Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проект по математике ученицы 11 кл. "Функции - просты, но утонченны"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Проект по математике ученицы 11 кл. "Функции - просты, но утонченны"

библиотека
материалов

hello_html_7b3a87b9.gifhello_html_61af1679.gifhello_html_m16c507a.gifhello_html_m69e7dbf0.gifhello_html_387c0e5e.gifhello_html_m427da23a.gifhello_html_42a1c2ff.gifhello_html_m2692dce.gifhello_html_61af1679.gifhello_html_7586e4a5.gifhello_html_4bfb1cfe.gifhello_html_2b9d1590.gifhello_html_a18d12e.gifhello_html_6c609f71.gifhello_html_m32a1698b.gifhello_html_7336554e.gifhello_html_55950bd1.gifhello_html_m245065d2.gifhello_html_1c5a86f9.gifhello_html_m22e003d8.gifhello_html_b6aec1f.gifhello_html_239c23a8.gifhello_html_m7d2360e2.gifhello_html_m4ca5c027.gifhello_html_m3410d75e.gifhello_html_28397430.gifhello_html_m385a1f9e.gifhello_html_m385a1f9e.gifhello_html_md257a3c.gifhello_html_md257a3c.gifhello_html_m44d26630.gifhello_html_34cd79f8.gifhello_html_c7d7af7.gifhello_html_m14774b00.gifhello_html_233a6792.gifhello_html_31a58a49.gifhello_html_5eccb7d6.gifhello_html_3f59d3e0.gifhello_html_2f699b56.gifhello_html_7de47fe0.gifhello_html_60df68f5.gifhello_html_19c7f2ad.gifhello_html_m4c059c90.gifhello_html_m45ba0ab6.gifРЕГИОНАЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ










секция математика




Функции?!

Просты, но утончены!








Автор: Вербицкая Татьяна Евгеньевна,

учащаяся 11 класса ГБОУ СОШ

пос. Комсомольский муниципального района Кинельский Самарской области

Руководитель: Ермошкина Ольга Анатольевна,

учитель информатики высшей категории,

Громко Ирина Александровна, учитель математики высшей категории




г. Самара,

апрель 2013


Содержание работы




Введение


Глава I

Начальные сведения о функциях


1.1

Понятие функции и способы ее задания


1.2

Элементарные функции, их классификация, графики


1.3

Общая схема исследования функций


1.4

Линейная функция


1.5

Дробно-линейная функция


1.6

Степенная функция


1.7

Квадратичная функция


1.8

Показательная функция


1.9

Логарифмическая функция


1.10

Тригонометрические функции


1.11

Примеры исследования функций


Глава II

Построение графиков элементарных функций в табличном процессоре MS Excel



Заключение



Библиография



Приложения





Введение


Для каждого выпускника средней школы наиглавнейшая задача успешно сдать ЕГЭ с высокими баллами. Я выбрала профессию экономиста, в которой умения анализировать ситуацию, функциональную зависимость, читать графики играет важную роль. Задания В2 (Графическое представление данных), В8 (Графики функций), В14 (Исследование функций), С1,С3,С5 (Решение уравнений и неравенств) относятся к блоку задач, связанных с функциональной зависимостью. Тема «Функции» - ведущая в изучении высшей математики и математического анализа на первом и втором курсе любого высшего заведения.

Я предполагаю, что повторив, систематизировав и обобщив знания по элементарным функциям, изучаемым в школе, я подготовлюсь к ЕГЭ по математике и успешной учебе на первом курсе.

Целью данной работы стало исследование элементарных функций в зависимости от их свойств.

Объект исследования - элементарные функции.

Предмет исследования – свойства функций, изучаемых в школе и их графики.

Перед собой я поставила следующие задачи:

1.Найти более полную информацию об элементарных функциях, самостоятельно рассмотреть свойства функций (на понятийном уровне), не изучаемых школьном курсе.

2. Систематизировать свойства функций.

3.Построить графики, используя диаграммы табличного процессора MS Excel.

4. Научиться читать графики

5. Создать электронное пособие для изучения свойств функций.

В данной работе использовался методы теоретическое исследование, анализ, сравнение, обобщение и классификация. Для проведения данного исследования использована энциклопедия и учебная литература, ресурсы Интернет.

Предлагаемая работа состоит из двух глав. В приложении представлены графики функций.


Глава I

Начальные сведения о функциях


    1. Понятие функции и способы ее задания

Любой исследователь, рассматривая характеристики и свойства определенных объектов и явлений, имеет дело с величинами, которые могут меняться от объекта к объекту или во времени, либо остаются неизменными. Одна и та же величина может быть постоянной или переменной в зависимости от рассматриваемой модели и целей исследования. Например, если исследователь рассматривает жителей определенного района, то возраст является переменной величиной. Если он при этом, хотел выяснить, какой годовой доход получают сотрудники банков в возрасте до 30 лет, то возраст превращается в постоянную величину, а годовой доход есть переменная величина, принимающая различные значения от объекта к объекту. Обычно постоянные величины принято обозначать начальными буквами латинского алфавита (a, b, с, d), а переменные – конечными (х,у, z, u).

