1028233
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыПроект по теме "Определители второго порядка".

Проект по теме "Определители второго порядка".

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.






Определители

второго порядка.






Работу выполнил: Пономарев Антон (10 а класс)

Руководитель: Игошева Светлана Витальевна

Введение.

На уроках алгебры мы решаем системы линейных уравнений с несколькими неизвестными, используя для этого три известных нам метода: графический метод, метод алгебраического сложения и метод подстановки.

Я выбрал тему «Определители», потому что захотел узнать, есть ли еще какой-нибудь метод решения систем линейных уравнений? Насколько он рационален, по сравнению с известными мне методами?

Я поставил перед собой следующие цели:

- Ознакомиться со способом решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными с помощью определителей

- Рассмотреть разновидности этого метода решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными

Открытие определителей приписывают японскому математику С.Кова и Г.Лейбницу. Современная теория восходит к работам Ж.Бине, О.Коши и К.Якоби в начале 19 века.




Определители второго порядка.



Любые четыре числа, которые мы для удобства обозначим hello_html_m48a8568a.gif, hello_html_e7664b7.gif, hello_html_m17589933.gif, hello_html_4510356b.gif, можно расположить в виде квадратной таблицы


А=hello_html_6119e53b.gif


называемой матрицей размерности (2hello_html_41b1474e.gif2) или квадратной матрицей второго порядка. Можно считать, что матрица А образована двумя строками (hello_html_4fadfc11.gif) и (hello_html_461dda37.gif) , каждую из которых можно рассматривать как вектор (говорят вектор-строка) , или двумя столбцами


hello_html_m4db71fd8.gif, hello_html_7d8d67d.gif


(говорят вектор-столбец).

Каждой квадратной матрице второго порядка можно поставить в соответствие число, называемое её определителем (определителем второго порядка) и обозначаемое hello_html_57916cf5.gif:


hello_html_m2e89ca11.gif.

Первый индекс i каждого из чисел hello_html_de3456f.gif указывает на номер строки, в которой находится число, а второй индекс j - номер столбца.

Определители второго порядка вычисляются по правилу


hello_html_m668bc082.gifhello_html_m5afdc040.gifhello_html_1fcef421.gif.




Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.



Общий вид


hello_html_m5a7323b3.gif


(Хотя бы один из коэффициентов при неизвестных предполагается отличным от нуля.)

Определитель системы


hello_html_45f7f14f.gif


Первый случай. Если hello_html_m268c1030.gif, то система имеет и притом единственное решение:


hello_html_4ed066d5.gifhello_html_68b0a990.gif


Второй случай. Если


hello_html_319b7b52.gifи hello_html_m302a2c3e.gif,


то система неопределённа, так как тогда


hello_html_470ad4cc.gif








т. е. второе уравнение системы получается из первого умножением на k. Система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными, имеющему бесконечно много решений: достаточно задать произвольно y, как мы найдем соответствующее x, или обратно: по заданному x найдем соответствующее y.

Третий случай. Определитель hello_html_m7f4775d9.gif, а один из определителей


hello_html_76e07296.gifи hello_html_7cb2631f.gif


не равен нулю. В этом случае система противоречива и не имеет решения.
























Примеры решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей.



Пример №1. Найти решение системы


hello_html_m13f65362.gif


Находим


hello_html_c31dd19.gif


Система имеет единственное решение:


hello_html_mffba98d.gif hello_html_m7505f8e.gif


Пример №2. Найти решение системы


hello_html_3c8419d4.gif


Находим


hello_html_72ec90ff.gif

hello_html_m5acbf844.gif


Второе уравнение получено из первого умножением на 2.

Система сводится к одному уравнению hello_html_4bfcaf93.gif или hello_html_m7c7c5d88.gif и, следовательно, имеет бесконечное множество решений:


hello_html_m6502c3c2.gif


По заданному значению x всегда можно найти соответствующее значение y.


Пример №3. Найти решение системы


hello_html_m597f94aa.gif


Находим

hello_html_38f77180.gif


Уравнения противоречивы. Система не имеет решений.




















