Проект с курсов АСОУ "Особенности методики обучения математике при подготовке школьников к итоговой аттестации"

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Московской области

«Академия социального управления»

кафедра математических дисциплин

Практико-значимая работа

Методика обучения решению заданий с параметрами

по материалам ЕГЭ

Выполнил

слушатель учебного курса

«Особенности методики обучения математике при подготовке школьников к итоговой аттестации»

учитель математики МОУ СОШ №17 г. Орехово-Зуево Колбаско Ольги Антоновны____

Руководитель курса: к.ф-м.н., доцент кафедры математических дисциплин

Ю.В. Гавриленко

Москва, 2015

Содержание

1. Введение

2. Решение заданий с параметрами (по материалам ЕГЭ)

3. Применение свойств функций и производной в задачах с параметром. Графический метод.

4. Диагностический материал по теме «Решение задач с параметрами».

5. Заключение

6. Использованная литература

Введение

В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения предмета математики и подготовки учащихся к продолжению образования. Единый государственный экзамен – это словосочетание знакомо сегодня едва ли не каждой семье, в которой есть школьник.

Одной из целей проведения ЕГЭ является совмещение итоговой аттестации выпускников и вступительных испытаний для поступления в ВУЗы. Еще одна из целей введения ЕГЭ – попытка улучшения качества образования в России за счет более высокой мотивации на успешное его прохождение. Теперь детей надо готовить к экзаменам по-иному, так, чтобы они сдавали их успешно, а результаты можно было сравнить. Выдерживать такие экзамены – новая задача, как для школьников, так и для педагогов. Можно привести один из главных выводов эксперимента с ЕГЭ: «Впервые за сто лет в России появился объективный и абсолютно прозрачный механизм оценки знаний школьников».

На экзаменах прошлых лет в общеобразовательных классах, как правило, задачи с параметрами не решались, а если решались сильными учащимися, то только частично. Решаемость таких заданий не превышала 2% для всех испытуемых. Каждый ВУЗ предъявляет свои требования к уровню математической подготовки будущего студента, поэтому ВУЗы с большим курсом математики включали в билеты задачи, решить которые, как правило, можно, пройдя специальную целенаправленную подготовку. Вопрос лишь в том, насколько конкурсная задача повышенной сложности обладает диагностической ценностью. Иными словами, можно ли с помощью этой задачи проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности. Такой диагностической и прогностической ценностью в полной мере обладают задачи с параметрами. Практика вступительных экзаменов в ВУЗы по математике показывает, что задачи с параметрами представляют для абитуриентов наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена в любом высшем учебном заведении.

На сегодняшний день задачи с параметрами – неотъемлемая часть ЕГЭ по математике. Поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач, и делать это нужно не от случая к случаю, а регулярно. Что же такое параметр и почему подобные задачи вызывают такие трудности? Параметр – это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему).

Иными словами, уравнение с параметром является фактически семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении параметра. Введение параметра способствовало появлению качественно новых типов задач, вдохнуло, если так можно выразиться, новую жизнь в такие традиционные виды задач, как решение уравнений и неравенств. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа. В этом смысле не всякая задача, в условии которой формально присутствуют параметры («буквы»), является задачей с параметрами.

В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно. При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельной работе. При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельной работе.

В связи с вышесказанным, возникла необходимость в разработке и внедрении в учебный процесс элективного курса по математике по теме: Целью Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования, является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С) встречаются задачи с параметрами. Обязательны такие задания и на вступительных экзаменах в ВУЗы. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры. Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами». Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

1. Решение заданий с параметрами (по материалам ЕГЭ)

Пример1.Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

Решение:

1. Функция f(x) имеет вид:

a) При

а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x = 4 − a;

б) при

а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Все возможные виды графика функции f (x) показаны на рисунках 1 и 2:

Рассмотрим случаи, когда вершины парабол принадлежат отрезку

Рис.1 Рис.2

Теперь рассмотрим два случая, когда вершины парабол не принадлежат отрезку (рисунки 3, 4)

Рис.3 Рис.4

2. Наименьшее значение функция f (x) может принять только в
точках x = 1 или x = 7, а если 4 − a∉[1; 7] – то в точке x = 4 − a .

