Проект "Способы решения квадратных уравнений" (8 класс).

• 1 слайд

  
  Тема работы:
  Способы решения квадратных уравнений
  

• 2 слайд

  
  Цель моей работы:
  
  Систематизировать и обобщить стандартные и нестандартные методы решений квадратных уравнений и использовать полученные данные в разных разделах математики.
  

• 3 слайд

  Одной из базовых тем школьного курса математики являются квадратные уравнения и одним из основных навыков, которые должен приобрести ученик - умение решать квадратные уравнения.
  В своей работе я рассмотрела семь способов решения квадратных уравнений, два из них являются стандартными и рассматриваются в курсе математики средней школы, остальные относятся к так называемым нестандартным методам решения квадратных уравнений.
  
  

• 4 слайд

  1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.
  
  Решим уравнение:
  
  
  
  Ответ: 1; 3.
  

• 5 слайд

  2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.
  
  Решим уравнение:
  1 вариант.
  2 вариант.
  Ответ: 3; 1.
  

• 6 слайд

  3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.
  4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,
  
  ((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,
  
  (2ax + b)2 = b2 - 4ac,
  
  
  
  
  
  
  Выведем формулу для нахождения корней квадратного уравнения по коэффициентам a, b и c.
  где
  

• 7 слайд

  Примеры:
  D = b2 - 4ac = (-5)2 - 4 • 6 • (-1) = 25 +24 = 49,
  а = 6, b = -5, с = -1,
  D > 0, уравнение имеет два разных корня;
  ;
  ;
  Ответ:
  
  .
  

• 8 слайд

  4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
  
  =
  и
  Итак,
  Найдем сумму и произведение корней:
  

• 9 слайд

  1) x2 – 4x + 3 = 0;
  x1 = 3 и x2 = 1, так как q = 3 > 0 и p = -4 < 0;
  
  
  2) x2 + 8x + 12 = 0;
  x1 = - 6 и x2 = - 2, так как q = 12 > 0 и
  p = 8 >0.
  Примеры:
  

• 10 слайд

  Рассмотрим квадратное уравнение
  , где а ≠ 0.
  Умножив обе части данного уравнения на
  , получим уравнение, равносильное данному:
  . Приходим к приведенному квадратному
  
  Обозначим
  тогда,
  уравнению с переменной y:
  у2 + by + ас = 0.
  Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.
  Окончательно имеем:
  5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».
  

• 11 слайд

  Пример: Решим уравнение
  .
  Решение. «Перебросим» коэффициент 6 к свободному члену, в результате получим уравнение
  у2 – 5у – 6 = 0.
  Согласно теореме Виета
  
  
  
  
  .
  Ответ: 1; -1/6.
  

• 12 слайд

  Если в приведенном квадратном уравнении
  второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = - px - q.
  6. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.
  Для того чтобы решить данное уравнение графически необходимо в одной системе координат простроить графики функций стоящие в левой и правой частях уравнения, то есть
  у = х2 и у = - px - q.
  перенести
  

• 13 слайд

  Примеры:
  1) Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 .
  Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.
  Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4.
  Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13).
  Прямая и парабола пересекаются в двух точках
  А и В с абсциссам
  и х1 = - 1 и х2 = 4
  (рис. 2).
  Ответ: х1 = - 1; х2 = 4.
  

• 14 слайд

  7. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
  
  Если окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1;0) и D (х2;0), где х1 и х2 - корни уравнения
  , и проходит (для определенности)
  через точку А(0; 1). Тогда по теореме о секущих
  , откуда
  Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому
  Следовательно, центр окружности имеет координаты
  .
  

• 15 слайд

  Решим уравнение х2 - 3х - 4 = 0.
  Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
  Проведем окружность радиуса SA с центром в точке S, где А (0; 1), S(1,5; -1,5). Окружность имеет две точки пересечения с осью Ох (рис. 7), значит данное уравнение имеет два корня. Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох будут корнями исходного уравнения.
  Ответ: х1 = - 1; х2 = 4.
  

• 16 слайд

  Экспериментально
  -
  Исследовательская
  часть
  

• 17 слайд

  Вопросы анкетирования:
  Какой способ показался вам более легким (удобным):
  Разложение левой части уравнения на множители.
  Метод выделения полного квадрата
  Решение квадратных уравнений по формуле
  Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
  Решение уравнений способом «переброски».
  Графическое решение квадратного уравнения.
  Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки .
  ІІ. Какой нестандартный способ решения квадратных уравнений, вы бы включили в школьную программу.
  

• 18 слайд

  Результаты
  исследований
  

• 19 слайд

• 20 слайд

  Чтобы вы включили
  в школьный курс алгебры?
  

• 21 слайд

  Калькулятор
  решения
  квадратных уравнений
  

• 22 слайд

  Подводя итоги, можно сделать вывод, что квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. А моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.
  В своей работе я постаралась показать, что процесс решение квадратных уравнений может быть очень интересным, увлекательным занятием, что для того чтобы решить квадратное уравнения не обязательно знать формулу дискриминанта и теорему Виета, вполне можно обойтись знаниями полученными в 7-8 классах, достаточно уметь:
  - раскладывать на множители многочлен способом группировки
  - выделять полный квадрат из трехчлена
  - строить график квадратичной и линейной функций.
  Я хотела показать разнообразие математических методов, неординарность, красоту и простоту (доступность) некоторых способов решения.
  
  
  Вывод: