Инфоурок / Другое / Другие методич. материалы / Проект "Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых"

Проект "Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых"

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов


Государственное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов Московской области

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ПОСЛЕДИПЛОМНОГО ОБРАЗОВАНИЯ




Кафедра математических дисциплин






ПРОЕКТ

«Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой,

условие параллельности прямых».










Учитель математики

МБОУ СОШ №19 с углубленным

изучением предметов

г. Сергиева Посада

Макарова Евгения Ивановна







Москва 2012 год


ОГЛАВЛЕНИЕ



Введение........................................................................................................... 3

Глава 1 Теоретические основы изучения темы: «Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой» в разделе «Метод координат» в основной школе.   

1.1 Основные положения изучения метода координат в школе............... 4

1.2 Анализ школьных учебников.............................................................. 4

1.3 Суть метода координат........................................................................5

Глава 2 Методические основы изучения метода координат..................... 6

2.1 Этапы решения задач методом координат.......................................... 6

2.2 Задачи, обучающие координатному методу........................................ 7

2.3 Виды задач, решаемых координатным методом................................. 9

2.4 Применение метода координат при изучении прямой. ......................10

2.5 Преподавание. Уроки..........................................................................14

Заключение................................................................................................24

Библиографический список...................................................................... 25













Введение

Изучение темы: «Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой» в курсе геометрии.

Цели изучения курса геометрии заключаются в систематическом исследовании геометрических фигур на плоскости и их свойств, в развитии логического мышления и подготовке аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин.

В школьной программе по математике тема: «Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой» изучается в разделе: «Метод координат». В разделе «Цели изучения курса геометрии» говорится: «При доказательстве теорем и решении задач… применяются геометрические преобразования, векторы и координаты. В программе говорится, что «в результате изучения курса геометрии учащиеся должны уметь использовать координаты для решения несложных стандартных задач». Согласно программе в геометрии координаты изучаются в следующем объеме: «Координатная плоскость. Формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами. Уравнение прямой и окружности».При решении задач координатным методом необходим навык алгебраических вычислений и не нужна высокая степень сообразительности, а это в свою очередь негативно сказывается на творческих способностях учащихся. Поэтому необходима методика изучения метода координат, позволяющая учащимся научиться решать разнообразные задачи координатным методом.

Предметом исследования является изучение темы: «Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой» методом координат в курсе геометрии основной школы .

Цель работы – разработать методику изучения данной темы.


Глава I

Теоретические основы изучения темы: «Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой» в разделе «Метод координат» в основной школе.   

1.1 Основные положения изучения метода координат в школе

Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры — единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат.

В школе изучение координатного метода и обучение его применению для решения различных математических задач происходит в несколько этапов. На первом этапе вводится основной понятийный аппарат, который хорошо отрабатывается в 5-6 классах и систематизируется в курсе геометрии. В 5 классе учащиеся знакомятся с координатным лучом, который в последствии, при изучении отрицательных чисел, дополняется до координатной прямой. И уже после введения  рациональных чисел в 6 классе учащиеся изучают координатную плоскость. На втором этапе ученики знакомятся с  уравнениями прямой и окружности. Данные понятия изучаются ими как в алгебре, так и в геометрии с разной содержательной целью, поэтому учащиеся часто не видят связи между ними, а, значит, и плохо усваивают суть метода. Так, в курсе алгебры VII класса графики основных функций вводятся путем построения ряда точек, координаты которых вычисляются по аналитическому заданию функции. В курсе геометрии уравнение прямой и окружности вводится на основе геометрических характеристических свойств, как множество точек, обладающих определенным свойством (равноудаленности от 2 точек – для прямой, от одной точки – для окружности). Обучение применению самого метода координат для решения задач происходит в курсе геометрии  9 класса. Для этого сначала раскрываются  основные этапы применения метода, а затем на примере ряда задач показывается непосредственное применение метода координат, в частности, при составлении уравнения прямой.

1.2 Анализ школьных учебников

Хорошо  известно, что, как бы ни строился школьный курс геометрии, в нем обязательно присутствуют различные методы доказательства теорем и решения задач. Среди таких методов важное место занимают такие методы, как метод геометрических преобразований, метод координат, векторный метод. Сами эти методы тесно связаны между собой. В зависимости от концепции, раскрываемой авторами учебников геометрии для средней школы, тот или иной метод может занимать доминирующее значение.

