Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проект по теме "«Решение текстовых задач»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Проект по теме "«Решение текстовых задач»

библиотека
материалов

Государственное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов Московской области Педагогическая академия последипломного образования

(ГОУ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ)








проект



«Решение текстовых задач»








Выполнила

Илюшина Галина Сергеевна,

учитель математики МБОУ

Петрово-Дальневской СОШ

Красногорского района


руководитель

к.п.н., доцент

Васильева М.В.














Красногоск

СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ 3-8

1.1 Понятие тестовой задачи

1.2 Роль задачи в курсе математики

1.3 Виды текстовых задач


2. ОБУЧЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ ПРИЕМАМ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ

ЗАДАЧ 9-31

2.1 Решение задач на движение

2.2 Задачи на выполнение определенного объема работы

2.3 Задачи на на работу, на бассейны и трубы

2.4. Задачи на планирование

2.5 Задачи на проценты

2.6 Компетентностные задачи

2.7 Приложения


3. РАЗРАБОТКА УРОКА по теме: «Решение текстовых задач при подготовке учащихся 11 класса к ЕГЭ по математике»

32-37


ЗАКЛЮЧЕНИЕ 37

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 38


ВВЕДЕНИЕ

ЦЕЛИ ПРОЕКТА:

1. Обобщение, углубление и систематизирование знаний по решению текстовых задач.

2. Показать широту применения этой темы.

3. Приобретение практических навыков при решении задач.

4. Развитие логического мышления учащихся.

ЗАДАЧИ ПРОЕКТА:

1. Вооружить учащихся системой знаний по решению текстовых задач.

2. Сформировать умения и навыки при решении разнообразных задач различной сложности.

3. Способствовать формированию познавательного интереса к математике, развитию творческих способностей учащихся.

4. Повысить уровень математической подготовки учащихся.

5. Подготовить учащихся к успешной сдаче ЕГЭ.

Актуальность темы

  1. Решение текстовых задач - важная тема, касающаяся математики. Еще в древности решали задачи с помощью составления уравнений.

  2. В школьном курсе математики текстовые задачи решаются с 1 по 11 классы.

  3. Умение решать текстовые задачи с помощью уравнений важно для физики и химии.

  4. Эти задачи присутствуют на экзамене 9 и 11 классов.


Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи – традиционно трудный для значительной части школьников материал. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи и других качеств продуктивной деятельности обучающихся.

Как обучать детей нахождению способа решения текстовой задачи? Этот вопрос – центральный в методике обучению решения задач. Для ответа на него в литературе предложено немало практических приемов, облегчающих поиск способа решения задачи. Однако теоретические положения относительного нахождения пути решения задачи остаются мало разработанными.

Особенности текста задачи могут определить ход мыслительного процесса при ее решении. Как сориентировать детей на эти особенности? Знание ответов на них составляют теоретико-методические положения, на основе которых можно строить конкретную методику обучения; они помогут определить методические приемы поиска способов решения задачи, в том числе решения различными способами.

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач.

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть, развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть, формировать и развивать важные общеучебные умения.

Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяют им осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.

Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определенной, приспособленной к их пониманию системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в доступном для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает математическое мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания.

Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о её структуре, умел решать такие задачи различными способами.

Текстовая задача – есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.

Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Каждая задача – это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое.

Математическая задача – это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).

В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требования задачи – это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме («Найти площадь треугольника» или «Чему равна площадь прямоугольника?»).

Иногда задачи формируются таким образом, что часть условия или всё условие включено в одно предложение с требованием задачи.

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, то есть, такую, которая не нужна для выполнения требования задачи.

На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Так в задаче: «Найти длину и ширину участка прямоугольной формы, если известно, что длина больше ширины на 3 метра» – недостаточно данных для ответа на её вопрос. Чтобы выполнить эту задачу, необходимо её дополнить недостающими данными.

Одна и та же задача может рассматриваться как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся и решающих значений.

Рассматривая задачу в узком смысле этого понятия, в ней можно выделить следующие составные элементы:

  1. Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.

  2. Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.

  3. Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми.

Задачи и решение их занимают в обучении школьников весьма существенное место и по времени, и по их влиянию на умственное развитие ребенка. Понимая роль задачи и её место в обучении и воспитании ученика, учитель должен подходить к подбору задачи и выбору способов решения обоснованно и чётко знать, что должна дать ученику работа при решении данной им задачи.

Текстовые задачи условно можно разбить на следующие основные группы:

Задачи на движение

по прямой (навстречу и вдогонку)

по замкнутой трассе

по воде

на среднюю скорость

протяженных тел

Задачи на производительность

задачи на работу

задачи на бассейны и трубы

Задачи на проценты, концентрацию, части и доли

Задачи на проценты и доли

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Методы решения этих задач имеют много общего и одновременно некоторые специфические особенности

Алгоритм решения текстовых задач

Ввод переменных, т.е. обозначение буквами x, y, z,... величины, которые требуется найти по условию задачи.

Перевод условий задачи на язык математических соотношений, т.е. составление уравнений, неравенств, введение ограничения.

Решение уравнений или неравенств.

Проверка полученных решений на выполнение условий задачи.

Указания к решению текстовых задач

Набор неизвестных должен быть достаточным для перевода условий задачи на язык математических соотношений. Как правило, за неизвестные следует принимать искомые величины.

Выбрав неизвестные, в процессе перевода условий задачи в уравнения или неравенства необходимо использовать все данные и условия задачи.

При составлении уравнений или неравенств необходимо исходить из требования о решении задачи в общем виде.

В составленных уравнениях надо проверить размерность членов уравнений

В процессе решения задачи, надо избегать результатов, противоречащих физическому смыслу.

