Проект по теме "Задачи на проценты"

ДОКЛАД.

В настоящее время одна из важнейших задач образовательного процесса – обеспечить студентам колледжа глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности.

Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки.

В школьном курсе эта тема изучается в V – VI классе, но ей отводится очень мало времени и места, в результате учащиеся не умеют решать задачи на проценты. Наблюдения действительно показывают, что многие студенты испытывают трудности, когда встречаются с понятием процента. Студенты колледжа, особенно в начальный период обучения, не разбираются в вопросах инфляции, ценообразования, банковских вкладах и кредитах. Поэтому желательно к этой теме обращаться постоянно, учитывая, что проценты тесно связаны с повседневной жизнью и с ними постоянно приходится иметь дело.

Кроме того, при поступлении в различные институты и университеты требуются знания, связанные с процентами. Сейчас при сдаче ЕГЭ необходимо уметь решать задачи на проценты. При подготовке к экзамену по математике преподавателю предстоит повторить со студентами процентные вычисления, а что-то придётся объяснить заново. Это очень важная работа, так как студенты впервые с процентами знакомились в 5 классе, а в экзаменационных заданиях есть задачи на процентные вычисления.

Задачи на проценты становятся прерогативой экономических дисциплин и химии, которые внедряют свой взгляд на проценты, а в математике их место только в рамках задач на повторение и задач повышенной трудности. Таким образом, студентами колледжа забываются проблемы универсальности процентов и разнообразия сфер их применения.

Тема работы – проценты, точнее будет сказать, их применение в межпредметных связях в колледже для углубленного изучения студентами, для тех, кто хочет поступать в высшие учебные заведения. Проценты в мире появились из практической необходимости, при решении определенных задач, в основном это экономические потребности. И поэтому надо отметить важность процентов в нашей жизни. Так как проценты проникли практически во все отрасли знаний. Мы не однократно видим, что проценты применяют даже там, где на первый взгляд не применимы так, например человек на вопрос: «Как у Вас здоровье?», - может ответить, что здоров на сто процентов, отсюда видно, что проценты можно применять при измерении не только точных величин, таких как килограммы, рубли и т.д., проценты являются универсальной величиной измерения разных величин и объектов. Проценты появились в древности, когда появилось понятие долга, так как они нужны были для выплаты по закладным и займам и т. д. И поэтому в математике стала развиваться новая область - проценты. Первая потребность в процентах была экономическая, но затем проценты стали широко применятся в различных отраслях и науках (математика, химия и т д.), и в наше время проценты приобрели широкое распространение.

Определим границы исследований:

предмет – процесс обучения студентов алгоритму решения задач на проценты;

объект - учебная деятельность, при которой студенты учатся решать задачи на проценты.

Целью методической разработки являются:

1.Обобщение методики изучения процентов.

2.Решение задач при подготовке к ЕГЭ.

3.Разбор задач на составление уравнений.

4.Формирование понимания необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показав широту применения процентных расчетов в реальной жизни и других предметах.

5.Способствование интеллектуальному развитию студентов.

При изучении этого материала необходимо напомнить студентам, что такое сотая часть числа (например, сотая часть рубля это копейка).

Необходимо отметить, что люди давно заметили, что сотые доли величин более удобны на практике (например, при записи десятичных дробей).

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Сегодня процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

При повторении этого материала нужно сначала напомнить (объяснить) студентам, что такое сотая часть числа (например, сотая часть метра – это сантиметр, сотая часть рубля - копейка, сотая часть центнера – килограмм).

Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности (например, при записи десятичных дробей). Потому для них было придумано специальное название – процент (от латинского ' по-центум ' – на сто). Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.

Итак, один процент – это одна сотая доля. Здесь важно обратить внимание на математическую запись процентов " % ", и главное объяснить, что целая часть равна "100%", что "100%" и есть целостность числа.

1.Методика нахождения нескольких процентов от числа.

В данном разделе покажем методику нахождения нескольких процентов от числа, так как эта тема является одной из трех важнейших, которые должны понять студенты в теме «проценты». А главное они должны понять алгоритм нахождения одного или нескольких процентов от числа, и применять эти способности на практике, при решении различных задач на проценты.

Важно, чтобы студенты поняли, для того чтобы находить проценты от числа нужно понять, что один процент является одной сотой от данного числа. Из этого следует необходимость определения одного процента (а это главное, так как чтобы найти несколько процентов от числа нужно найти сначала один процент) можно записать равенством:

1 % = 0,01 · а

Отсюда, любой студент быстро поймет, что 5% = 0,05; 23% = 0,23; 130%=1,3 и т. д.