В учебнике  Погорелова  А.  В.  (Геометрия  для  7-11  классов средней школы -  М: Просвещение, 1990г.) активную роль играет метод координат, который весьма плодотворен. Тема: «Уравнение прямой , угловой коэффициент прямой» автором учебника рассматривается в полном объем в разделе: «Декартовы координаты на плоскости» ( 8 класс).

В учебнике      Атанасян Л. С. ( Геометрия для 7-9 классов средней школы В. Ф. Бутузов, С. Д. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина – М. Просвещение, 1992г). координатам посвящена отдельная глава в 9 классе. Причем этот материал изучается после изучения темы «Векторы», но до изучения скалярного произведения векторов. На рассмотрение темы отводиться 18 часов. В данном учебнике метод координат выделен в отдельную главу, в которой изучаются координаты вектора, уравнение окружности и прямой, решаются простейшие задачи в координатах. В этой главе дается понятие метода координат как метода изучения геометрических фигур с помощью средств алгебры. Школьники учатся решать задачи путем введения системы координат. Автор ставит целью научить школьников владеть методом координат не только в применении к задачам на построение фигур по их уравнению, но и при решении задач на доказательство, а также для вывода геометрических формул.

В учебнике  Шарыгина И. Ф. ( Геометрия 7-9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений – М. Дрофа, 2000г.) больше внимания по сравнению с традиционными учебниками уделяется методам решения геометрических задач. Метод координат по данному учебнику является предпоследней темой 9 класса. При его изучении учащиеся знакомятся с декартовыми координатами на плоскости, рассматривают два уравнения «плоских линий: прямой и окружности», которые в дальнейшем будут необходимы при решении задач. В процессе этого отрабатываются некоторые умения, необходимые для решения задач координатным методом. Следует отметить, что в учебнике сравнительно небольшой теоретический материал по данной теме. Автор не предлагает учащимся как такового понятия фигуры, но подробно рассматривает уравнения «плоских линий», которые понадобятся учащимся при решении задач - это уравнения окружности и прямой.  

В результате изучения курса геометрии учащиеся должны уметь:

                   доказывать изученные в курсе теоремы;

                   проводить полные обоснования при решении задач, используя для этого изученные теоретические сведения;

                   освоить определенный набор приемов решения геометрических задач и уметь применять их  в задачах на вычисление, доказательство, построение;

                   овладеть общими методами геометрии и применять их при решении геометрических задач;

                   свободно оперировать аппаратом алгебры при решении геометрических задач.



 1.3 Суть метода координат

Немного из истории координатного метода.

В настоящее время уже очень большое число специалистов из разных областей науки имеют представление о прямоугольных декартовых координатах на плоскости, так как эти координаты дают возможность наглядно при помощи графика изобразить зависимость одной величины от другой. Название «декартовы координаты» наводит на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Декартом. В действительности прямоугольные координаты использовались в геометрии еще до нашей эры. Древний математик александрийской школы Аполлоний Пергский (живший в III-II веке до н. э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами. Он определял и изучал с их помощью хорошо известные в то время кривые: параболу, гиперболу и эллипс.

Декарт внес в прямоугольные координаты очень важное усовершенствование, введя правила выбора знаков. Но главное, пользуясь прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости, связав этим геометрию и алгебру. Нужно сказать, однако, что одновременно с Декартом построил аналитическую геометрию и другой французский математик, Ферма.

Координаты позволяют определять с помощью чисел положение любой точки пространства или плоскости. Это дает возможность «шифровать» различного рода фигуры, записывая их при помощи чисел. Соотношения между координатами чаще всего определяет не одну точку, а некоторое множество (совокупность) точек. Например, если отметить все точки, у которых абсцисса равна ординате, т. е. точки, координаты которых удовлетворяют уравнению х = у, то получится прямая линия - биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Иногда, вместо «множество точек», говорят «геометрическое место точек». Например, геометрическое место точек, координаты которых  удовлетворяют соотношению х = у - это, как  было  сказано  выше, биссектрисы первого и третьего координатного угла. Установление связей между алгеброй, с одной стороны, и геометрией - с другой, было по существу, революцией в математике.  Оно  восстановило  математику  как  единую науку, в которой нет «китайской стены» между отдельными ее частями.

 

 Суть метода координат

Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.

Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает  тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно.



Глава 2

Методические основы обучения координатному методу

2.1.Этапы решения задач методом координат

Чтобы решать задачи как алгебраические, так и геометрические методом координат необходимо выполнение 3 этапов:

1) перевод задачи на координатный (аналитический) язык;

2)преобразование аналитического выражения;

3)обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на язык, в терминах которого сформулирована задача.

