Проект по математике "Старинные задачи"

• 1 слайд

  Старинные
  задачи
  Проект выполнили учащиеся Дроздов Павел и Мажугин Андрей.
  Руководитель: учитель математики Иванова Ирина Викторовна
  

• 2 слайд

  Задача Герона Александрийского (I в.)ние
  Бассейн емкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из которой одна дает в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час-четыре кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?
  

• 3 слайд

  Решение:
  Две трубы, работая совместно, за 1 час заполняет 1+4=5 (кубических единиц объёма бассейна). Следовательно, для заполнения бассейна ёмкостью 12 кубических единиц, потребуется 12:5=2 2/5 (часа) или 2 часа 24 мин.
  

• 4 слайд

  Из «Азбуки» Л.Н. Толстого.
  Мужик вышел пешком из Тулы в Москву 5 часов утра. В 12 часов выехал барин из Тулы в Москву. Мужик идет 5 верст в каждый час, а барин едет 11 вёрст в каждый час. На какой версте барин догонит мужика?
  

• 5 слайд

  Решение:
  Барин выехал на 12-5=7 (часов) после мужика, и за это время мужик прошёл 7*5=35 (вёрст.) Теперь имеем типичную задачу на движение вдогонку. Барин догонит мужика за время, равное первоначальному расстоянию между ними (35 вёрст), делённому на разность скоростей их скоростей (6вёрст в час), то есть за:
  
  35:6=5 5 6 (часа)
  За это время барин окажется на расстоянии от Тулы, составляющем 11∗5 5 6 = 11∗35 :6= 385 6 =64 1 6 версты .
  Таким образом, барин догонит мужика на 65-ой версте.
  

• 6 слайд

  Старинная задача (Китай, II в.)
  Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
  

• 7 слайд

  Решение:
  Примем расстояние от северного моря до южного за единицу. Тогда дикая утка пролетает за 1 день 1/7 часть пути, а дикий гусь – 1/9 часть пути. Поскольку птицы летят навстречу друг другу, за день они сближаются на 1/7+1/9=16/63 частей пути. Следовательно, встретятся они через 1:16/63=63/16 дня =3 15/16 дня.
  15/16 дня =15/16*24 часа=15*24/16 часа=45/2 часа=22 часа 30 мин. То есть птицы встретятся через 3 дня 22 часа 30 минут.
  

• 8 слайд

  Старинная задача (Анания из Ширака, армянский математик VII в.)
  В городе Афинах был водоём, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоём за 1 час, другая, более тонкая, - за 2 часа, третья, ещё более тонкая, - за 3 часа. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоём.
  

• 9 слайд

  Решение:
  В Примем объём водоёма за единицу. Первая труба наполняет весь водоём 1 час, вторая за это время наполнит ½ водоёма, а третья – 1/3. Следовательно, работая вместе, три трубы за 1 час наполнят 1+1/2+1/3=11/6 частей водоёма. То есть, если на час включить все три трубы, водоём переполнится, а для того, чтобы этого не случилось, включить трубы всего на 1:11/6=6/11 часа.
  

• 10 слайд

  Старинная задача из (Арифметики) А. П. Киселева
  Из двух сортов чаю составлено 32 фунта смеси; фунт первого сорта стоит 3р; фунт второго сорта 2р.40к. Сколько фунтов взято от того и другого сорта, если фунт смешанного чая стоит 2р. 85к.
  

• 11 слайд

  Решение:
  Рассуждая логически, а автор (Арифметики)А. П. Киселев скорее всего именно это и предполагал, можно решить задачу следующим образом. 32 фунта смеси по 2р.85 коп. стоят 91 р.20 коп. Если бы весь чай был второго сорта, 32 фунта этого чая стоили бы 76 р. 80 коп.
  Разница между стоимостью смеси и стоимостью чая второго сорта составляет 14 р. 40 коп. и обусловлена добавлением чая первого сорта, стоимость которого на 60 коп. выше. Следовательно количество чая первого сорта составит 14р. 40коп.: 60 коп.= 24 (фунта).
  

• 12 слайд

  Старинная задача (Китай)
  В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.
  

• 13 слайд

  Решение:
  Пусть в клетке одни кролики. Тогда число ног составит
  35*4 = 140. Но на самом деле в клетке на 140 – 94 = 46 (ног) меньше, поскольку часть из них принадлежит фазанам, у которых на две ноги меньше , чем у кроликов. Значит число фазанов составляет 46:2 = 23 , а число кроликов, соответственно,
  35 – 23 = 12.
  

• 14 слайд

  Старинная задача из папируса Ахмеса (Египет, около 2000 г. до н.э.)
  «Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:
  Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада? Пастух отвечает:
  Я привожу две трети от трети скота.
  Сочти!
  Сколько быков в стаде?»
  

• 15 слайд

  Решение:
  Две трети от трети - это
  2/3*1/3=2/9
  и эти 2/9 стада составляют 70 быков.
  Значит всего в стаде 70:2/9=315(быков)
  

• 16 слайд

  Старинная задача.
  Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и ещё 1 рубль; потом уплатил 2-му купцу половину оставшихся денег да ещё 2 рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да ещё 1 руб. После этого денег у крестьянина совсем не осталось.
  Сколько денег было у крестьянина первоначально?
  

• 17 слайд

  Решение:
  Третий купец получил половину оставшихся денег, да ещё 1 рубль и больше денег не осталось. Значит эта половина составляет рубль и всего третий купец получил 2 рубля. Эти 2 рубля да ещё 2 рубля составляют половину полученного вторым купцом, поэтому он получил 4*2=8 (рублей). Аналогично, половина денег первого купца составляет 8+1=9 (рублей), а всего он получил от крестьянина 9*2=18 (рублей).
  

• 18 слайд

  Старинная задача
  Надгробная надпись на могиле Диофанта имеет следующее содержание: «Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве, двенадцатую - в юности, после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве, и еще пяти лет, у него родился сын, умерший по достижении половины числа лет жизни отца, после чего Диофант прожил только 4 года».
  Сколько лет жил Диофант?
  

• 19 слайд

  Решение:
  Обозначим количество лет, прожитых Диофантом, через а. Тогда в период детства он прожил 1/6а. Аналогично на юность приходиться 1/12а, а на период бездетного супружества – 1/7а. Всего до рождения сына Диофант прожил: (1/6а + 1/12а + 1/7а + 5) лет. Сын прожил половину жизни отца, то есть 1/2а лет, а после его смерти Диофант прожил еще 4 года.
  Таким образом, всего Диофант прожил: (1/6а + 1/12а + 1/7а + 4) лет и поэтому для решения задачи может быть написано уравнение:
  1/6а + 1/12а + 1/7а + 5 + 1/2а + 4 = а
  
  а – (1/6а + 1/12а + 1/7а + 1/2а) = 9
  
  а – (14 + 7 + 12 + 42)/84 = 75/84а = 9
  
  9а/84 = 9
  
  а = 84
  Итак, Диофант прожил 84 года.
  

• 20 слайд

  Задача Аль Хорезми (Средняя Азия, 783 – 850 годы)
  Разложить число 10
  на 2 слагаемых, сумма квадратов которых равна 58
  

• 21 слайд

  Решение:
  Число 10 можно представить в виде сумм: 1 + 9; 2 + 8; 3 + 7;
  4 + 6; 5 + 5. Первые суммы можно исключить, поскольку сумма квадратов слагаемых заведомо больше 58 ( 9 2 =81;
  8 2 = 64). Проведя несложные вычисление найдем, что условию задачи подходят числа 3 и 7 ( 3 2 + 7 2 = 9 + 49 = 58)
  

• 22 слайд

  Старинная задача
  Летит стая гусей, и навстречу ей гусь.
  -Здравствуйте, сто гусей! – сказал гусь.
  - Нас не сто, - ответил вожак стаи. – Вот если бы нас было столько, да полстолька, да четверть столько, да еще один гусь – вот тогда бы нас было сто гусей.
  Сколько гусей было в стае?
  

• 23 слайд

  Решение:
  Поэтому примем количество гусей в стае («столько» ) за единицу. Тогда столько, столько, полстолька и четверть столько составят:
  1 + 1 + 1\2 + 1\4 = 2 + 3\4 = 11\4
  Добавив к этой дроби одного гуся, получим, согласно условию задачи, 100 гусей, то есть:
  11\4 + 1 (гусь) = 100 (гусей)
  11\4 = 99 (гусей)
  1\4 = 9 (гусей)
  1 = 36
  Итак: в стае было 36 гусей.
  

• 24 слайд

  Древнеримская задача
  (II век н.э.)
  Некто, умирая, завещал: если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене-остальная часть. Если же родится дочь, то ей- 1/3 , а жене- 2/3. Родилась двойня- сын и дочь.
  Как разделить имение?
  

• 25 слайд

  Решение:
  Очевидно, что в случае рождения двойни долевое распределение должно остаться неизменны. Исходя из этого, дочь должна получить 1 часть целого, жена - 2 части, а сын - 4 части и, следовательно, всё состояние следует разделить на 1+2+4=7 частей и сын должен получить - 4/7, жена - 2/7, дочь - 1/7.
  Завещание составлено в «третьих» долях состояния: 1/3 и 2/3 и содержит в себе два условия. Объединяя эти два условия, приходим к выводу, что, согласно распоряжению завещателя, сын должен был получить в два раза больше жене, а жене в два раза больше дочери.
  

• 26 слайд

  Задача
  Бхаскары (Индия, XII в.).
  Из множества чистых
  цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве — третья доля этого множества, Вишну — пятая и Солнцу — шестая; четвертую долю получила Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?
  

• 27 слайд

  Решение:
  Примем общее число цветков лотоса за единицу. Боги (Шиву, Вишну, Солнце) и богиня (Бхавани) получили 1⁄3 + 1⁄5 + 1⁄6 + 1⁄4 = 57⁄60 всех цветов, а значит на долю уважаемого учителя осталось 1 – 57⁄60 = 1⁄20 часть цветов. Теперь находим число, 1⁄20 часть которого составляет 6 цветков. Это число составляет 120 цветков.
  

• 28 слайд

  Из «Арифметики» Л.Н. Толстого
  Муж и жена брали деньги из одного сундука и ничего не осталось. Муж взял 7⁄10 всех денег, а жене 690 руб. Сколько было всех денег.
  

• 29 слайд

  Решение:
  Поскольку денег не осталось, жена взяла 1 – 7⁄10 = 3⁄10. Доля жены, согласно условию, 690 рублей. Значит всего денег было
  690:3⁄10 = 2300 (рублей).
  

• 30 слайд

  Старинная задача (Франция,  XVII – XVIII в. в.).
  Трое хотят купить дом за 24000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй — одну треть, а третий — оставшуюся часть. Сколько даст каждый?
  

• 31 слайд

  Решение:
  Это очень простая задача на дроби. Первый даст половину всей суммы, то есть 24000:2 = 12000 (ливров). Второй – 1/3, то есть 24000:3 = 8000 (ливров), а третий – оставшуюся сумму, то есть 24000 – 12000 – 8000 = 4000 (ливров).
  

• 32 слайд

  Старинная задача
  Лошадь съедает воз сена за месяц,
  коза — за два месяца, овца — за три месяца. 
  За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?
  

• 33 слайд

  Решение:
  За месяц коза съест 1/2 воза сена, а овца – 1/3. Следовательно, все три животных за месяц съедят 1 + 1/2 + 1/3 = 1 и 5/6 = 11/6 воза. Один воз будет ими съеден в 11/6 раза быстрее, то есть за 1:11/6 = 6/11 месяца.
  

• 34 слайд

  Источник рисунка
  http://atotarho12.narod.ru/clipart/k/knig/kniga220.png
  https://thumbs.dreamstime.com/z/cover-book-old-fashioned-vector-35133272.jpg
  
  Подготовила
  учитель русского языка и литературы
  Тихонова Надежда Андреевна, г.Костанай