Проект учителя математики МБОУ "Сош №25" г. Махачкала республика Дагестан на тему "Решение уравнений и неравенств содержащих знак модуля"

                                                    МБОУ сош №25             

Проект

на тему :                                                         «Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля» Выступление на МО математиков сош №25

Проект подготовила : Абасова Луиза Габибуллаевна                              учитель математики МБОУ  СОШ №25

 Махачкала 2016г.

                                                                                                                 2

 Содержание

Введение

Абсолютная  величина и её свойства

Простейшие  уравнения и неравенства с модулем

Графическое  решение  уравнений  и  неравенств  с  модулем

Метод  раскрытия  модулей

Решение  уравнений  содержащих  модули  неотрицательных выражений

Решение  уравнений  с использованием  геометрической интерпретации

Применение  теоремы  о  знаках  при  решении  уравнений

Решение  уравнений  переходом  к  следствию

Решение  уравнений  методом  интервалов

Решение  уравнений  домножением  на  положительный  множитель

Заключение       

Список использованных источников

                                                                                                                    3

                                         Введение

Актуальность темы проектной работы следует из того, что данная тема применяется в различных разделах школьного курса математики и физики. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах,  на ЕГЭ.

Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. Данный пробел я пытаюсь восполнить в своем проекте.  Кроме того, тема имеет не только широкую практическую, но и историческую значимость в науке. С термином «модуль» связаны такие имена великих математиков как Пифагор, Евклид. Например, еще в древней Греции понятие «модуль» явилось одним из связующих звеньев алгебры и практической геометрии. дипломной работы.                                                                                                                                          

Цель проектной работы: «изучить, систематизировать теоретический материал по данной теме «Уравнения и неравенства с модулем» и разработать материал, который поможет учащимся более глубоко изучить и понять термин «модуль».

Задачи исследования:

• поиск различных источников научной, методической и учебной литературы по теме;
• определение теоретических основ изучаемой темы;
• структурирование изученного материала;
• подбор и разработка дидактического материала по теме;
• создание учебно-дидактического средства обучению решения уравнений и неравенств с модулем на электронном носителе.

Объектом исследования данной проектной работы является процесс изучения одного из разделов элементарной математики: «Модуль и его приложения к решению уравнений и неравенств».

В качестве предмета исследования выбрано изучение теоретических, практических и методических особенностей избранной темы.

 Гипотеза эмпирического исследования: использование в учебном процессе адаптированного мною материала, который будет представлен в форме рабочей программы и электронной версии учебного пособия, позволит улучшить условия для организации обучения школьников.

                                                                                                                   4

            Эмпирическая часть.

Проект состоит из 4 глав.

В первой главе я привожу равносильные определения модуля, его геометрическая интерпретация, свойства абсолютной величины. На примере показано, как используя модуль, любую систему уравнений и неравенств с одной и тоже областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения. Приведены примеры заданий, в которых используются либо свойства модуля, либо уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины, возникают в процессе решения.

Во второй главе представлены методы решения простейших уравнений и неравенств с модулями, решение которых не требует использование трудоемкого процесса раскрытия модулей.

В третьей главе представлено графическое решение уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем в некоторых случаях гораздо более простое, чем аналитическое. В этом разделе рассмотрены построение графиков функций ,  и . Много внимания уделено построению графиков функций, представляющих собой сумму линейных выражений под знаком абсолютной величины. Так же приведены примеры построения графиков функций с ``вложенными''модулями. Приведены теоремы об экстремумах функций, содержащих сумму линейных выражений под знаками абсолютных величин, позволяющие эффективно решать задачи как на нахождение экстремумов подобных функции, так и решать задачи с параметрами.

В четвертой главе представлены дополнительные методы решения уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. В первую очередь описан трудоемкий и не всегда рациональный, а в некоторых случаях и неприменимый метод раскрытия модулей, иногда называемый метод интервалов, с помощью которого можно решить любое уравнение и неревенство с модулем. Описан метод использования тождества

                                                                                                                             5; рассмотрены метод геометрической интерпретации, использование тождества , применение теоремы о знаках, метод перехода к следствию, метод интервалов, метод домножения на положительный множитель.

Глава I. Модуль. Свойства модуля

Определение.Модуль числа  илиабсолютная величина числа  равна , если  больше или равно нулю и равна , если  меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа ,

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа  равна большему из двух чисел  или .