Задачи на движение

При решении задач на движение принимают такие допущения:

  • движение считается равномерным, если нет специальных оговорок;

  • изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;

  • если два тела начинают движение одновременно (если одно тело догоняет другое), то в случае, если они встречаются, каждое тело с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время;

  • если тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает время больше то, которое выходит раньше.

  • все величины, как правило, положительные (в природе скорость расстояние и время положительны), поэтому можно смело умножать, делить и возводить в квадрат получающиеся уравнения и неравенства, не делая необходимых в таких случаях оговорок;

  • скорость перемещения лодки v по воде, при скорости течения реки vр и собственной скорости движения vс, выражается:

v по течению = vс + vр при движении лодки по течению реки.

vпротив течения = vс− vр при движении лодки против течения реки.

Основные соотношения

v= s/t- скорость движущегося объекта прямо пропорциональна пути s и обратно пропорциональна времени t.

t=s0/(v1+v2) - время, за которое два объекта движущиеся навстречу друг другу со скоростью соответственно v1 и v2 преодолевают начальное расстояние s0.

t=s0/(v1−v2) - время, за которое два объекта движущиеся в одном направлении со скоростью соответственно v1 и v2 (v1hello_html_c3ab470.pngv2) преодолевают начальное расстояние между ними, равное s0 и первый объект догонит второго.

vпо течению− vпротив течения=2vр - разность скоростей по течению и против течения реки равна удвоенной скорости течения.

Задачи, связанные с движением двух тел удобно решать, если занести исходные данные в таблицу:

Скорость v

Время t

Расстояние s

1 объект

v=s/t

t=s/v

s=vhello_html_1abe6ba0.pngt

2 объект

После внесения данных, нужно составить уравнения, содержащие искомую величину, исходя из условий задачи.

Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку)

В задачах на движение есть две стандартные модели: движение навстречу друг другу и движение вдогонку. В первой модели рассматривается как бы совместная скорость сближения, как сумма двух скоростей и поэтому время сближения считается так:t=s/(v1+v2) . Во второй модели время, за которое объект, идущий сзади с большей скоростью v1, догонит другой объект, идущий с меньшей скоростью v2, считается так: t=s/(v1v2), где s - расстояние между объектами в начальный момент времени.

Задача 1. Из городов  А и В, расстояние между которыми 480 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Из города А со скоростью 55 км/ч, а из города В со скоростью 65 км/ч. Найдите расстояние от города А, где они встретятся.

Решение: Время до встречи считается по формуле t=s/(v1+v2) и равно 4 часа. Расстояние от города А до места встречи равно S=45• 5=220  км.

Задача 2. Два пешехода отправляются из аптеки в одном направлении на прогулку по набережной. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Найдите время в минутах, когда расстояние между ними станет 200 м.

Решение: Время в часах, за которое расстояние станет между ними 200 м, т.е. 0,2 км, считается по формуле t=0,2: 0,5=0,4 часа. Значит, через 24 минуты расстояние между ними будет 200 м.

Задачи на движение по замкнутой трассе

Движение по замкнутой трассе (допустим по стадиону) похоже на движение

вдогонку: если два бегуна начинают двигаться по окружности одновременно с разными скоростями соответственно v1 и v2 (v1hello_html_c3ab470.pngv2), то первый бегун приближается ко второму бегуну со скоростью v1v2 и в момент, когда первый бегун догоняет второго бегуна, то первый бегун как раз проходит на один круг больше второго. И поэтому время считается так: t=s/(v1v2)

Задача.  Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 16 км, в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч и через 40 минут после старта, он опережает второй автомобиль ровно на один круг. Найдите скорость второго автомобиля.

Решение: Примем скорость второго автомобиля за x км/ч и учтем, что 40 минут составляют 32 часа, тогда 1680x=32hello_html_m498acd85.png1602x=48hello_html_m498acd85.pngx=56

Задачи на движение по воде

В задачах на движение по воде скорость реки считается постоянной и неизменной. При движении по течению скорость реки прибавляется к собственной скорости плывущего тела, так как скорость реки помогает двигаться телу. При движении против течения от собственной скорости вычитается скорость реки (реально собственная скорость тела больше скорости реки), так как в этом случае скорость реки мешает движущемуся телу. Скорость плота считается равной скорости реки.

Скорость перемещения тела v по воде, при скорости течения реки vр и собственной скорости движения vс, выражается:

v по течению=vс+vр при движении тела по течению реки.

v против течения=vсvр при движении тела против течения реки.

Замечание. v потечениюvпротивтечения=2vр - разность скоростей по течению и против течения реки равна удвоенной скорости течения.

Замечание. vс=2vпо течению+vпротив течения - формула нахождения собственной скорости тела

Задача. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длилась 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Определить сколько километров теплоход прошел за весь рейс.

Решение: Заполним таблицу данными из условия задачи: собственная скорость теплохода vс=25 , скорость течения реки vр=3 , vпо течению=vс+vр=28  при движении по течению реки, vпротив течения=vсvр=22  при движении против течения реки.

Скорость v

Время t: (t=s/v )

Расстояние s

по течению

v по течению=28

t по течению=x/28

x

против течения

v против течения=22

t против течения=x/22

x

Зная, что стоянка длилась 5 часов, а на весь путь затрачено 30 часов, составим уравнение: x/28+x/22+5=30 .

Решая его, получим x/28+x/22=25,

x/2•14+x/211=25,

(11x+14x)=25•2•14•11hello_html_m3ef7d2be.png

x=308.

Ответ: искомый путь 616 км.

Задачи на определение средней скорости движения

Средняя скорость. Если S - путь пройденный телом, а t - время за которое этот путь пройден, то средняя скорость вычисляется по формуле: v=s/t.

