Проект "Применение теоремы Пифагора в жизни человека"

Приложения

Приложение1

Опрос среди учащихся

Знаете ли вы теорему Пифагора?

Приложение2

Сможете ли вы Сформулировать теорему Пифагора?

Приложение 3

Можете ли вы применить теорему Пифагора?

Приложение 4

Опрос  среди жителей села

Знаете ли вы теорему Пифагора?

Приложение 5

Вы знаете, где можно применить теорему Пифагора?

Приложение 6

Анкетирование

1.     Знаете ли вы, кто такой Пифагор?

2.     Чем известен Пифагор?

3.     Известно ли вам высказывание «Пифагоровы штаны во все стороны равны?»  (о чем здесь говориться?)

4.     Знаете ли вы теорему Пифагора?

5.     Сформулируйте  теорему Пифагора.

6.     Решите задачу, используя теорему Пифагора

7.     Как вы думаете, где помимо уроков математики можно применить теорему Пифагора?

В этом учебном году мы познакомились с интересной теоремой, известной, как оказалось с  древнейших  времён:

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов построенных на катетах».

Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до н.э). Но изучение древних рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора.

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики.

Цели исследования

Найти из окружающей среды и решить задачи, которые опираются на теорему Пифагора, затронув следующие области:

математика

архитектура

другие области.
Изучить историю Пифагора
Изучить различные формулировки и доказательства его теоремы

Теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение:"Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов" .упоминание о теореме Пифагора  встречается в Китае 1100г до н.э,в Египетских трудах,в Индии в 18 веке до н.э.

Мы рассмотрели некоторые доказательства теоремы Пифагора, такие как

Простейшее доказательство

Доказательство методом разложения

Доказательство Бхаскари - Ачарна (XII век)

Доказательство Энштейна

Доказательство Гутхейля

Доказательство Нильсена  ит.д.

Существует около 500 различных доказательств этой теорем (геометрических, алгебраических, механических),  которые свидетельствуют о числе ее конкретных  реализаций. Ежегодно в ЕНТ включены задания по геометрии, в решение которых применяется теорема.

Остановимся на решении практических задач

2. Какова длина лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 2,4 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,8 м?

________________________________________________

12 апреля 1961 года Ю.А. Гагарин на космическом корабле “Восток” был поднят над землёй на максимальную высоту 327 километров. На каком расстоянии от корабля находились в это время наиболее удалённые от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли? (Радиус Земли ≈6400 км

106929+40960000=41066929= 6408 км

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.      

Решение:

Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда:

          А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м.,

     Б) Из треугольника ABF:      AF= =   5,7

В физике:

 Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

По теореме Пифагора h² > a² + b²,

значит h >  a² + b² 

В астрономии:

МОБИЛЬНАЯ СВЯЗЬ Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Решение:

      Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.

OB=OA+AB
OB=r + x.

Используя теорему Пифагора, получим   Ответ: 2,3 км.

Мы провели исследование среди учащихся нашей школы, а также опросили жителей нашего села. Из них практически все знакомы с высказыванием «Пифагоровы штаны во все стороны равны»  (90%).

Из 30 учащихся 8-11 классов теорему Пифагора знают 26 учащихся

Из 26 учащихся  точную формулировку дают 18 человек

Не точную 8

Могут применить для решения элементарных задач – 26

Для решения усложненных задач теорему  могут применить 11

Где помимо  уроков математики можно применить теорему Пифагора знают 9 человек.

Из 50 жителей села

Знают т.Пифагора- 22

Учили в школе, но не помнят  ее точной формулировки -24

Не знают - 4

На вопрос «Знаете ли вы, где применяется теорема Пифагора » положительный ответ дали лишь 11 человек. По данному опросу можно сделать вывод о том, что большое количество опрошенных учащихся знакомо с именем Пифагора, теоремой Пифагора и знают где можно применить в практической деятельности теорему. Это еще раз говорит об актуальности данной темы.

Результаты опроса показали, что мы знаем теорему Пифагора, но мало применяем ее в жизни, и не знаем  ее практического применения.

