Проект по теме: Параллельные прямые в жизни

Содержание

Введение ..........................................................................................................................3

I. Теоретическая часть

    1.1. Определение параллельных прямых ..............................................................4

    1.2. Параллельные прямые в жизни .......................................................................4

    1.3. Иллюзии  параллельных  прямых ...................................................................5

    1.4.Способы построения параллельных прямых ..................................................6

    1.5.Профессиональные способы построения параллельных прямых …………7

    1.6.Применение параллельных прямых в геометрии …………………………..7

II. Практическая часть

    2.1. Анкетирование учащихся.................................................................................9

    2.2. Изготовление проектного продукта……………............................................9

Заключение ....................................................................................................................10

Список литературы .......................................................................................................11

Приложения....................................................................................................................12

Введение

Каждый современный ученик должен быть всесторонне развитым, поэтому ему необходимо владеть не только математическими знаниями, но и знать историю математики. Школьная программа, к сожалению, не предусматривает изучение вопроса «История параллельных прямых», а способы построения параллельных прямых изучаются не в полном объёме. Исходя из этого, я решила расширить свои знания в области математики, а именно: изучить историю параллельных прямых, показать их значимость и закрепить умения строить параллельные прямые на линованной и нелинованной бумаге. Поэтому выбранная мной тема исследования актуальна.

Гипотеза: Без параллельных прямых невозможна наша жизнь.

Цель моего проекта: Показать необходимость и значимость параллельных прямых.

Задачи проекта:

1.   Собрать материал по теме, изучив литературу и Интернет-источники.

2. Изучить определения, способы построения и применение параллельных прямых в жизни.

3. Провести анкетирование обучающихся школы.

4. Составить буклет “ Параллельные прямые в жизни”.

I. Теоретическая часть

1.1. Определение параллельных прямых

           С греческого языка понятие «параллелос» переводится «рядом идущий» или «проведенный друг возле друга». Этот термин использовался в древней школе Пифагора еще до того, как параллельные прямые получили свое определение.

В домашних справочных и энциклопедических изданиях я нашла несколько определений понятиям «параллель» и «параллельные прямые». Например, в самом      популярном     толковом     словаре     русского    языка   С. И. Ожегова   и Н. Ю. Шведовой параллелью в математике называется «Прямая, не  пересекающаяся  другой  прямой,  лежащей  с  ней  в  одной  плоскости».

А из занимательного толкового словаря  В. И. Даля – “ПАРАЛЛЕЛЬ” ж. - параллельная  линия, равна во всех точках от другой отстоящая и потому никогда не могущая с нею встретиться.

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В другом варианте определения, совпадающие прямые также считаются параллельными (Приложение 4, рис. 27)

Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского (Приложение  8).

В геометрии Лобачевского вместо неё принимается следующая аксиома: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят, по крайней мере, две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её (Приложение 4, рис. 25; рис. 26).

Согласно историческим фактам Евклидом в III в. До н.э. в его трудах все же был раскрыт смысл понятия параллельных прямых (Приложение  4,  рис. 1).

В древности знак для обозначения параллельных прямых имел отличный вид того, что мы используем в современной математике. Например, древнегреческим математиком Паппом в III в. Н.э. параллельность обозначалась с помощью знака равенства. Т.е. тот факт, что прямая l параллельна прямой m ранее обозначался «l=m». Позднее для обозначения параллельности прямых стали использовать привычный нам знак «∥», а знак равенства стали использовать для обозначения равенства чисел и выражений.

1.2.  Параллельные прямые в жизни

 Зачастую мы не замечаем, что в обычной жизни нас окружает огромное число параллельных прямых. Например, в нотной тетради и сборнике песен с нотами нотный стан выполнен с помощью параллельных линий (Приложение 4, рис. 2). Также параллельные линии встречаются и в музыкальных инструментах (например, струны арфы, гитары, клавиши фортепиано и т.п.) (Приложение 4, рис. 3). Электрические провода, которые расположены вдоль улиц и дорог, также проходят параллельно (Приложение 4, рис. 4). Рельсы линий метро и железных дорог располагаются параллельно. Кроме быта параллельные линии можно встретить в живописи, в архитектуре, при строительстве зданий (Приложение  4,  рис.  5;  рис. 6 ;  рис. 7).  