Если путь состоит из нескольких участков, то для нахождения средней скорости на всем пути, надо весь пройденный путь разделить на сумму времени, затраченного на каждый участок пути. Например, если путь состоит из трех участков s1, s2, s3, скорости на которых были соответственно равны v1, v2, v3, то s=s1+s2+s3 и t=t1+t2+t3=s1/v1+s2/v2+s3/v3 , тогда средняя скорость на всем пути находится по формуле: v=s/t=(s1+s2+s3)/(s1/v1+s2/v2+s3/v3).

Задача. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть - со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть - со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути.

Решение: Пусть весь путь равен 3S, тогда первую треть трассы велосипедист проехал за время t1=s/12, вторую треть - за время t2=s/16, последнюю треть - за время t3=s/24. Значит, время, потраченное на весь путь находится так t=t1+t2+t3=s/12+s/16+s/24=9s/48,и поэтому средняя скорость вычисляется так v=3s:(9s/48)=16 км/ч

Задачи на движение протяженных тел

В задачах на движение протяжных тел требуется определить длину одного из них. Наиболее типичные ситуации: определение длины поезда проезжающего мимо придорожного столба, идущего параллельно путям пешехода, лесополосы определенной длины, другого двигающегося поезда.

Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние равное его длине. Если поезд движется мимо протяженной лесополосы, то он проходит расстояние равное сумме длины самого поезда и лесополосы.

Задача 1 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.

Решение: Зная скорость движения v = 60 км/ч = 1000 м/мин и время, за которое он проезжает мимо столба t = 30 сек. = 21мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние s=v•t=100021=500.

Задача 2 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которого 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах.

Решение: Зная скорость движения v = 90 км/ч = 1500 м/мин и время, за которое он проезжает мимо лесополосы длиной 800 метров за t = 1мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние s=vhello_html_6e18262.pngt=15001=1500 плюс длина лесополосы 800 метров и получим длину поезда, равную 2300 метра.

Задачи на выполнение определенного объема работы

Задачи на выполнение определенного объема работы по своему решению очень схожи с задачами на движение: объем работы выполняет роль расстояния, а производительность выполняет роль скорости. В тех случаях, когда объем работы не задан, его принимают за единицу. Большого разнообразия таких задач нет, во всех задачах идет речь о выполнении определенного объема работы, без уточнения характера самой работы.

Иногда в задачах на совместную работу можно обойтись без решения уравнений.

Рассмотрим такой пример. Оформляя зал к школьному вечеру Антон, Сергей и Максим готовы были работать парами. Антон и Сергей могут оформить зал за 2 ч 20 мин, Антон и Максим - за 2 ч 48 мин и Максим и Сергей - за 4 ч 40 мин. Найти, за сколько времени могут ребята оформить зал, работая втроем. Заметим, что если сложить все значения времени, то в этой сумме будет присутствовать удвоенное время работы каждого в отдельности. Значит: 2 ч 20 мин + 2 ч 48 мин + 4 ч 40 мин = 9 ч 48 мин, разделив это значение на 2, получим время 5 ч 28 мин, за которое могут ребята оформить зал, работая втроем.

При решении задач, связанных с выполнением определенного объема работ, используют следующие соотношения: A=Vt, где A - количество всей работы, t - время выполнения всего количества работы, V - производительность труда, т.е. количество работы, выполняемой в единицу времени.

Если весь объем работы, принятый за единицу, выполняется одним работником за t1, а вторым- за t2 времени, то производительность труда при их совместной работы равна Vсовм=1/t1+1/t2 и tсовм=1/Vсовм=t1t2/(t1+t2).

Задачи, связанные с выполнением определенной работы удобно решать, если занести исходные данные в таблицу:

Производительность v

Время t

Работа A

1 объект

v=A/t

t=A/v

A=vt

2 объект

После внесения данных, нужно составить уравнения, содержащие искомую величину, исходя из условий задачи.

Задачи на работу, на бассейны и трубы

Рассмотрим стандартную задача на работу: первый рабочий может выполнить некоторую работу за a часов, а второй за b часов. Определите время, за которое оба рабочих выполнят работу вместе. Так как объем работы не задан, то его можно принять за единицу. Тогда производительность первого рабочего будет 1/a, производительность второго рабочего будет 1/b, а совместная производительность равна 1/a+1/b. Значит, всю работу совместно два рабочих выполнят за t=1/(1/a+1/b) времени.

Задачи на бассейны и трубы аналогичны задачам на совместную работу. Математическая модель задачи сохраняется, только рабочим будут соответствовать насосы разной производительности, а объем работы будет представлять наполнение бассейна водой.

Задача.  Две трубы наполняют бассейн за 4 часа, а одна первая труба наполняет бассейн за 5 часов. Найдите время наполнения бассейна одной второй трубой.

Решение: Заполним таблицу

Производительность

Время

Работа

две трубы

a+b=1/4

4

1

одна первая труба

a=1/5

5

1

одна вторая труба

b

1/b

1

Найдем b:

 b=1/4−1/5=1/20, значит, время наполнения бассейна одной второй трубой 20 часов.

На первом занятии сообщаются цели и задачи курса, систематизируются знания учащихся об уравнениях и системах уравнений, о способах их решений. Рассматривается классическая задача о фазанах и кроликах, которую можно решить с помощью уравнения, с помощью системы уравнений и рассуждая логически (устно). Самостоятельное решение задач такого типа.

Задачи на планирование.

К задачам этого раздела относятся те задачи, в которых выполняемый объём работы известен или его нужно определить (в отличие от задач на совместную работу). При этом сравнивается работа, которая должна быть выполнена по плану, и работа, которая выполнена фактически. Так же как и в задачах на совместную работу, основными компонентами задач на планирование являются работа (выполненная фактически и запланированная), время выполнения работы (фактическое и запланированное), производительность труда (фактическая и запланированная). В некоторых задачах этого раздела вместо времени выполнения работы дается количество участвующих в ее выполнении рабочих.

Задачи на проценты.

Следует заметить, что задачи этого раздела входят как составная часть в решение других типовых задач. Заменяя проценты  соответствующим количеством сотых долей числа, легко свести данную задачу на проценты к задаче на части. При решении задач данного типа необходимо считать устно. Для этого полезно знать некоторые факты, например: чтобы увеличить величину на 50%, достаточно прибавить ее половину; чтобы найти 20% величины, надо найти ее пятую часть; что 40% некоторой величины в 4 раза больше, чем ее 10%; что треть величины – это примерно 33% и т. д.

 Сюжеты решаемых задач взяты из реальной жизни – из газет, объявлений, документов. Часто задачи могут быть решены разными способами. Важно, чтобы каждый ученик смог самостоятельно выбрать свой способ решения, наиболее ему удобный и понятный.

Процент – это сотая часть. Наглядная иллюстрация процента может быть продемонстрирована на метровой школьной линейке с делениями по 1 см. В данном случае 1 см является сотой частью линейки, т.е. 1%. Можно дать следующие задания:

  1. показать на линейке 25%, 40% и т.д.

  2. назвать число процентов, которые показываются на линейке.

Затем работу можно продолжить на отрезках, задавая вопросы, например:

Как показать 1% отрезка?

Ответ: отрезок нужно разделить на 100 равных частей и взять одну часть.

Или: покажите 5% и т.д. (см. рис. 8).

hello_html_2d23fa72.gif

Рис. 8. Метод отложения на отрезке


Условимся, что деление отрезка на 100 равных частей делаем словно. Приступая к решению задач, их нужно сравнить с задачами предыдущего пункта, что ускорит усвоение приемов решения.

Пример №1. Ученик прочитал 138 страниц, что составило 23% всех страниц книги. Сколько страниц в книге?

hello_html_m147d28be.gif

Рис. 9. Графическое изображение задачи из примера №1


Объяснение: Число страниц в Кинге неизвестно. Ставим знак вопроса. Но число страниц составляет 100%. Показываем это на отрезке, выполняя деление на условные 100 равных частей (для слабоуспевающих детей внизу отрезка можно ставить еще и число 100). Затем отмечаем число 138 и показываем, что оно составляет 23%.

При решении задач предыдущего раздела и задач на проценты следует объяснить учащимся, что прежде всего нужно выяснить, сколько составляет 1 часть или 1%.

Так как 138 страниц составляют 23%, то находим, сколько приходится на 1%.

138 / 23 = 6 (стр.) – составляет 1%.

Так как число страниц в книге составляет 100%, то

6*100% = 600 (стр.) – в книге.

Ответ: В книге 600 страниц.

Пример №2. Мальчик истратил на покупку 40% имевшихся у него денег, а на оставшиеся 30 копеек купил билет в кино. Сколько денег было у мальчика?

hello_html_2b2b33d5.gif

Рис. 10. Графическое изображение задачи из примера №2

Объяснение: Количество всех денег неизвестно, ставим знак вопроса. Все деньги составляют 100%, поэтому разделим отрезок условно на 100 равных частей. Найдем, сколько процентов составляют 30 копеек.

100%-40% = 60% - составляют 30 копеек.

Обозначаем 60% на чертеже. Найдем, сколько составляет 1% далее объяснение аналогичное.


Пример №3. В школе 700 учащихся. Среди них 357 мальчиков. Сколько процентов учащихся этой школы составляют девочки?

hello_html_m1f1cbc07.gif

Рис. 11. Графическое изображение задачи из примера №3


Объяснение: Число учащихся 700 человек, что составляет 100%. Отрезок условно делим на сто равных частей. (Само выполнение чертежа подсказывает ученику первое действие).

700 / 100 = 7 (чел.) – составляют 1%.

Узнаем, сколько процентов составляют мальчики. Для этого:

357 / 7 = 51%

(Можно сказать и так: «Сколько раз в 357 содержится по 7%?»)

Работаем с чертежом. Узнаем, сколько процентов составляют девочки.

100%-51%=49%

Ответ 49%

При решении задачи чертеж должен быть постоянно в поле зрения учащихся, так как является наглядной иллюстрацией задачи.

Пример №4. По плану рабочий должен был сделать 35 деталей. Однако он сделал 14 деталей сверх плана. На сколько процентов он перевыполнил план?

hello_html_9da2a1f.gif

Рис.12. Графическое изображение задачи из примера №4


Решая задачу, нужно объяснить, что план всегда составляет 100% и поэтому 35 деталей составляют 100%. Чтобы узнать, сколько составляет 1% нужно:

35 / 100 = 0,35 (дет.)

Узнаем, сколько процентов составляют 14 деталей (сколько раз в 14 содержится по 0,35).

После изучения обыкновенных дробей и правил нахождения части числа и числа по части большинство задач лучше решать, переходя от процентов к дроби.

Пример №1. Ученик прочитал 138 страниц, что составило 23% всех страниц книги. Сколько страниц в книге?

23% составляет 0,23. Так как известна часть количества страниц, а нужно найти все количество, то выполняем действие деления (по правилу, записанному выше):

138 / 0,23 = 13800 : 23=600 (стр.)

Пример №2. Покупатель израсходовал в первом магазине 40% всех денег, а остальные - во втором. Сколько денег он израсходовал во втором магазин, если у него было 160 рублей?

40% составляют 0,4. так как известно все количество денег, а находим их часть, то выполняем действие умножения.

160*0,4 = 64 (руб.) – израсходовал покупатель в первом магазине.

Находим, сколько израсходовал покупатель во втором магазине.

160 - 64=96 (руб.) Записываем ответ.

Практические советы:

1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу!

2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!

3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу!

Рассмотрим еще один важный момент:

В заданиях ЕГЭ обязательно встречаются задачи по математике. До 2010 года это были обычные задачи, которые мы решали в школе. Задачи, как в учебниках, классические. А вот в 2010 году добавился новый класс задач, которые в учебниках блистательно отсутствуют.

Итак, в ЕГЭ 2010 появились так называемые компетентностные задачи.  Суть их очень проста. Нужно посчитать самый выгодный тарифный план для телефона. Или выбрать самый короткий путь из нескольких вариантов. Или определить самую низкую температуру за какой-то период. Или разобраться со скидками на товары и выбрать самый дешёвый вариант. Короче, это задачи на элементарные житейские навыки.

Задачи очень просты. В них, как правило, не нужно вводить икс, составлять уравнения. Проблема только в том, что в школьных учебниках такие задачи не рассматриваются. Поэтому кажутся непривычными.

Как решать компетентностные задачи?

Всё, что надо для решения этих задачек, проходили в школе. И проценты в математике, и формулы площадей, и среднюю скорость, и графики. Причём в этих задачах и не требуются глубокие знания. Одно - два действия на самые примитивные формулы. А вот житейская логика необходима. Житейская логика, в этих задачах – самое  главное.

Скажем, дана задачка, в которой нужно рассчитать количество обоев для оклейки комнаты. Дана картинка комнаты с размерами. На картинке нарисованы окно и дверь – тоже с размерами.

Из всех математических знаний здесь требуется всего одно откровение – формула площади прямоугольника. Но этого мало. Нужна ещё житейская логика. Допустим, вы никогда не клеили обои. И не знаете всех тонкостей этого дела. Но сообразить, что заклеивать окно обоями не следует, можно? Да и дверь тоже не надо. Собственно, потолок и пол тоже обоями не принято оклеивать. Хотя в задаче все эти условия не оговорены. Следовательно, считаем площадь стен (и только их!) и вычитаем из этой величины площадь окна и двери. Всё. В таких задачках математика обязательно должна дополняться элементарными соображениями по жизни. Иначе задачки не решаются, или решаются неправильно. Не нужно волноваться. Никто и не предполагает, что ученики должны обладать знаниями профессионального обойщика, пилота или доярки. Реально всё проще. Главное – внимательно прочитать задачу! Там всё написано. А та информация, которой как бы не хватает – берётся из житейской логики.











ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

ПО ТЕМЕ «ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ»

1. Два пешехода выходят навстречу друг другу из разных пунктов, расстояние между которыми 40 км. Если первый выйдет на час раньше второго, то они встретятся через 3 часа после выхода первого. Если второй выйдет на час раньше первого, то они встретятся через 2 часа после выхода первого. С какой скоростью идет каждый пешеход?

2. Два велосипедиста выезжают навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 50 км. Если первый выедет на час раньше второго, то они встретятся через 2 часа после выезда второго. Если второй выедет на 2 часа раньше первого, то они встретятся через час после выезда первого. С какой скоростью едет каждый велосипедист?

3. Два пешехода выходят навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 50 км. Если первый выйдет на 3 часа раньше второго, то они встретятся через 4 часа после выхода второго. Скорость первого пешехода на 1 км/ч больше скорости второго. С какой скоростью идет каждый пешеход?

4. Два бегуна выбегают навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно 45 км. Сумма скорости бегунов равна 16,5 км/ч. Если первый бегун выбежит на полчаса раньше второго, то они встретятся через 2,5 часа после того, как выбежит второй бегун. С какой скоростью бежит каждый бегун?

5. Два велосипедиста выезжают навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 80 км. Скорость первого на 3 км/ч меньше скорости второго. Если второй выедет на 1 час раньше первого, то они встретятся через 2 часа после выезда первого. С какой скоростью едет каждый велосипедист?

6. Два пешехода выходят навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км. Если первый выйдет на 2 часа раньше второго, то он встретит второго пешехода через 4,5 часа после своего выхода. Если второй выйдет на 2 часа раньше первого, то он встретит первого пешехода через 5 часов после своего выхода. С какой скоростью идет каждый пешеход?

Решение: пусть первый пешеход двигался со скоростью hello_html_m7f76e3fb.gifкм/ч, а второй со скоростью hello_html_dd1ea5a.gifкм/ч. В первом случае один пешеход пройдет (4,5 х) км, а другой – (2,5 у) км. Во втором случае первый пешеход пройдет (3 х) км, а второй – (5 у) км. Зная, что расстояние между двумя пунктами равно 30 км, можем составить систему уравнений:


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m3768fb13.gif

Ответ: скорость первого пешехода 5 км/ч, а второго 3 км/ч.

7. Турист, находящийся в спортивном лагере, должен успеть к поезду на железнодорожную станцию. Если он поедет на велосипеде со скоростью 15 км/ч, то опоздает на 30 минут. Если же он поедет на автобусе, скорость которого 40 км/ч, то приедет за 2 часа раньше до отхода поезда. Чему равно расстояние от лагеря до станции?

Решение: пусть расстояние от лагеря до станции равно ) км. Тогда на велосипеде турист проедет это расстояние за hello_html_m1aeb9622.gif ч, а на hello_html_16604b7b.gifч. Зная, что в первом случае турист опоздает на 0,5 ч, а во втором приедет на 2 часа раньше срока, составим уравнение:


hello_html_4ea2b40e.gif2

hello_html_1e2c1c63.gif

hello_html_m6e16ca39.gif

hello_html_m14692b4d.gif

Ответ: расстояние от лагеря до станции равно 60 км.