3. Наименьшее значение функции f больше 1 тогда и только тогда,

либо

Решаем систему условий

Дальше переходим к совокупности систем или

Ответ:

Аналогичные задания

№1 Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции больше -42.

№2 Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции больше -24.

Пример 2. При каких а уравнение
имеет ровно три корня?

Запишем уравнение в виде

Построим графики функций и

График первой функции состоит из двух частей парабол: при

, при

График второй функции есть два луча с общим началом при

, при

- координаты общей точки лучей (рисунок 5)

Из рисунка 5 видно, что подходящих значений а ровно два – при одном из них график правой части проходит через точку (-1:0), при другом – касается отражённого участка параболы.

Первое, очевидно, происходит при а=0, а второе – когда уравнение имеет единственный корень. Приравнивая дискриминант к нулю, находим а=.

Рис.5

Ответ: 0;

Пример 3.Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение

Первое уравнение задаёт на плоскости окружности ω1 и ω2 радиуса 3, симметричные относительно оси ординат. Центры этих окружностей – точки С₁ (9;5) и С₂ (-9;5). Второе уравнение - уравнение окружности ω радиуса а>0 с центром С(-3;0), (рис.6)

Рис.6

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается одной из окружностей ω1 и ω2, но не имеет общих точек с другой окружностью.

Из точки С проведём лучи СС₁ и СС₂, обозначим А₁, В₁, А₂, В₂,

точки их пересечения с окружностями ω1 и ω2 (рис.6).

Заметим, что СС₂ СС₁ , поэтому СА₂ СА₁ и СВ₂ СВ₁.

Значит, если а=СА₂ , то ω касается ω2, но не имеет общих точек с ω1.

Если а=СВ₁ , то ω касается ω1, но не имеет общих точек с ω2.

Сравним СА₁ и СВ₂.

Рис. 6

Значит, если ω касается ω1 в точке А1, то ω пересекает ω2 в двух точках. Аналогично, если ω касается ω2, то ω пересекает ω1 в двух точках.

Следовательно, других решений, кроме двух найденных, система не имеет.

Ответ: или 16.

2. Применение свойств функций и производной в задачах

с параметром. Графический метод.

Чтобы найти все значения параметра t, при которых уравнение f(x) = g(t) разрешимо (т.е. имеет хотя бы одно решение), надо:

1) найти множество значений функции f(x), когда х пробегает область определения функции,

2) потребовать, чтобы значения функции g(t) менялись на этом множестве.

Например, если множество значений f(x) промежуток [A;B], то уравнение f(x) = g(t) разрешимо для значений параметра t, удовлетворяющих неравенствам: A

Очевидно, что для всех остальных значений t уравнение f(x) = g(t) не имеет решений.

Замечание. При нахождении множества значений функции можно воспользоваться всеми правилами нахождения наибольшего и наименьшего значений на промежутке, включая правила, основанные на использовании производной.

Пример 1.

Найти все значения параметра t, при которых уравнение ||x| + t – 4| = 6 имеет:

а) 4 корня;

б) 3 корня;

в) 2 корня;

г) 1 корень;

д) не имеет корней.

Решение:

Данное уравнение равносильно совокупности:

Построим график (рис.7)

Рис. 7

Проводя прямые вида t = k параллельно оси ОХ, определяем количество корней уравнения.

Ответ: а) при уравнение имеет 4 корня;

б) при t = -2 уравнение имеет 3 корня;

в) при уравнение имеет 2 корня;

г) при t = 10 уравнение имеет один корень;

д) при уравнение не имеет корней.

Пример 2.

В зависимости от значений параметра t найти число корней уравнения

– 3х – t = 0.

Решение:

Построим эскиз графика t = – 3х. Для этого найдем критические точки функции и ее значения в этих точках: t' = – 3 = 0; x = ± 1; t(-1) = 2; t(1) =-2. Определим знак производной t' = 3(x – 1)(х + 1), используя метод интервалов (рис.8)

Рис.8

На основании полученных результатов построим график функции (рис. 9):

Рис. 9

Проводя прямые t = k, определим число решений данного уравнения.

Ответ: при одно решение; при t = ±2 два решения;

При три решения.

Пример 3.

Для всех значений параметра t решить уравнение |– 4x|- 6t = 0.

Решение:

Заданное уравнение является линейным относительно параметра t. Построим график функции t=1/6 |-4x|. Для этого найдем вершину параболы: = 2/3 и точки, в которых парабола пересекает ось ОХ= 0, = 4. Далее, используя преобразования графиков с модулем, отображаем часть параболы относительно оси симметрии ОХ (рис. 10,11).

Рис.10 Рис. 11

Ответ: если t < 0, то; если t = 0, то ;

Если , то ;

если t = 2/3, то ;

если t > 0, то

Пример 4.

При каком значении m функция имеет минимум в точке с абсциссой, равной 6,5?

Решение:

Найдем область определения функции:

Значит,

Тогда функцию можно записать в следующем виде:

Ветви квадратичной функции направлены вниз, значит, она имеет максимум в точке , являющейся абсциссой вершины параболы. Точка максимума квадратичной функции совпадает с точкой минимума функции в силу того, что функция вида монотонно убывает при t > 0.

Найдем абсциссу вершины квадратичной функции: = (10+m)/4. По условию минимум должен быть в точке с абсциссой, равной 6,5:

6,5 = (10+m)/4.

Отсюда m = 16 .

Ответ: 16.

Пример 5.

При каком значении параметра касательная, проведенная к графику функции в точке с абсциссой = 1, параллельна прямой y = -5x + 4?

Решение:

Если касательная, проведенная к графику функции в точке, параллельна некоторой прямой, то производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту этой прямой. Найдем производную функции в точке с абсциссой = 1: у' = 2 – ; у' = -5; 2 – = -5;

a = 7.

Ответ: 7.

Пример 6.

При каких значениях параметра a функция

монотонно убывает на всей числовой прямой?

Решение:

Функция убывает на всей числовой прямой, если ее производная неположительная на всей числовой прямой.

Найдем производную функции, составим соответствующее неравенство и решим его:

Чтобы неравенство (1) выполнялось при всех действительных х, необходимо выполнение двух условий: рис. 12

Рис. 12

Ответ:

Пример 7.

При каких значениях параметра a число является периодом функции .

Для того чтобы число являлось периодом указанной функции, необходимо выполнение равенства при всех допустимых х, по определению периодической функции. Составим соответствующее уравнение и решим его:

Данное равенство справедливо лишь при a = 0.

Ответ: 0.

Пример 8.

Найти все значения а, при которых выражение имеет смысл при всех действительных числах.

Решение:

Данное задание можно переформулировать следующим образом: найти все значения а, при которых областью определения функции являются все действительные числа.

Значит, для всех действительных чисел должно выполняться неравенство

Сначала запишем уравнение

.

Чтобы неравенство было справедливо при всех действительных х, то.

Составим неравенство и решим его

Неравенство справедливо при всех а, таких что .

Выражение имеет смысл при всех действительных числах при таких а, что

Ответ:

Пример 9.

При каком наибольшем значении a функция возрастает на всей числовой прямой?

Решение:

Производная функции неотрицательна на всей числовой прямой. Составим соответствующее неравенство и решим его:

Чтобы неравенство выполнялось при всех действительных х, необходимо чтобы (так как коэффициент при положителен). Неравенство верно при . Выберем наибольшее а=2.

Ответ: 2.

Пример 10.

При каких значениях параметров а и b все решения неравенства

образуют отрезок [-2; 1] ?

Решение:

Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы числа -2 и 1 были корнями уравнения . Подставив эти значения в уравнение, получим систему уравнений для определения а и b : а=1,в =-2

Убедимся, что уравнение + – + x – 2 = 0 не имеет других корней. Разложим его левую часть на множители: (х - 1)(х + 2)(+ 1) = 0. Видим, что последний множитель не обращается в 0, поэтому других корней уравнение не имеет.

Вернемся к решению неравенства. Запишем его в виде:

(х - 1)(х + 2)(+ 1) 0.

Метод интервалов дает решение [-2; 1], то есть условие задачи выполнено.

Ответ: а = 1, b = -2.

3. Диагностический материал

по теме «Решение задач с параметрами»

Тест

1.При каких значениях параметра t неравенство выполняется для всех значений переменной х?

а)3; б)1; в)0; г)2.

2. Прямая y = –5x + 8 является касательной к графику функции

y = 8+ bx + 15 в точке с абсциссой х = –0,5. Найти b.

а)3; б)13; в)-13; г)-3.

3.Найти все значения параметра t, при которых уравнение ||x| + t – 5| = t – 3 имеет четыре корня. Если таких решений несколько, то найти их сумму.

а)4; б)12; в)0; г)2.

4.При каком наименьшем положительном t прямая y = t пересекает график функции y = - 3в единственной точке?

а)3; б)1; в)2; г)4.

5.Найти наименьшее целое значение параметра t, при котором уравнение

|2х – 1| + |х – 3| = t + х не имеет корней.

а)2; б)3; в)0,5; г)1.

6. При каком наибольшем целом значении параметра t уравнение имеет единственное решение?

а)0; б)-5; в)-4; г).

7. Найти наименьшее натуральное значение параметра t, при котором уравнение 3х – 4 = t имеет одно решение.

а)-1; б)0; в)1; г)2.

8.Найти значение параметра t, при котором уравнение – + 2 – t = 0 имеет три корня.

а)2; б)1; в)0; г)-1.

9.При каком наибольшем отрицательном t прямая y = t пересекает график функции y = - 3 в единственной точке?

а)-5; б); в)-1; г)-4.

10.Найти все значения параметра t, при которых уравнение 3х – 4= t имеет два решения. Если таких решений несколько, то найти их сумму.

а)1; б)0; в)2; г)-1.

11. При каких t уравнение (x-t)/(x-1)=0 не имеет решений?

а)0; б)1; в)R; г).

12.Найти наибольшее отрицательное целое значение параметра t, при котором уравнение 3х – 4 = t имеет одно решение.

а)-2; б)-1; в)0; г)-0,5.

13.Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.

а)0,125; б)0,25; в)0,5; г)3.

14.Прямая y = 3x +1 является касательной к графику функции y = a + 2x + 3 в точке с абсциссой х = 2. Найти a.

а))0,25; б)0,5; в)-0,5; г)-0,25.

15.Прямая y = 3x + 4 является касательной к графику функции у=3-3x + c. Найдите c.

а)7; б)0; в); г)1.

16.При каких t неравенство имеет единственное решение?

а)R; б)0; в); г)2.

17.При каком значении t прямая y = -10x + t является касательной к параболе f(x) = 3 -4x - 2?

а)-2; б)0; в); г)-5.

18.Найти наибольшее целое значение параметра t, при котором уравнение – + 2 – t = 0 имеет четыре корня.

а)-1; б)1; в)2; г)0.

19.При каких значениях параметра t неравенство не имеет решений?

а)1; б)0; в); г)-0,8.

20.Найти все значения параметра t, при которых уравнение 3х – 4= t имеет три решения. Если таких решений несколько, то найти их сумму.

а)-1; б)1; в)2; г)0.

21.Прямая y = -5x + 8 является касательной к графику функции

у=28 + bx + 15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

а); б)15; в)23; г)0.

22.Найти все значения параметра t, при которых уравнение ||x| + t – 5| = t – 3 имеет три корня. Если таких решений несколько, то найти их сумму.

а)4; б)2; в)12; г)0.

Входная проверочная диагностическая работа №1

1. При каком значении к для уравнения -(2к+1)х ++2=0 выполняется равенство =2?

1) - 4; 2) 0; 3) 1; 4) 4; 5) нет такого к.

2. При каком значении m, графики функций y=+m x+3 и y =+19x+8 не пересекаются ?

1)-19; 2)19; 3)20; 4)18; 5)другой ответ.

3. Количество всех натуральных значений а ,при которых функция f(x)= +a-3ax+2 убывает на всей числовой прямой , равно…

1); 2)6 ; 3)7; 4)5 ; 5)другой ответ.

4. При каких значениях параметра b корни уравнения 4+ (3-5 + 2)x – 3 = 0 равны по модулю.

1)1; 2)-1 ; 3)-2/3; 4)2/3 ; 5) при всех данных значениях.

5. Найти сумму корней уравнения +a+5x +6=0, если один из корней равен 3.

6. При каком значении параметра а уравнения+ax+8=0 и +x+a=0 имеют общий корень?

7. При каком положительном m выражение +m(m-1)+36=0 есть полный квадрат ?

Критерии оценок

«3» - 4 задания

«4» - 5 заданий

«5» - 6-7 заданий.

Входная проверочная диагностическая работа №2

Школьники должны:

1. Понимать необходимость учета наличия параметра.

2. Уметь решать уравнения вида:

1) ах+2=5; 2) ах+2=5х; 3) ; 4) ах+6=2х+2а; 5) ; 6) (2х-3)(ах+4)=0; 7) а²х=х+2.

3. Уметь составить уравнение с параметром.

4. Уметь проверять и исправлять ошибки, допущенные при решении заданий с параметром.

Приведем задания на решение уравнений первой степени с параметром.

1. При каких а уравнение (а-1)х=2 имеет:

а) положительное решение,

б) отрицательное решение,

в) корень, равный нулю?

2. Решить уравнения:

1) (а²+4х-5)х=а-1;

2) ||а-1|-2|х=3-а;

3) ||а-1|-2|х=3+а;

4) ||а-1|-2|х=а+1.

3. Составить уравнения с модулем.

Необходимые умения. К концу изучения темы школьники должны уметь:

1. Решать задачи вида: При каких а уравнение х²+2(а2)х+а+3=0 имеет:

1. 1. хотя бы один положительный корень;

   2. хотя бы один отрицательный корень;

   3. один корень меньше 1, второй корень – больше 1;

   4. корни уравнения меньше 1;

   5. корни уравнения больше 1.

2. Задачи, в которых фигурирует биквадратное уравнение. Например: При каких а уравнение х⁴+(1-а)х²+а²-1=0 имеет: 1) четыре разных решения; 2) три решения; 3) два решения?

3. Задачи, в которых фигурирует неравенство. Например: Найдите значения параметра а, при котором минимальным положительным решением неравенства является число 5.

4. При каких значениях а уравнение |х-3|+|7+х|=а имеет два решения?

   1. составьте аналогичное задание так, чтобы в нем явно не было модулей;

   2. составьте задание, в котором «больше» модулей;

   3. составьте задание, в котором выражение зависит от а.

5. При каких значениях а уравнение х³-3х²-а²х+3а²=0 имеет два корня?

1) ; 2) а[-3; 3]; 3) a(-3; 3); 4) a.

6. При каких значениях а уравнение х²+а|х|-а-1=0 имеет четыре решения?

7. Сколько решений, в зависимости от а, имеет система уравнений ?

8. При каких значениях а уравнение х³+ах²+bx+1=0, где а и b - целые числа, имеет только один отрицательный корень? Верно ли школьник выполнил задание, если привел такой ответ: а(-1; 3]?

9. Решить уравнение .

10. Решить уравнение .

Задания на использование теоремы Виета

1. Определить вид квадратного уравнения с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен

1) х²-10х+43=0; 2) х²+10х+7=0; 3) х²+10х-43=0;

4) х²-10х-7=0; 5) х²-4х+7=0;

2. Найти сумму значений параметра р, при которых уравнение

х²-(р+1)х+р²+р-12=0 имеет один корень меньше -3, а второй больше 2

1) 0; 2)-3; 3) -6; 4) 3; 5) -7

3. Если х₁ и х₂ корни уравнения х²-5х-17=0, то значение выражения

х₁^-2+х₂^-2

1); 2) ; 3) -; 4) ; 5)

4. Сумма кубов уравнения х²+3х-2=0 равна

1) 33; 2)62; 3) -62; 4) -45; 5) 14

5. Если х₁ и х₂ корни уравнения 2х²+3х-4=0, то значение выражения

х₁⁴+х₂⁴

Критерии оценок

«3» - 3 задания

«4» - 4 задания

«5» - 5 заданий.

Задания на использование знаков корней квадратного уравнения

1.Корни уравнения х²-(а-3)х+а-4=0 имеют разные знаки, и положительный корень больше абсолютной величины отрицательного, если а удовлетворяет условию

2. Уравнение (2а+1)х²+(а+2)х+1=0 имеет два отрицательных корня. Определить промежуток, которому принадлежит значение а

3. Определить значение с, если уравнение х-4= имеет единственный корень.

Критерии оценок

«3» - 1 задание

«4» - 2 задания

«5» - 3 задания.

Задания на использование расположения корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра

1. При каких значениях параметра а решением неравенства - (- 2a - 3)x ++ 2 0 является отрезок [2; 3] ?

2. Корни уравнения 4а²х²-8ах+4-9а²=0 больше 3, если а принадлежит промежутку.

3. Найти все значения параметра а при которых уравнение х²-(2а+6)х+4а+12=0 имеет два корня, каждый из которых больше 1

Критерии оценок

«3» - 1 задание

«4» - 2 задания

«5» - 3 задания.

Задания на использование наименьшего и наибольшего значения квадратичной функции

1. При каком значении параметра а наибольшее значение функции у=ах²-2х+7а равно 6?

2. Найти наименьшее значение функции у=х²-3х

3. Найти все значения параметра с, при которых график функции у=сх²-2сх+3 лежит выше прямой у=2

Критерии оценок :

«3» - 1 задание;

«4» - 2 задания;

«5» - 3 задания.

Система упражнений

1.Найти все значения параметра а, при которых уравнение

ах²+(а+1)х+1=0

имеет единственное решение.

2.Для каждого значения а указать число корней уравнения

|x²-3|x|+2|=a.

3.Решить неравенство x²+2x+a>0.

4.При каких а система уравнений не имеет решений.

5.При каких а корни уравнения х²+ах-2а²=0 больше 1.

6.Существует ли такое а, при которых уравнение х²+а|x|-а-1=0 имеет четыре решения?

7.При каких а уравнение |x-1|+|x+3|=а имеет два решения?

8.Решить уравнение: a|x+3|+2|x+4|=2.

9. Уравнение (а-1)х²- (а+1)х+2а,1=0 имеет корни х₁, х₂. Найти все значения а, при которых корни меньше 1.

10. При каких значениях параметра а сумма S квадратов корней уравнения х²+2ах+2а²+4а+3=0 является наибольшей? Найти эту сумму.

11.При каких а уравнение х²+2х+а=0 имеет два различных корня?

12. Решить уравнение .

13. При каких а один из корней уравнения 16х²-60х+4а²=0 является квадратом другого?

14. При каких а уравнение х²+2(а+1)х+а-3=0 имеет корни разных знаков, которые не превосходят 5?

15.Составьте задачу с параметром, в которой используются утверждения о расположении корней.

Предложите задание, которое решается аналогично такому: «При каких а оба корня уравнения х²-2ах+2=0 больше1?». Выполните «свое» задание более, чем одним методом.

16.Найдите множество значений функции

. Выполните задание двумя способами.

17.Найти множество значений функции . Объясните, каким образом могло быть составлено это задание.

18.Предложите задание, для которого вам известно не менее двух различных решений.

19. Найти наименьшее значение функции у=|х+а|+|х+2|+|х+3|.

20. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от а?

21.Найдите все такие значения а, при которых неравенство выполняется при всех х. Выполните задание разными способами.

Выходная диагностическая работа

1. Найдите все значения а, при каждом из которых любое действительное число х является решением неравенства х²+(2а+1)х->0

2. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

х² +(а+1)х + 9 = 0 имеет два различных корня, больших 2.

3. Найдите все значения а, при каждом из которых не имеет решений система неравенств

4. Найдите все значения а, при каждом из которых один из корней уравнения х²- (3а - 2)х + 2а²- а -3 = 0 положительный, а другой заключен между числами -2 и —1.

5. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

х² + (2а +1)х + 4 = 0 имеет два различных корня, больших 1.

6.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых функция принимает значение, равное 2, в двух различных точках.

7. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет ровно одно решение.

«3» - 3 задания

«4» - 4 задания

«5» - 5 заданий.

Заключение

Преподавание элективного курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое, алгоритмическое и творческое мышление, и позволяет школьникам научиться решать задачи повышенной сложности. Настоящий проект имеет практическую значимость, поскольку может быть использован на практике учителем при обучении учащихся различным способам решений задач с параметрами.

При реализации данного курса можно использовать диагностические работы как входные, так и выходные, предложенные в проекте.

В процессе преподавания элективного курса используются технологии, ориентированные на получение учащимися практики, позволяющей овладеть общеучебными умениями и навыками для успешного усвоения программы профильной школы. Активную учебно-познавательную деятельность, направленную на личностное развитие каждого ученика, формирование и развитие ключевых и предметных компетенций школьников обеспечивает применение:

• лекционно-семинарской системы обучения;

• информационно-коммуникационных технологий;

• дифференцированного обучения;

• исследовательского метода в обучении;

• проблемного обучения;

• технологии деятельностного метода, позволяющей выявлять познавательные интересы и способности школьников;

• личностно-ориентированного обучения.

В результате изучения курса учащиеся приобретут умения:

• описывать реальные ситуации с помощью математических моделей;

• анализировать и выбирать оптимальные способы решения уравнений и неравенств с параметром;

• отстаивать своё мнение по выбору способа решения нестандартных задач с параметром;

• применять свойства функций для построения графиков и решения уравнений и неравенств с параметром;

• строить и читать графики функций;

• логически мыслить, рассуждать, выдвигать гипотезы, делать выводы, обосновывать полученные результаты;

• работать с различными источниками информации.

Результат обучения выражается в повышение математической культуры, в проявлении умения осуществлять исследовательскую деятельность и применять полученные знания для решения практических задач.

Оценка качества деятельности обучающегося проводится методом модульно-рейтинговой системы контроля достижений. Качество знаний учащихся обеспечивается регулярностью их работы в течение всего периода обучения. Текущие оценки переводятся учителем в баллы и складываются в итоговый показатель качества освоения курса. За выполнение индивидуальных работ в форме сообщений, докладов, рефератов и заданий повышенной сложности ученики получают дополнительные баллы.

Отчётность по освоению курса предусматривает проверку домашних заданий, самостоятельных работ, тестов, оценивание качества исследовательских проектов. По итогу курса проводится защита групповых и индивидуальных заданий исследовательского типа, рефератов и творческих работ.

Список используемой литературы и Интернет-ресурсов

1. Рязановский А.Р., Мирошин В.В. «Математика. Решение задач повышенной сложности». — М.: Интеллект-Центр, 2008. — 480 с. — Темы №36, 61, 62, 69.

2. Гущин Д.Д., Малышев А.В. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В10. Рабочая тетрадь / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — 72 с. — Темы № 46, 47.

3. Шестаков С.А., Гущин Д.Д. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В12. Рабочая тетрадь / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — 64 с. — Темы № 42, 43, 44, 45, 54, 55.

4. Смирнов В.А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В9. Рабочая тетрадь / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — 64 с. — Темы № 66, 67, 68, 69.

5. Дорофеев Г. В., Седова Е.А., Шестаков С.А. ЕГЭ — 2007—2008. Математика. Суперрепетитор. — М.: Эксмо, 2007, — 448 с. — Тема № 47.

6. Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие. — Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2000. — 144 с. — Тема № 41.

7. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Устные упражнения по геометрии для 7—11 классов: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 2003. — 174 с. — Темы № 59, 60, 62, 63, 65, 66, 69.

8. Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2011. — 136 с. — Темы № 57, 58.

9. Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия: пособ. для подготовки к ЕГЭ / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2009. — 272 с. — (Готовимся к ЕГЭ). — Темы № 59—69.

10. Денищева Л.О., Рязановский А.Р., Семенов П.В., Сергеев И.Н. ЕГЭ 2009. Математика. Федеральный банк экзаменационных материалов. — М.: Эксмо, 2008. — 240 с. — Тема № 69.

11. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений (профильный уровень): в 2 ч. — Ч. 1. / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. — М.: Мнемозина, 2007. — 287 с. — Темы № 48—53.

12. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ: учеб. пособие для шк. с углубл. изуч. математики (11 кл.). — М.: Мнемозина, 2000. — 288 с.

13. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. — Минск.: Асар, 1996.

14. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для школ и классов с углуб. изуч. матем. — М.: Просвещение, 1995.

15. Иванов А.П. Тесты и контрольные работы для систематизации знаний по математике: Учебное пособие для абитуриентов. Ч. 1 и 2. — Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2000.

16. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения. — М.: Школа-Пресс, 1994.

17. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. — М.: ABF, 1995.

18. Мухаметзянова Ф.С. Учебно-методический комплект по элективному курсу. Ульяновск: ИПК ПРО, 2005.

19. Программы элективных курсов.//Математика (Приложение 1 сентября №14, 2007)

20. Семенко Е.А. Прикладные курсы разных направлений // Математика в школе №4-2005, стр 45-51

21. Содержание и технологии предпрофильной подготовки и профильного обучения. Часть 4. Методические рекомендации по математике/ Авт.-сост. Ф.С.Мухаметзянова; Под ред. Т.Ф.Есенковой, В.В.Зарубиной.- Ульяновск : УИПКПРО, 2005.-104с.

22. Сборник задач по математике для домашних заданий при подготовке к вступительным экзаменам в ННГУ/Сост. А.И. Нестеренко, В.И. Лукьянов, З.Г. Павлючонок. — Н. Новгород: ННГУ, 2002 г.

23. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы. — М.: Просвещение, 1989.

24. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 1995.

25. Фельдман Я.С., Жаржевскип А.Я. Математика. Решение задач с модулями: Пособие для абитуриентов и старшеклассников. — СПб.: Оракул, 1997

26. Элективные курсы в профильном обучении: образовательная область «Математика»/ Министерство образования РФ – Национальный фонд подготовки кадров. М.:Вита-Пресс, 2004.-96 стр Энциклопедия для детей. Том 11. математика.- М.Аванта+. 1998

27. http://reshuege.ru

28. http://alexlarin.net/

29. Открытый банк заданий ЕГЭ

Список литературы для педагога:

1. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. – М.: Наука; 1987.

2. Горнштейн П.И., Полонский В. Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – М: Илекса, 2007., 326 с.

3. Дворянинов С.В., Письменная С.А. «Функции, графики, задачи с параметром». Самара, 1998.

4. Джиоев Н.Д. Нахождение графическим способом числа решений уравнений с параметром. Математика в школе – 1996. - №2. – С. 54-57.

5. Кожухова, С.А. Свойства функций в задачах с параметром. Математика в школе – 2006. - №7. – С. 17-24.

6. Кочерова, К.С. Об уравнениях с параметром и модулем (графический способ решения). Математика в школе – 1995. - №2. – С. 2-4.

7. Кушнир И. Шедевры школьной математики. 1,2 том «АСТАРТА», Киев, 1995. 573с., 509с.

8. Максютин А.А. Математика 10. Индивидуальные домашние задания по алгебре, началам анализа и геометрии. ЗАО «Папирус», Самара, 2002 г., 588 с.

9. «Математика 5 – 11 классы. Практикум», учебное электронное издание, компакт – диск для работы на компьютере.

10. Мещерякова Г.П. Функционально-графический метод решения задач с параметром Математика в школе – 1999. - №6. – С. 69-71.

11. Саханевич М. ЕГЭ: решение сложных задач. Математика. Издательский дом «Первое сентября», № 12, 2004.

12. Ястребицкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры: пособие для учителей. М: Просвещение, 1972.