ΧV межрайонная заочная научно-практическая

конференция молодых исследователей

«Творчество юных – шаг в будущее»

Признаки делимости натуральных чисел

 и их применение на практике

Жирикова Дарья Викторовна,

13 лет, 6 класс

Отделение МАОУ «Голышмановская СОШ №2»

«Усть-Ламенская СОШ»,
с. Усть-Ламенка, Голышмановский  г.о.

Научный руководитель:
Манакова Татьяна Ильинична,

учитель математики

Отделение «МАОУ «Голышмановская СОШ №2»,

«Усть-Ламенская средняя общеобразовательная школа,

Голышмановского г.о.

с. Усть -Ламенка, 2021 г.

«Признаки делимости натуральных чисел

 и их применение на практике»

Жирикова Дарья

Российская Федерация, Тюменская область Голышмановский ГО село Усть-Ламенка

Отделение МАОУ «Голышмановская СОШ№2» «Усть-Ламенская СОШ», 6 класс

АННОТАЦИЯ

Актуальность исследования.

Нередко в арифметике требуется узнать, делится ли одно число на другое, не производя при этом самой операции деления. Современные люди привыкли пользоваться вычислительными средствами, а что делать, если их нет под рукой. Именно поэтому  необходимо знать некоторые признаки, которые позволяют без выполнения деления определять, делится ли одно целое число на другое или нет.

В школьном курсе математики изучаются в признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3, на 5, на 9, на 10. В ходе решения упражнений, познакомились так же с признаками делимости на 4, на 25, вывели признаки делимости на 6, на 12 и на 15.

Это и натолкнуло на мысль, что могут  существовать и другие признаки делимости?

Цель: исследование признаков делимости на числа от 2 до 105, кроме тех, что мы изучаем в школьном курсе математики и использование их при решении задач.

Задачи: повторить признаки делимости, изученные на уроках математики и с их помощью провести классификацию; рассмотреть признаки делимости, не изучаемые в школьной программе; в ходе эксперимента подтвердить некоторые из них и вывести новые; разработать справочник «Признаки делимости натуральных чисел и их применение на практике».

Методы исследования: поиск и изучение информации, обработка данных, анализ и систематизация материала по признакам делимости натуральных чисел, эксперимент.

В работе подтверждена гипотеза о существовании признаков делимости, не изучающихся в школьном курсе математики. Доказаны некоторые признаки и сформулированы новые (свои). Результатом проектной деятельности стал разработанный справочник «Признаки делимости натуральных чисел и их применение на практике». Осуществлена подборка задач на применение знаний по данной тематике.

Проведена интеллектуальная игра  с классом, рассмотрены задачи с использованием признаков делимости. 

Научная статья

Актуальность исследования.

Человечество интересовалось числами с древних времен, еще в каменном веке. Конечно, это были весьма примитивные приемы счета – на пальцах, с помощью зарубок и так далее.

С развитием цивилизации познания людей в математике расширялись. Развивалась торговля, людям нужно было уметь считать товар и деньги, чтобы не быть обманутыми.

Постепенно стали возникать математические принципы, один из которых: деление без остатка можно выполнить только для некоторых чисел, причем бывает довольно трудно заранее узнать, делится ли одно число на другое. Помимо того, есть числа, которые делятся только на единицу или сами на себя. Они называются «простыми» числами. А делить на ноль и вовсе нельзя.

Нередко в арифметике требуется узнать, делится ли одно число на другое, не производя при этом самой операции деления. Если есть калькулятор под рукой, то проверить можно довольно быстро - просто поделив число. А если нет? Именно для подобных случаев удобно знать некоторые признаки, которые позволяют без выполнения деления определять, делится ли одно целое число на  другое или нет.

Просмотрев учебники математики 5 и 6 класса разных авторов, убедились, что в школьном курсе математики изучаются в основном только признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3, на 5, на 9, на 10. При изучении признаков делимости по учебнику математики авторов Г. К. и О. В. Муравиных, в ходе решения упражнений, познакомились так же с признаками делимости на 4, на 25, вывели признаки делимости на 6, на 12 и на 15.

Гипотеза если существуют основные признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то существуют и другие признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел.

Целью проекта является исследование признаков делимости на числа от 2 до 105, кроме тех, что мы изучаем в школьном курсе математики и использование их при решении задач.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1.                  Повторить признаки делимости, изученные на уроках математики и с их помощью провести классификацию.

2.                  Рассмотреть признаки делимости, не изучаемые в школьной программе  и познакомить с ними одноклассников;

3.         Подтвердить существующие признаки делимости и дополнить их.