В реальной жизни нам приходится наблюдать, что изменение одной величины приводит к изменениям другой. Увеличение объема доходов компании может приводить к увеличению прибыли, сокращение численности трудоспособного населения влечет за собой рост потребности в кадрах и увеличение числа вакансий и т.д. Для анализа такого рода связей между переменными важно познакомиться с центральным понятием математического анализа – понятием функции и функциональной зависимости. Слово «функция» образовано от латинского слова function, что означает исполнение, осуществление.

Функция - правило f, которое каждому элементу х ϵ Х ставит в соответствие единственный элемент уϵY. Переменная х является независимой переменной (или аргументом), а переменная у - зависимой. Функцию Х называют областью определения функции, а множество Y-областью значений функции. Согласно определению, чтобы задать функцию, необходимо определить три объекта.

  1. Множество X- область определения

  2. Множество Y- область значений

  3. Правилоf, которое устанавливает соответствие между элементами множеств X и Y.

Существуют четыре основных способа задания функции: аналитический, табличный, графический и описательный.

  1. Аналитический способ. Функция задана аналитически, если имеется формула, определяющая зависимость между х и y: y=f(х)

    х

    1

    2

    3

    4

    у

    1

    4

    9

    16

  2. Табличный способ. Функция задана таблично, если для каждого значения аргумента в таблице указано соответствующее ему значение функции.

  3. Графический способ. Функция задана графически, если на плоскости изображено множество точек с координатами (х,у), абсциссы которых есть значения аргумента, а ординаты- соответствующие им значения функции. График функции - множество точек плоскости с координатами (х,у), для которых выражение у= f(х) превращается в тождество.

  4. Описательный способ. Функция может быть задано описательно или словесно.

1.2 Элементарные функции и их классификация

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится. Рассмотрим основные элементарные функции.

Обратные тригонометрические

y=arcsinx

y=arccosx

y=arctgx

y=arcctgx


Логарифмическая

hello_html_m1fff4135.gif

Основные элементарные функции

Тригонометрические

y=sinx

y=cosx

y=tgx

y=ctgx


Показательная

hello_html_1242eaab.gif

Степенная hello_html_86524cc.gif



















Функция

Формула

График

Линейная

y=kx+b

hello_html_678d2a2d.gif

Обратная пропорциональность

hello_html_m78089154.gif=hello_html_m531b7eaa.gif, khello_html_m177283f2.gif0

hello_html_m5c8aff70.gif

Квадратичная

hello_html_m78089154.gif= ax2+bx+c, ahello_html_m177283f2.gif0

hello_html_m1a7db3f2.gif

Степенная

hello_html_m20f05176.gifhello_html_m44e98828.gif

hello_html_68e9b877.gifhello_html_m34f4c29a.gif

Тригонометрические

hello_html_m78089154.gif=sinx,

hello_html_14b57d89.gif

hello_html_m78089154.gif=cosx,

hello_html_m629af07.gif

hello_html_m78089154.gif=tgx



02030301

hello_html_m78089154.gif=ctgx

Обратные тригонометрические

hello_html_m78089154.gif=arcsinx

hello_html_m4ef0ffcc.gif

hello_html_m78089154.gif=arcсosx

hello_html_m29b31d5d.gif

hello_html_m78089154.gif=arctgx

hello_html_3b1763ff.gif

hello_html_m78089154.gif=arcctgx

hello_html_m746905bc.gif

Показательная

hello_html_m40312f5f.gif


Логарифмическая

hello_html_m78089154.gif=logax, a>0, ahello_html_m177283f2.gif1

hello_html_m61632884.gifhello_html_m34f24947.gif


1.3 Общие свойства функций

1.

Область определения

По определению функции у=f(х) она представлена на множестве Х, которое и называется областью определения функции. Обозначается Д(f)

2.

Множество значений

Множество всех значений, которые принимает функция.

Обозначается Е(f)

3.

Нули функции

Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём функции. Функция может иметь несколько нулей. Геометрически - нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х.

4.

Четность

Функция f(x) называется четной, если для каждого х из области определения D(f) функции f(x) выполняется равенство f(-x) = f(x);

Функция f(x) называется нечетной, если для каждого х из области определения D(f) функции f(x) выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Понятия четной или нечетной функции можно вводить, и исходя из геометрических представлений о симметрии:

функция f(x), график которой симметричен относительно оси ординат, называется четной;

функция f(x), график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной.

5.

Периодичность

В природе и технике достаточно часто встречаются процессы, которые периодически повторяются с течением времени. Периодически изменяющиеся величины описывают с помощью периодических функций. Функция  f (x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого  x  из области определения функции имеет место: f (x + T) = f (x). Число Т называется периодом функции. Наименьший положительный период называется основным (главным) периодом. Из равенства f (x + T) =  f(x) следует, что для всякого хД(х) и (х+Т) Д(х), т.е. Д(х) - периодическое множество. Все тригонометрические функции являются периодическими.


6.

Монотонность

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка Х таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка Х таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

7.

Непрерывность

Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если выполняется соотношение hello_html_17676669.gif.

