Проект по теме "Определители второго порядка".

Определители

второго  порядка.

Работу  выполнил: Пономарев Антон (10 а класс)

Руководитель:  Игошева  Светлана  Витальевна
Введение.

         На уроках алгебры мы решаем системы линейных уравнений с несколькими неизвестными, используя для этого три известных нам метода: графический метод, метод алгебраического сложения и метод подстановки.

Я выбрал тему «Определители», потому что захотел узнать, есть ли еще какой-нибудь метод решения систем линейных уравнений? Насколько он рационален, по сравнению с известными мне методами?

Я поставил перед собой следующие цели:

- Ознакомиться со способом решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными с помощью определителей

- Рассмотреть разновидности этого метода решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными

Открытие определителей приписывают японскому математику С.Кова и Г.Лейбницу. Современная теория восходит к работам Ж.Бине, О.Коши и К.Якоби в начале 19 века.

Определители второго порядка.

Любые четыре числа, которые мы для удобства обозначим   , , , , можно расположить в виде квадратной таблицы

А=

называемой матрицей размерности (22) или квадратной матрицей второго порядка. Можно считать, что матрица А образована двумя строками () и () , каждую из которых можно рассматривать как вектор (говорят вектор-строка) , или двумя столбцами

 ,

(говорят вектор-столбец).

         Каждой квадратной матрице второго порядка можно поставить в соответствие число, называемое её определителем (определителем второго порядка) и обозначаемое :

.

Первый индекс i каждого из чисел  указывает на номер строки, в которой находится число, а второй индекс j - номер столбца.

         Определители второго порядка вычисляются по правилу

.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Общий вид

(Хотя бы один из коэффициентов при неизвестных предполагается отличным от нуля.)

         Определитель системы

Первый случай. Если , то система имеет и притом единственное решение:

 

         Второй случай. Если

   и   ,

то система неопределённа, так как тогда

т. е. второе уравнение системы получается из первого умножением на k. Система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными, имеющему бесконечно много решений: достаточно задать произвольно y, как мы найдем соответствующее x, или обратно: по заданному x найдем соответствующее y.

Третий случай. Определитель , а один из определителей

   и  

не равен нулю. В этом случае система противоречива и не имеет решения.

Примеры решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей.

Пример №1.  Найти решение системы

Находим

Система имеет единственное решение:

        

Пример №2. Найти решение системы

Находим

Второе уравнение получено из первого умножением на 2.

         Система сводится к одному уравнению  или  и, следовательно, имеет бесконечное множество решений:

         По заданному значению x всегда можно найти соответствующее значение y.

Пример №3. Найти решение системы

Находим

Уравнения противоречивы. Система не имеет решений.

Определители третьего порядка.

         Девять элементов , где I – номер строки, а j – номер столбца () , располагаются в квадратную таблицу

которая является квадратной матрицей третьего порядка. Матрица третьего порядка состоит из трех векторов-столбцов или же из трех векторов-строк. Ей можно поставить в соответствие число, которое называется определителем третьего порядка и обозначается

         Определитель второго порядка, полученный из определителя третьего порядка вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент , называется минором этого элемента:

Каждый определитель третьего порядка можно разложить по элементам строки или столбца:

 и т. д.

         Используя это свойство, можно вычислить определитель четвертого порядка, сведя его к четырем определителям третьего порядка, и т. д.

         Определитель третьего порядка непосредственно можно вычислить по следующей схеме:

                                          +    +     +

                                        _     _     _

т. е. к элементам определителя приписываются справа два первых столбца, и находится алгебраическая сумма произведений «диагональных» элементов:

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Общий вид

Определитель системы

Первый случай. Если , то система имеет решение

Второй случай. Если  и все три определителя, стоящие в числителях, тоже равны нулю, то система неопределенна. Она сводится к двум или к одному уравнению с тремя неизвестными.

         Задавая одно или два неизвестных, решаем затем либо систему двух уравнений с двумя неизвестными, либо одно уравнение с одним неизвестным.

         Третий случай, , один из определителей, стоящих в числителе, не равен нулю. Уравнение противоречиво.

Примеры решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей.

Пример №1.  Найти решение системы

Находим

Система имеет единственное решение:

Пример №2.  Найти решение системы

Находим

Система неопределенна и, следовательно, имеет бесчисленное множество решений. Нетрудно заметить, что последнее уравнение есть сумма первых двух.

         Рассмотрим систему

так как , то систему можно решать относительно x и y, считая z неизвестным:

Находим

Общее решение

Пример №3.  Найти решение системы

Находим

Система противоречива и, следовательно, не имеет решений.

Заключение.

Метод решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными с помощью определителей достаточно необычен, но более рационален и точен, нежели графический метод. Но если в системе линейных уравнений присутствуют, как минимум, трехзначные числа, то вычисление значений неизвестных становится затруднительным без использования калькулятора.

Библиографический список.

1.                                       Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. «Справочник по математике». Москва «Высшая школа» 1987год.

2.                                       Петраков И.С. «Математические кружки в 8-10 классах». Москва «Просвещение» 1987год.

3.               Интернет – сайт «www.wikipedia.org»
Содержание.

Введение…………………………………………………………………1

Определители второго порядка………………………………………...2

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными…………3

Примеры решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей……………………………..5

Определители третьего порядка………………………………………..7

Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными………….9

Примеры решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей……………………………10

Заключение……………………………………………………………..13

Библиографический список…………………………………………...14

Содержание……………………………………………………………..15