Проект учащихся по теме "Квадратные уравнения"

Квадратные уравнения

Определение 1.  Квадратным уравнением  называют уравнение вида ax²+bx+c=0, где коэффициенты a,b,c- любые действительные числа, причем а≠0.

Многочлен ax²+bx+c называют квадратным трехчленом.

Определение 2. Корнем квадратного уравнения ax²+bx+c=0 называют всякое значение переменной x, при котором квадратный трехчлен ax²+bx+c обращается в нуль; такое значение переменной x называют также корнем квадратного трехчлена.

Квадратные уравнения с коэффициентами a, b, c могут иметь от 0 до двух корней, либо вообще не иметь корней в зависимости от значения дискриминанта.

Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить ,что корней нет.

            Определение 3.  Полное квадратное уравнение –  это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один коэффициентов b,c равен нулю. Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором а=1.

            Определение 4. Для приведенного квадратного уравнения x²+px+q=0 сумма корней равна

-p, а  произведение корней равно q.

Формулы

Решим квадратные уравнения:

1. 2x²-x-1=0

D=9

x₁=1    x₂₌-1 ∕2

2. 2x²+3x-5=0

D=49

x₁=1    x=-5∕2

3. x²+3x-4=0

D=25

x₁=1   x₂= -4

Запишем результаты в таблицу

Уравнение	Коэффициенты			Результаты вычислений
	а	b	C	а+b+c	c/a	x1	x2
2x2-x-1=0	2	-1	-1	0	-1/2	1	-1/2
2x2+3x-5=0	2	3	-5	0	-5/2	1	-5/2
x2+3x-4=0	1	3	-4	0	-4	1	-4

            Вывод:

Если a+b+c=0, то один из корней квадратного уравнения ax²+bx+c=0 равен 1, а второй корень вычисляется по формуле c/a .

4. 3x²+2x-1=0

D=16

x₁₌ -1    x₂= 1/3

5. 2x²+x-1=0

D=9

x₁=-1   x₂=1/2

6. x²-3x-4=0

D=25

x₁=-1   x₂=4

Уравнение	Коэффициенты			Результаты вычислений
	а	b	C	a-b+c	-c/a	x1	x2
3x2+2x-1=0	3	2	-1	0	1/3	-1	1/3
2x2+x-1=0	2	1	-1	0	1/2	-1	1/2
x2-3x-4=0	1	-3	-4	0	4	-1	4

Если a-b+c=0, то один из корней квадратного уравнения равен 1, а второй вычисляется по формуле –с/а .

Примеры на решение:

      1.    10x²+5x=0

             12x²+3x=0

             25-100x²=0

             4-36x²=0

             x²-16=0

2. x²-x-30=0

x²+5x+2=0

x²+7x-4=0

x²+x-42=0

x²-7x+6=0

x²-3x-2=0

x²+8x-3=0

x²+5x-3=0

3. 3x²+2x-1=0

8x²+4x-4=0

2x²-x-1=0

2x²+3x-5=0

3x²-2x-1=0

2x²+x-1=0

Домашнее задание

3x²+5x=2

7x²-10x+3=0

2x²+3x-5=0

x²-2x+1=0

11x²-8x-3=0

2x²+3x+5=0

5x²+16x+11=0

Выбрать уравнения, которые

А) имеют корень равный 1

Б) имеют корень равный -1

В) не имеют корней

• 1 слайд

  Над проектом работала:
  Сулеева Элина
  Ученица МБОУ «ООШ с.Зубочистка Вторая»
  

• 2 слайд

  Квадратные уравнения
  Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2+bx+c=0, где коэффициенты a,b,c- любые действительные числа, причем а≠0.
  Многочлен ax2+bx+c называют квадратным трехчленом.
  

• 3 слайд

  Определение 2. Корнем квадратного уравнения ax2+bx+c=0 называют всякое значение переменной x, при котором квадратный трехчлен ax2+bx+c обращается в нуль; такое значение переменной x называют также корнем квадратного трехчлена.
  Квадратные уравнения с коэффициентами a, b, c могут иметь от 0 до двух корней, либо вообще не иметь корней в зависимости от значения дискриминанта.
  Решить квадратное уравнение –значит найти все его корни или установить ,что корней нет.
  

• 4 слайд

  Определение 3. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один коэффициентов b,c равен нулю. Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором а=1.
  

• 5 слайд

  Определение 4. Для приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 сумма корней равна -p, а произведение корней равно q.
  

• 6 слайд

  Особые квадратные уравнения:
  2x2-x-1=0
  D=9
  x1=1 x2=-1 ∕2
  2x2+3x-5=0
  D=49
  x1=1 x2=-5∕2
  x2+3x-4=0
  D=25
  x1=1 x2= -4
  

• 7 слайд

  3x2+2x-1=0
  D=16
  x1= -1 x2= 1/3
  2x2+x-1=0
  D=9
  x1=-1 x2=1/2
  x2-3x-4=0
  D=25
  x1=-1 x2=4