6.Заключение

Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней.  Мы изучили ряд исторических и математических источников, в том числе информацию в Интернете, и увидели, что теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют  приведённые нами в данной работе различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств.

Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c²=a²+b².  Поэтому для её доказательства часто используют  наглядность.

Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы.

Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.

Государственное учреждение

«Приозёрная средняя школа»

отдела образования Сандыктауского района

село Приозерное

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА  ПО ТЕМЕ:

«применение теоремы пифагора в жизни человека»

Направление:

«Математическое моделирование экономических

и социальных процессов»

Секция:   «Математика»

Автор :

Подымов Алексей

/ученик 8 класса/

Руководитель:

Кравченко Людмила Викторовна

/учитель математики/

с. Сандыктау - 2015 г.

Аннотация

Данная работа представляет собой исследовательский  проект по изучению теоремы Пифагора и применение ее в жизни человека.

Актуальность

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики.

Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

Так ли актуальна теорема Пифагора сейчас.

Объект исследования: теорема Пифагора.

Гипотеза исследования

Теорема Пифагора - это очень важное открытие для человечества. Так ли это?

1.2  Цели исследования

1) Найти из окружающей среды и решить задачи, которые опираются на теорему Пифагора, затронув следующие области:

математика

архитектура

другие области.
3 )  Изучить историю Пифагора
4)  Изучить различные формулировки и доказательства его теоремы

I.3. Задачи исследования

ü Собрать материал по истории появления и развития теоремы Пифагора.

ü Собрать материал по использованию теоремы Пифагора в Древние века.

ü Собрать материал по различным видам доказательств теоремы Пифагора.

ü Проанализировать и обработать собранную информацию.

ü Подготовить тестовые задания для закрепления материала.

ü Сделать презентацию с помощью Microsoft Power Point 2003.

ü Оформить материал.

ü Показать полученную презентацию учащимся и учителям.

ü Представить результаты проектно-исследовательской работы.

1.4 Этапы работы

1 этап – исследовательская и поисковая работа по изучению литературы и материалов из сети Интернет.

2 этап – поиск и решение задач из жизни применяя теорему Пифагора

3 этап – составление анкет и проведение опроса.

4  этап – анализ и обобщение результатов

I.5. Необходимые ресурсы:

1.  Техническое оснащение: фотоаппарат, компьютер, принтер.

2.Программное обеспечение: прикладной пакет Microsoft Word для создания текстовых фрагментов,  прикладной пакет Microsoft Visio для создания рисунков,  прикладной пакет Microsoft Power Point для создания презентаций.

Оглавление:

I . Аннотация………………………………………………………………2

 II. Введение………………………………………………………………  5

Глава1  Теоретическая часть……………………………………………………   7

1.1 Из биографии Пифагора……………………………………………… 7

1.2 Некоторые изречения Пифагора …………………………  ………… 9

Глава2

2.1. Из истории теоремы…………………………………………………  .9

2.2.Некоторые доказательства теоремы…………………………………. 11

Глава 3 Практическое применение  теоремы Пифагора

3.1 Задачи, решаемые при помощи теоремы Пифагора………….. 14

3.3 Применение теоремы Пифагора в различных науках………   17

Глава4.Эксперементальная часть……………………………………………. 21

IV Заключение ………………………………………………………… 23

V. Используемая литература………………………………………… 24

Приложения …………………………………………………………… 25

    ВВЕДЕНИЕ

В этом учебном году мы познакомились с интересной теоремой, известной, как оказалось с  древнейших  времён:

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов построенных на катетах».

Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до н.э). Но изучение древних рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора.

Мы заинтересовались, почему в таком случае её связывают с именем Пифагора.

Целью нашего исследования было: узнать, кто такой был Пифагор и какое отношение он имеет к этой теореме. Изучая историю теоремы, мы решили выяснить:

Существуют ли другие доказательства этой теоремы?

Каково значение этой теоремы в жизни людей?

Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики?

Цели исследования

Найти из окружающей среды и решить задачи, которые опираются на теорему Пифагора, затронув следующие области:

математика

архитектура

другие области.

3) Изучить историю Пифагора
4) Изучить различные формулировки и доказательства его теоремы

Существует около 500 различных доказательств этой теорем (геометрических, алгебраических, механических),  которые свидетельствуют о числе ее конкретных  реализаций. Ежегодно в ЕНТ включены задания по геометрии, в решение которых применяется теорема Пифагора

Глава1. Теоретическая часть

1.1     Из биографии Пифагора

Великий древнегреческий ученый  Пифагор родился на острове Самос  в VI веке до нашей эры. В молодости побывал в Египте, где учился у жрецов. Посетил халдейских мудрецов и персидских магов, познакомился с восточной математикой. В Древней Греции, он основал пифагорейский союз, где была доказана «теорема Пифагора». Великий учёный Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора неизвестно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности.[8]

Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твёрдой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера.

Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окружённым толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввёл юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим учёным - Фалесом. Фалес советует ему отправиться за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал. [11]

В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис - самосскую колонию, где было у кого найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но, влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел  все эти испытания, хотя, по данным раскопок,  египетские жрецы не многому могли его научить, так как  в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей потребность того времени в счёте и в измерении земельных участков). Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся домой. [8]

Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам. Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему поучиться. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племён в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полураба, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. Поликрат его преследует, и Пифагор вынужден переселиться в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена ("пифагорейцы"), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество.[6]

... Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, не останавливаясь перед поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей – они своими телами вымостили дорогу любимому учителю из горящего дома. Без своей школы и без своих учеников  Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

Но в различных источниках можно встретить и другие версии последних дней Пифагора. [5]

1.2 Некоторые изречения Пифагора

Статуя формой своей хороша,
А человека украсят дела.                                                                                                                            

Шуткой беседу укрась, освети.
Шутка, что соль. Лишь не пересоли…

Лучше молчи, ну, а коль говоришь,
Пусть будет лучше, чем то, что молчишь.

Если ты в гневе, не смей говорить!
Действовать резко и злобу сорить.

 Пред тем, как станешь говорить, пусть мысль созреет
Под языком твоим. Созревшая - все смеет.[8]

"В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота,   второе можно назвать драгоценным камнем".

 Иоганн Кеплер[5]

Глава2

2.1.Из истории теоремы                                                                                                    

Одно из первых упоминаний теоремы Пифагора относится еще к древнему Китаю: математическая книга Чу-пей (около 2400 г. до н. э.). В этом сочинении так говорится о "пифагоровом треугольнике" со сторонами 3, 4 и 5: [4]

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Из истории древнего Египта сохранилось очень мало сведений о геометрии треугольников, но остались архитектурные сооружения пирамид и храмов, а также остались изображения, в которых отображены знания о геометрии древнего Египта. Внимательное исследование изображений позволяет понимать геометрию, и в том числе позволяет понимать геометрические пропорции человеческого лица и тела с помощью, в том числе и "пифагоровых" треугольников. [6]

Геометрия у индусов была тесно связана с религиозными обрядами и культом жертвоприношения (построение алтарей-жертвенников). Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э. В древнеиндийской "Сульва-Сутре"  («Правило веревки") есть следующие положения: 1) квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его меньшей и большей стороны; 2) квадрат на диагонали квадрата в два раза больше самого квадрата [7]

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще                 около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I                             (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели верёвок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения.  Возьмем верёвку длиною в 12 линейных единиц и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 единицы от одного конца и  4 единицы от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным  угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки,  на которых встречается такой инструмент:  например, рисунки, изображающие  столярную  мастерскую. Но в том-то и дело, что для изготовления такого шаблона как раз и использовали идею гарпедонаптов.[11]

Как видим теорема эта была открыта практиками почти за 600 лет до Пифагора. Но это ничуть не умаляет его заслуги перед наукой.

В "Перечне математиков", приписываемом Евдему, о Пифагоре сказано так: "Как передают, Пифагор превратил занятие этой отраслью знания (геометрией) в настоящую науку, рассматривая её основы с высшей точки зрения и исследуя её теории менее материальным и более умственным образом".

Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но её систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."[8]

Пифагору приписываются создание основ планиметрии, правил построения некоторых правильных многоугольников и многогранников, введение широкого и обязательного использования доказательств в геометрии, создание учения о подобии, и , наконец, доказательство теоремы о сторонах прямоугольного треугольника.

Интересна легенда, из которой мы узнаём, с какой страстью Пифагор изучал уже достигнутое в математике и совершал новые научные открытия. [6]

Причина популярности данной теоремы  - её простота и значимость. Она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. В настоящее время известно около пятисот различных доказательств теоремы.

Теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение:"Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов"[2]

2.2.Некоторые доказательства теоремы

Посмотрите на эти два квадрата, и все сразу становится ясно. Индусы к этому чертежу добавляли лишь одно слово: "Смотри!". способы доказательства теоремы

Простейшее доказательство

На рисунке дан простейший равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (закрашен серым цветом, АВ и ВС -катеты).

По данному рисунку я приведу два доказательства.

Если квадраты отложить в общую часть полуплоскостей с границами АВ и  ВС, то сумма числовых значений площадей квадратов, построенных на катетах, равна 4SABC (квадраты совпали). Но и площадь квадрата, построенного на гипотенузе, тоже равна 4SABC

Если же квадраты отложить на сторонах во внешнюю область, то и в этом случае 2+2=4.

Теорема доказана. рис.1

Доказательства методом разложения

Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания идеи доказательства достаточно одного взгляда на чертёж. Древние индусские математики древности вообще ограничивались  единственным словом: «Смотри!».

Но, безусловно, доказательство нельзя считать полным, пока мы не доказали равенства всех соответствующих друг другу частей.

В данном проекте даётся в основном обзор идей доказательства, но учитель всегда может у вас попросить доказать равенство соответствующих фигур[12]

Доказательство Энштейна

Точки E, C и F лежат на одной прямой;   это  следует из несложных расчётов градусной меры угла ECF (он развёрнутый).

CD проводим перпендикулярно   EF.

Продолжены вверх левая и правая стороны квадрата, построенного на гипотенузе,  до пересечения с EF; продолжена сторона  ЕА  до пересечения с CD.

Соответственно равные треугольники одинаково пронумерованы.

  рис2

Доказательство Бхаскари - Ачарна (XII век)

Этот индийский математик в пояснении к рисунку написал только одну строчку: "Смотри!". Учёные считают, что он выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь внутреннего квадрата (a - b)²:

        c²=4ab/2+(a -b)²;

        c²=2ab+a²-2ab+b²;                          

        c²=a²+b².                                                     рис3

       Теорема доказана.[5]

Доказательство 9 века

Математики 9 столетия новой эры разместили квадраты, построенные на катетах,  ступенями, один рядом с другим.  Индусы называли эту композицию "стулом невесты". Построен и  квадрат со стороной, равной гипотенузе. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный шестиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 ; 2 и ещё один маленький треугольничек,  получим оба квадрата, построенные на катетах; если же к заштрихованной фигуре присоединить треугольники 3 и 4 (соответственно равные 1 и 2) и такой же маленький треугольник, то получим квадрат, построенный на гипотенузе [8]

Доказательство Гутхейля

Гутхейль предлагает такое наглядное расположение отдельных частей.

Попробуй закрасить   соответственно равные части, и станет понятна идея математика. Вновь мы убеждаемся, что  площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

 рис4

еслии треугольник будет равнобедренным прямоугольным, то  исчезнут части 5; 6 и 7 [8]

Доказательство Нильсена

 

рис5

Нильсен предложил такое разбиение.

Многоугольники равных   площадей (равновеликие фигуры) одинаково пронумерованы.

Доказательство методом дополнения. [9]

 существует около 500 различных доказательств этой теорем (геометрических, алгебраических, механических),  которые свидетельствуют о числе ее конкретных  реализаций. Каждый год на ЕНТ включены задания по геометрии, в решение которых применяется теорема Пифагора.

Глава3. Практическое применение теоремы Пифагора

3.1.Задачи, решаемые при помощи теоремы Пифагора

Решите задачу (устно):
1. При проектировании торгового центра запланирована постройка эскалатора для подъёма на высоту 2,5 м под углом 30° к горизонту.Найдите длину эскалатора (в метрах)   рис. 6[4]

2. Какова длина лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 2,4 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,8 м?[1]

  х1ъ

Исторические задачи:

3.  Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать." [3]

4.В древней Индии предлагали задачи в стихах

                                                                                              Рис.7

Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока [10]

 5.Задача из китайской
"Математики в девяти книгах"

"Имеется водоем со

      стороной в 1 чжан = 10 чи.

     В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"[10]

 рис.8

6.Задачи по планиметрии с практическим применением

12 апреля 1961 года Ю.А. Гагарин на космическом корабле “Восток” был поднят над землёй на максимальную высоту 327 километров. На каком расстоянии от корабля находились в это время наиболее удалённые от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли? (Радиус Земли ≈6400 км

Рассмотрим применение теоремы Пифагора для нахождения диагонали квадрата со стороной а.
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, тогда  d² = a² + a² откуда: d² = 2a²    d =  2 а

2. Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. [2]
По теореме Пифагора: d² = a² + b²

Рассмотрим пример вычисления диагонали прямоугольника со сторонами 5 см и 12 см. [2]

3. Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом по теореме Пифагора

а² = h² + (1/2a)²
h² = a² – (1/2a)²  h = 1/2a3

Рассмотрим пример вычисления длины высоты в равностороннем треугольнике со стороной 4 см.[1]

3.3 Применение теоремы Пифагора в различных науках

В стереометрии:

Вычисление длины диагонали прямоугольного параллелепипеда

В архитектуре:

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.
Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора. 
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы

 Рис.9

полуокружностей будут равны R = b/2 и r = b/4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равнаb/4 + p, один катет равен b/4, а другой b/2 – p. 
По теореме Пифагора имеем: (b/4 + p)² = (b/4)² + (b/2 – p)²
Решив данное уравнение, легко найти радиус внутренней окружности р = b/6 [6]

В строительстве:

Возможно, кто-то сочтёт приложения теоремы Пифагора сугубо теоретическими. Но это не так. Если, например, рассматривать треугольную призму  как крышу башни, то в первом нашем вопросе речь идёт о том, какой длины нужно сделать боковые рёбра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши. Заметим, что расчёт площади кровли можно сильно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит:
Чтобы найти площадь поверхности двухскатной крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить площадь чердака Sч на длину стропила и разделить на половину ширины дома. 
Например, при строительстве любого сооружения рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д. В целом значение теоремы кроме вышесказанного в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF. [2]

Решение:

     Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда:

          А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м.,

     Б) Из треугольника ABF:      AF= =   5,7

 рис. 10

В физике:

Молниеотвод, громоотвод, устройство для защиты зданий, промышленных, транспортных, коммунальных, с-х. и других сооружений от ударов молнии.  
Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.[1]

По теореме Пифагора h² > a² + b²,

значит h > a² + b²    

 рис. 11

В астрономии:

На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равно расстояние между точками?[5]

•             рис.12

•              На этом рисунке показан путь светового луча только с другой точки зрения, например из космического корабля. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми движется световой луч, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока луч пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.

рис.13

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. Это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы, которые долгое время считались искусственными)и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100 000 франков  тому, кто первый установит связь с каким – нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса Световой сигнал  в виде теоремы Пифагора.[11]
Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора,  имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

МОБИЛЬНАЯ СВЯЗЬ

 Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.) [1]

Решение:  рис.14

      Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.

OB=OA+AB
OB=r + x.

Используя теорему Пифагора, получим   Ответ: 2,3 км.  

В Германии недавно открылся кинотеатр, где показывают кино в шести измерениях: первые три даже перечислять не стоит, а также время, запах и вкус . Это наглядно говорит о том, насколько быстро увеличивается количество измерений, используемых человечеством. Ведь еще совсем недавно никто и не говорил о более чем трех измерениях в кино. Вы спросите: « А как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы?» А все очень "просто": ведь при показе кино надо рассчитать, куда и какие запахи направлять и т.д. Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, показывают обедающего человека, а вы чувствуете вкус еды... Захватывает? Конечно да, и это говорит о том, насколько много направлений деятельности еще будет у теоремы Пифагора и теорем, связанных с ней. Но не надо думать, что теорема Пифагора больше не имеет других значений. Таким образом можно сделать вывод, что все эти технологии используются также и в других отраслях.[5]

Глава 4.Эксперементальная часть (результаты анкетирования)      

Мы провели исследование среди учащихся нашей школы, а также опросили жителей нашего села Из них практически все знакомы с высказыванием «Пифагоровы штаны во все стороны равны»  (90%).

Из 30 учащихся 8-11 классов теорему Пифагора знают 26 учащихся

Из 26 учащихся  точную формулировку дают 18 человек

Не точную 8

Могут применить для решения элементарных задач – 26

Для решения усложненных задач теорему  могут применить 11

Где помимо  уроков математики можно применить теорему Пифагора знают 9 человек.

Из 50 жителей села

Знают т.Пифагора- 22

Учили в школе, но не помнят  ее точной формулировки -24

Не знают - 4

На вопрос «Знаете ли вы, где применяется теорема Пифагора » положительный ответ дали лишь 11 человек.

По данному опросу можно сделать вывод о том, что большое количество опрошенных учащихся знакомо с именем Пифагора, теоремой Пифагора и знают где можно применить в практической деятельности теорему. Это еще раз говорит об актуальности данной темы. Результаты опроса  жителей села показали, что мы знаем теорему Пифагора, но мало применяем ее в жизни, и не знаем  ее практического применения.

IV. Заключение

Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней.  Мы изучили ряд исторических и математических источников, в том числе информацию в Интернете, и увидели, что теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют  приведённые нами в данной работе различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств.

Итак, теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c²=a²+b².  Поэтому для её доказательства часто используют  наглядность.

Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы.

Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор – замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.

В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется,что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.

IV.Используемая литература:

1.Математика: 9-й класс: тренировочные варианты работ для проведения государственной итоговой аттестации в новой форме/ авт.-сост. Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова и др. – Москва:АСТ: Астрель, 2014. – (ФИПИ) Балк М.Б,   Балк Г.Д.   Математика   после   уроков: Пособие   для   учителей. - М.: Просвещение,  1971.

2. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. Геометрия, 7-9кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений -  19-е изд. – М.: Просвещение, 2009.

3.  Г.И. Глейзер. История математики в школе.  7-8кл.: Пособие для учителей, - М.: Просвещение, 1982.   

4. Гусев В. А. и др. Математ. словарь для школьников: Сдай экзамены на пять! - Ростов н/Д: Феникс, 2004        

5. Ресурсы удаленного доступа [электронный ресурс; рисунки] - Режим доступа: http://festival.1september.ru

6.Ван-дер-Варден Б.Л.  Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции.  М., Учпедгиз, 1959 г.

7.Глейзер Г.И. История математики в школе.  М., Просвещение,1982 г.

8.Еленьский Щ. По следам Пифагора.  М., Учпедгиз, 1961 г.

9.Литцман В. Теорема Пифагора.  М., Просвещение, 1960 г.

10.Скопец З.А. Геометрические миниатюры.  М., Просвещение, 1990 г.

11. Савин А.П.Котова А.Ю.Я познаю мир. Математика. изд.Астрель,2002

12.Большая математическая энциклопедия для школьников.

13. Белл Э. Т. Творцы математики. Предшественники современной математики/ Под ред. С.     Н. Киро. М., 1979

Дневник работы над проектом

Ученика 8  класса

 ГУ «Приозерная средняя школа»

Подымова Алексея Владимировича

 1. ФИО. Подымов Алексей Владимирович

 2. класс – 8

 3. Возраст- 14 лет

4. домашний адрес – Акмолинская область, Сандыктауский район, с.Приозерное, ул.Школьная

5. Тема «Теорема Пифагора и ее применение в жизни человека»

6.Руководитель проекта –Кравченко Л.В.(учитель математики)

7. Сроки реализации – ноябрь2014-май 2015

8. Цели  проекта

1) Найти из окружающей среды и решить задачи, которые опираются на теорему Пифагора, затронув следующие области:

математика

архитектура

другие области.
3 )  Изучить историю Пифагора
4)  Изучить различные формулировки и доказательства его теоремы

9.Задачи исследования

Собрать материал по истории появления и развития теоремы Пифагора.

Собрать материал по использованию теоремы Пифагора в Древние века.

Собрать материал по различным видам доказательств теоремы Пифагора.

Проанализировать и обработать собранную информацию.

Подготовить тестовые задания для закрепления материала.

Сделать презентацию с помощью Microsoft Power Point 2003.

Оформить материал.

Показать полученную презентацию учащимся и учителям.

Представить результаты проектно-исследовательской работы.

10.Этапы работы

№ п/п	Этапы	Сроки	Примечание
	Подготовка. Выбор темы	ноябрь
	Консультация с учителем	декабрь
	Сбор материала по теме проекта	декабрь
	Анализ и обработка  материала по теме проекта	январь
	Консультация учителем	февраль
	Составление вопросов для анкетирования	1 нед. февраля
	Анкетирование среди учащихся	февраль
	Оформление работы	март
	Создание презентации для защиты проекта в среде  Microsoft Power Point	март
	Консультация с  учителем	01-07.04.
	Показ презентации учителям и учащимся	апрель
	Защита проекта	май

11 Необходимые ресурсы:

1.  Техническое оснащение: фотоаппарат, компьютер, принтер.

2.Программное обеспечение: прикладной пакет Microsoft Word для создания текстовых фрагментов,  прикладной пакет Microsoft Visio для создания рисунков,  прикладной пакет Microsoft Power Point для создания презентации

12.Используемая литература

1.Математика: 9-й класс: тренировочные варианты работ для проведения государственной итоговой аттестации в новой форме/ авт.-сост. Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова и др. – Москва:АСТ: Астрель, 2014. – (ФИПИ) Балк М.Б,   Балк Г.Д.   Математика   после   уроков: Пособие   для   учителей. - М.: Просвещение,  1971.

2. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. Геометрия, 7-9кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений -  19-е изд. – М.: Просвещение, 2009.

3.  Г.И. Глейзер. История математики в школе.  7-8кл.: Пособие для учителей, - М.: Просвещение, 1982.   

4. Гусев В. А. и др. Математ. словарь для школьников: Сдай экзамены на пять! - Ростов н/Д: Феникс, 2004        

5. Ресурсы удаленного доступа [электронный ресурс; рисунки] - Режим доступа: http://festival.1september.ru

6.Ван-дер-Варден Б.Л.  Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции.  М., Учпедгиз, 1959 г.

7.Глейзер Г.И. История математики в школе.  М., Просвещение,1982 г.

8.Еленьский Щ. По следам Пифагора.  М., Учпедгиз, 1961 г.

9.Литцман В. Теорема Пифагора.  М., Просвещение, 1960 г.

10.Скопец З.А. Геометрические миниатюры.  М., Просвещение, 1990 г.

11. Савин А.П.Котова А.Ю.Я познаю мир. Математика. изд.Астрель,2002

12.Большая математическая энциклопедия для школьников.

13. Белл Э. Т. Творцы математики. Предшественники современной математики/ Под ред. С.     Н. Киро. М., 1979

Фотоальбом проекта

 

• 1 слайд

  Подготовил
  ученик 8 класса Подымов Алексей.
  ГУ «Приозерная СШ»
  ТЕОРЕМА ПИФАГОРА и ее применение в жизни человека
  «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них -это теорема Пифагора...»
  Иоганн Кеплер
  c2=a2+b2
  

• 2 слайд

  Пифагор.
  
  (570 - 490 гг. до н. э.)
  

• 3 слайд

  Актуальность
  В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики.
  Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.
  Так ли актуальна теорема Пифагора сейчас.
  
  

• 4 слайд

  Гипотеза исследования
  
  Теорема Пифагора –
  это очень важное открытие для человечества. Так ли это?
  
  

• 5 слайд

  Цели исследования
  - Найти из окружающей среды и решить задачи, которые опираются на теорему Пифагора, затронув следующие области:
  математика
  архитектура
  физика
  другие области.
  - Изучить историю Пифагора
  - Изучить различные формулировки и доказательства его теоремы
  
  

• 6 слайд

  Теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение:
  "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".
  

• 7 слайд

  Из истории теоремы
  Древний Китай
  "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".
  
  

• 8 слайд

  
  
  
  
  Древний Египет
  Скульптурное изображение фараона Хефрена
  

• 9 слайд

  Различные способы и доказательства теоремы Пифагора
  
  Простейшее доказательство
  Доказательство Энштейна
  Доказательства методом разложения
  Доказательство Бхаскари - Ачарна (XII век)
  Доказательство 9 века
  Доказательство Гутхейля
  Доказательство Нильсена и т.д..
  
  

• 10 слайд

  Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических), которые свидетельствуют о числе ее конкретных реализаций. Ежегодно в ЕНТ включены задания по геометрии, в решение которых применяется теорема Пифагора.
  
  

• 11 слайд

  Какова длина лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 2,4 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,8 м?
  2,4 м
  1,8 м
  𝟏, 𝟖 𝟐 +𝟐, 𝟒 𝟐 =𝟑
  

• 12 слайд

  Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого
  "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."
  

• 13 слайд

  В древней Индии был обычай предлагать задачи в стихах.
  Над озером тихим
  С полфута размером
  Высился лотоса цвет.
  Он рос одиноко,
  И ветер порывом
  Отнёс его в сторону. Нет
  Боле цветка над водой.
  Нашёл же рыбак его
  Ранней весною
  В двух футах от места, где рос.
  Итак, предложу я вопрос:
  “Как озера вода здесь глубока?”
  

• 14 слайд

  Задача из китайской
  "Математики в девяти книгах"
  "Имеется водоем со
  стороной в 1 чжан = 10 чи.
  В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.
  Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?«
  25+х2=(х+1)2
  Х=12
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 15 слайд

  Задачи по планиметрии с практическим применением
  12 апреля 1961 года Ю.А. Гагарин на космическом корабле “Восток” был поднят над землёй на максимальную высоту 327 километров. На каком расстоянии от корабля находились в это время наиболее удалённые от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли? (Радиус Земли ≈6400 км). ( применяя т.Пифагора получаем 6408км)
  

• 16 слайд

  Строительство крыши
  При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.
       Решение:
       Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда:
       А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м.,
        Б) Из треугольника ABF: АF=5.6м
       
  

• 17 слайд

  Молниеотвод
  Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
  Решение:
        По теореме Пифагора h2≥ a2+b2, значит h≥(a2+b2)1/2.
  
  
  

• 18 слайд

  астрономия
  На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.
  Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равно расстояние между точками?
  
  

• 19 слайд

  На этом рисунке показан путь светового луча только с другой точки зрения, например из космического корабля. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми движется световой луч, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока луч пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.
  
  

• 20 слайд

  Мобильная связь
  Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)
  Решение:
        Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
  OB=OA+AB
  OB=r + x.
  Используя теорему Пифагора, получим Ответ: 2,3 км.
  
  
  

• 21 слайд

  Знаете ли вы теорему Пифагора?
  (учащиеся)
  

• 22 слайд

  Знаете ли вы теорему Пифагора? (жители села)
  

• 23 слайд

  Сможете ли вы сформулировать теорему Пифагора?
  

• 24 слайд

  где ты можешь применить т.Пифагора?
  

• 25 слайд

  Знаете ли вы где применяется т.Пифагора?(ж.с.)
  

• 26 слайд

  Заключение
  В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.