Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проект по теме "Определители второго порядка".

Проект по теме "Определители второго порядка".


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:






Определители

второго порядка.






Работу выполнил: Пономарев Антон (10 а класс)

Руководитель: Игошева Светлана Витальевна

Введение.

На уроках алгебры мы решаем системы линейных уравнений с несколькими неизвестными, используя для этого три известных нам метода: графический метод, метод алгебраического сложения и метод подстановки.

Я выбрал тему «Определители», потому что захотел узнать, есть ли еще какой-нибудь метод решения систем линейных уравнений? Насколько он рационален, по сравнению с известными мне методами?

Я поставил перед собой следующие цели:

- Ознакомиться со способом решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными с помощью определителей

- Рассмотреть разновидности этого метода решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными

Открытие определителей приписывают японскому математику С.Кова и Г.Лейбницу. Современная теория восходит к работам Ж.Бине, О.Коши и К.Якоби в начале 19 века.




Определители второго порядка.



Любые четыре числа, которые мы для удобства обозначим hello_html_m48a8568a.gif, hello_html_e7664b7.gif, hello_html_m17589933.gif, hello_html_4510356b.gif, можно расположить в виде квадратной таблицы


А=hello_html_6119e53b.gif


называемой матрицей размерности (2hello_html_41b1474e.gif2) или квадратной матрицей второго порядка. Можно считать, что матрица А образована двумя строками (hello_html_4fadfc11.gif) и (hello_html_461dda37.gif) , каждую из которых можно рассматривать как вектор (говорят вектор-строка) , или двумя столбцами


hello_html_m4db71fd8.gif, hello_html_7d8d67d.gif


(говорят вектор-столбец).

Каждой квадратной матрице второго порядка можно поставить в соответствие число, называемое её определителем (определителем второго порядка) и обозначаемое hello_html_57916cf5.gif:


hello_html_m2e89ca11.gif.

Первый индекс i каждого из чисел hello_html_de3456f.gif указывает на номер строки, в которой находится число, а второй индекс j - номер столбца.

Определители второго порядка вычисляются по правилу


hello_html_m668bc082.gifhello_html_m5afdc040.gifhello_html_1fcef421.gif.




Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.



Общий вид


hello_html_m5a7323b3.gif


(Хотя бы один из коэффициентов при неизвестных предполагается отличным от нуля.)

Определитель системы


hello_html_45f7f14f.gif


Первый случай. Если hello_html_m268c1030.gif, то система имеет и притом единственное решение:


hello_html_4ed066d5.gifhello_html_68b0a990.gif


Второй случай. Если


hello_html_319b7b52.gifи hello_html_m302a2c3e.gif,


то система неопределённа, так как тогда


hello_html_470ad4cc.gif








т. е. второе уравнение системы получается из первого умножением на k. Система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными, имеющему бесконечно много решений: достаточно задать произвольно y, как мы найдем соответствующее x, или обратно: по заданному x найдем соответствующее y.

Третий случай. Определитель hello_html_m7f4775d9.gif, а один из определителей


hello_html_76e07296.gifи hello_html_7cb2631f.gif


не равен нулю. В этом случае система противоречива и не имеет решения.
























Примеры решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей.



Пример №1. Найти решение системы


hello_html_m13f65362.gif


Находим


hello_html_c31dd19.gif


Система имеет единственное решение:


hello_html_mffba98d.gif hello_html_m7505f8e.gif


Пример №2. Найти решение системы


hello_html_3c8419d4.gif


Находим


hello_html_72ec90ff.gif

hello_html_m5acbf844.gif


Второе уравнение получено из первого умножением на 2.

Система сводится к одному уравнению hello_html_4bfcaf93.gif или hello_html_m7c7c5d88.gif и, следовательно, имеет бесконечное множество решений:


hello_html_m6502c3c2.gif


По заданному значению x всегда можно найти соответствующее значение y.


Пример №3. Найти решение системы


hello_html_m597f94aa.gif


Находим

hello_html_38f77180.gif


Уравнения противоречивы. Система не имеет решений.




















Определители третьего порядка.


Девять элементов hello_html_e7858a8.gif, где I номер строки, а j – номер столбца (hello_html_m1bed8ce9.gif) , располагаются в квадратную таблицу


hello_html_m231c5809.gif


которая является квадратной матрицей третьего порядка. Матрица третьего порядка состоит из трех векторов-столбцов или же из трех векторов-строк. Ей можно поставить в соответствие число, которое называется определителем третьего порядка и обозначается


hello_html_776489be.gif


Определитель второго порядка, полученный из определителя третьего порядка вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент hello_html_e7858a8.gif, называется минором этого элемента:


hello_html_m3a34fae.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_m441d7c7e.gif


Каждый определитель третьего порядка можно разложить по элементам строки или столбца:


hello_html_m590f6cda.gifи т. д.






Используя это свойство, можно вычислить определитель четвертого порядка, сведя его к четырем определителям третьего порядка, и т. д.

Определитель третьего порядка непосредственно можно вычислить по следующей схеме:


hello_html_m5e0e527d.gifhello_html_m5e0e527d.gifhello_html_m5e0e527d.gif+ + +

hello_html_7074c244.gifhello_html_7074c244.gifhello_html_7074c244.gifhello_html_m165cdbe6.gif



_ _ _


т. е. к элементам определителя приписываются справа два первых столбца, и находится алгебраическая сумма произведений «диагональных» элементов:


hello_html_m4faa3f33.gif























Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.


Общий вид


hello_html_m4676e541.gifhello_html_m53d4ecad.gif


Определитель системы

hello_html_m1a14de2d.gif


Первый случай. Если hello_html_m268c1030.gif, то система имеет решение


hello_html_m44406566.gif


Второй случай. Если hello_html_m7f4775d9.gif и все три определителя, стоящие в числителях, тоже равны нулю, то система неопределенна. Она сводится к двум или к одному уравнению с тремя неизвестными.

Задавая одно или два неизвестных, решаем затем либо систему двух уравнений с двумя неизвестными, либо одно уравнение с одним неизвестным.

Третий случай, hello_html_m7f4775d9.gif, один из определителей, стоящих в числителе, не равен нулю. Уравнение противоречиво.

Примеры решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей.


Пример №1. Найти решение системы


hello_html_m5d3722e4.gif


Находим


hello_html_m7f9a71ac.gif


Система имеет единственное решение:


hello_html_61f22408.gif


Пример №2. Найти решение системы


hello_html_m530624b6.gif










Находим


hello_html_m5f24b757.gif


Система неопределенна и, следовательно, имеет бесчисленное множество решений. Нетрудно заметить, что последнее уравнение есть сумма первых двух.

Рассмотрим систему


hello_html_25199ef8.gif


так как hello_html_325a9a6.gif, то систему можно решать относительно x и y, считая z неизвестным:


hello_html_347ae576.gif


Находим


hello_html_m3308e4a3.gif


Общее решение


hello_html_m75b32c8a.gif


Пример №3. Найти решение системы


hello_html_m5650a79e.gif


Находим


hello_html_4de7d8e.gif


Система противоречива и, следовательно, не имеет решений.

Заключение.

Метод решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными с помощью определителей достаточно необычен, но более рационален и точен, нежели графический метод. Но если в системе линейных уравнений присутствуют, как минимум, трехзначные числа, то вычисление значений неизвестных становится затруднительным без использования калькулятора.


Библиографический список.


  1. Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. «Справочник по математике». Москва «Высшая школа» 1987год.

  2. Петраков И.С. «Математические кружки в 8-10 классах». Москва «Просвещение» 1987год.

3. Интернет – сайт «www.wikipedia.org»

Содержание.


Введение…………………………………………………………………1


Определители второго порядка………………………………………...2


Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными…………3


Примеры решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей……………………………..5


Определители третьего порядка………………………………………..7


Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными………….9


Примеры решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей……………………………10


Заключение……………………………………………………………..13


Библиографический список…………………………………………...14


Содержание……………………………………………………………..15

23



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 11.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров188
Номер материала ДВ-050354
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх