстрого счёта».

(Исследовательская работа по математике)

                                                  Работу выполнил: Первышков Пётр

                                                                                      Ученик 9б класса

                                           Руководитель:         Лобова О.Д. 

                                                                                     Учитель математики

МБОУ  « Средняя общеобразовательная школа №6» г. Курчатова.

                                                  2014 год

Содержание:

I.                 Введение.

II.             1.Актуальность темы.

2. Из истории устного счёта.

3. Признаки делимости.

4. Приёмы умножения и деления.

5.Способы устного возведения в квадрат.

III.   Исследования (анкетирование учащихся)

IV. Заключение

V.Список литературы

 Актуальность темы.

«Счёт, вычисления – основа порядка в голове».

                                    Иоганн  Генрих Песталоцци

Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни

Счет в уме это самый древний и простой способ вычисления. В настоящее время мы привыкли пользоваться современными калькуляторами и, кажется, отпала необходимость в отработке устного счета. Но это ошибочное мнение. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов.

Устный счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения, устный счет помогает развивать память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух и развивает быстроту реакции. Вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении.

Серьёзный шаг в жизни каждого выпускника – это Государственная итоговая аттестация (ГИА) и Единый государственный экзамен (ЕГЭ), развитые вычислительные умения и наличие навыков устного счета - залог  успешной  сдачи  экзаменов.  Именно поэтому, данную тему я считаю актуальной.

Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь     быстро считать, то должны начать считать. Но для начала  надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро, считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировке.

            Я выбрал тему «Приёмы быстрого счёта» потому, что я люблю математику, люблю считать устно и хотел бы в этом проекте разобрать различные методы и приемы быстрого счета.

Если углубиться в историю, можно заметить,что и в прошлые века устный счет был одним из главных компонентов  урока.

Эта картина называется
  «Устный счет».
 Написал ее художник Николай Петрович Богданов – Бельский. 1895год. Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя, он очень хорошо знал своих героев: вырос в их среде. Учитель – это Сергей Александрович Рачинский, известный русский педагог, замечательный представитель русских образованных людей позапрошлого века.

В XIX веке художник Н.П.Богданов-Бельский написал картину «Усный счет»(1895г.). На ней изображен фрагент урока  математики в школе села Татево Смоленской губернии, которую основал и в которой работал С.А.Рачинский (Сергей Александрович Рачинский) – учитель художника, автор ряда книг по занимаельной  математике: «1001 задача  для   устного счета», «Арифметические забавы», «Геометрические забавы».

Единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счета создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Яковом Трахтенбергом. Она известна под названием "Системы быстрого счета". История ее создания необычная. В 1941 году гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счета. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.

Яков Трахтенберг родился в Одессе 17 июня 1888года, окончил с отличием Горный Институт в Петрограде, а позже работал на Адмиралтейских верфях в Обуховском заводе, где стал главным инженером, руководителем свыше 11 тысяч рабочих.

После Великой Октябрьской Революции 1917 года Трахтенберг перебрался в Германию. После прихода к власти Гитлера выступал против нацизма.

Во время Второй мировой войны. Трахтенберг стал узником нацистского концентрационного лагеря. В заключении разработал свою арифметическую систему, так называемый «Метод Трахтенберга».

Эта книга представляет собой печатное изложение
Э. Катлером и Р. Мак-Шейном (Ann Cutler and Rudolph McShane) системы быстрого счета в уме, разработанной профессором, руководителем, а также и основателем Цюрихского Математического Института Яковом Трахтенбергом

На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме. Изучив многие подходы к обучению навыку считать устно, можно выделить 3 основных составляющих данного навыка:

1. Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3. Тренировка и опыт, значение которых для любого навыка никто не отменял. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнения позволят вам улучшить скорость и качество устного счета.

Цели данной работы:

·        Изучить некоторые приемы устного счета, позволяющие ускорить и оптимизировать вычислительные процессы.

·        Развить память и математическую культуры мышления.

·        Развить творческие и интеллектуальные способности.

·        Продемонстрировать актуальность данной темы в наши дни. Научиться использовать данные приемы

Задачи:

·        Воспользовавшись различными источниками информации собрать, изучить и систематизировать материал о приемах устного счета.

·        Рассмотреть некоторые приемы устного счета и на конкретных примерах показать преимущества их использования.

·        Провести микроисследование: «Наличие  навыков устного счета  залог успешной сдачи экзамена».

Применение  основных  свойств  действий

       Для  успешного  проведения  вычислительных  операций  необходимы  прочные  знания  элементарных  свойств  действий  над  числами.  Эти  свойства  желательно  уметь  описывать  словами,  записывать  в  виде  формул  и  видеть  их  в  вычислительных  преобразованиях.           