Как найти 1% от числа? Раз 1% - это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Мы уже сделали вывод, что деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01.

А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Так что отсюда можно вывести алгоритм нахождения одного или нескольких процентов от числа:

Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.

2. Методика нахождения числа по его процентам.

Покажем общую методику нахождения числа от одного или нескольких процентов. Это также является важной частью в изучение процентов, так как встречаются не только задачи на нахождение процентов от числа, но числа по процентам. Это особенно хорошо видно в задачах связанных с экономикой (например, когда в банк кладется сумма под проценты, а через какое-то время забирается с «набежавшими» процентами и нужно найти данную сумму). Так что студентам необходимо раскрыть алгоритм нахождения числа от нескольких процентов.

Студенты знают, что один процент можно записать десятичной дробью:

1 % = 0,01 · а

Так вот возникает вопрос, как найти искомое число, если известно лишь, сколько процентов составляет другое число от искомого? Для этого нужно сначала проценты записать десятичной дробью, после чего надо данное нам число разделить на эту десятичную дробь, в результате мы получим число от нескольких процентов.

Если дано, сколько процентов от искомого числа составляет данное число, то чтобы найти искомое число, нужно заменить проценты десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.

3. Методика нахождения процентного отношения.

Рассмотрим последнее, но не менее важное для нахождения процентов при решении задач – это нахождение процентного отношения. В этом разделе изучим алгоритм нахождения процентного отношения.

Встречаются задачи, в которых даны два числа, и нужно найти их процентное отношение. Для этого нужно взять первое число, назовем его «а», и разделить его на второе число, назовем его число «в», а затем результат умножим на сто процентов. Мы получим процентное отношение первого числа на второе

( а / в) · 100 %

Чтобы найти процентное отношение двух чисел «а» и «в», надо отношение этих чисел умножить на 100 процентов, то есть получить данную формулу.

Надо сразу отметить, что такие задачи очень важны в курсе изучения не только процентов, но и всей математике. В них содержится и проценты числа, и процентное содержание, а это, как правило, вносит растерянность и путаницу у студентов при их решении, так как их приучили работать с чем-то одним при решении задач.

5. Методика изучения процентов концентрации, смеси и сплавы

Задачи на проценты, концентрации, смеси и сплавы встречаются не только в математике, но и в химии, где рассматриваются различные соединения. Они вызывают затруднения у студентов. Причина такой ситуации, на мой взгляд, заключается в том, что тема “Проценты” изучается в классах, когда собственно математики еще нет, изучается непродолжительно и, наконец, к задачам на проценты не возвращаются в старших классах. Неумение решать текстовые задачи показывает недостаточное знание математики.

Решение этих задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной и др.

При решении задач на проценты необходимо уметь находить процент от числа, число по его проценту, процентное отношение. Основная трудность лежит при решении задач на сложные проценты – проценты, начисляемые на процентные деньги.

Рассмотрим решение различных типов задач на нахождение процентов при подготовке к ЕГЭ.

6. Задачи на сложные проценты.

Тема «Проценты», связана с повседневной жизнью. Мы часто сталкиваемся с банковскими операциями: различные вклады, ссуды. Между тем, многие студенты, да и взрослые, при столкновении с этими задачами боимся их, потому что не умеем их решать. В учебниках не вводятся формулы простых и сложных процентов. Студенты должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание, на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа, число по его проценту. Вообще, данный вид задач применяется во многих областях хозяйственной деятельности и бухгалтерского учёта, а также в различных статистических расчётах, где используются формулы простых и сложных процентов.

Для нахождения простых процентов служит формула простых процентов: если с величины «а» нарастает «р»% за год (или другой период), то через t лет, полученную сумму можно получить по формуле

При этом предполагается, что по истечении каждого года доход за этот год исчисляется с первоначальной величины.

Если же доход причисляют к первоначальной величине и, следовательно, доход за новый год исчисляется с наращенной суммы, то говорят о сложных процентах; в этом случае величина, в которую превращается «а» через t лет вычисляется по формуле сложных процентов

7. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

Данный вид задач представляет собой сложный вид, т.к. эти задачи студенты решают очень плохо. После объяснения решения таких задач целесообразно порешать аналогичные задачи как индивидуально, так и со всеми вместе (групповым методом).

Для решения задач на смеси и сплавы, на концентрации нужно уметь рассуждать и решать задачи на дроби и проценты, на составление уравнений и их систем. Эти задачи решаются арифметически, применением линейного уравнения и их систем. Рассмотрим задачи, решаемые арифметическим способом.