Объект исследования – делимость натуральных чисел.

Предмет исследования – признаки делимости натуральных чисел.

Методы: поиск и изучение информации, обработка данных, анализ и систематизация материала по признакам делимости натуральных чисел, эксперимент.

Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228 г.г.).

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез  Паскаль (1623–1662 г.г.), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Разносторонне развитый ученый за свою короткую жизнь (умер в 39 лет) сделал много открытий. Среди них признак делимости Паскаля: натуральное число «а» разделится на другое натуральное число «b» только в том случае, если сумма произведений цифр числа «а» на соответствующие остатки, получаемые при делении  разрядных единиц на число «b», делится на это число. Например: число 2814 делится на 7, так как 2·6+8·2+1·3+4=35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3-остаток от деления 10 на 7).

Признак Паскаля-метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».

Вспомним признаки делимости, вошедшие в школьную программу учебников математики 5-6 классов. Это признаки делимости: на 2; на 3; на 9; на 5; на 10; на 4; на 25; на 6; на 12; на 15.

Все признаки делимости натуральных чисел можно разбить на три группы.

I группа: Делимость чисел определяется по последней (последним) цифре (цифрам) числа. К ней относятся: признаки делимости на 2, на 5, на 10, на 4 и на 25.

II группа: Делимость чисел определяется по сумме цифр числа. Это  признаки делимости на 3, на 9.

III группа: Делимость чисел определяется по делимости на сомножители составного числа. Сюда подошли признаки делимости на 6, на 12, на 15.

Изучая дополнительные источники и проведя исследование, мне удалось дополнить каждую  группу новыми признаками делимости.

Первая группа дополнилась признаками делимости на 8, на 16, на 20, на 50, на 125.

Ко второй группе я отнесла признаки делимости на 11, на 75, для которых делимость определяется по сумме цифр.

Признак делимости чисел на составное число, дополнила делимостью на 14, на 18, на 27, на 30, на 60.

Выяснилось, что существует четвертая группа признаков делимости, в которой делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами этого числа. К этой группе признаков делимости натуральных чисел, относятся признаки делимости на: 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101.

Провела исследования над числами, чтобы понять, как могли быть получены основные признаки делимости.

Эксперимент 1: Рассмотрим делимость натурального числа на 2.

Возьмем любое число, например 1267 и проверим, делится ли оно на 2. Разложим его на разрядные слагаемые. И воспользуемся правилом деления суммы на число.

1267=1·1000+2·100+6·10+7. В этой сумме  первые три слагаемых делятся на 2, т.к. один из множителей этих слагаемых делится на 2, а вот четвертое слагаемое на 2 не делится. Значит, данное число на 2 не делится. Приходим к выводу, что на последнем месте данного числа, должны стоять цифры 0,2,4,6,8.

Что подтверждает признак делимости на 2.

Эксперимент 2:Рассмотрим числа 528 и 4257.

528=5·100 + 2·10 + 8 = 5·(33·3+1) +2·(3·3+1) + 8=5·33·3+5 + 2·3·3+2 + 8 =

=5·33·3+2·3·3+ 15, каждое слагаемое  этой суммы делится на 3, значит и данное число делится на 3.

4257 = 4·1000 + 2·100 + 5·10 + 7 = 4· (333·3+1) + 2·(33·3+1) +5·(3·3+1)+7= = 4·333·3 + 4 + 2·33·3 + 2 + 5·3·3 + 5 + 7 = 4·333·3 + 2·33·3 + 5·3·3 + 18, каждое слагаемое суммы делится на 3, значит и данное число делится на 3.

4257 = 4·1000 + 2·100 + 5·10 + 7 = 4·(333·3+1) + 2·(33·3+1) + 5·(3·3+1)+7= =4·111·3·3+4+2·11·3·3+2+5·3·3+5+7= 4·111·9+2·11·9+5·9+18, каждое слагаемое суммы делится на 3 и на 9, значит и данное число делится на 3 и на 9.

Замечаем, что сумма цифр  каждого числа.  528:  5+2+8=15, 4257: 4+2+5+7=18. Делаем вывод: если сумма цифр числа делится на 3, то и само это число делится на 3, а если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Эксперимент 3: Возьмем число 1352 - кратное 4 и на его примере получим признак делимости на 4.

1352=1·1000+3·100+5·10+2. Такое разложение не подтверждает деление числа на 4. Попробуем иначе: 1352=13·100+5·10+2 – не делится на 4. 1352=13·100+52- каждое из слагаемых делится на 4. Следовательно, число делится на 4, если две последние цифры этого числа делятся на 4.