1. Если число  положительно, то  отрицательно, т. е. . Отсюда следует, что .

В этом случае , т. е.  совпадает с большим из двух чисел  и .

2. Если  отрицательно, тогда  положительно и , т. е. большим числом является . По определению, в этом случае,  --- снова, равно большему из двух чисел  и .

Следствие 1. Из теоремы следует, что .

В самом деле, как , так и  равны большему из чисел  и , а значит, равны между собой.

Следствие 2. Для любого действительного числа  справедливы неравенства , .

Умножая второе равенство  на  (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: ,  справедливые для любого действительного числа . Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: .

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа                                                                              

                                                                                                                  6               равна арифметическому квадратному корню из : .

В самом деле, если , то, по определению модуля числа, будем иметь . С другой стороны, при , , значит .

Если , тогда  и  и в этом случае .

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять  на .

Геометрически  означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число , до начала отсчета.

Если , то на координатной прямой существует две точки  и , равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если , то на координатной прямой  изображается точкой .

Свойства модуля

Из этого свойства следует, что ; .

Примеры решения простейших уравнений.

                                                                                                                   7

Пример Решим уравнение .                                                             

Решение.

Ответ..

Пример Решим уравнение .

Решение.

Ответ..

Пример. Решим уравнение .

Решение.

Ответ..

Глава II.

Остановимся подробнее на уравнениях, в которых встречается сумма модулей).

Теорема 3. Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.

Пример  Решить уравнение

Решение.Так как , то мы имеем равенство вида , где , . Поэтому исходное уравнение                                                        

                                                                                                                    8 равносильно системе:

Ответ..

Теорема4. Сумма модулей равна модулю алгебраической суммы подмодульных величин тогда и только тогда, когда все величины имеют тот знак, с которым они входят в алгебраическую сумму, либо все величины имеют противоположный знак одновременно.

Пример. Решить уравнение

Решение.``Загоняем'' коэффициенты 2 и 5 под знак модуля и ``изолируем'' сумму модулей:

По константам получаем . Действительно, , то есть уравнение имеет вид . Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух систем:

то есть .

Ответ..

К простейшим (не обязательно простым) неравенствам мы будем относить неравенства, решаемые одним из нижеприведенных равносильных

                                                                                                                   9

переходов:                                                       

  

Примеры решения простейших неравенств.

Пример. Решим неравенство .

Решение.

.

Ответ..

Пример. Решим неравенство .

Решение.

Ответ..

Как ни странно, но  достаточно, чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенствах.

Пример. Решить неравенство

Решение.

                                                                                                                  10

Ответ..

Пример. Решить неравенство

Решение. Относительно любого модуля данное неравенство имеет вид . Поэтому перебрав все комбинации знаков двух подмодульных выражений, имеем

Ответ..

            Глава III.

Уравнения с модулями. Графический метод

Простыми уравнения с модулями называем уравнения вида

|x|=5; |x-3|=2; ||2x-1|-5|=3; |1-x|=4

в которых переменная входит однократно и линейно. 
Решать модульные уравнения можно как с помощью метода раскрытия модулей так и графически. В данной статье большое внимание будет уделено именно графическому методу раскрытия модулей. Для этого постепенно будет раскрыта суть преобразований с модулями. Таким образом удается решить множество тестовых задач в которых требуется найти количество решений уравнения с модулем.
                                                                                                                                 11 Для наглядности приведем график модуль функции y=|x| ( "галочки")

                                  

Далее представим смещение графика модуль функции по оси Ox, например y=|x-7|. Такая запись означает что функция равна нулю когда дужка равна нулю
x-7=0; –> x=7. 
Так что "галочка" переносится вправо на 7.

                

Если подмодульную функцию умножить на (-1) то график функции не изменится |7-x|=|x-7|.
Если в модуле имеем суммирование |x+5| то смещение графика модуль функции выполняем в сторону отрицательных переменных

                

Самое интересное в вычислениях происходит когда имеем уравнение вида модуль в модуле
||x|-6|, ||x|+3| 
Тогда выполняем перенос графика внутреннего модуля по оси вниз или вверх и симметричное отображение значений, которые идут ниже оси Oхвверх.

                         

Следующая функция это модуль поднят вверх на три.

                                                                                                                                 12

                                   

Далее, если в задании спрашивают "Какое количество корней уравнения  ||x|-6|=2?" то необходимо провести лишь линию y=2 и подсчитать количество точек пересечения с графиком модуль функции

                                   

Уравнение имеет 4 решения. Лучше решать графически уравнение с модулями на листке в клеточку, есть лучшая привязка к квадратикам. Задача в каждом из случаев сводится к смещению, отображения и параллельному переносу графика модуль функции |x|. Решим несколько примеров чтоб Вы понимали насколько эффективная методика графического раскрытия модулей.

Пример 1. Найти корни уравнения ||x-2|-5|=3. 
Решение: Имеем задания типа модуль от модуля. Выполняем построение первого (внутреннего) модуля

                                

Далее параллельно переносим линии вниз на 5, чтобы получить график функции y=|x-2|-5

                                                                                                                                 13

                                

Следующим шагом отражаем все что находится ниже оси абсцисс. Это и будет искомая модуль функция y=||x-2|-5|. Также выполняем построение прямой у=3

                             

Нетрудно определить по рисунку что решениями уравнения с модулями будут значения
x=-6; x=0;x=4; x=10.
На этом пример выполнен. Далее будет меньше детализации, однако суть алгоритма графического построения Вам будет понятен.

ПримПри каком значении параметра a уравнение с модулем                   

                       ||x-4|-2|=a-3 имеет три, четыре корня?

 
Решение: Выполняем построение модулей, которые находятся в левой части уравнения

                               

                                                                                                                                 14       

Из построения видим, если правая сторона уравнения с модулями равна 2 то имеем три точки пересечения. Если от 0 до 2 не учитывая краев –4 корни уравнения. Отсюда получим уравнение для определеения параметра

a-3=2; – > a=5.

и неровности

a-3>0; a>3; 
a-3< 2; a < 5 .

В итоге: уравнение имеет 3 корня когда параметр равен a=5 
и 4 корня если параметр принадлежит интервалу a=(3..5).

В подобных примерах надо быть очень внимательными так как часто именно вопрос ставится так, чтобы помочь Вам или наоборот "навредить". Например: "Сколько положительных корней имеет уравнение с модулями?", "Найдите сумму решений уравнения", "Найдите наибольшее целое значение параметра" и тому подобные. Поэтому вдумчиво читайте что от Вас требуют, а уже потом приступайте к вычислениям.

Построение графиков вида ,  и

Отметим правило построения графика функции .

1) Строим сначала график функции .

2) Там, где график функции  лежит выше оси  или на ней, оставляем его без изменения; точки графика, которые лежат ниже оси , заменяем симметричными им относительно оси  точками.

Для примера, на рисунке  изображен график функции .

                

Для построения графика функции  cтроим график функции  для  и отображаем симметрично относительно оси .

Для примера, на рисунке  изображен график функции .

                                                                                                                15

                 

Для построения графика функции  строим график функции  для  и симметрично отображаем относительно оси .

Пример. Построить график функции .

Решение.Воспользуемся правилами преобразования графиков.

1. График функции  --- биссектриса первого и третьего координатных углов.

2. График функции  получается из графика функции  отображением его части, расположенной ниже оси абсцисс (при ) симметрично относительно оси абсцисс.

3. График функции  получается из предыдущего сдвигом влево по оси абсцисс на две единицы.

4. Полученный график сдвигаем по оси ординат на 3 единицы вниз. Получаем график функции .

5. Часть его, расположенную ниже оси абсцисс, отображаем симметрично относительно этой оси. Итак, получаем график данной функции.

                 

Исследуемая функция допускает другую форму записи

                                                                                                                16

Пример. В зависимости от параметра , найти количество решений уравнения

Решение.Построим график функции  

В зависимости от положения прямой , получаем следующее: при  нет корней, при  --- бесконечно много корней, при  --- четыре корня, при  --- три корня, при  --- два корня.

                      Метод раскрытия модулей.

Метод раскрытия модулей рассмотрим на примере:

Пример. Решить уравнение

Решение.Это уравнение содержит более одного модуля.

Метод решения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей, состоит в следующем.

1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль: , ; , ; , .

2. Отметить эти точки на числовой прямой.

3. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями.

                                                                                                               17

1) При  или . Чтобы определить знак каждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любое значение  из этого промежутка и подставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех  из этого промежутка выражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно, значит, при всех значениях  из этого промежутка выражение будет положительным.

Возьмем значение  из промежутка  и подставим его значение в выражение , получаем , значит на этом промежутке  отрицательно, а следовательно ``выйдет''из под модуля со знаком ``минус'', получим: .

При этом значении , выражение  получит значение , значит, оно на промежутке  также принимает отрицательные значения и ``выйдет''из модуля со знаком ``минус'', получим: .

Выражение  получит значение  и ``выйдет''из под модуля со знаком ``минус'': .

Уравнение на этом промежутке получится таким: , решая его, находим: .

Выясняем, входит ли это значение в промежуток . Оказывается входит, значит  является корнем уравнения.

2) При . Выбираем любое значение  из этого промежутка. Пусть . Определяем знак каждого из выражений под модулем при этом значении . Оказывается, что выражение  положительно, а два других отрицательны.

Уравнение на этом промежутке примет вид: . Решая его, находим . Это значение не входит в промежуток , а значит, не является корнем уравнения.

3) При . Выбираем произвольное значение  из этого промежутка, скажем,  и подставляем в каждое из выражений. Находим,

                                                                                                                          18

что выражения  и  положительны, а  --- отрицательно. Получим следующее уравнение: .

После преобразования, получим: , а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.

4) При . Нетрудно установить, что все выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение: , ,  которое входит в промежуток и является корнем уравнения.

Ответ.,

Пример. Решить уравнение

Решение. Ответ.,

Глава IV.

Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

Геометрический смысл выражения  --- длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами  и . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.

Пример. Решим уравнение .

Решение.Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой  до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка  обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне

                                                                                                                         19

     этого отрезка,--- нет.

Ответ..

Пример. Решим уравнение .

Решение.Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2.          Ответ..

Применение теоремы о знаках при решении уравнений.

Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей:

Теорема 5. Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.

Пример. Решить неравенство

Решение. Воспользуемся теоремой:

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.

Ответ.

       Решение уравнений методом интервалов.                                        

Применение метода интервалов основано на следующей

Теорема 6. Функция, непрерывная на промежутке и необ-ращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом промежутке свой знак.

Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак. Применение метода поясним на примере.

Пример. Решим неравенство

                                                                                                                20

Пусть .

Областью определения данной функции есть . Решая уравнение , получим, что функция  не обращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всей области определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, , получаем, что функция принимает только положительные значения.

Ответ..

Метод интервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями, но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Суть состоит в слудующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений. Это позволяет, последовательно перебирая эти промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решать обычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответ входит в данный промежуток).

Решение уравнений домножением на положительное  значение.

Пример. Решить неравенство

Решение.``Ловушка''заключается в том, что в задаче имеется несколько модулей, раскрывать которые -- значит получить, громоздкое решение. Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство:

                                                                                                                   21

 

Ответ.

Выводы: тема «Уравнения и неравенства с модулями» в теоритическом отношении очень богата. Данную тему можно использовать для развития познавательного интереса учащихся

Заключение

В данной проектной работе рассмотрены свойства абсолютных величин, приведены теоремы о равносильных преобразованиях уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Сформулированы малоизвестные утверждения, существенно упрощающие традиционные алгоритмические способы решения школьных, конкурсных и олимпиадных задач. Теоретический материал проиллюстрирован значительным количеством заданий  из заданий ЕГЭ, математических олимпиад

Тема ``Абсолютная величина''(или ``Модуль числа'') является наиболее эксплуатируемой в практике вступительных экзаменов. Вероятно, это объясняется ощущением простоты понятия абсолютной величины числа и тем обстоятельством, что, используя модуль , любую систему и совокупность уравнений и неравенств с одной и той же областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения.

                                                                                                                       22

             Список использованных источников

Веременок В. В., Практикум по математикеке, подготовка к тестированию и экзамену/Веременок В. В., Кожушко В. В. --- Мн.: Тетра-Системз, 2006.

Д. Гущин, Мощное решение. Уравнения и неравенства с модулями //Учительская газета №39.

В.Голубев, Школа решения нестандартных задач. Занятие 3. Нестандартная техника решения неравенств с модулем // Математика №5, 2005 с. 24--31.

В.Голубев, Школа решения нестандартных задач. Занятие 5. Сумма

модулей// Математика № 12, 2005 с.41--48.

Тишин В. И., Математика для учителей и учащихся: рациональные алгебраические уравнения/ Тишин В. И. --- п. Комаричи, 2002. --- 167с.

О. Игудисман, Математика на устном экзамене/ О. Игудисман --- М.: Айрис Пресс, Рольф, 2001---254с.