 На представленных изображениях архитектурные сооружения содержат параллельные прямые. Использование параллельности прямых в строительстве помогает увеличить срок службы таких сооружений и придает им необычайную красоту, привлекательность и величие. Линии электропередач также умышленно проводятся параллельно, чтобы избежать их пересечения или соприкосновения, что привело бы к замыканию, перебоям и отсутствию электричества. Чтобы поезд мог беспрепятственно перемещаться, рельсы также выполнены параллельными линиями. В живописи параллельные линии изображают сводящимися в одну линию или близкими к тому. Такой прием называется перспективой, которая следует из-за иллюзии зрения. Если долго смотреть вдаль, то параллельные прямые будут похожи на две сходящиеся линии.

1.3.Иллюзии параллельных прямых

Слово «иллюзия» происходит от латинского illusere – обманывать.

Зрительная иллюзия – ошибка в зрительном восприятии, искажение  пространственных соотношений признаков воспринимаемых объектов, ошибка в оценке и сравнении между собой длин отрезков, величин углов, расстояний между предметами, в восприятии формы предметов, совершаемые наблюдателем при определенных условиях.

Начало изучению зрительных иллюзий положило обнаружение немецким астрофизиком Ф. Цёлльнером (1860 г.) в рисунке купленной ткани эффекта визуального схождения и расхождения вертикальных параллельных линий при пересечении их короткими косыми линиями. Эта иллюзия наиболее сильно проявляется, когда пересекающееся линии образуют угол, равный 45° (Приложение 3, рис.  8).

На уроках геометрии, приступая к решению задачи, мы, как правило, первым делом строим чертёж, опираясь на свое зрительное восприятие. Но такой подход к решению задачи часто приводит к ошибочным выводам, а значит к неверному решению. Мы привыкли доверять собственному зрению, однако оно нередко обманывает нас, показывая то, чего в действительности не существует. В такие моменты мы сталкиваемся со зрительными иллюзиями - ошибками зрительного восприятия (Приложение  3,  рис. 9;  рис. 10; рис. 11).

В настоящее время люди не только поражаются обманам зрения и забавляются зрительными иллюзиями, но и сознательно используют их в своей практической деятельности. Иллюзии применяются в архитектуре, изобразительном, цирковом искусстве, кинематографии и даже в военном деле (Приложение 3, рис. 12; рис. 13; рис. 14).

        Но с другой стороны мы столкнулись со странным явлением: устремляя взгляд далеко в бесконечность, можно увидеть пересечение параллельных прямых!

     В чем же дело? Чтобы ответить на этот вопрос обратимся к великим ученым.

Но сначала я обратилась к учащимся 7 Б класса. С ними провела эксперимент «Иллюзии зрения». Учащимся задали вопрос: везде ли на картинках параллельные прямые? Результаты опроса таковы: участвовали 20 человек из них: 7 – 35% считают параллельно, 13 -65% нет (Приложение 3).

Вывод: в геометрии истинность каждого утверждения необходимо доказывать, нельзя полагаться только на наблюдения.

Положительный момент: благодаря зрительным искажениям существует живопись.

1.4. Способы  построения  двух  параллельных  прямых

Изучив теоретические сведения, касающиеся параллельных прямых, возникла необходимость к изучению практических способов геометрических построений  параллельных  прямых  на  плоскости. Рассмотрим некоторые из них (Приложение 7):

способы построения	инструменты
с помощью транспортира и линейки
с помощью линейки и угольника
с помощью линейки и циркуля

Завершая изучение способов построения двух параллельных прямых с помощью чертежных инструментов, невольно возник вопрос: «Как параллельные прямые строятся (чертятся) в современных профессиональных условиях? Ведь при изготовлении чертежа определенного проекта невозможно обойтись лишь элементарными  геометрическими  инструментами!»

1.5.  Профессиональные  способы  построения  параллельных  прямых

40-50 лет назад проекты вычерчивались вручную на громоздких с большим количеством разных винтов деревянных чертежных столах. При работе на таких столах нужно было пользоваться обычными инструментами для черчения: рейсшиной, набором чертежных треугольников, транспортиром, лекалами, масштабными линейками, специальными готовальнями для сложных чертежно-конструкторских  работ (Приложение 5, рис.16).

       Теперь я поняла, что рейсшина (Приложение 5, рис.15) представляет собой обыкновенную длинную линейку с двумя планками на одном ее конце: нижней – глухой и верхней – свободно вращающейся. Положение верхней планки фиксируется барашком.

На смену неудобным деревянным столам (Приложение 5, рис.18) пришли металлические механизированные чертежные столы (Приложение 5, рис.19), которые устанавливались в конструкторских отделах многих предприятий и в чертежных кабинетах высших учебных заведениях. Именно эти усовершенствованные столы позволили «несколько повысить производительность труда конструкторов». За прошедшие годы сотрудники института не только приобретали готовые, но и разрабатывали собственными силами компьютерные программы для выполнения различных видов расчетов и чертежей (Приложение 5, рис.20). В результате чего резко повысилось качество «проектно-сметной документации» и сократились сроки проектирования.

 При выполнении столярных работ, для разметки параллельных прямых используется “малка” (две деревянные планки, скрепленные шарниром) (Приложение 5, рис.17) «Малка – инструмент в виде складного угольника, состоящий из двух шарнирно соединенных частей: линейки и колодки. Малка нужна для измерения разных углов по образцу и их переноса на заготовки. Они бывают металлические и деревянные». Этот инструмент так же, как и рейсшина, уже устарел и в современном мире широко используются различные  модернизированные  форматно-раскройные  станки (Приложение 5, рис.21).

1.6. Применение  параллельных  прямых  в  геометрии

Оказалось, что параллельные прямые используются для определения таких четырехугольников, как параллелограмм, трапеция, ромб. Без знакомства с понятием о параллельности дальнейшее изучение геометрии невозможно. Рассмотрим определения вышеперечисленных четырехугольников.

«Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 

На  рисунке (Приложение  6,  рис. 22) изображен  параллелограмм  KNMD:

 KN//MD, NM//KD                                                                                                               После параллелограмма изучается трапеция.                    

«Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны,                                                                             а две другие стороны не параллельны»

На  рисунке (Приложение  5,  рис. 23)  изображена  трапеция  ABCD.               

Без знакомства с параллелограммом невозможно дать определение ромбу и прямоугольнику, (так как их «определяют» через параллелограмм).

«Ромбом   называется   параллелограмм, у  которого  все  стороны  равны»

На   рисунке (Приложение 5, рис. 24) изображен   ромб  CDEF  CD // EF, DE // CF (так как ромб является параллелограммом.)

Итак,  применение  понятия  «параллельные прямые» в геометрии, очевидно. Стала ясна логика построения курса «Геометрия» в школьной программе:  от  самого  простого  к  более  сложному.

II. Практическая часть
2.1. Анкетирование учащихся

В связи с выбранной темой мне стало интересно, знают ли мои одноклассники, что такое параллельные прямые. Чтобы это выяснить, я решила составить небольшой опросник, на вопросы которого смогут  легко ответить дети 13-14 лет (приложение 1).

В результате анализа анкетирования учащихся (приложение 2) выяснилось, что 50% опрошенных знают, что такое параллельные прямые; 35% могут дать определение; и только 25% могут привести примеры из окружающего мира; могут ответить, нужны ли параллельные в жизни 55%.

Таким образом, следует, что большинство учеников знают, что такое параллельные прямые, а также могут ответить нужны ли они в жизни, зная определение, не могут привести примеры параллельных прямых из окружающего мира.

2.2. Изготовление проектного продукта

Для того, чтобы каждый школьник мог постоянно видеть полезные советы параллельным прямым, чтобы их можно было поместить в классный уголок, в дневник учащегося или раздать на родительском собрании, я оформила буклет «Параллельные прямые в жизни». В нем размещены: определения параллельных прямых; теоремы; примеры параллельных в жизни; зрительные иллюзии.

Заключение

Работа оказалась занимательной и познавательной. Я более подробно изучила построение параллельных прямых разными способами, научилась строить их с помощью чертежных инструментов: линейки, циркуля, транспортира и угольника. Открыла для себя новые чертежные инструменты -  рейсшину и малку. Рассмотрела параллельные прямые в жизни.

Поэтому подтверждаю выдвинутую мною в начале исследования гипотезу: без параллельных прямых не возможна наша жизнь.

А также цель моего проекта: показать необходимость и значимость параллельных прямых; считаю достигнутой.

Изучив вопросы по данной теме, я пришла к выводам:

•  каждый разносторонне развитый ученик должен знать историю параллельных прямых;

•  параллельные прямые часто встречаются в окружающем нас мире, поэтому они очень нужны;

•  параллельные прямые не пересекаются на плоскости;

• в пространстве параллельность прямых исчезает – существует точка пересечения параллельных прямых!

Хочу закончить свое выступление такими словами: «Было бы легче остановить Солнце, легче сдвинуть Землю, чем свести параллели к схождению…».

Список литературы

1.      https://ru.wikipedia.org/wiki/Параллельные_прямые

2.      https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_параллельности_Евклида

3.       Г. И. Глейзер «История математики в школе» Москва «Просвещение» 1981.

4.       Б. Н. Миронов, З. В. Степанов «Историк и математика» Издательство «наука» Ленинградское отделение 1975 г.

5.       Использование ресурсов сети Интернет.

6.       Аксенова М. «Энциклопедия для детей Аванта+. Том 11» 1998 г.

7.       БЭКМ – электронная энциклопедия. «Кирилл и Мефодий».

8.       Волошинов А. В. «Математика и искусство» 2000 г. «Просвещение».

  Коробко В.И., Коробко Г.Н.; М., АСВ Издательство, 2002 г. «Золотая пропорция и человек».

Приложения

Приложение 1

Анкетирование учащихся

Анкета. 1.      Знаете ли вы что такое параллельные прямые? Ответ:   Да­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­___               Нет___ 2.      Дайте определение. Ответ:       ____________________________________________ 3.      Приведите три примера параллельных прямых из окружающей вас обстановки. Ответ:   __________________________________________ 4.      Нужны ли параллельные прямые в жизни? Ответ:    Да___                Нет___

Приложение 2

    Приложение 3

( иллюзии)

 

(рис.10)

                                 

(рис.8)

(рис.9)

(рис.12)

(рис.11)

(рис.14)

(рис.13)

Приложение 4                                                                                              

(рис.1)

(рис.25)

 Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных аксиомах, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется её отрицанием.

Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений, при наличии других аксиом) может быть сформулирована следующим образом:

На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

В геометрии Лобачевского вместо неё принимается следующая аксиома:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Аксиома Лобачевского является точным отрицанием аксиомы Евклида (при выполнении всех остальных аксиом), так как случай, когда через точку, не лежащую на данной прямой, не проходят ни одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её, исключается в силу остальных аксиом (аксиомы абсолютной геометрии). Так, например, сферическая геометрия и геометрия Римана, в которых любые две прямые пересекаются, и следовательно, не выполнена ни аксиома о параллельных Евклида, ни аксиома Лобачевского, не совместимы с абсолютной геометрией.

Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое и философское её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки в целом.

                                                                                                                                  (рис.26)

Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. К элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.

Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.

(рис.27)

(рис.2)

(рис.3)

(рис.5)

(рис.6)

(рис.7)

 (рис.4)

Приложение 5

(чертёжные инструменты)

                                                 

(рис.17)

 (рис.16)

                                                          

(рис.15)

(рис.18)

(рис.19)

(рис.21)

(рис.20)

Приложение 6

(фигуры)

(рис.22)

       (рис.23)

                                                         (рис.24)

Приложение 7

(Построение двух параллельных прямых)

I. Первый способ построения параллельных прямых с помощью транспортира и линейки.                                                                                    

а) Построение

1)      Чертим прямую а: Ba, Ma.                                        

2)      С помощью транспортира строю MBD = 30˚.

3)      Провожу прямую c:  Bc, Dc.

4)      С помощью транспортира  строю  BDK = 30˚.

5)      Провожу прямую b: Db, Kb.

6)      Получила: a // b.

 В этом примере я доказала параллельность прямых a и b опираясь на первый признак параллельности двух прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны»

 Теперь рассмотрим построение двух  других  параллельных  прямых, доказывая их параллельность по второму  признаку  параллельности  прямых: «Если  при  пересечении  двух  прямых  секущей соответственные углы равны,  то  прямые  параллельны»

б) Построение

1)      Чертим  прямую  a:  Ba, La.

2)      С помощью транспортира  строю  LBD = 40˚.

3)      Провожу  прямую  c:  Bc, Dc, Mc.

4)      С помощью транспортира  строю MDS = 40˚.

5)      Провожу  прямую  b:  Db, Sb.

6)      Получила: a // b.

 Наконец, рассмотрим построение еще двух параллельных прямых с помощью транспортира и линейки, но доказывая их параллельность по третьему признаку : «Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних   углов   равна  180˚,   то  прямые  параллельны».

в) Построение:

1)      Чертим  прямую  a:  Da, Ka.                                                                                                                

2)      С помощью транспортира строю KDN = 60˚.                    

3)      Провожу  прямую  c:  Dc, Nc.

4)      С помощью транспортира  строю DNF = 120˚.

5)      Провожу  прямую  b:  Nb, Fb.

6)      Получила:  a // b.

К сожалению, не всегда под рукой может оказаться транспортир, ведь чаще всего мы  пользуемся  угольниками…

II. Рассмотрим второй способ построения двух параллельных прямых с помощью линейки и угольника.

а)Построение.                                                                                                                                                                         1) Чертим  прямую  m .  Точка  A  m.                                

2) Приложим   угольник   к   прямой   m,   а   к   угольнику   линейку   так,

    как  показано  на  рисунке.

3) Передвинем   угольник   вдоль    линейки   так,   чтобы   точка  A

   оказалась  на  стороне   угольника.

4) Проведем   прямую  n:  An.

5) Получили:   m // n.

Построим еще две параллельные прямые с помощью угольника и линейки, но докажем их параллельность по третьему признаку параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180˚, то прямые параллельны»

б) Построение.                                                                                 

1)       Чертим   прямую  d .

2)      Приложим угольник к прямой d так, чтобы с помощью него можно было провести   прямую  m   перпендикулярную   прямой  d.

3)      Проведем   прямую  m:  m  d,   1 = 90˚.

4)      Передвинем  угольник   вдоль  прямой  d  на  несколько сантиметров в сторону.

5)      Проведем  прямую  n:   n  d,   3 = 90˚.

6)      Получили:  m // n.

III. Наконец, познакомимся с третьим способом построения двух параллельных прямых с помощью циркуля и линейки. Он показался мне наиболее интересным   и  в  то же  время  трудоемким.

 Рассмотрим первый пример, в котором параллельность двух прямых доказывается   с   опорой   на   второй   признак   параллельности   прямых.

а) Построение.                

1)      Чертим   прямую  a:  Aa

2)      Провожу  прямую  b:  Ab,   Kb.

3)      Из точки A произвольным радиусом r с помощью циркуля провожу окружность (A; r):  Mb, Na, Mокр. (A; r),   Nокр. (A; r).

4)      Из   точки K   с   помощью   циркуля   провожу   окружность   радиусом r:

     окр. (K; r),   Lb,   Lокр. (K; r).

5)      Из  точки  L  с  помощью  циркуля   провожу   окружность (L; R),   R = MN.

6)      Dокр. (K; r)  и   Dокр. (L; R).

7)      Получила:  прямая  KD // a,  Km,   Dm,   m // a.

 Во втором примере параллельность двух прямых доказывается с опорой на первый признак параллельности прямых.

б) Построение.

 1) Чертим  прямую  a:  Aa

2) Провожу  прямую  b:  Ab, Sb.

3) Из  точки  A   с  помощью  циркуля  строю   окружность (A; r):  Fb,   La,      

    Fокр. (A; r), Lокр. (A; r).

4) Из  точки S с помощью циркуля  строю окружность  радиусом r: окр. (S; r),

    Pb,   P окр. (S; r).

5) Из  точки  P  с помощью  циркуля  строю  окружность  (P; R),   R = FL.

6) N (P, R) и Nокр. (S; r).

7) Получила:  прямая  NS // a,   Nc,   Sc,   c // a.

Приложение 8

(Пятый постулат)

На протяжении более двух тысячелетий это утверждение неоднократно становилось объектом пристального внимания математиков. Однако сначала познакомимся с содержанием пятого постулата Евклида. Итак, в современной формулировке он звучит так: если на плоскости при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних внутренних углов меньше 180°, то эти прямые при продолжении рано или поздно пересекутся с той стороны, с которой эта величина (сумма) меньше 180°.

Пятый постулат Евклида, формулировка которого в разных источниках приводится по-разному, с самого начала вызвала спорт и желание перевести его в разряд теорем путем построения обоснованного доказательства. Кстати, нередко его подменяют другим выражением, на самом деле придуманным Проклом и известным также, как аксиома Плейфера. Оно гласит: на плоскости через точку, не принадлежащей данной прямой, возможно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.