Определители третьего порядка.


Девять элементов hello_html_e7858a8.gif, где I номер строки, а j – номер столбца (hello_html_m1bed8ce9.gif) , располагаются в квадратную таблицу


hello_html_m231c5809.gif


которая является квадратной матрицей третьего порядка. Матрица третьего порядка состоит из трех векторов-столбцов или же из трех векторов-строк. Ей можно поставить в соответствие число, которое называется определителем третьего порядка и обозначается


hello_html_776489be.gif


Определитель второго порядка, полученный из определителя третьего порядка вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент hello_html_e7858a8.gif, называется минором этого элемента:


hello_html_m3a34fae.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_m441d7c7e.gif


Каждый определитель третьего порядка можно разложить по элементам строки или столбца:


hello_html_m590f6cda.gifи т. д.






Используя это свойство, можно вычислить определитель четвертого порядка, сведя его к четырем определителям третьего порядка, и т. д.

Определитель третьего порядка непосредственно можно вычислить по следующей схеме:


hello_html_m5e0e527d.gifhello_html_m5e0e527d.gifhello_html_m5e0e527d.gif+ + +

hello_html_7074c244.gifhello_html_7074c244.gifhello_html_7074c244.gifhello_html_m165cdbe6.gif



_ _ _


т. е. к элементам определителя приписываются справа два первых столбца, и находится алгебраическая сумма произведений «диагональных» элементов:


hello_html_m4faa3f33.gif























Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.


Общий вид


hello_html_m4676e541.gifhello_html_m53d4ecad.gif


Определитель системы

hello_html_m1a14de2d.gif


Первый случай. Если hello_html_m268c1030.gif, то система имеет решение


hello_html_m44406566.gif


Второй случай. Если hello_html_m7f4775d9.gif и все три определителя, стоящие в числителях, тоже равны нулю, то система неопределенна. Она сводится к двум или к одному уравнению с тремя неизвестными.

Задавая одно или два неизвестных, решаем затем либо систему двух уравнений с двумя неизвестными, либо одно уравнение с одним неизвестным.

Третий случай, hello_html_m7f4775d9.gif, один из определителей, стоящих в числителе, не равен нулю. Уравнение противоречиво.

Примеры решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей.


Пример №1. Найти решение системы


hello_html_m5d3722e4.gif


Находим


hello_html_m7f9a71ac.gif


Система имеет единственное решение:


hello_html_61f22408.gif


Пример №2. Найти решение системы


hello_html_m530624b6.gif










Находим


hello_html_m5f24b757.gif


Система неопределенна и, следовательно, имеет бесчисленное множество решений. Нетрудно заметить, что последнее уравнение есть сумма первых двух.

Рассмотрим систему


hello_html_25199ef8.gif


так как hello_html_325a9a6.gif, то систему можно решать относительно x и y, считая z неизвестным:


hello_html_347ae576.gif


Находим


hello_html_m3308e4a3.gif


Общее решение


hello_html_m75b32c8a.gif


Пример №3. Найти решение системы


hello_html_m5650a79e.gif


Находим


hello_html_4de7d8e.gif


Система противоречива и, следовательно, не имеет решений.

Заключение.

Метод решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными с помощью определителей достаточно необычен, но более рационален и точен, нежели графический метод. Но если в системе линейных уравнений присутствуют, как минимум, трехзначные числа, то вычисление значений неизвестных становится затруднительным без использования калькулятора.


Библиографический список.


  1. Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. «Справочник по математике». Москва «Высшая школа» 1987год.

  2. Петраков И.С. «Математические кружки в 8-10 классах». Москва «Просвещение» 1987год.

3. Интернет – сайт «www.wikipedia.org»

Содержание.


Введение…………………………………………………………………1


Определители второго порядка………………………………………...2


Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными…………3


Примеры решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей……………………………..5


Определители третьего порядка………………………………………..7


Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными………….9


Примеры решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей……………………………10


Заключение……………………………………………………………..13


Библиографический список…………………………………………...14


Содержание……………………………………………………………..15

23


Общая информация

Номер материала: ДВ-050354

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.