Приступая к решению задач, связанных с понятиями «концентрация» и «процентное содержание», необходимо объяснить учащимся, что обычно в условиях таких задач речь идет о составлении сплавов, растворов, смесей из двух или нескольких веществ. При решении таких задач принимаются следующие основные допущения:

• Все получающиеся сплавы или смеси однородны;

• При слиянии двух растворов, имеющих объемы и, получается смесь , объем которой равен V = +;

• При слиянии двух растворов масса смеси равняется сумме масс, составляющих ее компонентов.

Объемной концентрацией компонента А называется отношение объема чистого компонента () в растворе ко всему объему смеси():

==, .

Объемным процентным содержанием компонента А называется величина, то есть концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Аналогично определяются массовая концентрация и процентное содержание: отношение массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава. Под процентным содержанием вещества понимается часть, которую составляет вес этого вещества от веса всего соединения.

В данной методической разработке рассмотрены основные методы решения задач на проценты и различные задачи на составление уравнений, что является важной частью изучение математики. Здесь рассмотрены задачи на составление « смесей » и на такое понятие как « концентрация ».

Хочется отметить, что тема очень актуальна, тем более в наше время, когда на первое место в отношениях становится экономика, а проценты приобрели широкое распространение в нашей жизни, а в школах уделяется мало время на изучения процентов, да и сам материал рассматривается скупо, не полномасштабно.

Можно сделать вывод, что эту тему не только можно, но и нужно вводить на факультативных занятиях по математике и на консультациях, а так же отводить время для решения задач на проценты на уроках.

9

Задача№1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 60 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 60 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

Задача№2.  Некий человек взял в долг у ростовщика 1000 р. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 80% от суммы долга. Но через 6 месяцев должник решил вернуть свой долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?

Задача№3. Найти 7% от числа 17.

Задача№ 4. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

Задача№5. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

Задача№6. Винни-Пух очень любил мед и стал разводить пчел, в первый год пчелы дали 10 кг меда, но Винни-Пуху этого было мало, во второй год пчелы увеличили производства меда на 10 % , но и этого было мало Винни-Пуху. Он подсчитал, что ему надо примерно 13 кг меда. Сколько лет должен ждать Винни-Пух, чтобы удовлетворить свои потребности при условии, что пчелы каждый год будут увеличивать производство меда на 10 %.

Задача№7. Когда Том Сойер нашел клад, он решил часть денег отдать тетушке, а часть оставить себе, так чтобы, положив их в банк при 5 % годовых каждый год получать эти проценты на личные расходы, он даже подсчитал, что ему примерно надо в год 300 долларов. Сколько он должен положить в банк?

Задача№8. В библиотеке имеются книги на английском, на французском и на немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг, французские - 75% английских книг, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько всего книг в библиотеке?

Задача№9. За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 20 рублей. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожал на 15 %, а второй подешевел на 25 %, то за тоже количество этих продуктов будет заплачено 18,2 рублей. Сколько стоит 1 кг каждого продукта?

Задача№10. Пшеницы и ржи колхоз собрал вместе 500 тонн. После того как была повышена урожайность пшеницы не 30 % и ржи на 20 %, колхоз собрал 630 тонн пшеницы и ржи. Сколько тон пшеницы и ржи собрал колхоз после повышения урожайности?

Задача№11. Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5 рублей. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?

Задача№12. Число 200 увеличили на 30 %, полученное число увеличили еще на 20 %. Какое число получится в итоге?

Задача №13. Сколько процентов числа 7 составляет разность между ним и 4% числа 28?

Задача№14. Некоторое число уменьшили на 12 % и получили 85. Чему равна величина этого числа (с округлением до 0,01)?

Задача№15. Клиент положил в банк на год 4000 рублей. Какая сумма у него будет через год, если банк выплачивает 8% годовых?

Задача№16. Владелец садового участка взял в банке ссуду 300000 рублей для постройки дома на участке. Он должен был вернуть эти деньги через год с надбавкой 9%, какую сумму он должен был вернуть?

Задача№17. Ирина внесла в январе 100 рублей на счёт, по которому ежемесячно начисляется 2%. И затем каждый месяц в течение года она вносила ещё по 100 рублей, не снимая с него никаких сумм. Сколько рублей на её счете будет в конце декабря?

Задача№18. Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг 1312500 р. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

Задача№19. Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4% раствор некоторого химического вещества и 10% раствора этого же вещества и получил 75 мл. 8% раствора. Сколько миллилитров 4% раствора и сколько 10% раствора было взято.

Задача№21. Кусок сплава золота и серебра весом 3 кг содержит 30% золота. Сколько кг чистого золота нужно прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% золота?

Задача№22. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова, Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Задача№23. Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найти концентрацию второго раствора.

6