Компонентами умения применять координатный метод в конкретных ситуациях являются следующие умения:

1.             переводить геометрический язык на аналитический для одного типа задач и с аналитического на геометрический для другого;

2.             стоить точку по заданным координатам;

3.             находить координаты заданных точек;

4.             вычислять расстояние между точками, заданными координатами;

5.             оптимально выбирать систему координат;

6.             составлять уравнения заданных фигур;

7.             видеть за уравнением конкретный геометрический образ;

8.             выполнять преобразование алгебраических соотношений.

2.2 Задачи, обучающие координатному методу.

Данные умения можно отработать на примере следующих задач, формирующих координатный метод:

1)     задачи на построение точки по ее координатам;

2)     задачи на нахождение координат заданных точек;

3)     задачи на вычисление расстояния между точками, заданными координатами;

4)     задачи на оптимальный выбор системы координат;

5)     задачи на составление уравнения фигуры по ее характеристическому свойству;

6)     задачи на определение фигуры по ее уравнению;

7)     задачи на преобразование алгебраических равенств;

Приведем примеры таких задач.

I. Построение точек на плоскости.

С координатной прямой, а затем и с координатной плоскостью учащиеся знакомятся в 5-6 классах при изучении математического материала. При этом удобно использовать мультимедийные презентации, которые позволяют в динамике излагать необходимый материал, использовать всевозможные иллюстрации и звуковые эффекты, тем самым, заинтересовывая учащихся и являясь хорошим наглядным средством.

Приведем несколько примеров задач, которые можно использовать при изучении координатной плоскости. Эти задачи могут быть использованы:

§         для оттачивания навыков построения точек по их координатам со всем классом;

§         для дополнительных заданий отстающим ученикам;

§         для развития интереса к изучаемой теме.

1)     На координатной плоскости постройте точки А(7,2), B(-2,1), C(0,2).

2)      Отметьте на плоскости несколько точек. Начертите произвольную систему координат и найдите в ней координаты заданных точек.

3)     Постройте фигуры по координатам их узловых точек. Указание: узловыми будем называть точки, служащие концами отрезков, образующих фигуры. Точки, координаты которых записаны подряд через запятую, соединяйте последовательно друг с другом. Если же координаты разделяются знаком «;», то соответствующие точки не следует соединять. Они нужны для изображения вспомогательных элементов.

    А) Камбала

(3,7), (1,5), (2,4), (4,3),

(5,2), (6,2), (8,4), (8,-1),

(6,0), (0,-3),(2,-6),(-2,-3),

(-4,-2),(-5,-1),(-6,1),(-4,1);

(-6,1), (-6,2), (-3,5), (3,7);

(-4,-2),(-2,0),(-2,2),(-3,5);(-3,3).

II.Задачи на выбор системы координат

Выбор системы координат имеет очень важное значение при применении метода координат.

Для примера возьмем задачу, которая рассмотрена в учебнике Атанасян, Л. С. Геометрия для 7-9 классов средней школы «Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин».

Первым шагом при применении метода координат является такой выбор осей и системы координат, при котором алгебраические выкладки становятся более простыми. Таким образом, начало координат помещаем в точку А, а оси проводим через точки В и С так, чтобы эти точки лежали на положительных лучах осей.

1.     Длина отрезка АВ равна 5см.  а)Выберите систему  координат, в которой можно было бы наиболее просто  определить координаты концов отрезка. б)Выберите систему координат так, чтобы координаты концов отрезка были бы: А (-2.5,0), В(2.5,0).

2.     Постройте квадрат ABCD со стороной 2 см; отметьте точку М- центр квадрата. Поместите начало координат последовательно в точки A, B, C, D и выберите направление осей координат так, чтобы точка М в каждой системе координат имела координаты (1;1). За единичный примите отрезок длиной 1 см.

3.     Треугольник ABC равносторонний (длина стороны равна 6 см.). Выберите систему координат так, чтобы можно проще было бы определить координаты его вершин.

III. Расстояние между точками

1)     Точка М(а,с) находится от начала координат и точки А(4,0) соответственно на расстояниях 3 и 4 см. Определите координаты точки М.

2)     Дан прямоугольник ABCD (АВ=2 см., ВС=4 см.). Как выбрать систему координат, чтобы его вершины имели координаты А(-1,-2), В(-1,2), С(1,2), D(l,-2)?

3)     Длины сторон треугольника ABC равны 3, 4 и 5 см. Выберете систему координат и определите в ней координаты вершин треугольника ABC.

4)     Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты:       А(-3,1), В(3,6), С(2,2) и D(-4,3). Установите вид четырехугольника.

 

IV. Составление уравнения фигур

Это умение является одним из основных умений, которые необходимы при применении метода координат к решению задач.

1) Изобразите систему координат. Отметьте на оси Ох точки А и В. Запишите соотношения, которым удовлетворяют координаты точек, принадлежащих: а)отрезку АВ; б)лучу АВ; в)лучу ВА;

2) Запишите   уравнение   прямой,   содержащей  начало координат и точку А (2,5).

3) Запишите уравнение прямой, содержащей точки А (2,7) и В (1,3).

4) Изобразите на координатной плоскости произвольную прямую параллельную прямой у = 2х+3 и найдите ее уравнение.

5) Постройте  точки, симметричные точкам  А(2,-3) , В(5,0), С (0,7) относительно: а) оси Ох;  б) оси Оу; в) биссектрисы I и III координатных углов. Запишите эти координаты.

6) Изобразите на координатной плоскости произвольную прямую пересекающую прямую у = 4х-5 и найдите ее уравнение.

7) Точки А(5,…), В(…,2) симметричны относительно оси Ох. Запишите пропущенные координаты.

2.3 Виды задач, решаемых методом координат

Применяя метод координат, можно решать задачи двух видов.

1.     Пользуясь координатами можно истолковать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функции первый пример такого применения метода координат.

2.     Задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Например, можно выразить через координаты основную геометрическую величину - расстояние между точками.





2.4 Применение метода координат при изучении прямой.

Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Теперь, когда мы знаем от каких параметров зависит прямая, мы можем составить уравнение прямой. Существует несколько форм этого уравнения. Сначала мы рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом. Зачем вообще нужно уравнение прямой? С помощью уравнения можно, например, узнать, лежит ли произвольная точка плоскости на прямой. Но самое главное, зная уравнение прямой, можно построить эту прямую.

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой Ь точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой .

 Под углом http://rstud.ru/end5/3/image095.gif наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у). 

Проведем через точку N ось Nx', параллельную оси Ох и одинаково с ней направленную. Угол между осью Nx' и прямой равен а . В системе Nx'y точка М имеет координаты х и у - b. Из определения тангенса угла следует равенство http://rstud.ru/end5/3/image096.gif т.е. http://rstud.ru/end5/3/image097.gif Введем обозначение http://rstud.ru/end5/3/image098.gifи получаем уравнение http://rstud.ru/end5/3/image094.gif

 

http://rstud.ru/end5/3/image099.gif  (1)

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (1) не удовлетворяют.

Число k = tg называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (1) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у = kx.

Если прямая параллельна оси Ох, то = 0, следовательно, k = tg = 0 и уравнение (1) примет вид  у = b.

Если прямая параллельна оси Оу, то http://rstud.ru/end5/3/image100.gif, уравнение (1) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент http://rstud.ru/end5/3/image101.gif- не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид x = a,  (2)

где a - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (1) и (2) есть уравнения первой степени.



Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем виде

Ax + By + C = 0,  (3)

 

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

Покажем, что уравнение (3) есть уравнение прямой линии. Возможны два случая.

Если В = 0, то уравнение имеет вид Ax + С = 0, причем А не равно нулю, т.е. http://rstud.ru/end5/3/image102.gif Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку http://rstud.ru/end5/3/image103.gif

Если В не равно нулю, то из уравнения (3) получаем

http://rstud.ru/end5/3/image104.gif

Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом http://rstud.ru/end5/3/image105.gif

Итак, уравнение (3) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если А = 0, то уравнение приводится к виду http://rstud.ru/end5/3/image106.gif. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) если В = 0, то прямая параллельна оси Ox;

 3) если С = 0, то получаем Ах +Ву=0. Уравнению удовлетворяют координаты точки O (0;0), прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку М(xо;yо) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде у = kx + Ь, где b пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку М (хоо), то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: уо = kxo + Ь. Отсюда  b = уо — kxo. Подставляя значение b  в уравнение у = kx + b, получим искомое уравнение прямой

у = kx + уо — kxo, т. е.

http://rstud.ru/end5/3/image107.gif  (4)

Уравнение (4) с различными значениями k называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке М(хоо). Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.

 Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через точки M1(x1;y1) и М22; у2). Уравнение прямой, проходящей через точку M1, имеет вид

http://rstud.ru/end5/3/image108.gif  (5)

где k пока неизвестный коэффициент.http://rstud.ru/end5/3/image109.gif

Так как прямая проходит через точку М2 (x ; y2), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (5):

у2 — у1 == k(x2 - x1). Отсюда находим http://rstud.ru/end5/3/image110.gif. Подставляя найденное значение k  в уравнение (5) получим уравнение

прямой, проходящей через точки M1 и M2 :

http://rstud.ru/end5/3/image111.gif  (6)

Предполагается, что в этом уравнении x1 не равно x2, y1не равно y2 .

Если х2 = х1, то прямая, проходящая через точки M1(x1;y1) и М2(x22), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х1.

Если у2 = y1 то уравнение прямой может быть записано в виде у = у1, прямая M1 М2 параллельна оси абсцисс.

 

Уравнение прямой в отрезках

 

 http://rstud.ru/end5/3/image112.gif

 

Пусть прямая пересекает ось Ox в точке М1(a;0), а ось Oy в точке М2(0;b) .

В этом случае уравнение (6) примет вид http://rstud.ru/end5/3/image113.gif

Или  http://rstud.ru/end5/3/image114.gif

 

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

 

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку Мооо)  перпендикулярно данному ненулевому векторуhttp://rstud.ru/end5/3/image115.gif.

Возьмем на прямой произвольную точку М(х, у) и рассмотрим вектор

http://rstud.ru/end5/3/image116.gif

(7)http://rstud.ru/end5/3/image117.gif

 Поскольку векторы http://rstud.ru/end5/3/image118.gif и http://rstud.ru/end5/3/image119.gif перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: http://rstud.ru/end5/3/image118.gif • http://rstud.ru/end5/3/image119.gif = 0

Уравнение (7) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор http://rstud.ru/end5/3/image115.gif, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Уравнение (7) можно переписать в виде

http://rstud.ru/end5/3/image120.gif  (8) 

где А и В — координаты нормального вектора,

С = - Ахо - Byо свободный член. Уравнение (8) есть общее уравнение прямой (см. (3)).

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями

A_1x+B_1y+C_1=0,\quad A_2x+B_2y+C_2=0

или

y=k_1x+b_1,\quad y=k_2x+b_2

пересекаются в точке

x=\frac{B_1C_2-B_2C_1}{A_1B_2-A_2B_1}=\frac{b_1-b_2}{k_2-k_1},\quad y=\frac{C_1A_2-C_2A_1}{A_1B_2-A_2B_1}=\frac{k_2b_1-k_1b_2}{k_2-k_1}.

Угол γ12 между пересекающимися прямыми определяется формулой

\mathrm{tg}\,\gamma_{12}=\frac{A_1B_2-A_2B_1}{A_1A_2+B_1B_2}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}.

При этом под γ12 понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами A1, B1, C1, k1 и b1) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если A1B2A2B1 = 0 или k1 = k2, и перпендикулярны, если A1A2 + B1B2 = 0 или k_1=-\frac{1}{k_2}.





 УРОКИ

Опытное преподавание проводилось в 9 классе средней общеобразовательной школы. Уроки проводились по темам: «Уравнение прямой», до ознакомления с которыми учащиеся изучали тему «Векторы» и « Метод координат» как обобщающий урок.




Тема урока: «Уравнение прямой» (геометрия, 9 класс)

Цели урока.

Продолжить совершенствование навыков чтения графиков на примере линейных функций.

Повторить связь между коэффициентами линейной функции и координатами точек пересечения ее графика с осями координат.

Формировать умения составлять уравнение прямой в процессе решения задач. Иными словами: ученики должны усвоить способ составления уравнения прямой в различных задачных ситуациях.

Методы обучения

1. Систематизирующий и преобразовательный.

2. Демонстрационно-иллюстративный.

3. Практический.

Оборудование. компьютер, мультимедийный проектор.

План урока.

I. Мотивирование к учебной деятельности.

II. Актуализация базовых знаний.

III. Изучение нового.

IV. Первичное закрепление.

V. Подведение итогов урока, постановка задания на дом.

Ход урока.

I. Мотивирование к учебной деятельности.

Чтобы написать уравнение прямой, достаточно знать координаты двух точек, лежащих на ней. Существует несколько форм этого уравнения. Зачем вообще нужно уравнение прямой? С помощью уравнения можно, например, узнать, лежит ли произвольная точка плоскости на прямой. Но самое главное, зная уравнение прямой, можно построить эту прямую.

IIАктуализация базовых знаний

Фронтальный опрос:

  • Какую функцию называют линейной?

  • Что представляет собой график линейной функции?

  • Что необходимо знать для построения графика линейной функции?

  • От чего зависит положение прямой на координатной плоскости?

  • Только ли графиком линейной функции является прямая?

  • В чём отличие графиков прямой пропорциональности и линейной функции?

  • Какой из данных графиков является графическим изображением линейной функции?


http://www.nic-snail.ru/festival/2010/articles/terehova_nn1_img1.jpg

Устная работа

1. Определи числа k и b в заданных функциях.


функция

k

b

1

f(x)=3x



2

h(x)=4 -5x



3

u(x)=5+ d/3




2. При построении графиков функций ученик допустил ошибки. Докажите, что графики построены неверно.


№3. Для каждой из записанных здесь формул  назовите уравнения прямых параллельных данным:
http://www.nic-snail.ru/festival/2010/articles/terehova_nn1_img2.jpg

1. y = –5x,

2. y = –x –5,

3. 4. y = 3х-5.

4. Найти уравнение линии с угловым коэффициентом -1 / 2 и проходящей через

точку (0, 3). http://www.nic-snail.ru/festival/2010/articles/terehova_nn1_img3.jpg







II. Изучение нового

Уравнения прямой. Угловой коэффициент прямой.

Теперь, когда мы знаем от каких параметров зависит прямая, мы можем составить уравнение прямой. Существует несколько форм этого уравнения. Сначала мы рассмотрим общее уравнение прямой и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

  Выведем   УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ , проходящей через две точки.
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах х, у имеет уравнение вида
ах + bу+с=0,    (*)
где а,b, с — некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел а, b не равно нулю.

Пусть h — произвольная прямая на плоскости ху. Проведем какую-нибудь прямую,  перпендикулярную прямой  h  и отложим на ней от точки пересечения С с прямой h равные отрезки СА1 и CA2 (рис. 176).



22-06-108.jpg


Пусть a
1, b1 — координаты точки А1  и a2, b2 — координаты точки А2 Как мы знаем, любая точка А (х; у) прямой h равноудалена от точек А1 и А2. Поэтому координаты ее удовлетворяют уравнению
(x-a
1)2 + (y-b1)2  =(x-a2)2 + (y-b2)2    ( **)

Обратно: если координаты х и у какой-нибудь точки удовлетворяют уравнению (**), то эта точка равноудалена от точек A1 и А2, а значит, принадлежит прямой h. Таким образом, уравнение (**) является уравнением прямой h. Если в этом уравнении раскрыть скобки и перенести все члены уравнения в левую его часть, то оно примет вид:

22-06-109.jpg

получаем уравнение (*). По крайней мере одно из чисел a, b не равно нулю, так как точки  А1 и А2 различны. Утверждение доказано.

Задача (35). Составьте уравнение прямой, которая проходит через точки

А( — 1; 1), В(1; 0).

Решение. Как мы знаем, наша прямая имеет уравнение вида ах + Ьу + с=0. Точки А и В лежат на прямой, а значит, их координаты удовлетворяют этому уравнению. Подставляя координаты точек А и В в уравнение прямой, получим:
—а + Ь + с=0, а + с=0.
Из этих уравнений можно выразить два коэффициента, например о и Ь, через третий: а = — с, b = —2с. Подставляя эти значения с и b в уравнение прямой, получим:
— сх — 2су + с=0.

На с можно сократить. Тогда получим: -х-2у + 1=0.

Это и есть уравнение нашей прямой.

  Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды её уравнений.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой b точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом a между осью Ох и прямой  (см. рис. 41).

Под углом а (0http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-56new.gif

Из определения тангенса угла следует равенство

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-57.gif, т. е. http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-58.gif.

Введем обозначение  tg a=k, получаем уравнение

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-60new.gif(1)

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х;у) прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (1) не удовлетворяют.

Число k = tga называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (1) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид y=kx.

Если прямая параллельна оси Ох, то a = 0, следовательно, k = tga = 0 и уравнение (1) примет вид у = b.

Если прямая параллельна оси Оу, то http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-62.gif, уравнение (1) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-63.gif не существует.

В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-64new.gif         (2)

где a — абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (1) и (2) есть уравнения первой степени.

Общее уравнение прямой.

Рассмотрим уравнение первой степени относительно x и y в общем виде

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-65new.gif          (3)

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

Покажем, что уравнение (3) есть уравнение прямой линии. Возможны два случая.

