Проект по математике. Сумма углов многоугольника

ФЕСТИВАЛЬ ПРОЕКТОВ

ПУШКИНСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Тема работы: Сумма углов многоугольника

предмет Математика

выполнил: Князькин Александр,

учащийся МБОУ СОШ №6 г.Пушкино,

 5А класс

руководитель: Косенкова Ольга Валерьевна,

 учитель математики МБОУ СОШ №6 г. Пушкино,

высшая категория

Пушкино 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ:                                                                     

1. ПОСТАНОВКА ЦЕЛЕЙ И ЗАДАЧ...…………………………………………… ….…..3
2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ………………………………………….……4
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И ВЫВОДЫ...…………………………………...8
4. СПИСОК ИСПЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………………….…….9

1.      ПОСТАНОВКА ЦЕЛЕЙ И ЗАДАЧ

Однажды, участвуя в олимпиаде по математике, я встретился с такой задачей:

Даны две фигуры ABCD и MNKF. Известно, что сумма углов фигуры ABCD равна 360 ^о. Найдите сумму углов фигуры MNKF.

Я рассуждал так: «Нужно найти сумму углов фигуры MNKF, хотя ни один угол неизвестен, но известна сумма углов фигуры ABCD. Значит нужно найти какую-то связь между этими фигурами». Ничего, кроме того, что обе фигуры четырехугольники, я придумать не мог.

На олимпиаде я с этой задачей так и  не справился!

Но меня не покидал вопрос: «Какую связь найти  у многоугольников, чтобы вычислить сумму углов?». Я решил изучить тему «Сумма углов многоугольника», чтобы решить задачу. Но, в процессе изучения темы, у меня возник еще один вопрос: «А можно ли получить формулу для нахождения суммы углов многоугольника?». Возникла проблема, решение которой явилось целью данной работы.

Итак, цель моей работы – получение формулы для нахождения суммы углов многоугольника.

Задачи:

              1) изучить и проанализировать материал по данной теме из   различных                       источников;

              2) исследовать сумму углов разных многоугольников;

              3) найти связь между суммой углов выпуклого и невыпуклого многоугольников и записать ее в виде формулы.

2.      ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Многоуго́льник – это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. Угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с чётырьмя - четырёхугольником, с пятью - пятиугольником и т. д.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.

Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины.

Многоугольник называют невыпуклым, если он лежит по разные стороны от хотя бы одной прямой, соединяющей его соседние вершины.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например, равносторонний треугольник, квадрат и т.д. (материал из Википедии – свободной энциклопедии).

Сначала я узнал, какие бывают многоугольники, и остановился на исследовании выпуклых и невыпуклых многоугольников.

Я рассмотрел сначала треугольник, затем 4-х, 5-ти угольники и т.д. и заметил, что хоть выпуклый, хоть невыпуклый многоугольник, он всегда состоит из треугольников на 2 меньше, чем углов у многоугольника. Получается, что сумма углов многоугольника зависит от суммы углов треугольника.

Сумма углов любого треугольника равна 180 ^о, я это проверил наглядно так: взял разного вида треугольники (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), обозначил углы, сумму которых нужно найти.

 Разрезал эти треугольники на 3 части и приложил углы друг к другу, всегда три угла образовывали развернутый угол, который равен (как известно с уроков математики) 180 ^о.

Потом я вернулся к многоугольникам, и вывел формулу суммы углов любого многоугольника (хоть выпуклого, хоть невыпуклого), получается, что сумма углов многоугольника равна 180 ^о _* (n - 2), где n – количество углов многоугольника, начиная с 3.

Получается, что в олимпиадной задаче раз обе фигуры четырехугольники, то их сумма углов будет одинаковой 360 ^о.

3.      РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И ВЫВОДЫ

Итак, я решил все поставленные задачи:

1) изучил материал по теме многоугольники, проанализировал полученную информацию;

2) исследовал сумму углов выпуклых и невыпуклых многоугольников;

3) нашел связь между суммой углов выпуклого и невыпуклого многоугольников и записал ее в виде формулы: сумма углов любого многоугольника (хоть выпуклого, хоть невыпуклого), равна 180 ^о _* (n - 2), где n – количество углов многоугольника, начиная с 3.

 Таким образом я достиг цели – получение формулы для нахождения суммы углов многоугольника.

Я работаю над этой темой первый год, поэтому изучил её недостаточно глубоко, планирую дальше исследовать самопересекающиеся многоугольники и многоугольники с многоугольными дырами, чтобы определить существование формулы для вычисления суммы углов любого многоугольника.        

4.      СПИСОК ИСПЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.      ru.wikipedia.org, Википедия – (свободная энциклопедия).

2.      Ю. В. Прохоров. Математическая энциклопедия –  М., «Советская энциклопедия» 1988 г.

3.      Л. С. Атанасян. Учебник для общеобразовательных учреждений. –  М., «Просвещение» 2017 г.

4.       http://e-science.ru/math/theory/?t=255