Функция y=f(x) непрерывна в точке x=a, если

в этой точке выполняется следующее условие:

еслиhello_html_m4280c22d.gif, то hello_html_6c7d72e8.gif. Причем, hello_html_217902c4.gif — приращение аргумента в точке а, а hello_html_5fd4e269.gif — приращение функции в точке а.

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, в точке а функция не является непрерывной.

Функцию y=f(x) называют непрерывной на

промежутке Х, если она непрерывна в каждой

точке промежутка.

Каждая из рассмотренных ранее основных элементарных функций непрерывна в каждой точке области определения этой функции, и если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических и обратных тригонометрических выражений, то функция y=f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f(x).

Точки, в которых нарушается условие

непрерывности функции, называют ее точками

разрыва.

Чаще всего разрыв возникает по следующим двум причинам:

а) Функция задана различными выражениями на разных участках, и при приближении к "точке стыка" с разных сторон эти выражения имеют различные пределы. Примером может служить кусочная функция:

б) Функция задана выражением, знаменатель которого в точке а обращается в нуль, в то время как числитель отличен от нуля. В этом случае hello_html_m7c0443e7.gif. Поэтому не может выполняться равенство hello_html_2c9cd654.gifhello_html_61420cb.gif, и функция имеет разрыв в точке а.

8.

Дифференцируемость

Если функция y=f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х.

Дифференцируемость функции в точке означает наличие у графика функции в этой точке касательной, не параллельной оси оу

9.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Точка a называется точкой максимума функции f(х), если существует такая окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x). Точка a называется точкой минимума функции f(х), если существует такая окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x). Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума. В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

10.

Выпуклость, точки перегиба

Y

X

0

a

b

c



В промежутке а < х <b кривая — график дифференцируемой функции y=f(x) — называется вогнутой вверх (вниз), если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке данного промежутка.

Если производная f '(х) — возрастающая (убывающая) функция в промежутке а < х <b, то кривая y=f(х) является вогнутой вверх (вниз) в этом промежутке.

Если в промежутке а<х<b вторая производная f ''(x) положительна (отрицательна), за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то кривая у=f(х) в этом промежутке вогнута вверх (вниз). Если в некоторой окрестности точки х = с кривая — график дифференцируемой функции y = f(x) — имеет слева и справа от точки х = с вогнутости противоположного направления, то значение х = с называется точкой перегиба.

Правило нахождения точек перегиба:

1) найти вторую производную данной функции;

2) приравнять ее нулю и решить полученное уравнение (или найти те значения х, при которых производная теряет числовой смысл), из полученных корней отобрать действительные и расположить их no величине от меньшего к большему;

3) определить знак второй производной в каждом, из промежутков, отграниченных полученными корнями;

4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если одинаковыми, то точки перегиба нет.

11.

Асимптоты

Графики некоторых функций расположены на плоскости так, что при неограниченном удалении от начала координат они неограниченно приближаются к некоторым прямым, но не пересекают их. Такие прямые называются асимптотами функции.

Асимптоты могут быть горизонтальными, вертикальными, наклонными.

y

x

y=a

y

x

x=b

y

x

y=kx+b



Прямая y=a называется горизонтальной асимптотой к графику функции y=f(x), если существует конечный предел hello_html_78e22ad4.gif.

Прямая x=b называется вертикальной асимптотой к графику функции y=f(x), если существует конечный предел hello_html_m22aee18e.gif.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах области определения.

Если у функции нет горизонтальных асимптот, то, возможно, есть наклонные.

Наклонная асимптота к графику функции существует в том случае, когда существуют конечные числа к и в, вычисляемые по формулам:

hello_html_m307e59.gif, hello_html_m67669990.gif. Тогда наклонная асимптота задается уравнением y=kx+b. Если хотя бы одно из чисел к и в несобственное, то наклонных асимптот у графика функции нет.




    1. Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b  свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

1

Область определения

D(f)= R

2.

Область значений

Е(f)=R при k0

3.

Нули функции

у=0 при х=-b/k

4.

Четность

ни четная, ни нечетная, так как f (-x) = -kx + b .

5.

Периодичность

не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b

6.

Монотонность

возрастает при k0, функция убывает при k0.

7.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

экстремумов функции нет

наибольшего и наименьшего значения нет

9.

Выпуклость, точки перегиба.


асимптоты не существуют

точек перегиба не существует

10.

График – прямая линия. Для построения этого графика достаточно двух точек, например A(0; b) и B(-b/k; 0), если k0. График линейной функции y=kx+b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 – тупой; а при k=0 прямая параллельна оси Ox.

y=kx+b (k<0) и y=kx+b (k>0)





hello_html_m7ee5941b.png


1.5 Дробно-линейная функция

Обратно-пропорциональная зависимость величин Функция вида  hello_html_3e57ec19.gif  называется обратной пропорциональностью.

1.

Область определения

 D(f)=(;0)U (0:+∞) 

2.

Область значений

Е(f)=(;0)U (0:+) 

3.

Нули функции

не имеет

4.

Четность

нечетная f (-x) = k/(- x)= - k/x = - f (x)

5.