Если  В = 0, то уравнение (3) имеет вид  Ах + С = О, причем А ¹ 0 т. е. http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-66.gif. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-67.gif·

Если B ¹ 0, то из уравнения (10.4) получаем http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-68.gif. Это есть  уравнение прямой с угловым коэффициентом  http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-69.gif|.

Итак, уравнение (3) есть уравнение прямой линии, оно называется  общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1)  если А = 0, то уравнение приводится к видуhttp://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-70.gif. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2)  если В = 0, то прямая параллельна оси Оу;

3)  если С = 0, то получаем http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-08-pic/lect1-71.gif. Уравнению удовлетворяют  координаты точки O(0;0), прямая проходит через начало координат.

 III. Первичное закрепление.

Решение задач № 36;38;39. (Учебник Погорелова  А.  В.  Геометрия  для  7-11  классов средней школы)

IV. Подведение итогов урока, рефлексия урока, задание на дом.





Обобшающий урок по геометрии

по теме: « Метод координат» - 9 класс

Цели урока:

систематизировать знания учащихся;
совершенствовать навыки решения задач      методом координат;
подготовить учащихся к контрольной работе.
Методы обучения

1. Систематизирующий и преобразовательный.

2. Демонстрационно-иллюстративный.

3. Контрольно-оценочный.

Оборудование. компьютер, мультимедийный проектор.



Ход урока

1. Сообщение темы и цели урока.

Сообщается, что в ходе урока ученики будут набирать баллы и получат оценку в конце урока.

2. Вступительное слово учителя и сообщение учащегося из истории математики о Рене Декарте.

В это время на доске демонстрируется портрет ученого
Текст сообщения (источник: Википедия):

Рене Декарт - французский математик, физик, физиолог и философ, создатель знаменитого метода координат, сторонник аналитического метода в математике, механизма в физике, предтеча рефлексологии.

Рене Декарт происходил из старинного дворянского рода. Его мать умерла от туберкулеза, когда ему исполнился 1 год. Отец Декарта был судьей и он мечтал видеть своего сына юристом. В возрасте 10 лет мальчик поступает в школу, а после ее окончания учится в Университете в Пуатье. Получив звание бакалавра и лицензию юриста , Рене выполнил желание отца, но в своей жизни он никогда не занимался юридической практикой. Он хочет видеть мир и открывать истину.

В истории математики Рене Декарт занимает видное место. Именно он сыграл решающую роль в становлении современной алгебры тем, что ввел буквенные символы, обозначил последними буквами латинского алфавита (х, у,z … ) переменные величины, а известные - первыми буквами латинского алфавит (а,b,c… ) ввел нынешнее обозначение степеней , заложил основы теории уравнений. Понятия числа и величины, ранее существовавшие раздельно, тем самым были объединены.

Историческое значение Декартовой геометрии состоит в том, что здесь была открыта связь величины и функции, что преобразовало математику. Применение алгебраических методов к геометрическим объектам, введение системы прямолинейных координат означало создание аналитической геометрии, объединяющей геометрические и арифметические величины, которые со времен древнегреческой математики существовали в раздельности.

Физические исследования относятся главным образом к механике, оптике и строению Вселенной.

Крупнейшим открытием Декарта, ставшим фундаментальным для последующей психологии, можно считать понятие о рефлексе и рефлекторной деятельности.

Интересно, что великий русский физиолог Иван Павлов поставил памятник-бюст Декарту возле своей лаборатории, потому что считал Декарта предтечей своих исследований.


3. Повторение основных формул (фронтально):

а) Длина отрезка, координаты середины отрезка, координаты вектора.
б) Какой вид имеет уравнение прямой? Рассматриваются частные случаи, уравнения осей координат .

в) Взаимное расположение прямых на плоскости. Связь между коэффициентами .

г) Уравнение окружности .
4. Диктант с последующей самопроверкой
1. А(-5;1), В(-2;-3), АВ - ?

2. СД – диаметр окружности, С(4;-7), Д(2;-3). Найти координаты центра окружности,

3. Е(3;7). Принадлежит ли она графику уравнения ?

4. у = 4х-5 .Что является графиком уравнения?

5. Как расположены прямые х =3; у = -1?

6. Решение задач

В ходе решения задач идет накопление баллов учащимися. Тексты задач проецируются на доску, в ходе решения делаются необходимые краткие записи на доске.

№1. Определить вид АВСD, если А(-2;2), B(4;-1), С(1;-7), D (-5;-4). Повторяются виды четырехугольников и их признаки. Учащиеся решают самостоятельно, затем решение проверяется
№2. Написать уравнение прямой АВ, если А(-12;-7), B(15;2). Написать уравнение прямой: а) параллельной АВ; б) пересекающей АВ; в)перпендикулярной АВ
№3. Дано: А(5;5), В(8;-3), С(-4;1). Найти координаты точки пересечения медиан треугольника АВС.

ТЕСТЫ 2 варианта по теме: « Уравнение прямой»

Вариант 1.

Часть 1

К каждому из заданий 1-4 даны 4 варианта ответа, из которых
только один правильный. Номер этого ответа обведите кружком

  1. Найдите координаты вектора нормали прямой   5х – у + 1 = 0.

А)  (5;1).              Б)  (5; -1).               В)  (-1; 1).              Г)  (1; 1).

  1. Найдите угловой коэффициент прямой   х – у + 2 = 0 .

А)  k = 1.             Б)  k = -1.                В)  k = 2.                Г)  k = -2.

  1. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (-3; 7) и перпендикулярной оси абсцисс.

А)  х = 0.             Б)  х = 7.                 В)  х = -3.               Г)  х = -7.

  1. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку М (-3; 4).
     

А) у = - 3/4х.        Б) у = - 4/3х.          В) у = 3/4х.              Г) у = 4/3х.

При выполнении заданий 5 и 6 запишите ответ в отведенном для него месте


  1. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (-1; 3) и вектором нормали http://e-ypok.ru/files/image/GIA/mathematics/gia_mathematics_9_2010_051.jpg(5; 8). Ответ:_____________

  2. Пользуясь рисунком, напишите уравнение прямой.

уравнение прямой

Ответ:_______________

Часть 2

В заданиях 7 – 9 проведите полное решение и запишите ответ


  1. Найдите координаты точки пересечения прямых 5х – 2у + 6  = 0 и х + 2у – 1 = 0.

  2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки  А (1; 2) и В (-3; 1).

  3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (-2; 3) и перпендикулярной прямой   3х – 2у – 6 = 0.

Вариант 2.

Часть 1

В заданиях 1-4 даны 4 варианта ответов, из которых только
один верный. Номер этого ответа обведите кружком

    1.  Найдите координаты вектора нормали прямой   -6х + 2у + 5 = 0.

    2. Найдите угловой коэффициент прямой   2х + у + 4 = 0.

    3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (-3; 7) и параллельной оси абсцисс.

    4. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку А (4; -3).

    5. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку  В (1; -3) и вектором нормали http://e-ypok.ru/files/image/GIA/mathematics/gia_mathematics_9_2010_051.jpg(1; 2).

Ответ:_______________

    1. Пользуясь рисунком, напишите уравнение прямой.

уравнение прямой

 

Ответ:_________________

Часть 2

В заданиях 7 – 9 проведите полное решение и запишите ответ

 

    1. Найдите координаты точки пересечения прямых    3х – у – 2 = 0  и 5х – у + 4 = 0.

    2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А (-2; 1) и В (2; -1).

    3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку   В (-1; 3) и перпендикулярной прямой   2х – у + 7 = 0.
       

7. Итог урока.
Подсчет баллов, выставление оценок.
8. Задание на дом : подготовка к контрольной работе.
Задача
Дано: А(6;1), В(-5;4), С(-2;5). Написать уравнение прямой, содержащей высоту, треугольника, проведенную к стороне ВС.

Заключение

Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях.



Библиографический список

1.     Автономова, Т. В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя [Текст]/ Б. И. Аргунов – М. Просвещение.

2.     Атанасян, Л. С. Геометрия для 7-9 классов средней школы В. Ф. Бутузов, С. Д. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина – М. Просвещение.

3.     Гельфанд, И. М. Метод координат М. Наука.

4.      Индивидуальные карточки по геометрии для 7-9 кл. / Т. М. Мищенко // Математика в школе –Погорелов,  А.  В.  Геометрия  для  7-11  классов средней школы -  М: Просвещение.

5.  Программа по математике для средней школы - М. Просвещение.

6.  Шарыгин И. Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб для общеоразоват. учеб. заведений [Текст] – М. Дрофа.

7. Материал из Гипермаркет знаний


 

















































23



Самые низкие цены на курсы переподготовки

Специально для учителей, воспитателей и других работников системы образования действуют 50% скидки при обучении на курсах профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца с присвоением квалификации (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок", но в дипломе форма обучения не указывается.

Начало обучения ближайшей группы: 25 октября. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (10% в начале обучения и 90% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru

Общая информация

Номер материала: ДВ-351929

Похожие материалы