1.     Переместительные  свойства  сложения  и  умножения:

                    

2.     Сочетательные  свойства  сложения  и  умножения:

                     

3.     Распределительное  свойство  умножения  относительно  сложения:

         

4.     Свойства  нуля  и  единицы:

                                      

Складывать, вычитать, умножать можно любые числа. А вот деление нацело выполняется не всегда. В этом случае, прежде чем начинать делить одно число на другое, хорошо бы знать, а  выполнится ли это деление вообще.  Вот здесь и нужно  вспомнить признаки делимости чисел. Можно выделить три группы признаков: а) по последним цифрам делимого; б) по сумме цифр делимого; в) делимость составных чисел.

	Признаки делимости

 

           

   Я составил таблицы по этим группам, но назову те признаки, которые не рассматриваются в школьных учебниках.

По последним цифрам делимого:

1.Признак делимости на 2.

 Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Число будет делиться на 2, если оно чётное, т.е. оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8.

Примеры.              3158 : 2 =1579– «8» - число чётное;

2156 : 2 = 1078  – «6» - число чётное;

2. Признак делимости на 4.

     Число делится на 4 только тогда, когда две его последние цифры – нули или составляют число, которое делится на 4

Примеры.                  21564 : 4 = 5391  -    «64» : 4 = 16;

                                   5 1712 : 4 = 12 928  -    «12» : 4 = 3;

                                    16700:4=4175

3.Признак делимости на 5.

Число  делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.

Примеры.                 23 560 : 5 =4712;

                                        32785 : 5 = 6557

4.Признак делимости на 8.

 Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. 

 

Примеры.             12 864 : 8 = 1608  -  (число 864 : 8 = 108);

537816 : 8 = 67227  -  (число 816 : 8 = 102);

5.Признак делимости на 10.

  Число  делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0.

Пример.                 27340 : 10 = 2734

6.На разрядную единицу (10, 100, 1000 …) делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы.

Пример:               12 000  делится на 10, 100 и 1000.

7.Признак делимости на 20.

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Пример.                7580: 20= 379

8. Признак делимости на 25

  Число делиться на 25, если запись числа оканчивается на 25, 50, 75,   00.

 Примеры.                 14 625 : 25 = 585;

                                   74175 : 25 = 2967;

9.  Число делилось на 50, если запись числа оканчивается на 00 или 50

	Признаки делимости по последним цифрам делимого	Пример
На  2	Числа, оканчивающиеся нулём или  чётной  цифрой.(2;4;6;8)	8;20; 34;126;
На 4	Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4.	200; 112; 548; 1036; 793516.
На 5	Числа, оканчивающиеся 0 или цифрой 5.	130; 95, 60;415.
На 8	Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8.	1000;  2104; 5328.
На 10	Числа, оканчивающиеся нулём.	30; 160; 20800.
На100;1000…	Числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы.	700;  40000
На 20	Число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.	5740;  800360
На 25	Если запись числа оканчивается на 25, 50, 75, 00	125; 9075; 800
На 50	Если запись числа оканчивается на 00 или 50.	700;  6750; 43200

По сумме цифр делимого.

1.Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Пример.       15327 : 3 =5109 –  ( 1+5+3+2+7= 18, 18 : 3 = 6), значит, число 15327 делится на 3);

2. Признак делимости на 9

Число  делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр  делится на 9.

Примеры.      18 819 : 9 = 2 091  -  (1 + 8 + 8 + 1 + 9 = 27, 27 : 3 = 9); значит, число 18819 делится на 9);

3.Признак делимости на 11

  Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечётных местах, и суммы цифр, стоящих на чётных местах, кратна 11, либо эти суммы  равны.

Пример.    Число 98 855 075:

9 + 8 + 5 + 7 = 29 – сумма цифр, стоящих на нечётных местах;

8 + 5 + 0 + 5 = 18 – сумма цифр, стоящих на чётных местах;

29 – 18 = 11- разность     

число 98 855 075 делится на 11.

	Признаки по сумме цифр делимого	Пример
На  3	Когда сумма цифр числа  делится на 3	15327 1+5+3+2+7= 18 18:3=6
На  9	Когда сумма цифр числа  делится на 9	18 819 1+8+8+1+9 = 27 27:9=3
На 11	Если разность суммы цифр, стоящих на нечётных местах, и суммы цифр, стоящих на чётных местах, кратна 11, либо эти суммы  равны	98 855 075 9+8+5+7=29 8+5+0+5=18 29 – 18 = 11

Признаки делимости составных чисел.

Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

1.Признак делимости на 6.

Число  делится на 6, если это число чётное и сумма цифр этого числа делится на 3.

15 762 : 6 = 4 127-  (число 15 762 - чётное и сумма его цифр (1+5+7+6+2 = 21, 21 : 3 = 7); значит, число 15762 делится на6);

2.Признак делимости на 12:

Число  делится  на 12, если оно  делится  на 3 и на 4.

412356  (56:4=14; 4+1+2+3+5+6=21; 21:3=7)

3.Признак делимости на 15:

Число  делится на 15, если оно делится  на 3 и на 5.

56190 ( 5+6+1+9+0=21, 21:3=7)

4.Признак  делимости  на  7

 Число  делится  на  7  , если  разность числа десятков и удвоенного числа единиц  делится  на  7.

364 делится на 7,  т.к.  36 – (2·4) = 28,   28 : 7 = 4

7.Признак  делимости  на  14.  Число  делится  на  14, если    

 оно  делится  и  на 2,  и  на  7.  

518-чётное, делится на 2;    51-8*2=51-16=35 (35:7=5)

5.Признак  делимости  на  13.

 Число  делится  на  13  , если сумма числа десятков  и  учетверенного  числа  единиц,  кратно  13.

416  делится  на  13,  т.к.  41+ (4 ·6) = 41+24=65;  65:13=5

8.Признак  делимости  на  19.

    Число  делится  на  19 , если  сумма числа  десятков и  удвоенного  числа  единиц,  кратно  19.

    646  делится  на  19,  т.к.  64 + (2·6) = 76,   76 : 19 = 4

6.Признак  делимости  на  99.

 Разобьем  число  на  группы  по  2  цифры  справа  налево (в  самой  левой  группе  может  быть  1  цифра) и  найдем  сумму  этих  групп. Если эта  сумма  делится  на  99, то и  само  число  делится  на  99.

56   73 25 44  делится  на  99,  т.к. 56+73+25+44 = 198,  198 : 99 = 2

Рассмотрим  приёмы быстрого деления и умножения на некоторые числа.

Деление на 2.  Иногда удобно представлять число, которое  делим в виде  разности полных десятков и добавления этого  числа до полных десятков, или суммы полных десятков и оставшегося числа.

398:2= (400-2):2= (400:2)-(2:2)=200-1=199

714:2=(700+14):2=700:2+14:2=350+7=357;

Деление и умножение на 4 и 8

Чтобы число разделить на 4, надо дважды разделить это число на 2.  

    81264: 4=(81264:2):2=40632:2=20316

Чтобы умножить число на 4, надо последовательно двукратно умножить это число на 2.      

153*4=153*2*2=306*2=612

Деление (или умножение) на 8 являются трехкратным делением (или умножением) на 2.

57200:8=57200:2:2:2= 28600:2:2=14300:2=7150

237*8=237*2*2*2=474*2*2=948*2=1896

Умножение на 6

При умножении на 6 можно применять два способа:

1)      Последовательное умножение

         52 · 6 = 52·2·3 = 104·3 = 312

2)      Представление 6 в виде суммы 5 и 1

   52 · 6 = 52 · (5+1) = 312

Деление ,умножение на 5. Чтобы умножить число на 5нужно  поделить  число на 2 и умножить частное на 10

6538*5=6538:2*10=3269*10=32690

 Чтобы любое число разделить на 5, его нужно умножить на 2 и разделить на 10.

326:5= 326*2:10=652:10=65,2

Умножение (деление) на25   аналогично.

120*25 = 120:4*100=30*100=3000.

43:25=43*4:100=172:100=1,72

Деление 1000 на 2, 4, 8, 16.  Полезно знать деление чисел, кратных 10 на числа, кратные двум: 1000=2*500=4*250=8*125=16*62,5.

Умножение на 9.   Чтобы умножить число на 9 можно: сначала умножить это число на 10, а затем вычесть из результата само число.

 89*9=89*10-89=890-89=801.

Умножение на 11.

1 способ. Чтобы, умножить число на 11, необходимо множимое умножить на 10 и прибавить множимое, например: 67 * 11 = 67*10 + 67 = 670+67=737.

2 способ.Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и  в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если  эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

53*11 = 5(5+3)3=583

74 *11 = 7(7+4)4= 7(11)4=814,

 единицу помещаем между восьмеркой (семерка плюс перенесенная единица) и четверкой,

Умножение на  111, 1111, 11111 (для двузначных чисел, сумма цифр которых меньше 10)

Цифры этого числа «раздвинуть» на  2, 3 и т.д. шагов, в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, 2, 3 и т.д.

 51 * 111 = 5(5 + 1)(5 + 1)1 = 5661

26 * 1111 = 2(2 + 6)(2 + 6)(2+ 6)6 = 28886

Удобно умножать числа, близкие к 100(меньшие 100)  методом дополнения до 100.

Метод  дополнения до 100    (Например: 98*97)

    98   *     97=….

      |            | 

2          3   

  добавляем число, недостающее до100

2*3=6  умножаем эти числа,  записываем в конце произведения 06. Находим разность между любым из чисел и недостатком до 100 другого числа. 98-3=95;     97-2=95   В обоих случаях разности одинаковы. Записываем разность перед  06. Получившееся число и есть искомое произведение.    

98 *  97= 9506

Метод дополнения до 50

• 46²=(25-4)*100+4²=2100+16=2116

• 4-дополнение до 50

• 53²=(25+3)*100+3²=2809

• 3-разница между 53 и 50

Возведение в квадрат любого двузначного числа.

    Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат

любого двузначного числа, превышающего 25.

Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его

над 50-ю.

  Рассмотрим примеры:

 37²=(37-25)*100+(50-37)²=12*100+13²=1200+169=1369

  72²=(72-25)*100+(72-50)²=47*100+22²=4700+484=5184

При возведении  чисел в квадрат  удобно используя формулы сокращенного умножения.

37²=(30+7)²=30²+2*30*7+7²

28²=(30-2)²=30²-2*30*2+2²=900-120+4=784

Рассмотрим и другие приёмы возведения в квадрат

Возведение в квадрат чисел от 40 до50.

Чтобы возвести   квадрат число пятого десятка (41,42,43,44,45,46,47,48,49), надо к числу единиц прибавить 15,умножить на 100, затем к полученному числу прибавить квадрат дополнения числа единиц до 10 (если этот квадрат - однозначное число, то перед ним приписывается число о)                          432=(3+15)*100+(10-3)2=1800+49=1849 482=(8+15)*100+(10-8)2=2300+ 4=2304

Возведение в квадрат чисел от 50 до60.

Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.
Например:
54²=(4+25)*100+4*4=2916
57²=(7+25)*100+7*7=3249

  Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.

Число десятков умножаем на следующее за ним натуральное число и приписываем 25.

15²= (1*2) 25=225;       35²⁼(3*4) 25= 1225 ;   65²=( 6*7)25=4225            

Квадрат числа, оканчивающегося на 1.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 1 на 0.

 71² =70²+70+71=4900+141=5041

 Квадрат числа, оканчивающегося на 6.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить  цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат (оканчивающееся на 5) и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.

56² =55²+55+56=3025+55+56=3080+56=3136

Квадрат числа, оканчивающегося на 9.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно заменить эту цифру 9 на 0 (получим следующее натуральное число), возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 9 на 0.

59² =60²-60-59=3600 – 60 – 59 = 3481

Квадрат числа, оканчивающегося на 4.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить  цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.

84²=85^2-85-84=7225-85-84=7056

            Целью моего проекта было и анкетирование учащихся нашей школы по следующим вопросам:

1. Зачем нужно уметь считать?

2.Часто  ли ты считаешь устно без калькулятора?               

3.Знаешь ли ты приёмы быстрого счёта?

4.Применяешь ли ты при вычислениях приёмы быстрого счёта?                    5.Хотели бы вы узнать приёмы быстрого счёта, чтобы использовать их в жизни  

Анкетирование проводилось в 5,6,7,8,10, 11 классах. Результаты обработки ответов учащихся приведены на диаграммах.

1.

2.

3.

4.

5.

 На диаграммах видно, что, по мнению ребят, устный счёт пригодится в жизни, при сдаче экзаменов. Очень печально, что некоторым выпускникам умение считать вообще не нужно. Оказывается, ребята мало считают без калькулятора. И есть ученики, которые никогда не считают сами. Знают ли ребята приёмы устного счёта? Немногие. И применяют эти приёмы не всегда. Радует, что почти все ученики, которые участвовали в анкетировании хотят научиться быстро считать и изучать приёмы быстрого счёта.

Заключение.

    В заключении хочу сказать, что освоение описанных выше приёмов устного счёта поможет мне быстро выполнять арифметические действия при вычислениях на уроках математики, физики, химии, на экзаменах и, просто, в жизни.  Мне было интересно работать над проектом.

Литература:

1.  «Устный счет». Э.Л.Струнников

2.  Развитие вычислительной культуры учащихся.   НЛ. Мельникова

3.  Устный счет — гимнастика ума. ГА. Филиппов

4. Алгоритмы ускоренных вычислений. Л.В. Бикташева

5.  Библиотечка «Первое сентября»

6. Интернет.