Периодичность

непериодическая

6.

Монотонность

если k > 0, то функция у = k/x убывает на (- ∞; 0) и (0; + ∞). если k < 0, то функция у = k/x возрастает на (- ∞; 0) и (0; + ∞).

7.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

экстремумов функции нет

наибольшего и наименьшего значения нет

8.

График

http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9c.gif

Графиком обратной пропорциональности y=k  является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Этот график называется гиперболой. Если k < 0, то ветви графика обратной пропорциональности расположены во II и IV координатных четвертях, когда k > 0 ветви графика обратной пропорциональности расположены в I и III координатных четвертях.

Функция, которую можно задать формулой вида hello_html_fb91389.gif, где х- независимая переменная, а а, в, с и d – произвольные числа, причём сhttp://festival.1september.ru/articles/311123/image119.gif0 и

аd – вс http://festival.1september.ru/articles/311123/image120.gif0, называется дробно-линейной функцией.

1.

Область определения

hello_html_m1a5ecfdd.gif

2.

Область значений

hello_html_1329b7a9.gif

3.

Нули функции

Если х = 0, то hello_html_6fb6dd34.gif

Если у = 0, то hello_html_71fa0e41.gif. Значит, если hello_html_m40a4f86c.gif, то точка пересечения с осью Х имеет координаты hello_html_3518ece.gif. Если а = 0, hello_html_m21a23888.gif, то точек пересечения с осью абсцисс график дробно-линейной функции не имеет.

4.

Четность

ни четная, ни нечетная.

Eсли а=d=0,то функция нечетная

5.

Периодичность

непериодическая

6.

Монотонность

Eбывает на промежутках всей области определения, если bc – ad > 0 и возрастает на промежутках всей области определения, если

bc – ad < 0.

Немонотонная функция.

7.

Асимптоты

Прямая hello_html_m41ed9621.gif называется вертикальной асимптотой гиперболы.

Прямая hello_html_3189e59f.gif называется горизонтальной асимптотой

8.

Непрерывность

Функция имеет разрыв при hello_html_m41ed9621.gif

9.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

10.

Графикhttp://raal100.narod2.ru/algebra/drobno-lineinaya_funktsiya/Drobno-lineinaya_funkcciyagrafik.png?rand=116150438975314


График дробно-линейной функции получается из графика функции hello_html_799b70a9.gif  с помощью параллельных переносов вдоль осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной функции симметричны относительно точки hello_html_m206ac370.gif



1.6 Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax² + bx + c, где a≠0.

1.

Область определения

D(f)=R

2.

Область значений

Зависит от значения а:

при a> 0 E(f) ϵ [-hello_html_7f8d4bb7.gif;+∞),

при a< 0 E(f) ϵ (-∞;-hello_html_7f8d4bb7.gif]

3.

Нули функции

Если D> 0, то график квадратичной функции имеет два нуля: х1=hello_html_m55504ece.gif; х2=hello_html_6fb4ba0e.gif и график функции пересекают ось х в 2 точках. Если D = 0, то график квадратичной функции имеет один нуль: x = -hello_html_3d4e0753.gif и касается оси х в точке (-hello_html_3d4e0753.gif; 0)

Если D< 0, то график квадратичной функции не имеет нулей, график не пересекает ось х.

4.

Четность

При b = 0 - функция четная, т. е. у = ах2 + с =

а(-х)2+с.

При b ≠0 функция ни четная, ни нечетная

5.

Периодичность

Непериодическая

6.

Монотонность

Если а>0, функция возрастает при хhello_html_m367324e0.gif [-hello_html_50d87f90.gif;+∞); убывает при хhello_html_m367324e0.gif (-∞;-hello_html_50d87f90.gif].

Если а<0, функция возрастает при хhello_html_m367324e0.gif(-∞;-hello_html_50d87f90.gif], убывает при хhello_html_m367324e0.gif [-hello_html_50d87f90.gif;+∞).

7.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Если а>0, то у графиков есть только минимум функций.

Если а<0 – только максимум функций. Это точки вершины параболы.

Если a> 0, то xmin = -hello_html_50d87f90.gif; ymin = - hello_html_7f8d4bb7.gif; если a< 0 xmax = -hello_html_50d87f90.gif; ymax= - hello_html_7f8d4bb7.gif.

8.

График функции

hello_html_6f33224a.pnghello_html_m73d1ffeb.png




1.7 Степенная функция

Функция, заданная формулой hello_html_4726cb6c.gif, называется степенной (с показателем степени n).



n - четное положительное

n - нечетное положительное

1.

Область определения

hello_html_mfeb07b1.gif

hello_html_mfeb07b1.gif

2.

Область значений

формула

формула

3.

Нули функции

hello_html_m3297bcfe.gif, M(0,0)

4.

Четность

Функция четная, так как hello_html_m35dbb689.gif

Функция нечетная, так как hello_html_m160e7fa9.gif 

5.

Периодичность

Непериодическая

6.

Монотонность

Функция возрастает при  hello_html_2a02cbaf.gif, убывает при  hello_html_m65595e4b.gif

Функция возрастает при  hello_html_m9664d07.gif

7.

Ограничен-ность

Асимптот нет

8.

Выпуклость, точки перегиба.


Функция вогнутая при hello_html_2687601a.gif

Точек перегиба нет

Функция выпуклая при hello_html_m4ea06d41.gif  и вогнутая при hello_html_2a02cbaf.gif (кроме линейной функции). Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).

9.

График



Функция проходит через точки (-1;1)(0;0)(1;1)

графики степенных функций с четными положительными показателями

Функция проходит через точки (-1;-1)(0;0)(1;1)

графики степенных функций с различными нечетными положительными показателями




n - четное отрицательное

n - нечетное отрицательное

1.

Область определения

hello_html_m6fb66460.gif

Область значений

hello_html_m1a64c303.gif

hello_html_78041230.gif

3.

Нули функции

Не имеет

4.

Четность

Четна hello_html_m35dbb689.gif

Нечетная hello_html_27027efa.gif

5.

Периодичность


6.

Монотонность

Возрастает при hello_html_73bf0566.gif. Убывает приформула.

Убывает при hello_html_m6fb66460.gif

7.

Ограниченность

Прямая x = 0 - вертикальная асимптота

Горизонтальная асимптота -  y = 0

Прямая  x = 0 - вертикальной асимптота

Горизонтальная асимптота - прямая y = 0

8.

Выпуклость, точки перегиба.


Вогнутая при hello_html_m6fb66460.gif

Точек перегиба нет.

Выпуклая при   hello_html_73bf0566.gif и вогнутая при формула.

9.

График



Функция проходит через точки (-1;1)(1;1).

графики степенных функций с четными отрицательными показателями

Функция проходит через точки (-1;-1)(1;1).

графики степенных функций с нечетными отрицательными показателями




n>1

01

1.

Область определения

hello_html_m13457350.gif

hello_html_16b1ed48.gif

Область значений

hello_html_7872024b.gif

hello_html_7872024b.gif

3.

Нули функции

y=0 при x=0

4.

Четность

ни четная, ни нечетная

5.

Периодичность

непериодическая

6.

Монотонность

Возрастает при hello_html_5939f0c7.gif

Возрастает при hello_html_5939f0c7.gif

7.

Асимптоты

Асимптот нет

8.

Выпуклость, точки перегиба.


Вогнутая приhello_html_m8af2dbe.gif.

Точек перегиба нет.

Выпуклая при hello_html_m8af2dbe.gif

Точек перегиба нет.

9.

График



графики степенных функций с нецелыми показателями, большими единицы


Функция проходит через точки (0;0)(1;1)

графики степенных функций с показателями из интервала от нуля до единицы


Функция проходит через точки (0;0)(1;1).



1.8 Показательная функция

Показательная функция  —  функция вида f(x) = a^x\,\!, где a называется основанием степени, а x — показателем степени.



a >1

0 < а < 1

1.

Область определения

hello_html_m5c010790.gif

2.

Множество значений

hello_html_73d93c0.gif

3.

Нули функции

Точка (0; 1) – единственная точка пересечения с осями координат

4.

Четность

Функция ни четная, ни не чётная, так как hello_html_mcff461e.gif

5.

Периодичность

Функция не является периодической

6.

Монотонность

Возрастает на промежутке hello_html_77a2c648.gif

Убывает на промежуткеhello_html_m5c010790.gif

7.

Ограниченность

Вертикальных асимптот не существует,

Горизонтальная асимптота у = 0

8.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Не существует экстремальных точек.


9.

Выпуклость, точки перегиба.

Не существует точек перегиба.

10.

График




график


график


    1. Логарифмическая функция


Функцию, заданную формулой hello_html_m52a879e2.gif, называют логарифмической функцией с основанием а, где аhello_html_be71f2d.gifhello_html_be71f2d.gif1 и х - независимая переменная.




hello_html_m68ce0c23.gif

hello_html_m1d3116a.gif

1.

Область определения

hello_html_590d88c2.gif

2.

Область значений

hello_html_m342bedb4.gif

3.

Нули функции

Точка (1; 0) – единственная точка пересечения с осями координат


4.

Четность

Функция ни четная, ни не чётная, так как hello_html_m59c04cd8.gif

5.

Периодичность

Функция не является периодической

6.

Монотонность

функция возрастает на промежутке hello_html_590d88c2.gif

убывает на промежутке hello_html_590d88c2.gif

7.

Ограниченность

Горизонтальных асимптот не существует,

Вертикальная асимптота х = 0

8.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке


не имеет

9.

Выпуклость, точки перегиба.

График выпуклый. Не существует точек перегиба.

График вогнутый

Не существует точек перегиба.

10

График









1.10 Тригонометрические функции




hello_html_12ea04d2.gif

hello_html_m4af32b3d.gif

1.

Область определения

hello_html_m35213b54.gif

Область значений

hello_html_12102809.gif

3.

Нули функции

hello_html_m2ba91233.gifпри hello_html_6993c621.gif;

hello_html_m2715fe84.gifпри hello_html_m33e0e932.gif;

hello_html_m6f0c68dc.gifприhello_html_18e991db.gif.

hello_html_13005ead.gifпри hello_html_m89246e0.gif

hello_html_1fbcb21c.gifпри hello_html_m14a1294b.gif;

hello_html_m2dc91290.gifпри hello_html_54fed5f7.gif

4.

Четность

нечетная

hello_html_2c06bd07.gif

четная

hello_html_2963a17f.gif

5.

Периодичность

hello_html_612b704f.gif

6.

Монотонность

возрастает на hello_html_m66618fd1.gif при

hello_html_m3d07b642.gif

убывает на hello_html_3297f1cb.gif при hello_html_m62a00377.gifhello_html_m26adbbe1.gif

возрастает на hello_html_m66618fd1.gif при hello_html_152e9fdd.gif

убывает на hello_html_71fb98a1.gif при hello_html_m37bde5ed.gif


7.

Асимптоты

нет вертикальных и горизонтальных асимптот


8.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

наибольшее значение, равное 1, в точках hello_html_4c980bb2.gif

наименьшее значение, равное 1, в точках hello_html_4d6e8932.gif

наибольшее значение, равное 1, в точках  hello_html_3870462a.gif

наименьшее значение, равное -1, в точках  hello_html_3870462a.gif


9.

Выпуклость, точки перегиба.

вогнутая hello_html_ef6132d.gif выпуклая hello_html_m37bde5ed.gif.

Координаты точек перегиба hello_html_m5c3d4d90.gif


вогнутаяhello_html_m26adbbe1.gifвыпуклая hello_html_m3d07b642.gifкоординаты точек перегибаhello_html_m25aa1193.gif

9.

График



Графиком функции является синусоида


Графиком функции является косинусоида




hello_html_117bc8de.gif

hello_html_m7e6bc85c.gif

1.

Область определения

hello_html_m35213b54.gif , кроме чисел вида hello_html_4c980bb2.gif

hello_html_m35213b54.gif, кроме чисел вида hello_html_7c845ce9.gif

2.

Область значений

hello_html_7c562802.gif

3.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

hello_html_m1dab0cb4.gif при hello_html_7c845ce9.gif

hello_html_1823797c.gif приhello_html_78cf9caf.gif

hello_html_2bb48e6c.gif при hello_html_m360ed50c.gif

hello_html_m48205b21.gifпри hello_html_4c980bb2.gif

hello_html_2befc2f.gifпри hello_html_78cf9caf.gif

hello_html_m2172be2e.gifпри hello_html_m360ed50c.gif

4.

Четность

нечетная

hello_html_m635b728a.gif

нечетная

hello_html_m5bd22354.gif,

5.

Периодичность

hello_html_m6d7ba48f.gif

6.

Монотонность

возрастает на hello_html_a57fdeb.gif при hello_html_m11cd0ec7.gif

убывает на hello_html_a57fdeb.gif

при hello_html_2e2d7a79.gif

7.

Асимптоты

вертикальные асимптоты

hello_html_m89246e0.gif

наклонных асимптот нет

вертикальные асимптоты

hello_html_m5653f990.gif и hello_html_18cb494.gif;

наклонных асимптот нет

8.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

не имеет

9.

Выпуклость, точки перегиба.


вогнутая,

выпуклая 

Координаты точек перегиба 

вогнутая ,

выпуклая

Координаты точек перегиба 


10.

График



Графиком функции является тангенсоида


Графиком функции является котангенсоида



1.11 Понятие обратной функции


Определение. Функция  называется обратимой, если для любых двух различных чисел hello_html_4b713d00.gif  и hello_html_d029193.gif, принадлежащих hello_html_m711a29ed.gif, числа hello_html_3b124876.gif  и hello_html_m8130c08.gif также различны.

Пример 1. hello_html_m2876b725.gif

hello_html_159250d.gif

Пример 2.  hello_html_med83849.gif

Пример 3.  hello_html_22385489.gif

Пример 4. hello_html_14b6ab10.gif

Пример 5. hello_html_m511d4b3a.gif

Пример 6. hello_html_11e522a3.gif

Обратимость всех этих функций — частный случай следующей теоремы

Теорема. Строго монотонная функция обратима.

Функция является обратимой в том и только в том случае, если любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет с ее графиком не более одной общей точки.

Определение. Пусть функция  f обратима, hello_html_1a80a486.gif  — ее область определения, hello_html_m40892ec5.gif  — множество ее значений. Для каждого числа hello_html_75cd0d60.gif обозначим через hello_html_me6f14da.gif такое число q из множества hello_html_1a80a486.gif, что  hello_html_1db9bc6e.gif (такое число существует и притом только одно). Мы получили новую функцию с областью определения hello_html_m40892ec5.gif и множеством значений hello_html_1a80a486.gif. Эта функция называется обратной функции hello_html_m1c260c24.gif.

Пример 7hello_html_m64d275d1.gif

Выяснить, обратима ли эта функция, и если обратима, то найти обратную.

hello_html_m21f3d4b3.gif

Функция hello_html_m6308d79.gif обратима,  — hello_html_m2ceb1f4c.gif обратная функция.

Теорема. Графики взаимно обратных функций в одной и той же координатной плоскости симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.

1.12 Обратные тригонометрические функции



hello_html_m5fa453c1.gif

hello_html_m59b89355.gif

1.

Область определения

D(f)=[-1;1]





D(f)=(-1;1)

2.

Область значений

E(f)=[-π/2;π/2 ];

E(f)=[0; π];

3.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Нули функции:

arcsin x = 0 при x = 0;

Функция возрастает

на [-1;1];

Нули функции:

arccos x = 0 при x = 1;

4.

Четность

Функция  является нечетной, т.е.

arcsin (-x) = - arcsin x;

Функция четная

arccos (-x) = π-arccosx


6.

Монотонность

Возрастает на [-1;1]

Функция убывает

на (-1;1);

7.

Асимптоты

Вертикальных асимптот нет.




Наклонных асимптот нет.

Вертикальные асимптоты

x= -1 и x=1

Наклонных асимптот нет

8.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Функция принимает наибольшее значение  при x=1.

Функция принимает наименьшее значение  при x= -1;

Функция принимает наибольшее значение π при x = -1.

Функция принимает наименьшее значение 0 при x= 1.

9.

Выпуклость, точки перегиба.


Выпуклая на промежутке [-1;0], вогнутая на промежутке [0;1]. Точка (0;0) – точка перегиба

Выпуклая на промежутке [0;1), вогнутая на промежутке (-1;0]. Точка (0;π/2) – точка перегиба

10.

График



arcsinx

arccosx



hello_html_7393310f.gif

hello_html_m31025719.gif

1.

Область определения

D(f)=R

D(f)=R

2.

Область значений

E(f)= (-π/2; π/2)

E(f)= (0; π)

3.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Нули функции:

arctg x = 0 при x = 0;

Нули функции:

arctg x = 0 нет

4.

Четность

Функция является нечетной, т.е.

arctg (- x) = - arctg x;

Функция не является ни четной, ни нечетной

hello_html_m63260f47.gif

5.

Периодичность

Непериодическая

6.

Монотонность

Функция возрастает на R

Функция убывает на R;

7.

Асимптоты

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты y= π/2, y=-π/2

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты y= ±π


8.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Нет

9.

Выпуклость, точки перегиба.


Вогнутая на промежутке hello_html_532da088.gif, Выпуклая промежутке hello_html_m7e05b91c.gif. Точка (0;0) – точка перегиба

Вогнутая на промежутке hello_html_1bbf0c9.gif, Выпуклая на промежутке hello_html_2babf686.gif. Точка (0;π/2) – точка перегиба

10.

График



arctgx

arcctgx




1.12 Примеры исследования свойств функции


Пример 1. Исследуем функцию f(x) = Зх5 - 5х + 2 и построим ее график.

D(f)= R, так как f - многочлен.

Функция не является периодической, так как она принимает значение 0 не больше, чем в пяти точках.

Функция не является четной, не является нечетной, так как f(1) = 0 и

f(-1) = 4.

График пересекает ось ординат в точке (0; 2).

График асимптот не имеет.

Производная f'(х) = 15 х 4-15 х 2 =15 х2 (х2 - 1).

f'(x) существует на R.

f'(x) = 0, если х = 0 или х = 1, или х = -1.

Критические точки: -1,0; 1.

Найдем значения функции в критических точках:

f(0) = 2, f(1) = 0, f(-1) = 4.

Исследуем знак производной f'(x) = 12 (х +1)(х -1).

f'(2) = 15 * 4(2 +1)(2 -1) = 60 *3 = 180 > 0.


Используя достаточный признак возрастания и убывания функции и учитывая ее непрерывность в точках -1; 0 и 1, получаем, что функция f(х) возрастает на (-∞; -1] и на [1; +∞), а убывает на [-1; 1].

Согласно достаточному признаку экстремума получаем, что в точке х = -1 функция имеет максимум, равный 4, а точке х = 1 - минимум, равный 0.

Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:




х

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

f(х)

-3,9

4

2,53

2

1,46

0

7,06




Построим график функции.

f(х)=Зх5-5х3+2












Пример 2. Исследуем функцию

f(x) = и построим ее график.

f(x) = .

D(f) = (-∞; - 2)(-2; 2)(2; +∞)

Функция не является периодической, так как она принимает значение 0 только в одной точке х = 0.

Функция является нечетной, так как D(f) - симметричное множество относительно 0, и для всех

х  D(f) имеем:

f(-x) = = - = -f(x)

График функции f проходит через начало координат: f(0) = 0. Интервалы знакопостоянства:



f’(x) = = = = - .


X

-4

-3

-2,5

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2,5

3

4

f(x)







0








Построим график функции.







Глава II



Построение графиков элементарных функций в табличном редакторе MS Excel 2010

Отталкиваясь от актуальности работы об обобщении и систематизации знаний об элементарных функциях, их свойствах и графиках, мною была выбрана общая форма задания функций аналитическим способом: линейная и дробно-линейная функция – y = ± kx ± b, y = (±kx ± b)/(±сx ± m); показательная и логарифмическая функции - y= ±c*ax ± d, y= ±с ± b*logax; степенная функция – y = ±c*xa±d; простые тригонометрические функции – y = ±a ±b*cos(cx±d), y = ±a ± b*sin(cx ± d), y = ±a ± b*tg(cx ± d), y=±a ± b*ctg(cx±d). Коэффициенты и множители k, b, c, m, d принадлежат всему множеству действительных чисел, изменяя которые можно изучать основные виды преобразования графиков.

Параллельный перенос по оси OY осуществляется изменением свободного слагаемого, получаем семейство прямых с одним углом наклона к оси OX (см. Приложение 1). Подобным образом осуществляется перенос в других функциях. Растяжение (сжатие) особенно наглядно видно при изменении множителя тригонометрических функций. Для b>0 видно увеличение амплитуды косинусоиды (см. Приложение 2), а для различных «с» происходит растяжение (сжатие) вдоль оси OX (см. Приложение 3). Преобразование графика, зеркальное отражение, нетрудно заметить на функции tg, изменив знаки свободного слагаемого и множителя функции (см. Приложение 4). Для логарифмической функции зеркальное отражение показано через добавление множителя -1 в формуле электронных таблиц функции y=-log3x (см. Приложение 5).

Общие формулы представления элементарных функций позволяют самостоятельно, уже с седьмого класса, учиться записывать конкретную функцию. Изменение коэффициентов в практической работе по построению графиков закрепляет изучение свойств элементарных функций, помогает научиться представлению графиков, быстрому их распознаванию в соответствующих заданиях ЕГЭ по математике.

hello_html_m78a1a6b5.pngРис. 1

Рис. 1

Работа по построению диаграммы вида график на листе в MS Excel начиналась с создания списка выбора условия для каждого коэффициента (см. рис. 1). Выбор отрезка на оси OX стал вторым шагом для построения графиков.

В дробно-линейной, тригонометрических, логарифмической, степенной функциях в табуляции преднамеренно оставлены значения х, в которых функции не определены. Такой подход даёт возможность каждый раз самостоятельно решать вопрос об области определения функции (см. рис. 2). Третий шаг – непосредственный перевод формулы аналитического задания функции в формулу адресов ячеек электронной таблицы и авто заполнение по столбцу значений функции на весь диапазон значений х. hello_html_m106f1a21.pngРис. 2


Для сравнения графиков с измененными коэффициентами было придумано их совместное представление на одной диаграмме, что хорошо видно на всех представленных приложениях к работе.

hello_html_m38ae69d3.pngРис. 3

Первоначально построенные диаграммы были не воспринимаемы и не читаемы (см. рис 3). Для восприятия в соответствии со свойствами каждый раз приходилось изменять параметры основных осей, линий сетки, шрифтов подписей легенды диаграммы и на осях.

Логическим продолжением представленной работы по исследованию элементарных функций будет создание графиков для обратных тригонометрических функций арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса.

Дополнением школьного курса элементарных функций станет исследование функций y = sec x и y = cosec x. Для рассмотрения преобразований графиков этих функций также возможно будет воспользоваться множителями и слагаемыми в общих формулах задания функций.

В моих планах с помощью электронных таблиц показать построение графиков сложных функций.




Заключение



В ходе исследовательской работы я выбрала схему исследования свойств функций и апробировала ее при построении графиков функций в табличном редакторе. Для каждой из функций выявила, от чего зависит расположение графиков на координатной плоскости.

В работе рассмотрены преобразования графиков: параллельный перенос для дробно-линейной функции, сжатие-растяжение для тригонометрических функций.

Создала электронное пособие для изучения свойств электронных функций, которое может использоваться учителями на уроках математики и информатики.




Приложение 1

hello_html_2444f752.png

Приложение 2

hello_html_4f579359.png



Приложение 3

hello_html_7bddeb62.png

Приложение 4

hello_html_6b50dfd0.png






Библиография


1.А.Д. Кутасов. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.:Наука.1985 год.

2.М.Я Выгодский. Справочник по элементарной математике.

-Москва.19.62 год.

3.Ю.Н. Макарычев. Алгебра.7,8,9 класс: учебники для общеобразовательных учреждений. -М.: Просвещение.2011 год.

4. А.Н. Колмогоров. Алгебра и начала математического анализа.10-11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. -М.: Просвещение. 2011 год

5. О.В. Иванов, Л.В. Кудряшова. «Функции», «Графики основных элементарных функций. Преобразование графиков». htt://msu-students.ru

6. Основные элементарные функции. Их свойства, графики. http://www.cleverstudents.ru/range_of_function.html





















































Приложения


41



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 15.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров251
Номер материала ДВ-157061
Получить свидетельство о публикации

Комментарии:

1 год назад

Данный файл - печатный вариант проекта ученицы 11 кл. по обобщению и систематизации знаний и навыков по разделу изученных простых функций в школьном курсе алгебры и начал математического анализа. Продукт проекта - электронное пособие в MS Exel, где можно задавать коэффициенты к формулам функций в общем виде, чтобы ученики по строящимся автоматически графикам видели происходящие преобразования

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх