Проект по теме "Признаки делимости"

• 1 слайд

  Проект по математике
  «Признаки делимости чисел»
  Проект выполнили учащиеся 6а класса:
  Звонов Егор,
  Копылов Иван,
  Зуйкова Ирина
   
   
  Руководитель учитель математики:
  Шайдуллина И.В.
  
  

• 2 слайд

  Проблемная ситуация:
  
  на уроках и экзаменах используются числа, которые при делении требуют больших временных затрат
  

• 3 слайд

  Актуальность проекта:
  
  - практическое применение признаков делимости при решении задач;
  - знание признаков позволяет сэкономить время и упростить решение
  

• 4 слайд

  Гипотеза:
  
  Признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач
  

• 5 слайд

  Цель проекта:
  Изучить новые признаки делимости.
  Задачи проекта:
  1.Найти и исследовать признаки делимости.
  2. систематизировать собранный материал.
  3. Выявить возможности использования признаков делимости по при решении практических задач.
  

• 6 слайд

  Ожидаемый результат:
  
  - ознакомиться с новыми признаками делимости;
  - научиться самим составлять признаки делимости;
  - создать доступный справочный материал для 6 – 11кл.;
  - развить поисковую деятельность;
  - отработать навыки проектной деятельности;
  - самостоятельное расширение знаний в области математики.
  
  

• 7 слайд

  Признаки по окончаниям
  Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4
   
  Пример:
  Число 37980 делится на 4, так как его последние цифры 8 и 0, а число 80 делится на 4
   
  Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры составляют число, которое делится на 8
   
  Пример:
  Число 265432 делится на 8, так как его последние цифры 4,3 и 2, а число 432 делится на 8
   
  Число делится на 25 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 00,25,50,75.
  
  Пример:
  Число 137975 делится на 25, так как его последние цифры 7 и 5, а число 75 делится на 25
   
  
  

• 8 слайд

  Составные признаки
  Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно оканчивается чётной цифрой и сумма цифр делится на 3
  Пример:
  Число 137172 делится на 6, так как его последняя цифра 2, а сумма 21 делится на 3
  
  
  Число делится на 12 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4,а сумма цифр делится на 3
   
  Пример:
  Число 120084 делится на 12, так как его последние цифры составляют число 84, а сумма 9 делится на 3
  
  Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно оканчивается чётной цифрой, а сумма делится на 9
   
  Пример:
  Число 7611120 делится на 18, так как оно оканчивается на 0, а сумма 18 делится на 9
   
  
  

• 9 слайд

  Признаки делимости на простые числа
  Число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот), делится соответственно на 7
  Пример: Число 498498 делится на 7, так как разность 498 - 498 = 0, а 0 делится на любое число (не равное нулю).
  Число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7
  Пример: Число 138689257 делится на 7, так как |138 – 689 + 257| = 294 делится на 7
  Число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7
  Пример: Число 154 делится на 7, так как 15∙3 + 4 = 49 делится на 7
  Число делится на 7 тогда и только тогда, Когда модуль разности числа десятков и удвоенного числа единиц делится на 7
   Пример: Число 469 делится на 7, так как 46-92=28 делится на 7
  
  

• 10 слайд

  Признаки делимости на простые числа
   
  Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах и суммой цифр, стоящих на нечётных местах делится на 11.
  Пример: Число 253264 делится на 11, так как 264 - 253 = 11 делится на 11
  Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между числом десятков данного числа и числом его единиц делится на 11
  Пример: Число 27874 делится на 11, так как 2787-4=2783, 278–3=275, 27-5=22, 22 делится на 11
  Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образующихгруппы по две цифры (начиная с единиц) делится на 11
  Пример: Число 103785 делится на 11, так как 10+37+85=132 и 01+32=33 делятся на 11
  Число делится на 11 тогда и только тогда, когда суммы цифр стоящих на чётных и нечётных местах равны
  Пример:752411 делится на 11, так как 7+2+1=10 и 5+4+1=10
   
  
  

• 11 слайд

  Признаки делимости на простые числа
  Число делится на 13 тогда и только тогда, когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот), делится на 13
  Пример: Число 279253 делится на 13, так как разность 279 - 253 = 26 делится на 13
  Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19
  Пример: Число 646 делится на 19, так как на 19 делятся и 64 + 26 = 76 и 7 + 26 = 19.
  Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29
  Пример: Число 261 делится на 29, так как 26 + 31 = 29 делится на 29.
  Число делится на 37 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц), делится на 37
  Пример: Число 259111 делится на 37, так как сумма 259+111=370 делится на 37
   
  
  

• 12 слайд

  Задачи на признаки делимости
   Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
  Чтобы число делилось на 25, оно должно заканчиваться на 00, 25, 50 или 75.
  
  
  Решение.
  Наше число на 00 заканчиваться не может, поскольку все его цифры должны быть различны. Выпишем все трёхзначные числа, заканчивающиеся на 25, 50 или 75, все цифры которых различны, найдём сумму квадратов их цифр, проверим, делится ли она на 3 и на 9.
  Ответ: любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.
  

• 13 слайд

  Пример 2
  Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27. В ответе укажите получившееся число.
  
  Решение:
  Если число делится на 27, тогда оно делится на 3 и на 9. Число делится на 9, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9. Число делится на 3, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3. Заметим, что, если число делится на 9, то оно делится и на 3 (но необязательно, что делится на 27). Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Вычеркнув цифры 2, 4 и 6, получим число, сумма цифр которого равна девяти. 135 делится на 27. Ответ: 135.
  

• 14 слайд

  Примеры3,4
  Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
  Решение: Если число делится на 30, то оно также делится на 3 и на 10. Поэтому в последнем разряде числа должен быть ноль. Тогда вычёркиваем 41. Остаётся 1415650. Для того, чтобы число делилось на три необходимо, чтобы сумма цифр была кратна трём, значит, нужно вычеркнуть цифру 1 или цифру 4. Таким образом, получаем числа 145650, 115650 и 415650
  Ответ: 145650, 115650 или 415650. 21.
  Вычеркните в числе 74513527 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Решение:Если число делится на 15, то оно также делится на 3 и на 5. Поэтому в последнем разряде числа должен быть ноль или цифра пять. Тогда вычёркиваем 27. Остаётся 745135. Посчитаем сумму цифр — 25. Для того, чтобы число делилось на три необходимо, чтобы сумма цифр была кратна трём. В таком случае можно вычеркнуть цифру 1 и получить число 74535, цифру 4 и получить 75135 или вычеркнуть цифру 7 и получить число 45135. Ответ: 74535, 75135 или 45135.
  

• 15 слайд

  Пример 5
  Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.
  Решение: Если число делится на 24, то оно делится на 3 и на 8. Если число делится на 8, то число, образованное последними его тремя цифрами, тоже делится на 8. Трёхзначных чисел из 0 и 2, делящихся на 8, два: 000 и 200. Это окончания исходного числа. Если число делится на 3, то сумма его цифр тоже делится на 3. 000 даёт к сумме 0, то есть сумма первых цифр должна равняться 6, то есть это 222. 200 даёт к сумме 2, то есть сумма первых цифр должна равняться 4, то есть 220 или 202 (022 не может быть, так как это первые цифры, а первая цифра в числе не может равняться 0). Таким образом, искомые числа: 220200, 202200, 222000.
  

• 16 слайд

  Пример 6
  Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число.
  Решение:
  Если число делится на 72, то но делится на 8 и на 9. Если число делится на 8, то число, образованное последними его тремя цифрами, тоже делится на 8. Если число делится на 9, то сумма его цифр тоже делится на 9. Таким образом, искомые числа: 122112, 212112, 221112. Ответ: 122112, 212112 или 221112.
  

• 17 слайд

  Конечный продукт:
  
  Создание буклета по признакам делимости
  

• 18 слайд

  буклет
  

• 19 слайд

  буклет
  

• 20 слайд

  Рефлексия
  Мы научились составлять признаки делимости на составные числа
  
  Мы познакомились с признаками делимости на простые числа
  
  Мы научились решать примеры, применяя признаки делимости
  
  Мы познакомились с историей признаков делимости
  
  Нам трудно запомнить признаки делимости на простые числа
  
  

• 21 слайд

  Литература
  Информационные ресурсы
   Интернет-ресурсы:
  http://www.uztest.ru/abstracts/
  http://www.bymath.net
  Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://mathb-ege.sdamgia.ru)
  1. Воробьев Н.Н. Признаки делимости – 4-е изд. – М.: Наука, 1988.
  2. Журналы «Математика в школе», «Квант».
   
  

• 22 слайд

  
  
  
  Спасибо за внимание
  

6	Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно оканчивается чётной цифрой и сумма цифр делится на 3
Пример: Число 137172 делится на 6, так как его последняя цифра 2, а сумма 21 делится на 3
12	Число делится на 12 тогда и только тогда, когда  две его последние цифры составляют число, которое делится на 4,а  сумма цифр делится на 3
Пример: Число 120084 делится на 12, так как его последние цифры составляют число 84, а сумма 9 делится на 3
18	Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно оканчивается чётной цифрой, а сумма делится на 9
Пример: Число 7611120 делится на 18, так как его последние цифры составляют число 20, а сумма 18 делится на 9
11	сумма цифр числа с чередующимися знаками делится на 11
Пример: 271436 6-3+4-1+7-2=11; 11:11=1
12	Число  одновременно делится и на  3, и на 4 без остатка
Пример: 4250892 4+2+5+0+8+9+2=30; 30:3=10 92:4=23
13	число  десятков числа, сложенное с учетверенным числом единиц числа кратно 13
Пример:104 10+(4+4+4+4)=36; 36:13=3
14	Число одновременно делится и на  2, и на 7
Пример: 765408 76540-(8+8)=76524→ 7652-(4+4)=7644→764-(4+4)=756 →75-(6+6)=63; 63:7=9

n	признаки делимости
4	Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4
Пример: Число 37980 делится на 4, так как его последние цифры 8 и 0, а число 80 делится на 4
8	Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры составляют число, которое делится на 8
Пример: Число 265432 делится на 8, так как его последние цифры 4,3 и 2, а число 432 делится на 8
25	Число делится на 25 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 00,25,50,75.
Пример: Число 137975 делится на 25, так как его последние цифры 7 и 5, а число 75 делится на 25

7	Число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот), делится соответственно на 7
Пример: Число 498498 делится на 7, так как разность 498 - 498 = 0, а 0 делится на любое число (не равное нулю
11	Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах и суммой цифр, стоящих на нечётных местах делится на 11.
Пример:  Число 253264 делится на 11, так как 264 - 253 = 11 делится на 11
13	Число делится на 13 тогда и только тогда, когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот), делится на 13
Пример: Число 279253 делится на 13, так как разность 279 - 253 = 26 делится на 13          2016-2017 учебный год

Задача

 Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

 Решение.

Чтобы число делилось на 25, оно должно заканчиваться на 00, 25, 50 или 75.

Наше число на 00 заканчиваться не может, поскольку все его цифры должны быть различны. Выпишем все трёхзначные числа, заканчивающиеся на 25, 50 или 75, все цифры которых различны, найдём сумму квадратов их цифр, проверим, делится ли она на 3 и на 9.

Ответ: любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.

Б

уклет

«Признаки делимости чисел»

подготовлен учащимися МБОУ СОШ №6 г.Вышний Волочёк:

Копыловым Иваном,

Звоновым Егором,

Зуйковой Ириной  

Информационные ресурсы

Материалы на печатной основе:

1. Воробьев Н.Н. Признаки делимости – 4-е изд. – М.: Наука, 1988.

2. Журналы «Математика в школе», «Квант».

Интернет-ресурсы:

http://www.uztest.ru/abstracts/

http://www.bymath.net

сайт Дмитрий Гущин

Ð Ñ

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6»

Практико-ориентированный проект по математике

«Признаки делимости чисел»

Проект выполнили учащиеся 6а класса:

Звонов Егор,

Копылов Иван,

                          Суркова Дарья

Руководитель учитель математики:

                                                            Шайдуллина И.В.

Вышний Волочёк

          2017 г.

Проблемная ситуация:

- на уроках и экзаменах используются числа, которые при делении требуют больших временных затрат.

Актуальность проекта:

- практическое применение признаков делимости при решении задач;

- знание признаков позволяет сэкономить время и упростить решение.

Гипотеза:

Признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.

Цель проекта:

Изучить новые  признаки делимости.

Задачи проекта:

1.Найти и исследовать признаки делимости.

2. систематизировать собранный материал.

3. Выявить возможности использования признаков делимости по при решении практических задач.

Целевые группы:

Учащиеся среднего и старшего звена школы

Ресурсы:

1. кадровые:

- рабочая группа – 3 человека (учащиеся 6а класса);

- руководитель: учитель математики Шайдуллина И.В.

2. временные – долгосрочный;

3. технические:

- компьютер,

- интерактивная доска,

- принтер.

Этапы работы над проектом:

1.     Подготовительный:

-поиск и изучение  информации по данной теме;

2.     Технологический:

- систематизация собранного материала;

- выявлено три группы признаков;

- разделение рабочей группы для освещения каждого аспекта;

- самостоятельная работа каждого участника группы;

- объединение результатов самостоятельной работы;

- консультация с руководителем проекта и внесение поправок;

- разработка буклетов;

- апробация проекта;

3.     Заключительный:

- рефлексия.

Содержание:

I.       Введение

II.    Общая часть:

1.     Школьные признаки

2.     Составные признаки

3.     Признаки делимости на простые числа

III. Заключение (подтверждение/опровержение гипотезы, достижение цели и создание продукта проекта)

Ожидаемый результат:

- ознакомиться с новыми признаками делимости;

- научиться самим составлять признаки делимости;

- создать доступный справочный материал для 6 – 11кл.;

- развить поисковую деятельность;

- отработать навыки проектной деятельности;

- самостоятельное расширение знаний в области математики.

Конечный продукт:

Создание буклета по признакам делимости.

Апробация проекта проходила: на школьном уровне.

Информационные ресурсы

Материалы на печатной основе:

1. Воробьев Н.Н. Признаки делимости – 4-е изд. – М.: Наука, 1988.

2. Журналы «Математика в школе», «Квант».

Интернет-ресурсы:

http://www.uztest.ru/abstracts/

http://www.bymath.net

сайт Дмитрий Гущин

Аннотация

Проект предназначен для развития критического мышления учащихся, организации проектной и исследовательской деятельности учащихся 6 класса на уроках математики и во внеурочное время.

Рефлексия

•      Мы  научились составлять признаки делимости на составные числа

•      Мы познакомились с признаками делимости на простые числа

•      Мы научились решать примеры, применяя признаки делимости

•      Мы познакомились с историей признаков делимости

•      Нам трудно запомнить признаки делимости на простые числа