В трех первых экспериментах применялся принцип разложения числа на разрядные слагаемые. Воспользуемся этим для доказательства следующего признака в общем виде.

Эксперимент 4: Докажем, что на 8 делится число три последние цифры, которого образуют число делящееся на 8.

aвсd = a·1000 + b·100+c·10+d , первое слагаемое делится на 8, т.к. 1000 делится на 8, следовательно, чтобы число делилось на 8, надо, чтобы b·100+c·10+d  делилось на 8,  а  b·100+c·10+d = всd . Значит, действительно, чтобы число делилось на 8, его последние  три цифры должны образовывать трехзначное число, делящееся на 8.

Эксперимент 5: Возьмем любое число, не являющееся простым, и определим все его делители.  Докажем  его делимость на составные числа.

8064= 2·2·2·2·2·2·2·3·3·7 – разложение числа на простые множители.

8064 делится на 2, 4, 6, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 42, 56, 63, 64, 72, 112, 126, 128, 192, 224, 288, 384, 672.

Сформулируем признаки  деления натурального числа на составное число, кроме тех, что вошли в справочник.

Признак 1. Число делится на 24,  если три последние цифры числа образуют число, которое  делятся на 8, а сумма цифр делится на 3.

Признак 2. Число делится на 32  тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4, а три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Признак 3. Число делится на 72, тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 9,  а три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

В ходе эксперимента, удалось доказать существующие признаки делимости, понять метод их получения, а так же сформулировать новые признаки делимости.

Новизна работы в том, что каждый человек, заинтересованный в быстром счете, может найти свои признаки делимости. Научиться их применить при решении жизненных ситуаций, при подготовке к ГИА.

Осуществлена подборка задач, которые могут использовать учителя математики при проведении уроков, во внеурочной деятельности (недели математики, подготовка участников олимпиад) [II].

В процессе работы над проектом удалось узнать много нового о признаках делимости, а также о возможности их классификации и подтвердить гипотезу о существовании признаков, не изучаемых в школьном курсе математики. Наиболее сложными оказались признаки - делимость чисел, в которых определяется после выполнения каких-то действий над цифрами этого числа. Думаю, что именно, поэтому они не изучаются в школе. Полученные  в ходе эксперимента навыки смогу самостоятельно применять в учебной деятельности  к определенной задаче, в реальной жизненной ситуации, а в дальнейшем и при подготовке к ЕГЭ по математике.

Литература:

1.                  Виленкин Н.Я., Депман И.Я. За страницами учебника математики [текст].  М.: Просвещение. - 1989.

2.                  В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах [текст]. М.:  Просвещение. - 1984 .

3.                  Депман, И.Я., Депман И.Я. История арифметики [текст]. М.: Просвещение.- 1965.

4.                  Никольская И.Л. Факультативный курс по математике [текст]. М.: Просвещение. -  1991.

5.                  Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика [текст]. М.: Педагогика.- 1989.

6.                  Фарков А. В. Олимпиадные задачи по математике и методы их решения [текст]. М: Вако. 2003.

Ресурсы  интернет:

1.      А.А. Антишина. Не люблю делить я в «столбик» (признаки делимости

вне школьной программы) [Электронный ресурс] / А.А. Антишина, А.М. Морёнова, О.В. Шмелева// Юный ученый. 2016.№6.1(9.1). с.5-6 - URL: https://moluch.ru/young/archive/9/624/ ( обращения 20.11.2020).

2.      Виктор Цекунов. Просто о признаках делимости.

[Электронный ресурс]/ Виктор Цекунов. Математическая прогулка [текст]. - URL:  https://www.sites.google.com/site/viktortsekunov/popularly/delimost (дата обращения 02.12.2020)

3.      math.com  [Электронный ресурс] – URL:

https://www.math.com.ua/articles/priznaki-delimosti-chisel.html   (дата обращения 20.11.2020)

4.      bingoschool [Электронный ресурс] – URL: https://bingoschool.ru/blog/10/

(дата обращения 28.11.2020)

I

СПРАВОЧНИК

«Признаки делимости натуральных чисел

и их применение на практике»

Для учащихся  средней школы

От автора

Данный  справочник  составлен  для учащихся средней школы, учителей математики. В него вошли признаки делимости и примеры задач на применение данных признаков. Справочник  поможет подготовиться к урокам по теме «Признаки делимости»,  к олимпиаде, расширит кругозор учащихся. Старшеклассники  могут использовать материал  для  подготовки к итоговой аттестации, а учителя при подготовке к внеклассным мероприятиям.                                                                                                                      

                         Классификация признаков делимости     

I группа:  Делимость чисел определяется по последней (последним) цифре (цифрам) числа .

II группа:  Делимость чисел определяется по сумме цифр числа (признаки делимости на 3, на 9).

III группа: Делимость чисел определяется по делимости на сомножители составного числа

IV группа: Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами этого числа.

II

Задача № 1.  Число на гробнице «2520»

В Египетской пирамиде археологи нашли саркофаг с числом «2520» без какого-либо пояснения к нему. Чем, по вашему мнению, примечательно это число?

Ответ: Число это примечательно, тем, что оно делится  без остатка на первые 10 натуральных чисел. Можно отметить, что впервые это заметил математик Б. А. Кордемский и указал это в своей работе «Математическая смекалка».

Задача № 2. Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

а)  число,  которое делиться на 10;

б)  четное число;

в)  число, кратное 5;

г)  нечетное число

Ответ:  а) нет; б) да; в) нет; г) да

Задача № 3. Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11.

1)      Напишите наибольшее из таких чисел.

2)      Напишите наименьшее из таких чисел.

Ответ:  987652413;  102347586

Задача № 4. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910

Задача № 5. Оля задумала простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 617.

Задача № 6. В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать одно  число из первой последовательности, а другое число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Задача № 7. В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 - четверки, 1/2 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 - (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 неуспевающий. Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

Задача №8. В справочнике «Магия для чайников» написано: Замените в слове ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ одинаковые буквы на одинаковые цифры, а разные -на разные. Если полученное число окажется простым, случится настоящее землетрясение. Возможно ли, таким образом, устроить землетрясение?

Решение: В данном слове 13 букв, из них 4 буквы Е, значит 9 букв разные. А это значит, в этом слове присутствуют 10 разных цифр. Сумма цифр от 0 до 9 равна 45. Это число составное, оно делится на 3, на 9. И как бы мы не заменяли буквы на цифры в этом числе, мы все равно получим число кратное 3 и 9. А это значит, что число не может быть простым.

Ответ: невозможно

Признаки делимости чисел можно использовать в жизненных ситуациях, для решения задач на проверку функциональной грамотности.

Задача №1. Случай в магазине

Покупатель взял в магазине пакет молока стоимостью 33 рубля, пачку творога стоимостью 36 рублей, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбила чек на 296 рублей, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счёт неверен?

Решение: 

Стоимость приобретенных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (у молока и творога цена кратна 3-м, цена остальных товаров не известна, но их количество кратно 3-м). Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делиться на 3. Вспоминаем признак делимости на 3: На 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 без остатка.

Число 296 (2+9+6=17) на 3 не делится, следовательно, расчет неверен.

Задача № 2. Задача про тарелки

В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок. Когда стали раскладывать их по 10, то не хватило трех тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать по 12 тарелок, то осталось 7 тарелок. Сколько было тарелок?

Решение:

Если не хватило трех тарелок до полного числа десятков, то это значит, что, как и при раскладывании по 12 тарелок, оставалось 7 тарелок. Значит, число тарелок за вычетом семи штук делится без остатка на 10 и на 12, то есть на 60. Среди чисел, меньших 600 и больших 500, только одно число 540 делится на 60. Значит, тарелок было 540 + 7 = 547.

Ответ: 547 тарелок.

Задача № 3. Задача про коды

Дома у Олега есть сейф, но кода он не знает. Бабушка рассказала Олегу, что код состоит из 7 цифр -  двоек и троек, причем двоек больше, чем троек.  А дедушка - что код делится и на 3, и на 4. Сможет ли Олег с первой попытки открыть сейф?

Решение: По признаку делимости на 4 число должно оканчиваться на 32, а по признаку делимости на 3, сумма цифр числа делится на 3. Данный код: 2222232.   (2·6+3 =15)

Ответ: 2222232.  

Задача № 4.  Задача про задуманные числа

Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?

Решение: Если число простое, то оно не может оканчиваться на четную цифру и на цифру 5. Так же последней цифрой не может быть 1. Итак, исключаем цифры: 0,1,2,4,5,6,8. Тогда на последнем месте могут быть  цифры 3, 7, 9. Проверяем: а) числа 123 или 213 - не простые, т.к. делятся на 3; б) числа 527, 257, 347, 167 - простые; в) числа, оканчивающие на 9, также будут составными.

Ответ: Число может оканчиваться на цифру 7.