8. Николай и Владимир живут в одном доме. Николай вышел из дома и направился к школе. Через 4 минуты после него из дома вышел Владимир и догнал своего друга у школы. Найдите расстояние от дома до школы, если Николай шел со скоростью 60 м/мин, а скорость Владимира 80 м/минуту.

9. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 8 км, одновременно вышли два лыжника. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости другого. Лыжник, который первым прибыл в пункт В, сразу же повернул обратно и встретил другого лыжника через 45 мин. после выхода из пункта А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

10. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 25 км, одновременно выехали автобус и автомобиль. Во время пути автомобиль сделал остановку на 2 мин., но в пункт В приехал на 3 мин. раньше автобуса. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если известно, что скорость автобуса в 1,2 раза меньше скорости автомобиля.

Решение: пусть скорость автобуса (х) км/ч, тогда скорость автомобиля (1,2 х) км/ч. Таким образом, время движения автобуса hello_html_7e25ee7e.gif ч, а автомобиля hello_html_m3699321d.gif ч. Зная, что автомобиль сделал остановку на 2 мин., но приехал на 3 мин. раньше автобуса, составим уравнение:

hello_html_m7bae7fa.gifhello_html_m71e888e4.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m68a13f13.gif


hello_html_m265797de.gif


hello_html_m1def26f5.gif

hello_html_m3392e27e.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_382e40ba.gif

hello_html_7f2d142e.gif

hello_html_m5420518e.gif

hello_html_mf1b2e35.gif

1. hello_html_m55a377f0.gif1,2 = 60 (км/ч) – скорость автомобиля.

Ответ: 50 км/ч – скорость автобуса; 60 км/ч – скорость автомобиля.

11. Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км, по течению и такое же расстояние против течения реки. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 часа.

Решение: пусть скорость течения реки равна (х) км/ч, тогда (8-х) км/ч – скорость катера против течения реки, а (8+х) км/ч – скорость катера по течению реки. Запишем и решим уравнение:

hello_html_5bbcf0d3.gif

т.к. х = -2 не подходит по смыслу задачи, то х=2.

Ответ: 2 км/ч – скорость течения реки.

12. Моторная лодка отправилась по реке от одной пристани к другой и через 2,5 часа вернулась обратно, затратив на стоянку 25 минут. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 20 км/ч, а расстояние между пристанями 20 км.

13. За 7 часов катер прошел 60 км по течению реки и 64 км против течения. В другой раз катер за 7 часов прошел 80 км по течению реки и 48 км против течения. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки.

14. Катер проплывает 8 км против течения реки и еще 30 км по течению за то же время, за которое плот может проплыть по этой реке 4 км. Скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч. Найдите скорость плота.

15. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 2 мин. быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг?

16. На соревнованиях по картингу по кольцевой трассе один из картов проходил круг на 5 мин. медленнее другого и через час отстал от него ровно на круг. За сколько минут каждый карт проходил круг?

Решение: пусть первый карт проходит круг за (х) мин., тогда второй карт проходит круг за (х+5) мин. Составим и решим уравнение:

hello_html_4ef5b9b9.gifhello_html_2d931b01.gif

hello_html_m3a69dab7.gif

Т.к. по смыслу задачи hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m27e40da3.gif 0, то х=15

1. 15 + 5 = 10 (мин.) время движения второго карта.

Ответ: за 15 минут первый карт проходит круг, за 20 мин. второй карт проходит круг.

17. По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 минуту. Определите скорости движения точек.

18. Дорога от поселка до станции идет сначала в гору, а потом под гору, при этом ее длина равна 9 км. Пешеход на подъеме идет со скоростью, на 3 км/час меньшей, чем на спуске. Путь от поселка до станции занимает у него 2 часа, а обратный путь – 2 ч. 30 мин. Определите длину подъема на пути к станции и скорость пешехода на подъеме и на спуске.


ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

ПО ТЕМЕ «ЗАДАЧИ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ»

1. Две трубы при совместной работе могут наполнить бассейн за 4 часа. Если бы сначала первая труба наполнила половину бассейна, а затем ее перекрыли и открыли вторую, то наполнение бассейна было бы закончено за 9 часов. За сколько часов может наполнить этот бассейн каждая труба в отдельности?

Решение: вся работа равна 1. Пусть первая труба заполнит бассейн за (х) час., а вторая – за (у) час. Составим и решим систему уравнений:

hello_html_m3b80cbaf.gif


hello_html_m4bff20c6.gif

Ответ одна труба может заполнить бассейн за 12 час., а вторая – за 6 час.

2. Одна из труб может наполнить водой бак на 10 мин. быстрее другой. За какое время может наполнить этот бак каждая труба, если при совместном действии этих труб в течение 8 мин. было заполнено hello_html_m4330769a.gif бака?

Решение: пусть одна труба заполняет бак за (х) мин., тогда вторая труба заполнит бак за (х + 10) мин. Составим и решим уравнение:

hello_html_m71e5aeb3.gif


hello_html_m105700b2.gif

1) 20 + 10 = 30 мин.

Ответ: первая труба заполнит бак за 20 мин., а вторая – за 30 мин.

3. В бассейн проведены две трубы разного сечения. Одна равномерно подает, а вторая равномерно отводит воду, причем через первую бассейн наполняется на 2 часа дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на hello_html_3ccb367e.gif бассейна были открыты две трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 час. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн.

4. Четыре бригады должны разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвертая бригады вместе могут выполнить эту работу за 4 ч.; первая, третья и четвертая – за 3 часа. Если же будут работать только первая и вторая бригада, то вагон будет загружен за 6 час. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады, работая вместе?

5. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать участок дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала первая бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая бригада. В результате ремонт участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила hello_html_6c801243.gif всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

6. Одна мельница может смолоть 38 ц пшеницы за 6 часов, другая - 96 ц за 15 часов, третья – 35 ц за 7 часов. Как распределить 133 т пшеницы между мельницами, чтобы они мололи зерно в течение одного и того же времени.

7. Лесхоз планировал заготовить за несколько дней 216 новогодних елей. Первые три дня лесхоз выполнял установленную ежедневную норму, а потом стал заготавливать на 2 ели в день больше. Поэтому уже за 1 день до срока было заготовлено 232 ели. Сколько елей ежедневно заготавливал лесхоз в первые три дня работы.

8. Машинистка должна была напечатать за определенное время 200 страниц. Печатая в день на 5 страниц больше, чем планировала, она завершила работу на два дня раньше срока. Сколько страниц в день печатала машинистка?

Решение: пусть машинистка фактически набирала (х) страниц в день, тогда по плану она должна была набирать (х - 5) страниц в день. Таким образом планировалось напечатать 200 страниц за 200 : (х-5) дней, в то время как машинистка справилась с работой на 2 дня раньше. Составим и решим уравнение:

hello_html_m2ba88846.gifhello_html_45d50867.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m1d24ad77.gif


Ответ: машинистка печатала по 25 страниц в день.

9. Николай планировал, что сможет хорошо подготовиться к экзамену, если будет решать по 12 задач в день. Однако ежедневно он перевыполнял свою норму на 8 задач и уже за 5 дней до экзамена решил на 20 задач больше, чем планировал сначала. Сколько задач решил Коля?














Урок в 11 классе по теме:

«Итоговое повторение. Решение текстовых задач. Подготовка к ЕГЭ»

Цели урока:

1. Отработка практических навыков решения задач на совместную работу;

2. Закрепление навыка решения дробно-рациональных уравнений;

3. Отработка практических навыков решения задач на части;

4. Повторение понятия процента и отработка навыка нахождения процента от числа;

5. Отработка практических навыков решения задач на арифметическую прогрессию;

6. Повторение и закрепление формулы n-го члена арифметической прогрессии и формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии;

7.Подготовка выпускников к ЕГЭ.


Оборудование: раздаточный материал, компьютер, экран

Ход урока

Учитель: На сегодняшнем уроке мы с вами рассмотрим текстовые задачи, которые предлагались на ЕГЭ по математике в прошлые годы.

Мы рассмотрим три типа задач: на совместную работу, на части и на арифметическую прогрессию, отработаем решение дробно-рациональных уравнений, вспомним понятие процента и правило нахождения процента от числа. При решении задач на арифметическую прогрессию мы повторим формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Некоторые задачи мы будем решать с вами вместе, решение некоторых будет предложено для самостоятельного выполнения.

I.Решение задачи на совместную работу вместе с учителем.

Задача . Два мебельных мастера, работая вместе, могут за 1 неделю собрать 50 столов. Работая отдельно, первый мастер собирает 60 столов на одну неделю дольше, чем такое же число столов собирает второй мастер. За

сколько недель первый мастер соберет 40 столов?

Решение.

Пусть первый мастер собирает за неделю x столов, тогда второй- 50-х столов. Тогда 60 столов первый мастер соберет за 60:х недель, а второй за 60:(50-х) недель. Зная, что первый мастер собирает 60 столов на 1 неделю дольше, составим и решим уравнение:

hello_html_m62888c08.gifОДЗ уравнения hello_html_2c10b6f9.gif

Получаем квадратное уравнение: hello_html_6fafce80.gif

hello_html_m18a4442d.gif

Решая его, находим корни х=20; х=150.

х=150 не удовлетворяет условию задачи, значит, для нашей задачи х=20.

Таким образом, первый мастер за неделю собирает 20 столов.

Значит , 40 столов он соберет за 40:20=2(недели).

Ответ: первый мастер соберет 40 столов за 2 недели.

II. К доске вызываются двое учащихся. Им предлагается самостоятельно решить по одной задаче на совместную работу. Класс в это время работает самостоятельно, потом происходит проверка решения.

Текст задач для учащихся.

  1. Два маляра, работая вместе, могут за 1 ч покрасить стену площадью

40 м2. Первый маляр, работая отдельно, может покрасить 50 м2 стены

на 4 ч быстрее, чем второй покрасит 90 м2 такой же стены. За сколько

часов первый маляр сможет покрасить 100 м2 стены?

hello_html_m53d4ecad.gif2. Два оператора, работая вместе, могут набрать 40 страниц текста за 1ч.

Работая отдельно, первый оператор на набор 90 страниц этого текста

тратит на 5 ч больше, чем второй оператор на набор 25 страниц. За

сколько часов второй оператор сможет набрать 275 страниц этого текста?

III.Решение задачи на части вместе с учителем.

Задача. Первый сплав состоит из цинка и меди, входящих в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлов в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

Решение.

Запишем условие задачи в виде таблицы.

Заметим, что hello_html_maaf5859.gif = hello_html_6ac47ab8.gif, или 27x + 54y = 34x + 51y, откуда 3y = 7x.

Т.к. 3x = A, 5y = B, то hello_html_m657a886b.gif = hello_html_4a243431.gifhello_html_m42a19322.gif = hello_html_m5f2ab8ce.gif = hello_html_m20822a0.gif.

Ответ: сплав следует взять в соотношении 9:35.

Задача . Объемы ежегодной добычи угля первой, второй и третьей шахтами

относятся как 1: 2: 4. Первая шахта планирует уменьшить годовую

добычу угля на 8%, а вторая – на 2%. На сколько процентов должна

увеличить годовую добычу угля третья шахта, чтобы суммарный объем

добываемого за год угля не изменился?

Решение: Пусть х- объем 1 части добываемого угля, а у- планируемое увеличение годовой добычи угля третьей шахтой.

У нас 2 ситуации: первая - первоначальная добыча, вторая - планируемая добыча. Составим таблицу:

Планируемая добыча


1 шахта

х

0,92х

2 шахта

0,98∙2х

3 шахта

4ху


Зная, что суммарный объем добываемого угля не должен измениться, составим и решим уравнение:

hello_html_70c37504.gif

Зная, что х не равен нулю, т.к. величина 1 части не может быть нулевой, разделим данное уравнение на х.

hello_html_3f24ac52.gif

hello_html_m53d4ecad.gifВывод: добыча угля 3 шахтой должна увеличится на 3 %.

Ответ: третья шахта должна увеличить добычу на 3 процента.

IV.К доске вызываются двое учащихся. Им предлагается самостоятельно решить по одной задаче на совместную работу. Класс в это время работает самостоятельно, потом происходит проверка решения.

1.Подарочный набор состоит из трех сортов конфет. Массы конфет

первого, второго и третьего сортов в этом наборе относятся как 3:8:17.

Массу конфет первого сорта увеличили на 10%, а второго – на 9%. На

сколько процентов надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы

масса всего набора не изменилась?

2.Набор химических реактивов состоит из трех веществ. Массы первого,

второго и третьего веществ в этом наборе относятся как 5:8:12. Массу

первого вещества увеличили на 8%, а второго – на 4%. На сколько

процентов надо уменьшить массу третьего вещества, чтобы масса всего

набора не изменилась?

V. Решение задачи на арифметическую прогрессию (вместе с учителем).

Задача 3. В первый день подготовки к экзамену школьник повторил 3 вопроса. В каждый следующий день он повторял на 2 вопроса больше, чем в предыдущий, и успел вовремя подготовить все 48 вопросов программы. Сколько дней заняла подготовка?

Решение. Количество вопросов, повторяемых школьником ежедневно составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 3, а разность равна 2. Пусть n (натуральное число) - число дней, потраченных на подготовку. Тогда количество повторенных вопросов (48 вопросов) равно сумме n членов этой арифметической прогрессии, т.е. hello_html_715924db.gif

Получаем:

hello_html_m10bff86d.gif

Необходимо решить квадратное уравнение:hello_html_m6f10d71b.gif

Решая, находим корни: n=6, n= - 8. Берём положительный корень. Таким образом, подготовка заняла 6 дней.

Ответ: подготовка заняла 6 дней.

VI. К доске вызывается 1 учащийся для решения аналогичной задачи.

1.Группа туристов в первый день путешествия прошла 10 км. Далее туристы решили ежедневно преодолевать на 5 км больше, чем в предшествующий день, пользуясь при этом, если потребуется, автостопом. В результате они преодолели расстояние 450 км. Сколько дней туристы были на маршруте, если в течение этого времени 8 дней они отдыхали?

Подведение итога урока.

Выставление оценок. Отмечаются учащиеся, работавшие у доски.

Домашнее задание: Решить задачи:

1. Один рабочий изготавливает 120 деталей на 1 ч дольше, чем такие же 120

деталей изготавливает второй рабочий. Работая вместе, они за 1 ч

изготавливают 100 таких деталей. За сколько часов второй рабочий

может изготовить 300 деталей?

2. Объемы ежегодной добычи угля первой, второй и третьей шахтами

относятся как 13:14:8. Первая шахта планирует уменьшить годовую

добычу угля на 2%, а вторая – на 1%. На сколько процентов должна

увеличить годовую добычу угля третья шахта, чтобы суммарный объем

добываемого за год угля не изменился?

3.Десятый член арифметической прогрессии равен 19, а сумма первых пятидесяти членов равна 2500.Найти сумму третьего, двенадцатого и двадцатого членов этой прогрессии.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математика в наши дни проникает во все сферы жизни. Овладение практически любой профессией требует тех или иных знаний по математике. Именно математическое мышление позволяет адекватно воспринимать окружающий нас мир. Этому способствуют многие темы по предмету, но особое место среди них занимает тема «Решение текстовых задач». Текстовые задачи включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ, в конкурсные экзамены.

Этот проект позволяет сгладить противоречия, которые возникают при изучении данной темы в школе и в предлагаемых вариантах ЕГЭ. Он ориентирует учащихся на обучение по естественно-научному и социально-экономическому профилю.

Познавательный материал проекта будет способствовать не только выработке умений решать задачи, но будет формировать устойчивый интерес учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

Он предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов и для подготовки к ЕГЭ по математике.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред шк./ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 1989. – 240 с.: ил.

  2. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред шк./ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. - 2-е изд. – М.: Просвещение, 1991. – 239 с.: ил.

  3. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. - 4-е изд. – М.: Просвещение, 1997. – 272 с.: ил.

  4. Обучение решению задач как средство развития учащихся: из опыта работы. Методическое пособие для учителя. – Киров, ИИУ. – 1999. – С.3-18.

  5. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научится решать задачи: Кн для учащихся ст. классов сред. шк. – 3-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1989. – 192 с.: ил.

  6. Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1-8 – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2010

  7. Дорофеев, Г.В., Седова, Е.А. Процентные вычисления, 10-11 классы: учебно-методическое пособие. – М. Дрофа, 2003. – 144с.

  8. Козина, М.Е. Сборник элективных курсов / М.Е. Козина – Волгоград: Учитель, 2007. – 137с.

  9. Кузнецова, Л.В. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. / В. Кузнецова, С.Б. Суворова и др. М.: Просвещение, 2006 – 192с.

  10. Симонов, А.С. Сложные проценты. / Математика в школе. – 1998. - № 5.




hello_html_5fe16fd1.gif


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 03.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров614
Номер материала ДБ-150799
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх