Проект "Задачи с параметрами"

Оглавление

Введение ………………………………………………………………………...3

Глава I. Дидактические и математические основы проектирования элективного курса «Задачи с параметрами» ………………………………..6

1.1. Элективные курсы в системе предпрофильного обучения математике 7

1.2. Методологические положения о задачах с параметрами …………..14

1.3. Типы и методы решения задач с параметрами в девятилетней школе….24

Глава II. Элективный курс «Задачи с параметрами» для учащихся девятого класса: теория и практика …………………………………………………...49

2.1. Проект элективного курса …………………………………………....49

2.2. Из опыта проведения элективного курса «Задачи с параметрами» в девятом классе ………………………………………………………………..65

Заключение ……………………………………………………………….102

Приложение к урокам ………………………………………………………...103

Приложение ……………………………………………………………….104

Список литературы ………………………………………………………..109

Введение

Задачи с параметрами представляют существенную и важную часть содержания современного школьного математического образования. Они играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. Задачи с параметром требуют логической культуры – того, чего не хватает большинству учащихся. Чтобы решить такую задачу, необходимо в каждый момент представлять себе, что уже сделано, что еще надо сделать, что означают уже полученные результаты. При решении задач с параметрами ученик должен продемонстрировать глубокое понимание изучаемого материала, определенную логическую культуру и высокую технику. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, наличие навыка анализа конкретного случая на основе общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые случаи в единый результат. В школьных учебниках практически отсутствуют задачи с параметрами. В программе по математике про задачи с параметрами ничего не сказано, а для школ (классов) с углубленным изучением математики есть требование: учащиеся должны решать уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным или квадратным. Материалы единого государственного экзамена, конкурсные задания в вузы часто содержат уравнения и неравенства, содержащие параметры, методы решения которых не рассматриваются в основном курсе обучения математике. Типов задач с параметрами огромное множество, и выпускник средней школы должен владеть методом решения хотя бы некоторых из них. Поскольку существующие учебные программы по математике и тематические планирования к ним (в том числе и тематические планирования учебных программ обучения математике на профильном уровне) явно не предусматривают обучение решению задач с параметрами. Ясно, что школьная базовая программа уделяет мало времени решению этих задач, предлагая рассматривать их факультативно. В профильных классах обязательной составляющей являются элективные курсы, поэтому есть возможность включения элективного курса «Задачи с параметрами» в школьную программу.

Итак, актуальность работы обусловлена следующим:

- задачи с параметрами есть в заданиях ГИА и ЕГЭ, а также часто встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы;

- именно эти задания вызывают у учащихся наибольшие затруднения и даже страх;

- задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся;

- задачи с параметрами – это материал для настоящей научно – исследовательской работы.

Таким образом, получаем противоречие: с одной стороны необходимо обучать школьников решению задач с параметрами, а с другой нет целостной системы, в которой были бы выделены методы, способы решения задач с параметрами, в соответствии с ними классификации, несмотря на достаточное количество учебной литературы.

Исходя из всего вышесказанного, возникает проблема – разработать методическую систему элективного курса «Задачи с параметрами» в частности для учащихся девятого класса.

Сформулированное выше противоречие определило актуальность проблемы нашей работы, которая состоит в его разрешении посредством обоснованной разработки элективного курса «Задачи с параметрами».

Объект исследования: процесс обучения алгебре на элективном курсе.

Предмет исследования: методическая система, включающая цели, содержание, технологию обучения учащихся решению задач с параметрами.

Цель исследования: разработать научно - обоснованные методические рекомендации к построению элективного курса «Задачи с параметрами» для учащихся девятого класса.

Гипотеза исследования: если разработать методическую систему элективного курса «Задачи с параметрами», в которой были бы выделены методы, способы решения задач с параметрами, в соответствии с ними классификации, а также использовать технологию работы с ключевой задачей, то это все может способствовать повышению уровня знаний, умений и навыков в решении задач с параметрами и углублению знаниям в целом по курсу алгебры.

Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. На основе анализа документов об образовании, педагогической литературы выявить роль элективных курсов в школьном образовании.

2. Описать методическую систему обучения образовательной области «Математика» в рамках элективного курса.

3. Охарактеризовать основные понятия темы «Задачи с параметрами», рассмотреть способы решения задач с параметрами в школе.

4. Разработать проект элективного курса «Задачи с параметрами» для учащихся девятого класса и методические рекомендации к его реализации.

5. Разработать отдельные занятия элективного курса.

6. Опробовать методические рекомендации в школьной практике.

Методологической основой исследования послужили: концепция модернизации российского образования на период до 2013 года, концепция о предпрофильной подготовке Т. Г. Новиковой, статьи Д. С. Ермакова и Т. И Рыбкиной о требованиях к разработке элективных курсов, а также учебные пособия А. Г. Мордковича, Г. А. Ястребинецкого, В. С. Крамора, М. Л. Галицкого, А. М. Гольдмана, Л. И. Звавича.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы: изучение и анализ литературы по исследуемой проблеме, методы эмпирического исследования, основанные на опыте, практике, эксперименте, а также методы беседы с учащимися и учителем, наблюдение, входная диагностика и контрольная работа.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, приложения, списка литературы. Во введении обосновывается актуальность данной проблемы, формулируются противоречие, проблема, объект, предмет, цель исследования, гипотеза, задачи исследования, методы, которыми решается поставленная проблема, а также описана структура работы. В первой главе обосновывается роль элективных курсов в системе предпрофильного обучения математике, излагаются методологические положения о задачах с параметрами, а также представлены типы и методы решения задач с параметрами.

Во второй главе приводится разработка элективного курса «Задачи с параметрами» для учащихся 9 класса, методические рекомендации по организации и содержанию занятий, а также описан опыт работы с учащимися 9 класса: цели, содержание, результаты и представлены конспекты отдельных занятий.

В приложении представлен список задач, которые прорешиваются на уроках элективного курса.

В заключение отмечены основные выводы по проделанной работе.

Список литературы состоит из методических и математических книг и статей, которые были использованы при написании работы.Глава I. Математические и дидактические основы проектирования элективного курса «Задачи с параметрами»

Основная идея обновления старшей ступени общего образования состоит в том, что образование должно стать индивидуализированным, функциональным и эффективным. С этой целью и вводятся элективные курсы, на которых ученики могут «углубить» и систематизировать свои знания по отдельным предметам. Одним из основных школьных предметов является математика. Но на ее изучение с каждым годом уделяется все меньше часов. Поэтому дети начинают изучать некоторые разделы «поверхностно», хотя на экзаменах очень часто встречаются задания повышенной сложности. Одним из самых сложных для понимания и изучения разделов математики являются задачи с параметрами. Поэтому целесообразно изучать этот раздел на элективных курсах. Возникают следующие вопросы: что такое элективные курсы? какие виды элективных курсов существуют? какова их роль? какие функции выполняют элективные курсы? Также необходимо рассмотреть математические понятия: определение задачи с параметрами, подробно рассмотреть, что значит решить задачу с параметрами, привести примеры, иллюстрирующие суть каждого определения. Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких задач. Учителю необходимо синтезировать типы задач с параметрами и методы их решения, чтобы облегчить учащимся процесс усвоения задач с параметрами. Ответы на все поставленные вопросы и рассматриваются в данной главе.

1. Элективные курсы в системе предпрофильного обучения математике

Концепция модернизации российского образования на период до 2013 года предусматривает создание «системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда…отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования"[11]. Широкий переход на профильное обучение в старших классах общеобразовательных учреждений Российской Федерации начался с 2006/07 учебного года, а с 2005/06 учебного года началось введение предпрофильной подготовки в 9-х классах [8].

Более подробно остановимся на предпрофильной подготовке учащихся, о которой говорится в книге Т. Г. Новиковой «Теория и практика организации предпрофильной подготовки»[21].

Организация предпрофильной подготовки является одним из важных элементов перехода на профильное образование. Она выполняет подготовительную функцию и является подсистемой профильного образования. Проблема выбора профиля является непростым испытанием как для учащихся, так и для их родителей. Многим впервые в жизни предстоит совершить столь серьезный шаг, от которого во многом будет зависеть дальнейшая судьба старшеклассников, в частности - мера их подготовленности к успешной сдаче единых государственных экзаменов и перспективы на продолжение образования после школы. Уже в девятом классе основной школы ученик должен будет получить информацию о возможных путях продолжения образования, причем совершенно конкретно, в отношении территориально доступных ему образовательных учреждений, оценить свои силы и принять ответственное решение. Поэтому основной задачей предпрофильной подготовки в девятом классе является комплексная работа с учащимися по обоснованному и жизненно важному выбору дальнейшего пути обучения. Именно поэтому предпрофильная подготовка является важным компонентом профильного образования.

Исходя из Концепции профильного обучения, предпрофильная подготовка должна сформировать у школьников:

умение объективно оценивать свои резервы и способности к продолжению образования по различным профилям;
умение осознанно осуществлять выбор профиля, соответствующего своим склонностям, индивидуальным особенностями и интересам;
готовность нести ответственность за сделанный выбор;
высокий уровень учебной мотивации на обучение по избранному профилю, прикладывать усилия для получения качественного образования[21].

Т. Г. Новикова отмечает следующие задачи предпрофильного обучения:

- выявление интересов и склонностей, способностей школьников и формирование практического опыта в различных сферах познавательной и профессиональной деятельности, ориентированного на выбор профиля обучения в старшей школе;

- оказание психолого-педагогической помощи в приобретении школьниками представлений о жизненных, социальных ценностях, в том числе связанных с профессиональным становлением;

- развитие широкого спектра познавательных и профессиональных интересов, ключевых компетенций, обеспечивающих успешность в будущей профессиональной деятельности;

- формирование способности принимать осознанное решение о выборе дальнейшего направления образования, пути получения профессии [21].

Об истории возникновения профильного обучения в России пишет Ермаков Д.С. и Рыбкина Т.И.

В России имеется опыт обучения, дифференцированного по предпрофессиональной подготовке.

В соответствии с концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования переход на массовое профильное обучение в настоящее время обусловлен рядом причин:

- отчетливая дифференциация интересов и жизненных планов учащихся (более 70% старшеклассников изъявляют желание изучать большинство общеобразовательных предметов на уровне основ, а углубленно - лишь те, которые необходимы для дальнейшей профессиональной специализации);

- недостаточные, по мнению учащихся, условия школы для построения успешной профессиональной карьеры и подготовки к будущей профессиональной деятельности;

- необходимость осознанного выбора будущей профессии большинством выпускников общеобразовательной школы, что должно повысить экономическую эффективность затрат на образование, а также способствовать успешной социализации выпускников общеобразовательных школ;

- специфические требования, предъявляемые к выпускникам школ учреждениями профессионального (в частности, высшего) образования, необходимость преемственности между школой и вузом, устранение недостатков довузовской подготовки [8].

В связи с вышеизложенным Ермаковым Д.С. и Рыбкиной Т. И. выделяются следующие основные цели профильного обучения:

- обеспечить углубленное изучение отдельных общеобразовательных предметов;

- создать условия для дифференциации и индивидуализации обучения, выбора учащимися разных категорий индивидуальных образовательных траекторий в соответствии с их способностями, склонностями и потребностями;

- расширить возможности социализации учащихся, в частности, более эффективно готовить выпускников к профессиональному самоопределению;

- обеспечить преемственность общего и профессионального образования, устранив расхождения в требованиях, предъявляемых к подготовке выпускников в школе и абитуриентов в вузе; устранить недостатки довузовской подготовки (репетиторство, платные подготовительные курсы) [8].

Авторы в статье [8] выделяют следующие особенности, которыми характеризуется система профильного обучения:

- вводится на старшей ступени образования (2-3 последних года обучения);

- количество профилей составляет, как минимум, два (редко) и больше;

-сохраняется возможность внепрофильного обучения («общеобразовательный профиль»);

- количество и объем инвариантных учебных предметов существенно сокращается, а вариативность обучения при этом достигается за счет расширения спектра элективных учебных курсов, выбираемых учащимися.

Учебный план профильного обучения включает четыре предметных блока: базовые общеобразовательные предметы; профильные общеобразовательные предметы; элективные курсы, обязательные для изучения учебные предметы по выбору учащихся. Подробно разберем третий блок - элективные курсы, обязательные для изучения учебные предметы по выбору учащихся, которые реализуются за счет школьного компонента учебного плана. Каждый учащийся в течение двух лет обучения должен выбрать и изучить 5-6 элективных курсов.

Соотношение объема учебного времени по третьему блоку составляет примерно 20%.

В Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования отмечается цель изучения элективных курсов: цель изучения элективных курсов – ориентация на индивидуализацию обучения и социализацию учащихся, на подготовку к осознанному и ответственному выбору сферы будущей профессиональной деятельности. Элективные курсы незаменимы для достижения основных целей образования на старшей ступени школы [11].

Элективные курсы в статье [22] характеризуются как

обязательные курсы по выбору учащихся из компонента образовательного учреждения, входящие в состав профиля обучения. Учащимся предлагается не менее трех курсов по выбору на одно учебное полугодие. Количество учебных часов, отводимых по учебному плану на каждый из этих курсов, колеблется от 15 – 16 до 48. Курсы по выбору могут завершаться как экзаменационными испытаниями, так и защитой выполненного задания [4].

В Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования отмечается, что тематика и содержание элективных курсов должны отвечать следующим требованиям:

- иметь социальную и личностную значимость, актуальность как с точки зрения подготовки квалифицированных кадров, так и для личностного развития учащихся;

- способствовать социализации и адаптации учащихся, предоставлять возможность для выбора индивидуальной образовательной траектории, осознанного профессионального самоопределения;

- поддерживать изучение базовых и профильных общеобразовательных предметов, а также обеспечивать условия для внутрипрофильной специализации обучения;

- обладать значительным развивающим потенциалом, способствовать формированию целостной картины мира, развитию общеучебных, интеллектуальных и профессиональных навыков, ключевых компетенций учащихся [11].

Ссылаясь на работу А. А. Кузнецова и Л. О. Филатовой «Профильное обучение и учебные планы старшей ступени образования» Ермаков Д. С. И Рыбкина Т. И. выделяют следующие функции элективных курсов:

- изучение ключевых проблем современности;

- ориентация в особенностях будущей профессиональной деятельности, «профессиональная проба»;

- ориентация на совершенствование навыков познавательной, организационной деятельности;

- дополнение и углубление базового предметного образования; компенсация недостатков обучения по профильным предметам [8].

Каждая из указанных функций может быть ведущей, но в целом они должны выполняться комплексно, говорят авторы.

Д. С. Ермаков и Т. И. Рыбкина считают, что методы и формы обучения должны определяться требованиями профилизации обучения, учета индивидуальных и возрастных особенностей учащихся, развития и саморазвития личности. В связи с этим основные приоритеты методики изучения элективных курсов:

- междисциплинарная интеграция, содействующая становлению целостного мировоззрения;

- обучение через опыт и сотрудничество;

- учет индивидуальных особенностей и потребностей учащихся;

- интерактивность (работа в малых группах, ролевые игры, имитационное моделирование, тренинги, метод проектов);

- личностно-деятельностный и субъект - субъектный подход (большее внимание к личности учащегося, а не к целям учителя, равноправное их взаимодействие);

- фасилитация (лидерство, основанное на совместной деятельности, направленное на достижение общей образовательной цели) [8].

В этой же статье авторами отмечается, что при определении форм организации учебных занятий следует исходить прежде всего из специфических целей курса. Поскольку в принципе не исключается изучение элективного курса даже одним учащимся, необходимо предусмотреть варианты изучения как в коллективных, так и в индивидуально-групповых формах. В то же время, если содержание курса может быть освоено только в групповых или коллективных формах, то следует оговорить минимальную численность учебной группы.

Важно предусмотреть использование таких методов и форм обучения, которые давали бы представление учащимся об условиях и процессах будущей профессиональной деятельности в соответствии с выбранным профилем обучения, то есть в какой-то степени моделировали бы их.

Кроме определения с формами и методами должен быть разработан тематический план, исследована литература, определен результат изучения курса. Тематический план должен включать в себя основное содержание всех разделов/тем курса с указанием бюджета времени на их изучение. Отдельно выделяются практические и лабораторные работы, экскурсии, учебные проекты.

Элективные курсы (курсы по выбору) не являются для российской школы чем-то принципиально новым, тем не менее введение их в учебный план профильного обучения вызывает ряд вопросов научно-методического и организационного характера, которые требуют изучения и решения.

1.2. Методологические положения о задачах с параметрами

Задачи с параметрами – одни из наиболее сложных задач школьного курса математики. В программе для общеобразовательных учреждений о задачах с параметрами ничего не сказано. А в школьных учебниках только даются задания с параметрами, как задачи повышенной трудности. У многих учащихся возникают трудности и проблемы при изучении и решении задач такого типа. Во – первых, многие из них не понимают само определения параметра, во – вторых, многие учащиеся с трудом понимают формулировку задания, и, в - третьих, учащиеся не умеют правильно мыслить и рассуждать. Чтобы школьники испытывали меньше трудностей при решении задач с параметрами, чтобы успешно сдавали ГИА и ЕГЭ, учитель сам старается, вводит в рассмотрение понятие «параметр», свойства параметра, рассматривает различные методы решения задач с параметрами. Поэтому в этом параграфе будут отдельно рассматриваться понятие «параметр», допустимые значения параметра, будет дано определение задачи с параметрами, подробно рассмотрено, что значит решить задачу с параметрами, приведены примеры, иллюстрирующие суть каждого определения.

Определение понятия «параметр».

Во многих учебниках и учебных пособиях даны различные формулировки определениям параметра и задачи с параметрами. В «Толковом словаре математических терминов» сказано: Параметр – величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но которое в другой задаче меняет свои значения [26]. Моденов П. С., Новоселов С. И. дают такое определение: если в уравнение кроме известных входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами [15]. Ястребинецкий Г. А.: переменные которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называют параметрами, а само уравнение (неравенство) называют уравнением (неравенством), содержащим параметры. И договариваются параметры обозначать первыми буквами латинского алфавита: , а неизвестные буквами [29]. Голубев В. И., Гольдман А. в своей статье дают такое определение: параметром называется независимая переменная , значение которой в данной задаче считается фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству [4]. В учебнике Виленкина Н. Я определение параметра дается следующим образом: Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами [1]. Приведем несколько примеров, раскрывающих суть данного определения.

1) Задание: решите уравнение относительно .

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

2) Задание: решите неравенство относительно .

a) ;

б) ;

в) .

г) .

д) ;

е) .

В данных примерах в качестве параметра выступает переменная . Итак, параметром будем называть коэффициенты, заданные в уравнении, не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, то есть уравнение (неравенство) с параметрами задает множество уравнений (неравенств) (для всевозможных значений параметров). Параметр обозначается любой буквой латинского алфавита: , а неизвестные – буквами .

Формальное распределение переменных на неизвестные и параметры по признаку обозначения со временем перешло из пособий для поступающих в ВУЗы в школьные учебники. Подобный подход к введению понятия параметра на примерах вообще характерен для современных учебников. Почти во всех учебно – методических комплексах на той или иной стадии обучения понятие «параметр» вводится, однако, в большинстве учебников этим, по сути, и ограничиваются.

Допустимые значения параметра

В пособии Мирошина В. В. Это определение дается следующим образом: допустимым значением параметра будем называть такое его значение, при котором область определения данной задачи есть непустое множество [14].

Это определение можно переформулировать: значение параметра считается допустимым, если найдется хотя бы один набор значений других переменных, входящих в условие данной задачи, при подстановке которого совместно с заданным значением параметра в аналитическое выражение, задающее условие, выражение имеет смысл.

Приведем несколько примеров, раскрывающих смысл этого определения. При этом будем считать, что переменные, входящие в соответствующее условие, принимают действительные значения, а в качестве искомой переменной выберем переменную .

Пример 1.

В уравнении , рассматриваемом относительно переменной , допустимым является любое действительное значение параметра .

Пример 2.

В уравнении допустимым является любое значение параметра , хотя для каждого из них существует единственное значение переменной, при котором данное уравнение имеет смысл.

Пример 3.

При решении уравнения допустимыми будут следующие значения :

Пример 4.

При решении неравенства допустимыми являются следующие значения:

Понятия «задача с параметрами», «решения задачи с параметрами».

В пособии Мирошина В. В. под понятием «задача с параметрами» понимается условие задачи, представленное в виде уравнений, неравенств или систем, совокупностей [14]. Уравнение (неравенство), содержащее параметр, называется уравнением (неравенством) с параметром.

Понятия решения задачи (уравнений или неравенств) с параметрами рассматриваются в различных учебно – методических комплексах по математике по – разному.

В учебнике Никольского С. М. сказано, что решить уравнение с параметром – значит, для каждого значения параметра найти множество корней данного уравнения (это множество может быть и пустым). В приведенном определении ничего не сказано о допустимых значениях параметра [20].

В учебнике Макарычева Ю. И. определение «решения уравнения с параметрами» звучит следующим образом: Решить уравнение с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество корней [13]. Это определение содержит словосочетание «для любого», что приводит к включению в рассмотрение и тех значений параметров, при которых задача не имеет смысла.

В учебнике Виленкина Н. Я. решить уравнение с параметрами означает следующее: 1) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров; 2) найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения. В этом же учебнике рассказывается, как должен выглядеть ответ к задаче «решить уравнение с параметром»: он должен выглядеть следующим образом: уравнение при таких – то значениях параметров имеет корни…, при таких – то значениях параметров – корни…, при остальных значениях параметров уравнение корней не имеет[1].

Понятие «решить задачу с параметрами» зависит от вопроса в задаче. Если требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значение параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства, их систем или совокупностей удовлетворяет объявленному условию, то очевидно решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра [4].

Итак, решить уравнение с параметром – значит найти все его корни при всех значениях параметра (или установить, что их нет).

При решении уравнения (неравенства) с параметром стремятся выделить «особые значения» параметра (еще их называют «контрольными значениями параметра»), в которых или при переходе через которые происходит качественное изменения уравнения, для разбиения множества значений параметра на подмножества, после чего на каждом из этих подмножеств решается заданное уравнение (неравенство).

Рассмотрим следующие примеры.

I. Задания первого типа: решить уравнение (неравенство).

1) .

Решение:

;

Если , то есть , то нет действительных корней;

если , то есть , то .

Ответ: при нет действительных корней; при .

если , то есть

, то – неверно – нет действительных корней;

- – любое действительное число;

Если , то есть , то .

Ответ: при нет действительных корней; при – любое действительное число; если , то .

3) .

Решение:

ОДЗ: ;.

+x,

Сужаем ОДЗ: ; .

Учитывая, что , получаем .

. Проверим условие .

Ответ: если .

4) .

Решение:

;

, ,

, .

, , .

б) ,

, .

в) если , то – неверно, значит нет решений.

г) если , то - любое действительное число.

Ответ: при ; при , ;

если , то нет решений; если , то любое действительное число.

5) ;

6) ;

II. Задания четвертого типа: при каких значениях параметра решения уравнения (неравенства) удовлетворяют заданным условиям.

Найти значения параметра , при которых корни уравнения заключены в интервале (1; 3).

Решение:

При имеем , так как , то удовлетворяет требованию задачи. Если , то левую часть уравнения поделим на и рассмотрим функцию .

1) , ;

2) , ; 3) , ; 4) .

Получаем систему неравенств:

Решив ее, находим .

Ответ: .

2) Найти значения параметра , при каждом из которых неравенство выполняется при всех действительных .

Решение:

При исходное неравенство примет вид . Множество его решений – интервал . Оно содержит не все действительные числа, так что не отвечает условию задачи.

Если , то коэффициент при в квадратном трехчлене в правой части исходного неравенства отрицателен. Поэтому трехчлен либо вообще не принимает положительных значений, либо его положительные значения являются значениями в точках интервала между его корнями. В любом случае найдется точка, в которой этот трехчлен принимает отрицательные значения. Следовательно, ни одно из значений , удовлетворяющих неравенству , не отвечает условию задачи.

При исходное неравенство выполняется при всех действительных числах тогда, когда его дискриминант и . Решим это неравенство методом интервалов:

;

. Из этих чисел в области содержатся только . Это и есть искомые значения параметра.

Ответ: .

3) Найти значения параметра , при которых ровно один корень уравнения , имеющего различные корни, принадлежит интервалу (1; 4).

4) Найти значения параметра , при которых корни уравнения имеют разные знаки, и оба по абсолютной величине меньше 4.

5) Найти значения параметра , при которых неравенство выполняется при всех

1.3. Типы и методы решения задач с параметрами в девятилетней школе

В учебном пособии Галицкого М. Л., Гольдмана А. М., Звавича Л. И. «Сборник задач по алгебре» [5] выделяются различные типы задач с параметрами. Все задания можно разбить по методам их решения.

I. Тема «Неполные квадратные уравнения»: № 5.3, № 5. 10 – №5.12;

Уравнения вида:

1. ,

2. ,

3. ,

называются неполными квадратными уравнениями. Уравнение 1 имеет корни: , ; уравнение 2 имеет корни: , , если ; уравнение 3 имеет корни: .

Таким образом, в этой теме рассматриваются следующие виды заданий:

1. Задачи, в которых требуется решить уравнение(№ 5.3)

Например, № 5.3(б): решить уравнение .

Решение:

1) Уравнение можно записать иначе, пользуясь формулой сокращенного умножения: ;

Решаем уравнение: .

если , то , то есть ;

если , то ,;

если , то действительных корней нет.
Ответ: если , то ;если , то , , если , то действительных корней нет.

2. Задачи, в которых требуется найти значение параметра, при котором только один корень равен нулю (№ 5.10).

Например, №5.10(б):

При каких значениях ровно один из корней уравнения равен нулю: ?

Решение:

Для того чтобы ровно один из корней уравнения был равен нулю надо свести его к неполному квадратному уравнению, то есть свободный член должен быть равен нулю:

При уравнение примет вид: – неполное квадратное уравнения, в котором только один корень равен нулю.

Ответ: при ровно один из корней уравнения равен нулю.

3. Задачи, в которых требуется найти значения параметра, при каждом из которых корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку (№ 5.11).

Например, №5.11(б):

При каких значениях корни равны по модулю, но противоположны по знаку: 2?

Решение:

Для того чтобы корни уравнения были равны по модулю, но противоположны по знаку нужно свести уравнение к равнению вида: . , то есть , .

При получаем неполное квадратное уравнение относительно : 2. Это уравнение имеет два корня, которые равны по модулю, но противоположны по знаку.

Ответ: при уравнение имеет два корня, которые равны по модулю, но противоположны по знаку.

4. Задачи, в которых требуется найти значения параметра, при котором оба корня уравнения равны нулю(№ 5.12).

Например, №5.12 (б):

При каких значениях корни уравнения равны нулю: ?

Решение:

Для того чтобы корни уравнения были равны нулю нужно свести это уравнение к уравнению следующего вида: , то есть и .

, , .

Общее решение двух уравнений будет .

При корни уравнения равны нулю.

Ответ: при корни уравнения равны нулю.

II.Тема «Полные квадратные уравнения»: № 5.32 – №5.34,№5.68, №5.102, №5.103, №5.106-№5.108, №6.146 - №6.148, №6.226.

Рассмотрим - квадратное уравнение относительно переменной .

Если:

а) , то получаем уравнение , , это уравнение имеет единственный корень - .

б) , то находим дискриминант: . Теперь рассматриваем дискриминант:

если , то квадратное уравнение имеет два корня: ; .

если , то квадратное уравнение имеет два совпавших корня: .

если , то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, в этой теме рассматриваются следующие виды заданий:

1.Решить квадратное уравнение с параметром:№ 5.32 – №5.34.

Например, № 5.32.(б):

Решите уравнение .

Решение:

1) – квадратное уравнение относительно .

Находим дискриминант квадратного уравнения: . Получили неотрицательный дискриминант. Рассмотрим следующие случаи:

3) если , то есть , b=0, то ;

если , то есть , то , .

Ответ: если b=0, то ; если , то , .

Например, № 5.34(б):

Решите уравнение .

Решение:

Чтобы решить уравнение, в котором при старшим коэффициентом стоит параметр, то нужно рассмотреть два случая:

а) если , и – его корень.

б) если , то находим дискриминант квадратного уравнения: .

Возможны два случая:

1) , то есть , , , то имеем уравнение

и – его корень.

2) , то есть , , , то

Ответ: если ; если , то и .

2. Решить биквадратное уравнение с параметром (№ 5.68).

Например, № 5.68(б):

Решите уравнение .

Решение:

1)Чтобы решить биквадратное уравнение, нужно сделать замену переменных: пусть , .

2) После замены переменной получаем следующее уравнение: .

3) Находим дискриминант: . Рассмотрим следующие случаи:

а) ,

, так как , то .

б) ,

, так как , то находим корни уравнения:

5) , значит , то есть , ;

, значит , то есть , .

Ответ: при .

3. Задачи, в которых нужно найти значения параметра, при которых квадратное уравнение имело различные корни, имело один корень, не имело действительных корней: №5.102, №5.103, №5.106-№5.108, №6.146-№ 6.148, №6.226, №8.110.

Например, №5.102.

При каких значениях параметра уравнение :

а) имеет различные действительные корни;

б) имеет один корень;

в) не имеет действительных корней.

Решение:

– квадратное уравнение относительно . Находим дискриминант квадратного уравнения: .

а) Если , то есть , , то ;

б) Если , то есть , , то действительных корней нет;

в) Если , то есть , , то ; , .

Ответ: если , то уравнение имеет два совпавших корня: ; если , то уравнение не имеет действительных корней; если, .

III. Уравнения, решаемые на основание теоремы Виета и ей обратной:№ 5.90, №5.91, №5.94, №5.95, ;№5.96, №5.98, №5.99, №5.100.

Все представленные ниже теоремы рассмотрены в соответствии с учебным пособием В. С. Крамора «Задачи с параметрами и методы их решения»[12].

Рассмотрим квадратное уравнение, где .

Теорема Ф. Виета.

Пусть – корни квадратного уравнения . Тогда сумма корней квадратного уравнения равна, а произведение корней равно .

С помощью этих соотношений можно исследовать знаки корней квадратного трехчлена.

Теорема 1.

Чтобы корни квадратного уравнения были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений: , .

При этом оба корня будут положительны, если выполняется условие:

, то есть

тогда и только тогда, когда ,

Представим графически (рис. 1):

рис. 1

и оба корня будут отрицательными, если выполняется условие: ,

тогда и только тогда, когда

Представим графически (рис. 2):

рис. 2

Теорема 2.

Чтобы корни квадратного уравнения были действительными и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений:

, .

При этом отрицательный корень будет иметь меньшую абсолютную величину, если:

, то есть

если

Представим графически (рис 3):

рис. 3

Если же , то отрицательный корень будет иметь большую абсолютную величину, то есть

если

Представим графически (рис. 4):

рис. 4

Таким образом, в этой теме рассматриваются следующие виды заданий:

1. Задачи, в которых нужно найти значения параметра, при котором произведение корней квадратного уравнения рано нулю: №5.90, № 5.91.

Например, № 5.91.

При каких значениях произведение корней уравнения

равно нулю?

Решение:

Пусть – корни уравнения. Тогда, согласно теореме Виета, получаем

, где , , следовательно, чтобы произведение корней уравнения было равно нулю – нужно, чтобы , , то есть .

Ответ: при произведение корней уравнения

равно нулю.

2. Задачи, в которых нужно найти значения параметра, при которых сумма квадратов (разность квадратов) корней равна некоторому числу: № 5.92, № 5.93.

Например, № 5.92.

В уравнении сумма квадратов корней равна 16. Найти .

Решение:

- квадратное уравнение относительно .

2) Для того чтобы у квадратного уравнения были корни дискриминант должен быть неотрицательный: , то есть при .

Пусть и – корни уравнения, тогда . Преобразуем левую часть: .

Составим систему:

. Решая это уравнение, получаем, что .

Ответ: .

3. Задачи, в которых нужно найти значения параметра, при которых сумма квадратов корней уравнения наибольшая (наименьшая): №5.94 - №5.96.

Например, № 5.95.

При каком значении параметра которых сумма квадратов корней уравнения наименьшая?

4. Задачи, в которых нужно найти значения параметра, при которых один из корней квадратного уравнения в несколько раз больше другого: №5.97 - №5.100.

Например, № 5.99.

При каких значениях параметра один из корней квадратного уравнения в два раза больше другого?

IV.Тема «Системы уравнений»: № 9.101 - № 9.103, № 9.105 - № 9.107, № 9.195- № 9.215.

Пусть - уравнение первой прямой; - уравнение второй прямой. Эти прямые располагаются на плоскости по – разному:

1) если и , то эти прямые параллельны;

2) если и , то эти прямые совпадают;

3) если , то прямые пересекаются.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с параметрами:

Выражая из каждого уравнения системы , получаем

1) если , то система не имеет решений;

2) если , то система имеет бесконечно много решений;

3) если или , то система имеет единственное решение.

Таким образом, в этой теме рассматриваются следующие виды заданий:

Например, № 9.101 (б):

Найти все значения параметра , при которых система имеет единственное решение.

Решение:

Чтобы система имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие: .

Пусть , тогда

и .

При и равенство выполняется, следовательно равенство не выполняется при и .

Ответ: при и система имеет единственное решение.

V. Задачи о расположении корней квадратного трехчлена: № 6.170 – №6.178, №6.150-№6.153, №8.44, №8.45, №8.117-№8.119.

При решении этой группы задач требуется знание основных теорем и следствий из них о расположении корней квадратного трехчлена на координатной прямой. Рассмотрим эти теоремы в соответствии с пособием В. С. Крамора «Задачи с параметрами и методы их решения»[12].

Пусть квадратный трехчлен имеет действительные корни (где ), а - какое – нибудь действительное число.

Теорема 1.

Чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число (то есть лежали на координатной прямой левее, чем точка ), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 5):

а)

б)

рис. 5

Теорема 2.

Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число (то есть лежали на координатной прямой правее, чем точка ), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 6):

а)

б)

рис. 6

Теорема 3.

Чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число , а другой больше, чем число (то есть лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий (рис.7):

а)

б)

рис.7

Следствие 1.

Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число , но меньше, чем число (), то есть лежали в интервале (), необходимо и достаточно выполнение условий (рис.8):

а)

б)

рис.8

Следствие 2.

Чтобы только один корень квадратного трехчлена лежал в интервале () необходимо и достаточно выполнение условий (рис.9):

а)

б)

рис.9

Следствие 3.

Чтобы только наименьший корень квадратного трехчлена лежал в интервале (), необходимо и достаточно выполнение условий (рис.10):

а)

б)

рис. 10

Следствие 4.

Чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем , а другой больше, чем (), то есть отрезок целиком лежат внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно выполнение условий (рис.11):

а)

б)

рис.11

Таким образом, в этой теме рассматриваются следующие виды заданий:

Например, № 6.172.

При каких значениях корни уравнения меньше, чем 3?

Решение:

1) если , то есть получаем , откуда , , значит, удовлетворяет требованию задачи.

2) Пусть . Преобразуем уравнение к виду и рассмотрим график функции . Графиком функции будет являться парабола, ветви которой направлены вверх (рис.12).

3) Дадим аналитическое описание этой модели:

рис.12

Расшифруем эти условия:

1) , ,

2) f(3), ,

3) , .

Таким образом, получаем систему неравенств:

а) .

б) .

в) ,;, .

Таким образом, получаем ; .

Ответ: ; .

VI. Тема «Неравенства»: №6.143, № 8.56, № 8.63 - №8.71, № 8.113, №8.114, №8.56, №8.120, №8.121, №8.111 - №8.112.

1. Решить неравенство: № 6.143, №8.113, №8.114.

Например, № 8.113(б).

Для каждого значения параметра решите неравенство .

Например, № 8.114(в).

Для каждого значения параметра решите неравенство .

Решение:

Приравнивая к нулю коэффициент при и дискриминант квадратного трехчлена , находим два значения параметра и (если , то D; если , то D).

Решим данное неравенство для каждого из следующих четырех случаев:

; 2) ; 3) ; 4) .

Знак а

Знак D

Если , то трехчлен имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент. Значит, трехчлен положителен при любых , то есть решением исходного неравенства является множество всех действительных чисел.

2) Если , то трехчлен имеет следующие корни:

, причем .

Значит решением исходного неравенства является следующая совокупность: ; .

3) Если , то данное неравенство принимает вид , откуда получаем .

4) Если , то имеем .

Значит, в этом случае решением неравенства является следующая система: .

Ответ: если , то решением является любое действительное число; если , то ;если , то ; если , то .

2.Задачи, в которых известна зависимость между двумя параметрами: № 8.63- 8.71.

Например, № 8.68.

Решите неравенство , если известно, что .

3. Задачи на нахождение значений параметра, при которых неравенства равносильны (№ 8.56)

Например, № 8.56 (б).

При каком значении параметра неравенства равносильны: и .

4. Задачи на нахождение значений параметра, при которых все решения одного неравенства являются решением другого: № 8.120 – №8.121

Например, № 8.121.

При каких значениях параметра любое решение неравенства

являются одновременно решениями неравенства ?

5. Задачи, в которых нужно найти значения параметра, при которых неравенство имеет различное число решений (не имеет): № 8.111 - №8.112.

Например, № 8.111(б).

При каких значениях параметра неравенство не имеет решений?

Решение:

1) График функции - парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, данное неравенство не имеет решений в том и только в том случае, если эта парабола целиком расположена в верхней полуплоскости. Значит, дискриминант квадратного трехчлена должен быть отрицательным.

2) .

Ответ: .

VII. Квадратичная функция: № 8.27 – №8.29, № 8.39 – №8.41.

1. Задачи на нахождение параметра по заданным условиям: № 8.27 – №8.29.

Например,№ 8.27.

Постройте график квадратного трехчлена , если известно, что прямая является его осью симметрии.

Решение:

1) Находим центр параболы: ,

, .

2) Теперь функцию можно переписать в следующем виде: ,

, – вершина параболы.

3) Чтобы построить график функции , найдем дополнительные точки:

4) Строим график функции (рис.13)

рис.13

2. Задачи на расположение вершины параболы: №8.39, 8.40, 8.41.

Например,№ 8.39.

При каких значениях вершина параболы находится на расстоянии, равном 5, от начала координат?

Кроме аналитического метода решения задач с параметрами существует еще и графический метод. Графический метод заключается в том, что строятся графики в различных координатных плоскостях. При решении задач с параметрами этим методом можно выделить два способа решения:

- с помощью построения графиков функций в системе координат xoy;

- с помощью построения графиков функций в системе координат xoа.

На выпускных экзаменах в форме ГИА часто присутствуют такие задачи, которые необходимо решить с помощью графического метода:

Определить количество корней уравнения .

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций и (рис.14).

рис.14

По графику видно, что если , то решений нет; если , то существует два решения: ; если , то существует четыре решения:

Ответ: если , то решений нет; если , то существует два решения;

если , то существует четыре решения.

При каких значениях параметра уравнение имеет три решения?

Решение:

Строим в одной системе координат графики двух функций: и (рис.15).

План построения графика функции :

а)

б) – отрицательную часть графика отображаем симметрично оси ох.

в) – отображаем график симметрично оси ох.

г) – сдвигаем ось ох вниз на три единицы.

д) – отрицательную часть графика отображаем симметрично оси ох.

рис.15

По графику смотрим, когда прямая пересекает график в трех точках. Это будет выполняться, когда . То есть при уравнение имеет три решения.

Ответ: при уравнение имеет три решения.

Рассуждая аналогично, можно решить следующее задание: При каких значениях параметра уравнение имеет три решения?

В зависимости от параметра указать, сколько решений имеет данная система

Решение:

Подставим значение переменной в первое уравнение системы, получим следующее уравнение: . Решим это уравнение графическим методом, для этого в одной системе координат построим графики двух функций: и .

План построения графика функции :

а) Находим критические точки: и .

б) Рассмотрим следующие системы:

в) В соответствии с заданными условиями, строим графики трех функций в одной системе координат (рис.16).

рис. 16

В зависимости от расположения прямой относительно графика функции получаем следующие результаты: если , то данная система решений не имеет; если , то ; если , то система имеет два решения.

Ответ: если , то система решений не имеет; если , то ; если , то система имеет два решения.

Рассуждая аналогично, можно решить следующее задание: В зависимости от параметра указать, сколько решений имеет данная система

В основу изучения задач с параметрами положена работа с ключевой задачей. Технология работы с ключевой задачей рассмотрела Л. И. Кузнецова в учебном пособии [10]. Ключевая задача – это задача, которая наиболее ярко иллюстрирует новую тему, новый метод, прием решения, или содержит новый факт, или и то, и другое вместе. Если в процессе решения задачи обнаруживается какой – либо новый для учащихся метод, способ, прием рассуждений, решения или составления задачи, то имеем задачу – метод. На одной задаче можно иллюстрировать не один прием или метод. Для разных приемов могут быть использованы разные задачи. Так что число и содержание ключевых задач в теме определяется неоднозначно. Много здесь зависит от темы, от мастерства учителя, от целей, которые он ставит, и от особенностей класса. Если при решении задачи применялся какой – то новый прием поиска решения или составления задачи, то этот прием также выделяется и выясняются возможности его применения, ситуации, в которых можно пытаться его применить. Например, это схемы поиска решения методом синтеза, анализа (восходящего и нисходящего), варианты переформулирования задачи, специфические приемы, вытекающие из конкретных тем. Если рассмотреть различные способы решения одной задачи, то выясняется, откуда появились эти различные способы, что наводит на мысль о возможности других способов решения. Если на основе одной задачм составляются новые задачи, цепочки взаимосвязанных задач, то опять – таки нужно сделать выводы о том, как, на каком основании, из каких соображений возникла мысль о получении новых задач и как новые задачи появились (процесс их составления). Если ключевая задача – задача алгоритмического типа, то работа над ней аналогична технологии работы с учебным алгоритмом. По окончании ее решения необходимо проанализировать основную идею решения, сделать выводы, раскрывающие ориентировочную основу действий или суть нового приема, зафиксировать их каким – либо из возможных способов. Поиск решения либо показывает сам учитель, либо он осуществляется в диалоге учитель – ученик, либо в условиях фронтальной работы под руководством учителя, либо в процессе работы в группах, парах, индивидуально. Предметом усвоения здесь является не сама задача, а общий метод рассуждений, способ решения, либо отдельный прием, использованный в решении. После завершения этапа решения, то есть рефлексивно – оценочной части, в порядке осознания ценностей полученных результатов делаются выводы по задаче.

Требования к программе элективного курса изложены в концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования [11]. Согласно этим требованиям проект элективного курса должен содержать:

1) пояснительную записку, в которой конкретизируются общие цели с учетом специфики учебного предмета, курса;

2) общую характеристику учебного предмета, курса;

3) описание места учебного предмета, курса в учебном плане;

4) описание ценностных ориентиров содержания учебного предмета;

5) личностные, метапредметные и предметные результаты освоения конкретного учебного предмета, курса;

6) содержание учебного предмета, курса;

7) тематическое планирование с определением основных видов учебной деятельности обучающихся;

8) описание материально-технического обеспечения образовательного процесса.

Выводы по главе I

Элективные курсы – обязательные для посещения курсы, которые учащиеся выбирают сами из имеющихся в учебном заведении комплекта и входящие в состав профиля на старшей ступени школы. Эти курсы в профильном обучении направлены как на внутрипрофильную дифференциацию, так и на компенсацию профильной однонаправленности. Они способствуют углублению индивидуализации профильного обучения, расширяют мировоззренческие представления учащихся [11].
Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента образования и выполняют следующие функции:

- дополняют содержание дополнительного курса;

- развивают содержание одного из базовых курсов;

- дополняют разнообразные познавательные интересы школьников, выходящие за рамки выбранного им профиля [11].

3) Поскольку учебные программы по математике явно не предусматривают обучение решению задач с параметрами, а такие задачи часто встречаются в перечне задач ГИА и ЕГЭ, а также на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, то в качестве элективного курса по математике можно предложить курс «Задачи с параметрами».

4) Для успешной реализации элективного курса «Задачи с параметрами», нужно разработать его программу, в соответствии с требованиями, изложенными в концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования.

5) В соответствии с учебными пособиями по математике выделяются различные типы задач с параметрами, которые можно рассмотреть на элективном курсе. Все задания можно разбить по методам их решения.

6) В основу работы с задачами с параметрами положена технология работы с ключевой задачей.

Глава II. Элективный курс «Задачи с параметрами» для учащихся девятого класса: теория и практика.

Эта глава курсовой работы будет посвящена разработке проекта элективного курса «Задачи с параметрами» и проверке его на практике.

2.1. Проект элективного курса.

В соответствии с требованиями к программе элективного курса, которые изложены в концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования, начнем составлять проект с пояснительной записки.

Пояснительная записка.

Задачи с параметрами – это один из самых трудных разделов школьной математики. Учащимся при изучении этого курса предстоит систематизировать все свои умения и навыки, которые они получают, изучая математику.

Решение задач с параметрами развивает мыслительную деятельность учащихся, формирует представления о буквенном выражении чисел и их свойствах, систематизирует и значительно расширяет знания учащихся, полученные в учебной деятельности при изучении свойств уравнений, функций, при выполнении алгебраических преобразований. Открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов, применяемых в исследованиях на любом математическом материале, повышает логическую культуру и технику исследований.

Предлагаемый курс является развитием ранее приобретенных знаний. Он дополняет базовую программу, не разрушая ее целостности, расширяет и углубляет знания учащихся.

Изучение этого курса ставит перед учениками новые проблемы, стимулирует развитие их математической культуры и навыков аналитического мышления, хорошей техники исследования.

Данный курс ориентируется на класс, в котором тема частично изучалась, но разрозненно, поэтому необходима систематизация.

Программа элективного курса разработана в соответствии с идеей реализации методов формирования у учащихся девятых классов умений и навыков решать базовые виды задач с параметрами, а также усвоение дополнительных сведений, идей и подходов в этой области.

В последние годы задачи с параметрами (прежде всего, уравнения и неравенства с одним параметром) постоянно встречаются не только на ГИА и ЕГЭ, но и в контрольных работах в школе. Практика же выпускных экзаменов по математике в форме ГИА и ЕГЭ показывает, что задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу этих экзаменов.

Школьная же программа не предусматривает выработки прочных навыков решения задач, содержащих параметры, и поэтому более глубокое изучение возможно только на внеклассных занятиях.

Цели изучения элективного курса «Задачи с параметрами» для учащихся девятого класса:

- систематизировать знания учащихся о задачах с параметрами;

- формировать умения решать задачи с параметрами, выделение типов и методов решения задач с параметрами, формирование умений, направленных на применение этих методов решения;

- расширить и углубить знания учащихся, развить интерес к предмету и математические способности учащихся;

- воспитать уверенность, трудоспособность, повысить информационную и коммуникативную компетентность учащихся, обеспечить педагогические условия для расцвета личности школьника, его творческого потенциала, развить способность самостоятельно решать учебные задачи и работать с дополнительной литературой, формировать логическое мышление и математическую культуру.

Учебные задачи курса:

В совместной деятельности с учащимися выявить методы решения задач с параметрами, формировать умения, направленные на реализацию этих методов и выработать навыки их решения. Развивать навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта. Формировать у учащихся представления о задачах с параметрами как задачах исследовательского характера. Подготовить учащихся к успешной сдаче ГИА по математике.

Диагностируемые цели:

В результате изучения курса ученик

ЗНАЕТ

- что называется параметром, областью определения параметра;

- что значит «решить задачу с параметром»;

- типы задач с параметрами и методы их решения.

УМЕЕТ

- применять аналитические и графические методы решения задач с параметрами;

- осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновать сделанный выбор;

- решать линейные уравнения, неравенства, содержащие параметры;

- решать неполные квадратные уравнения;

- решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными;

- решать квадратные уравнения и неравенства с применением:

а) основных понятий квадратного трехчлена;

б) теоремы Виета и ей обратной;

в) теорем о распределении корней квадратного трехчлена.

Изучив элективный курс «Задачи с параметрами» учащиеся повысят свой уровень знаний, умений и навыков. Учащиеся, овладевшие тем объемом знаний, умений и навыков, который требуется при их математической подготовке, приобретут умения решать задачи с параметрами на том уровне, который требуется на выпускных экзаменах, что позволит учащимся более успешно сдать выпускные экзамены за курс девятилетней школы (ГИА), точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач с параметрами, правильно пользоваться математической терминологией и символикой; применять рациональные приемы вычислений и тождественных преобразований. Все это позволит учащимся успешно продолжить свое образование по математике.

Изучение задач с параметрами можно начинать с 7 класса при изучении темы «Линейные уравнения». Впервые познакомить учащихся с понятием параметра, рассмотреть простейшие уравнения с параметрами. Во время изучения темы ученика можно познакомить с основными типами задач с параметрами, некоторыми способами решения данных задач. Но в связи с тем, что изучение задач с параметрами на протяжении 7 – 9 классов разрывно, а необходимо проводить непрерывное обучение учащихся по данной теме, то элективный курс «Задачи с параметрами» для учащихся 9 класса предполагается начать с изучения азов данной темы. Изучение темы нужно начать с систематизации темы «Линейные уравнения и неравенства с параметрами».

Исходя из концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования, преподавание данного курса рассчитано в 9 классе в течение всего учебного года 1 раз в неделю.

Показателем эффективности обучения следует считать повышающийся интерес к математике, творческая активность и результативность учащихся. Учащиеся, в процессе решения задач с параметрами, начинают самостоятельно мыслить и рассуждать, развиваются их творческие способности.

Список литературы для учащихся: смотрите список литературы к курсовой работе [1,2,3,5,12,13,16,17,18,19,20].

Список литературы для учителя: смотрите список литературы к курсовой работе [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,29].

Особенность этого курса состоит в том, что в процессе занятий учащиеся повторяют ранее изученное, повышают уровень логической подготовки, исследуют линейные и квадратные многочлены, а также усваивают дополнительные сведения о решении задач с параметрами.

Содержание элективного курса

Весь элективный курс состоит из следующих тем:

Тема 1. Линейные уравнения и неравенства с параметром.

Содержание: На эту тему отводится три урока.

Урок № 1.Тема урока: Вводное занятие. Задачи с параметром.Линейные уравнения и неравенства с параметром.

Тип урока: урок изучения нового.

Учебные задачи: ввести понятия параметр, уравнение и неравенство, содержащее параметр, выделить алгоритм решения линейных уравнений и неравенств с параметром.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- знают, что решение линейного уравнения, содержащего параметр надо начинать с выделения коэффициента перед , рассмотрения случая равенства и неравенства нулю;

- знают схему решения линейных уравнений и неравенств с параметром.

- умеют решать линейные уравнения и неравенства, содержащие параметр.

- понимают, что значит решить задачу с параметром.

Урок № 2, № 3.

Тема уроков: уравнения и неравенства, приводимые к линейным. Решение линейных уравнений с заданными условиями.

Тип уроков: уроки решения задач.

Учебные задачи: выделить способы решения уравнений и неравенств, приводимых к линейным, в том числе с неизвестным и параметром в знаменателе, заданий с начальными условиями.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- знают, что при решении уравнений и неравенств вида , нужно использовать схему для решения линейных уравнений и неравенств с параметром;

- знают схему, для решения линейных уравнений и неравенств с параметром;

- знают, что при решении уравнения типа и аналогичных неравенств нужно сначала провести преобразования;

- имеют представление о решении линейных уравнений и неравенств, а также уравнений и неравенств, сводящихся к ним;

- имеют представление о решении задач с параметрами, которые имеют начальные условия;

Тема 2. Квадратные уравнения с параметром.

Содержание: На изучение этой темы отводится пять уроков.

Урок № 4.

Тема урока: решение неполных квадратных уравнений с параметром.

Тип урока: урок решения ключевых задач.

Учебные задачи: выделить способы решения неполных квадратных уравнений с параметром; показать учащимся применение основных понятий о неполных квадратных уравнениях при решении уравнений с параметром.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- умеют решать неполные квадратные уравнения с параметром;

- имеют представление о существовании разнообразных формулировок к задачам с параметрами.

Урок № 5, 6.

Тема урока: Решение квадратных уравнений с параметром.

Тип урока: уроки решения задач.

Учебная задача: познакомить учащихся с решением квадратных уравнений с параметром; показать учащимся применение основных понятий квадратных уравнений при решении квадратных уравнений с параметрами.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- имеют представление о квадратных уравнений с параметрами;

- применяют знания при решении квадратных уравнений с параметрами.

Урок № 7, 8.

Тема уроков: Применение теоремы Ф. Виета и ей обратной при решении квадратных уравнений с параметром.

Тип урока: уроки решения задач.

Учебная задача: в совместной деятельности с учащимися выявить возможности применения теоремы Ф. Виета и ей обратной при решении задач с параметрами, привить учащимся навыки в решении квадратных уравнений с параметром, а также, с помощью этих теорем, формировать навыки применения теорем в нестандартных ситуациях.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- понимают, что теорему Виета можно использовать при решении квадратных уравнений с параметрами;

- знают методы решения аналогичных заданий;

- умеют выделять класс задач, которые удобно решать с помощью данных теорем;

- умеют осуществлять «перевод» со словесного языка на математический язык;

- применяют методы решения задач.

Урок № 9. Задачи по теме «Квадратные уравнения с параметром».

Урок № 10. Контрольная работа.

Урок № 11. Анализ контрольной работы.

Тема 3. Квадратные неравенства с параметром.

Содержание: На изучение этой темы отводится два урока.

Урок № 12, 13.

Тема урока: решение квадратных неравенств.

Тип урока: урок решения ключевых задач.

Учебные задачи: совместно с учащимися выделить основные виды ключевых задач и методы их решения.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- знают, как решать квадратные неравенства с параметром;

- умеют решать квадратные уравнения с параметром;

- понимают необходимость в изучении данной темы.

Тема 4. Расположение корней квадратного трехчлена.

Содержание: На изучение этой темы отводится два урока.

Урок № 14.

Тема урока: Расположение корней квадратного трехчлена.

Тип урока: урок изучения нового.

Учебные задачи: «Открыть» совместно с учащимися теоремы о распределении корней квадратного трехчлена.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- знают теоремы, о расположении корней квадратного трехчлена;

- знают, как применить полученные знания на практике;

- понимают необходимость при изучении данной темы;

- умеют определять количество корней квадратного трехчлена.

Урок № 15.

Тема урока: Решение задач на применение необходимых и достаточных условий.

Тип урока: урок практикум.

Учебные задачи: формирование умений по решению задач на применение теорем о распределении корней квадратного трехчлена.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- знают, как решать задачи с применением теорем о распределении корней квадратного трехчлена;

- понимают необходимость в решении задач таким способом;

Тема 5. Решение уравнений с параметром и модулем аналитически и графически.

Содержание: На изучении данной темы отводится три урока.

Урок № 16.

Тема урока: решение уравнений с параметром и модулем аналитически.

Тип урока: урок решения ключевых задач.

Учебные задачи: познакомить учащихся с уравнениями, содержащих модуль и параметр; выделить ключевые задачи.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- знают, как решать уравнения, которые содержат и параметр, и модуль;

- умеют решать ключевые задачи данной темы;

- понимают необходимость в изучении темы.

Урок № 17.

Тема урока: решение уравнений с параметром и модулем графически.

Тип урока: урок решения ключевых задач.

Учебные задачи: научить учащихся решать уравнения, которые содержат параметр и модуль графическим способом; выделить ключевые задачи.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- знают суть графического метода;

- знают, как решать такие уравнения графическим методом;

- понимают необходимость в изучении данной темы;

- умеют решать графическим методом уравнения с параметром и модулем.

Урок № 18.

Тема урока: Решение уравнений с параметром и модулем графическим и аналитическим методом.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Учебные задачи: обобщить знания учащихся о двух методах решения задач с параметром.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- знают, как решать задания с параметром аналитическим и графическим методами;

- знают отличие графического метода от аналитического;

- умеют использовать полученные знания на практике;

- понимают необходимость и значимость изучаемой темы.

Тема 6. Системы уравнений с параметром.

Содержание: На изучение этой темы отводится два урока.

Урок № 19.

Тема урока: Системы линейных уравнений, содержащие параметр.

Тип урока: урок решения задач.

Учебные задачи: познакомить учащихся с методом решения систем, содержащих параметр.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- знают метод решения систем, содержащих параметр;

- умеют решать системы линейных уравнений, содержащих параметр;

- понимают необходимость и значимость изучаемой темы.

Урок № 20.

Тема урока: Системы квадратных уравнений, содержащие параметр.

Тип урока: урок решения задач.

Учебные задачи: познакомить учащихся с методом решения систем, содержащих параметр.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- знают метод решения систем, содержащих параметр;

- умеют решать системы квадратных уравнений, содержащих параметр;

- понимают необходимость и значимость изучаемой темы.

Урок № 21.

Тема урока: задачи с параметрами.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по теме «Задачи с параметрами».

Учебные задачи: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Задачи с параметрами».

Требования к знаниям и умениям учащихся:

В результате изучения темы учащиеся:

- знает основные методы и приемы решения задач с параметрами;

- знает решение многих задач;

- умеет находит наиболее эффективный способ для решения определенного вида задачи;

- понимает необходимость и значимость решения таких задач.

Урок № 22.

Тема урока: итоговая контрольная работа.

Тип урока: урок контроля знаний.

Учебные задачи: выявить уровень усвоения изученного материала.

Урок № 23.

Тема урока: анализ контрольной работы и работа над ошибками.

Тип урока: урок консультация.

Учебные задачи: корректировать знания и умения школьников по теме.

Учебно - тематическое планирование.

Тема урока

Задачи, решаемые в классе

Задачи, решаемые дома

Количество часов

Линейные уравнения и неравенства с параметром.

Урок № 1. Вводное занятие. Задачи с параметром.Линейные уравнения и неравенства с параметром.

Урок № 2, № 3. Уравнения и неравенства, приводимые к линейным. Решение линейных уравнений с заданными условиями

№1, №2, №3, №6, №7, №8, №11, №12, №13

№4, №5, №9, №10, №14, №15

Квадратные уравнения с параметром.

Урок № 4.Решение неполных квадратных уравнений с параметром.

Урок № 5, 6.Решение квадратных уравнений с параметром.

Урок № 7, 8. Применение теоремы Ф. Виета и ей обратной при решении квадратных уравнений с параметром.

Урок № 9. Задачи по теме «Квадратные уравнения с параметром».

Урок № 10. Контрольная работа

Урок № 11. Анализ контрольной работы.

№16, №17, №18, №19, №20, №21, №22, №23, №24, №25,

№ 29 - №36

№26, №27, №28

Квадратные неравенства с параметром

Урок № 12, 13. Решение квадратных неравенств с параметром.

№58 № 59, №60, №61

№ 62, №63,

Расположение корней квадратного трехчлена.

Урок № 14.Расположение корней квадратного трехчлена.

Урок № 15.Решение задач на применение необходимых и достаточных условий.

№37, №38,

№ 40 - №42

№39

Решение уравнений с параметром и модулем аналитически и графически.

Урок № 16. Решение уравнений с параметром и модулем аналитически.

Урок № 17. Решение уравнений с параметром и модулем графически.

Урок № 18. Решение уравнений с параметром и модулем графическим и аналитическим методом.

№43, № 44, № 45 №46,

№47,

Системы уравнений с параметром.

Урок № 19. Системы линейных уравнений, содержащие параметр.

Урок № 20. Системы квадратных уравнений, содержащие параметр.

№48, № 49, № 50, № 51, № 52, № 53

№54, №55, №56, №57

Урок № 21. Задачи с параметрами

Урок № 22. Итоговая контрольная работа.

Урок № 23. Анализ контрольной работы и работа над ошибками.

Методические рекомендации к обучению решения задач с параметрами.

Начинать решение задач с параметром нужно от «простого к сложному». При реализации темы «Квадратные уравнения с параметром» целесообразно подробно разобрать каждый случай ().
Линейные и квадратные неравенства с параметром решаются по аналогии с линейными и квадратными уравнениями с параметром. Поэтому целесообразно сначало показать учащимся схему решения таких уравнений, а затем по аналогии записать схему решения неравенств с параметром, уточнив при этом сходства и различия.
Целесообразно начинать разбирать новый для ребят материал с решения «похожих» примеров, но только без параметра.
Для мотивации учащимся необходимо приводить исторический материал (например о Ф. Виете), а также привлекать их решать более сложные задачи как в классе, так и дома.
После каждой изученной темы необходимо учащимся давать самостоятельные и контрольные работы для закрепления изученного материала и для проверки учителем степени освоенности нового материала.
При построении уроков изучения нового необходимо использовать технологию работы с ключевой задачей.

2.2. Из опыта проведения элективного курса «Задачи с параметрами» в девятом классе.

Проекты занятий по курсу не могут быть однозначными. Элективный курс определяется не только результатами анализа учебного материала, но и особенностями класса, учащихся и индивидуальностью учителя.

Цели и содержание опытной проверки.

Опыт проводился в средней образовательной школе № 105 г. Н. Новгорода. Время проведения - февраль – март 2011 – 2012 учебного года. В качестве экспериментального класса был выбран 9 «А» класс. Данный класс является общеобразовательным классом, учитель математики Наталья Матвеевна Миркина. В данном классе обучаются 28 человек: 14 девочек и 14 мальчиков. У учащихся разная успеваемость: трое из них имеют оценку «отлично»; четверо – «хорошо», а остальные ребята имеют оценку «удовлетворительно». Данный элективный курс был разработан и проведен для учеников, которые по математике имеют оценку «отлично» и «хорошо».

Прежде чем разработать элективный курс «Задачи с параметрами» мы попытались выяснить, на каком уровне представлены знания у учащихся по данной теме. С этой целью была проведена беседа с учителем. Её цель – выяснить на каком уровне учащиеся имеют представление о задачах с параметрами и с чего необходимо начинать данный курс. В результате беседы было выяснено, что не все учащиеся владеют основными понятиями об уравнениях и неравенствах с параметром. Изучение было разрозненным, поэтому необходима систематизация знаний и формирование необходимых понятий.

Опытная работа состояла из следующих этапов:

I. Этап. Беседа с учителем. Входная диагностика.

II. Этап. Проведение уроков. Проверка результатов работы.

Нами было проведено 8 первых занятий и контрольная работа.

Приведем планы этих занятий.

Урок № 1.

Тема урока: Вводное занятие. Задачи с параметром. Первое знакомство.

Линейные уравнения и неравенства с параметром.

Тип урока: урок изучения нового.

Учебная задача: ввести понятия параметра, уравнения и неравенства, содержащих параметр. Выделить схему решения линейных уравнений, неравенств с параметром.

В результате изучения темы учащиеся:

- знают схему решения линейных уравнений и неравенств с параметром.

- умеют решать линейные уравнения и неравенства, содержащие параметр.

- понимают, что значит решить задачу с параметром.

Форма работы – фронтальная

Структура урока:

I. Мотивационно – ориентировочный этап.

Актуализация:

На этом подэтапе с учениками повторяются понятия: уравнение, неравенство, корень уравнения, решение неравенства; а также, что значит решить уравнение, свойства уравнений и неравенств.

Проблемная ситуация: появление уравнения и неравенства .

Мотивация: ученикам нужно сказать, что это важная и нужная тема, но она мало освещена в учебниках, но на выпускных и вступительных экзаменах задачи этой темы присутствуют часто. Формулирование темы и цели занятия.

II. Содержательный этап.

На этом этапе вводится понятие уравнения и неравенства с параметром, а также, что значит решить уравнение (неравенство) с параметром.

Решается уравнение и неравенство .

Обобщение новых для учащихся знаний. Совместное выделение с учащимися схемы решения линейных уравнений и неравенств с параметром. Сравнение схем. Решение неравенства .

III. Рефлексивно – оценочный этап.

Рефлексия учениками своих действий и самооценка. Подведение итогов и постановка домашнего задания.

Уроки № 2, № 3.

Тема уроков: Уравнения и неравенства, приводимые к линейным. Решение линейных уравнений с заданными условиями.

Тип уроков: уроки решения задач.

Учебная задача: в совместной деятельности с учащимися выделить способы решения уравнений и неравенств, приводимых к линейным, в том числе с неизвестным и параметром в знаменателе, заданий с начальными условиями.

В результате изучения темы учащиеся:

- знают, что при решении уравнений и неравенств вида нужно использовать схему для решения линейных уравнений и неравенств с параметром;

- знают схему для решения линейных уравнений и неравенств с параметром;

- знают, что при решении уравнения типа и аналогичных неравенств нужно сначала провести преобразования;

- имеют представление о решении задач с параметрами, которые имеют начальные условия;

Форма работы: фронтальная.

Структура урока:

I. Мотивационно – ориентировочный этап.

Проверка домашнего задания Актуализация схемы решения линейных уравнений и неравенств. Постановка темы и цели занятия.

II. Содержательный этап.

Решение уравнений, которые содержат следующую формулировку: Найти значения параметра , при которых корень уравнения а) равен б) больше .

Решение неравенства вида: . Обобщение решений.

Решение уравнения и неравенства .

III. Рефлексивно – оценочный этап.

Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Урок № 4.

Тема урока: Решение неполных квадратных уравнений с параметром.

Тип урока: урок решения ключевых задач

Учебная задача: в совместной деятельности с учащимися выделить способы решения неполных квадратных уравнений с параметром.

В результате изучения темы учащиеся:

- умеют решать неполные квадратные уравнения с параметром;

- имеют представление о существовании разнообразных формулировок к задачам с параметрами.

Форма работы: фронтальная.

Структура урока:

I. Мотивационно – ориентировочный этап.

На этом этапе происходит повторение знаний о квадратном уравнении и неполном квадратном уравнении: их определения, виды неполных квадратных уравнений и решения в каждом случае. Постановка темы и цели урока.

II. Содержательный этап.

Решение уравнений вида: и . Также рассматриваются различные уравнения с заданными условиями: найти значение параметра, при котором только один (оба) корень(я) равен(ы) нулю; найти значения параметра, при каждом из которых корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку.

III. Рефлексивно – оценочный этап.

Формулировка схемы решения задач с неполными квадратными уравнениями с некоторыми требованиями.

1) Записать в общем виде неполное квадратное уравнение, корни которого удовлетворяют заданному требованию;

2) Наложить условия на параметры в соответствии с видом уравнения;

3) Решить полученное уравнение относительно параметра.

Постановка домашнего задания: придумать и попытаться решить три задания с параметрами, при решении которых использовался теоретический материал о неполных квадратных уравнениях.

Уроки № 5, № 6.

Тема урока: Решение квадратных уравнений с параметром.

Тип урока: уроки решения задач.

В результате изучения темы учащиеся:

- имеют представление о квадратных уравнений с параметрами;

- применяют знания при решении квадратных уравнений с параметрами.

Форма работы: фронтальная.

Структура урока:

I. Мотивационно – ориентировочный этап.

На этапе актуализации повторяются следующие понятия: полное квадратное уравнение; что значит решить квадратное уравнение; формулы дискриминанта корней квадратного уравнения; зависимость корней квадратного уравнения от знака дискриминанта.

II. Содержательный этап.

Задание № 1.

Линейным или квадратным является уравнение

относительно при

а) , б) , в) , г) ?

Задание № 2.

При каких значениях параметра уравнение является:

а) квадратным;

б) неполным квадратным;

в) линейным?

Задание № 3.

Решите уравнение

План решения задач данного типа:

1) Нахождение корней квадратного уравнения по общей формуле.

2) Извлечение арифметического корня из дискриминанта независимо от того, какое выражение имеет дискриминант.

Задание № 4.

При каких значениях параметра уравнение а) имеет действительные различные корни; б) не имеет действительных корней; в) имеет один корень?

Схема решения такого типа задач заключается в выполнении одного действия: наложения условия на дискриминант в зависимости от требований задачи.

Задание № 5.

При каком значении параметра уравнение имеет один корень?

План решения задач данного типа:

1) Если старший коэффициент зависит от параметра, то, во – первых, приравниваем его к нулю, а, во – вторых, находим единственный корень при найденном значении.

2) Из условия находим значения параметра и подставляем их в данное уравнение, чтобы найти единственный корень, соответствующий значению параметра.

Задание № 6.

Решить уравнение: .

III. Рефлексивно – оценочный этап.

Подведение итогов урока и выдача домашнего задания.

Уроки № 7, № 8.

Тема уроков: Применение теоремы Ф. Виета и ей обратной при решении квадратных уравнений с параметром.

Тип урока: уроки решения задач.

В результате изучения темы учащиеся:

- понимают, что теорему Виета можно использовать при решении квадратных уравнений с параметрами;

- знают методы решения аналогичных заданий;

- умеют выделять класс задач, которые удобно решать с помощью данных теорем;

- умеют осуществлять «перевод» со словесного языка на математический язык;

- применяют методы решения задач.

Форма работы: фронтальная.

Структура урока:

I. Мотивационно – ориентировочный этап.

Актуализация: повторение теоремы Ф. Виета и ей обратной, решение задач на применение этих теорем (фронтальный опрос).

№ 1. Не решая уравнения, определите знаки его корней

;

№ 2. Не используя формулу найти корни квадратного уравнения

;

№ 3. Составьте квадратное уравнение с заданными корнями :

Постановка с учащимися темы и цели урока.

II. Содержательный этап.

Работа по группам, по карточкам или решение ключевых задач данной темы. Доклад о Франсуа Виете. Решение заданий и выделение этапов решения задач.

III. Рефлексивно – оценочный этап.

Подведение итогов и постановка домашнего задания.

Урок № 9.

Контрольная работа.

Ниже представлены конспекты уроков: № 1, № 5.

Урок № 1. Вводный урок. Задачи с параметром. Первое знакомство. Линейные уравнения и неравенства с параметром.

Ход урока.

Мотивационно – ориентировочный этап.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь. Открывайте тетради, запишите число, классная работа. Начинаем работу: выполняем задания № 1-2 с доски.

Записи на доске:

Задание №1. Решите уравнение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задание №2. Решите неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

(Ребята решают самостоятельно – на каждое задание по 30 сек.).

Учитель: Что же называется уравнением?

Ученики: Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называют уравнением.

Учитель: Что называют корнем уравнения?

Ученики: Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное числовое равенство.

Учитель: Что значит решить уравнение?

Ученики: Это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Учитель: что же называется линейным неравенством с неизвестным?

Ученики: Неравенства , в которых и – заданные числа, а – неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным.

Учитель: Что называется решением неравенства с неизвестным?

Ученики: Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Учитель: что значит решить неравенство?

Ученики: Это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Учитель: Какими свойствами уравнений (неравенств) вы пользовались при решении?

Ученики: при решении уравнений пользовались следующими свойствами:

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположенный.
Обе части уравнения можно разделить или умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

При решении неравенств пользовались следующими свойствами:

Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемое с противоположенным знаком, то получится равносильное неравенство.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства сменится на противоположенный.

Учитель: Молодцы! Но иногда в уравнениях и неравенствах некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, то есть одно уравнение (неравенство) с параметрами задает множество уравнений (неравенств) (для всех значений параметров).

Назовите в заданиях 1 и 2 параметр под буквами г).

Ученики: и .

(объяснение нового материала сопровождается презентацией)

Учитель: Правильно! Параметр обозначается любой буквой латинского алфавита, обычно первыми буквами: , а неизвестные – буквами .

Уравнение (неравенство), содержащее параметр называется уравнением (неравенством) с параметром. Сегодня мы начнем изучать тему: «Задачи с параметрами». Решение уравнений, неравенств, систем, содержащих параметр – один из труднейших разделов математики. Очень часто такие задачи встречаются на вступительных экзаменах по математике, а также на ГИА. Но в учебниках такие задачи не выделены в отдельную тему. Поэтому учиться решать задачи с параметрами мы будем на элективном курсе. Ребята, как вы думаете, с каких уравнений и неравенств мы начнем изучение данного курса? Посмотрите на задания № 1 и № 2, какие уравнения и неравенства представлены в них?

Ученики: линейные.

Учитель: Молодцы! И какая будет цель нашего урока?

Ученики: Научиться решать линейные уравнения и неравенства, содержащие параметр.

Учитель: Запишите тему урока: Линейные уравнения и неравенства с параметром.

Учитель: В уравнении или неравенстве может быть один, два, три параметра и даже больше. Например, , Но мы с вами в основном будем рассматривать уравнения и неравенства с одним параметром. Записываем в тетрадь.

Записи в тетради: Линейные уравнения и неравенства с параметром.

Если дано уравнение , которое надо решить относительно переменной , и в котором буквой обозначено произвольное число, то говорят, что задано уравнение с параметром.

– уравнение с параметром ( – действительное число, - переменная).

Если (), то это неравенство с одной переменной и одним параметром .

Решить уравнение с параметром – значит найти его корни при всех значениях параметра.

Учитель: Перебрать все значения параметра мы не можем, обычно множество значений параметра разбивают на подмножества и решают уравнение (неравенства) для значений параметра из этих подмножеств. Теперь перейдем к рассмотрению примеров.

Операционно – познавательный этап

Запись на доске:

Задание: Решить уравнение

Учитель: Это линейное уравнение с параметром. Назовите в нем параметр и неизвестную величину.

Ученики: параметр - , неизвестная величина –

Учитель: решение линейного уравнения с параметром с нахождения область допустимых значений параметра и неизвестной величины. Какова область допустимых значений параметра и переменной в уравнении?.

Ученики: Переменная и параметр – любые действительные числа.

Учитель: Посмотрите внимательно на уравнение. Чтобы его решить, нужно обе части уравнения разделить на коэффициент перед , то есть на . Но, как мы знаем, делить ну ноль нельзя. Поэтому нам нужно рассмотреть случаи, когда и . При каких значениях параметра коэффициент перед равен нулю?

Ученики: , то есть .

Учитель: Такие значения параметра называют контрольными значениями параметра (КЗП).Учитывая ОДЗ и КЗП нужно рассмотреть три случая:

1) . Подставим это значение в уравнение, тогда оно примет вид: , . Какой вывод можно сделать о переменной

Ученики: – любое число.

2) . , . Какой вывод?

Ученики: уравнение не имеет решений.

3) . Тогда, в силу того, что коэффициент перед не обращается в ноль, то разделим на него левую и правую части уравнения. В результате получим: .

Учитель: теперь важно правильно записать ответ. Как звучит задание?

Ученики: решить уравнение.

Учитель: а что значит решить уравнение с параметром?

Ученики: найти его корни при всех значениях параметра.

Учитель: записываем ответ: если – любое действительное число; если , то уравнение не имеет решений; если , то .

Учитель: теперь решаем неравенство с параметром . Так же как при решении линейного уравнения с параметром мы находим область допустимых значений параметра и неизвестной величины. Какова она будет?

Ученики: Переменная и параметр – любые действительные числа.

Учитель: Молодцы! Но, в отличие от решения линейных уравнений с параметром, при решении линейного неравенства с параметром нужно учитывать то, что при делении на отрицательное число изменяется знак неравенства. Значит, нам нужно найти КЗП, и отметить их на числовой прямой. Также на числовой прямой отмечается ОДЗ параметра.

Ученики: КЗП - , то есть . Так как ОДЗ – любое действительное число, то на числовой прямой отмечается

Учитель: Теперь определимся со знаком неравенства на каждом промежутке. Для этого возьмем, например, и подставим в исходное уравнение. Что получим?

Ученики: .

Учитель: Молодцы! Чередуем знаки, и получаем, что нам надо рассмотреть наше неравенство на трех промежутках. Возьмем, для начала промежутке, где неравенство принимает положительные значения: и – значит, при делении на это число знак неравенства не изменится, получим: .

Теперь рассмотрим следующий промежуток: . Выражение

, значит .

Нам осталось посмотреть, что будем при ?

Ученики: Подставляем в исходное уравнение, получаем , – неверно, значит решений нет.

Учитель: А что будет, если ?

Ученики: , – неверно, значит решений нет.

Учитель: Теперь нужно правильно записать ответ.

Ученики: при , то решений нет; если или , то ; если , то .

Запись в тетрадях:

Решить

уравнение

ОДЗ: .

КЗП - , 1

Возможны три случая:

1. , , , значит, – любое действительное число.

2. , , . Получаем, что уравнение не имеет решений.

3. . .

Ответ: если – любое действительное число; если ,то уравнение не имеет решений; если , то .

неравенство

ОДЗ: .

, 1

Возможны случаи:

1. если или – значит при делении на это число знак неравенства не изменится, получим: .

2. Если . Выражение

, значит .

3. а) , то , – неверно, значит решений нет.

б) , то , – неверно, значит решений нет.

Ответ: при – решений нет; если или , то ; если , то .

Учитель: итак, мы с вами решили линейное уравнение и линейное неравенство с параметром. Теперь давайте обобщим наши знания и постараемся составить схему решения линейных уравнений и неравенств с параметром. Каков был первый этап при решении линейного уравнения с параметром? (записи дети ведут в таблице – см. приложение 1)

Ученики: находили область допустимых значений переменной x и параметра в данном уравнении.

Учитель: а при решении линейного неравенства с параметром?

Ученики: также находили область допустимых значений переменной x и параметра в данном неравенстве.

Учитель: верно, поэтому первый шаг будет общий – найти область допустимых значений переменной и параметра.

Учитель: Что вторым шагом делали при решении уравнения?

Ученики: находили контрольные значения параметра.

Учитель: а при решении неравенства?

Ученики: также находили контрольные значения параметра.

Учитель: значит, второй шаг решения у них общий. А вот что мы делали третьим шагом при решении неравенства?

Ученики: берем найденные значения параметра, отмечаем их на оси, и определяемся со знаком.

Учитель: вот именно в этом состоит отличие в решении линейного неравенства с параметром от решения линейного уравнения с параметром. Следующий шаг общий – решаем уравнение (неравенство) при каждом контрольном значении параметра и при значениях, отличных от контрольных. И какой последний шаг, как при решении уравнений, так и при решении неравенств?

Ученики: записываем ответ.

Учитель: правильно! Но помимо простых линейных уравнений и неравенств существуют еще линейные уравнения и неравенства, приводимые к линейным. Неравенства решаются сложнее, чем уравнения – поэтому рассмотрим, например, неравенство .

(учитель решает сам, а дети фиксируют решение в тетрадях).

Учитель: мы с вами познакомились с решением неравенств вида, например, . Но перед нами более сложное неравенство, поэтому наша цель привести данное неравенство к виду , то есть надо выделить коэффициент перед неизвестным. Как будем преобразовывать?

Ученики: перенесем известные в одну часть, а неизвестные в другую, и получим: . Вынесем коэффициент перед , получим - .

Учитель: Молодцы! Теперь решаем данное неравенство, следуя схеме. Находим ОДЗ.

ОДЗ: , .

Теперь находим КЗП: , то есть . Отмечаем ОДЗ и КПЗ на числовой прямой:

Теперь определимся со знаками. Возьмем, например, . Подставляя в неравенство , получим следующую расстановку знаков:

Теперь рассмотрим следующие случаи:

1) и , то .

2) Если , то .

3) Если , то , то решений нет.

Теперь запишем ответ: при и при ; при ; при решений нет; при неравенство не существует.

Рефлексивно – оценочный этап

Учитель: Что нового вы для себя узнали сегодня на уроке?

Ученики: как решать линейные уравнения и неравенства с параметром.

Учитель: вспомним схему решения линейного уравнения с параметром.

Ученики:

1. находим ОДЗ

2. находим контрольные значения параметра

3. Решаем уравнение при каждом контрольном значении параметра и при значениях, отличных от контрольных.

4. записываем ответ.

Учитель: неравенства?

Ученики:

1. находим ОДЗ

2. находим контрольные значения параметра

3. отмечаем найденные значения параметра на оси и определяемся со знаком.

4. рассматриваем все случаи, подставляя найденные значения параметра в исходное уравнение.

5. записываем ответ.

Учитель: есть отличия при решении линейного уравнения с параметром и решении линейного неравенства с параметром?

Ученики: есть. Они состоят в том, что когда решаем неравенство знак его может поменяться – поэтому нужно убедиться, каким будет выражение, на которое происходит деление.

Учитель: записываем домашнее задание:

1) следуя схеме решения линейных уравнений с параметром, решить уравнение: .

2) следуя схеме решения линейных неравенств с параметром, решить неравенство: .

Урок № 5. Решение квадратных уравнений с параметром.

Ход урока.

Мотивационно – ориентировочный этап.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь. Открывайте тетради, запишите число, классная работа. Внимательно посмотрите на доску: как называются все эти уравнения?

Запись на доске:

Ученики: это квадратные уравнения.

Учитель: правильно. Назовите среди них полные квадратные уравнения.

Ученики: , , .

Учитель: Молодцы! Давайте вспомним, какие квадратные уравнения называются полными квадратными уравнениями.

Ученики: Если в квадратном уравнении второй коэффициент и свободный член не равны нулю, то такое уравнение называют полным квадратным уравнением.

Учитель: как в общем виде выглядят такие уравнения?

Ученики: - квадратное уравнение относительно переменной .

Учитель: что значит решить уравнение?

Ученики: найти его корни или установить, что их нет.

Учитель: верно. Дано полное квадратное уравнение . Как его будем решать?

Ученики: находить дискриминант.

Учитель: по какой формуле?

Ученики: .

Учитель: как зависит количество корней уравнения от знака дискриминанта?

Ученики: если , то квадратное уравнение имеет два корня; если , то квадратное уравнение имеет два совпавших корня;

если , то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Учитель: по какой формуле вычисляются корни квадратного уравнения?

Ученики: .

Учитель: Итак, мы вспомнили, как решаются квадратные уравнения. А что будет, если помимо неизвестного в уравнении появится параметр?

Ученики: будет квадратное уравнение с параметром.

Учитель: правильно. И какая цель нашего урока?

Ученики: научится решать квадратные уравнения с параметром.

Учитель: Записываем тему нашего урока: «Полные квадратные уравнения с параметром».

Операционно – познавательный этап

Учитель: выполняем письменно задание № 1 с доски. Линейным или квадратным является уравнение относительно при а) , б) , в) , г) ?

(одного ученика вызывает учитель к доске)

Ученики: при уравнение будет выглядеть следующим образом: , то есть – это квадратное уравнение.

При уравнение будет выглядеть следующим образом: – линейное уравнение с параметром.

При уравнение будет выглядеть следующим образом: – неполное квадратное уравнение.

При уравнение будет выглядеть следующим образом: – линейное уравнение с параметром.

Учитель: выполняем задание № 2 с доски: При каких значениях параметра уравнение является:

а) квадратным;

б) неполным квадратным;

в) линейным?

(ученики выполняют самостоятельно, а затем идет общее обсуждение).

Записи в тетрадях: при уравнение является линейным (, то уравнение преобразуется в следующее: ); при уравнение будет неполным квадратным (); при уравнение будет квадратным ().

Учитель: следующее задание: решите уравнение . Итак, начнем. Это квадратное уравнение с параметром. Назовите параметр и неизвестную переменную.

Ученики: параметр - , неизвестная переменная - .

Учитель: с чего начнем решение данного уравнения?

Ученики: с нахождения дискриминанта.

Учитель: правильно, находим.

Ученики: .

Учитель: какой по знаку дискриминант?

Ученики: получили неотрицательный дискриминант.

Учитель: Значит, какие 2 случая нам нужно рассмотреть?

Ученики: Рассмотрим следующие случаи: и .

Учитель: правильно.

Ученики:

если , то есть , b=0, то ;

если , то есть , то , .

Учитель: как будет звучать ответ?

Ученики: если b=0, то ; если , то , .

Записи в тетрадях: Решите уравнение .

Решение:

1) – квадратное уравнение относительно .

3) если , то есть , b=0, то ;

если , то есть , то , .

Ответ: если b=0, то ; если , то , .

Учитель: давайте составим план решения квадратных уравнений с параметром такого вида.

Записи в тетрадях: 1) находим дискриминант;

2) исследуем дискриминант – делаем вывод о количестве корней;

3) в зависимости от дискриминанта находим корни квадратного уравнения.

Учитель: решить уравнение: .. Чем это уравнение отличается от предыдущего?

Ученики: есть коэффициент перед .

Учитель: правильно. Чтобы решить уравнение, в котором при старшим коэффициентом стоит параметр, то нужно рассмотреть два случая:

а) если , и – его корень.

б) если , то находим дискриминант квадратного уравнения: .Далее решаем по нашему плану.

Возможны два случая:

1) , то есть , , , то имеем уравнение

и – его корень.

2) , то есть , , , то

Учитель: как запишем ответ?

Ученики: если ; если , то и .

Учитель: молодцы!

Рефлексивно – оценочный этап

Учитель: Какая была цель нашего урока?

Ученики: научится решать квадратные уравнения, содержащие параметр.

Учитель: выполнили мы ее?

Ученики: Да.

Учитель: вспомним план решения квадратного уравнения с параметром.

Ученики: 1) находим дискриминант;

2) исследуем дискриминант – делаем вывод о количестве корней;

3) в зависимости от дискриминанта находим корни квадратного уравнения.

Учитель: записываем домашнее задание: Решить уравнение:

1) ;

2) .

Выводы по главе II

1) Согласно требованиям к программе элективного курса, которые изложены в концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования разработан проект элективного курса «Задачи с параметрами». Он включает в себя пояснительную записку, в которой прописываются цели изучения данного элективного курса, также прописываются темы, которые содержит данный элективный курс. В пояснительной записке представлено примерное учебно – тематическое планирование, а также даны методические рекомендации к реализации элективного курса.

2) Основная цель изучения темы «Задачи с параметрами» - это познакомить учащихся с решением основных типов задач с параметрами. В связи с этим предлагается проведение элективного курса для 9 класса. Изучение темы повышает уровень знаний, умений и навыков по теме «Задачи с параметрами», возможно это позволит более успешной сдаче ГИА.

3) Проект элективного курса был опробован на практике, которая показала, что детям интересно решать задачи с параметрами, у них возрос интерес к математике, и даже, у некоторых учеников, повысилась успеваемость по предмету.

Заключение

Задачи с параметрами представляют существенную и важную часть содержания современного школьного математического образования. Они играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. В школьных учебниках практически отсутствуют задачи с параметрами. В программе по математике про задачи с параметрами ничего не сказано, а для школ (классов) с углубленным изучением математики есть требование: учащиеся должны решать уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным или квадратным. Материалы единого государственного экзамена, конкурсные задания в вузы часто содержат уравнения и неравенства, содержащие параметры, методы решения которых не рассматриваются в основном курсе обучения математике. Типов задач с параметрами огромное множество, и выпускник средней школы должен владеть методом решения хотя бы некоторых из них. Во многих школьных учебниках по алгебре задачи с параметрами представлены разрозненно, нет теории по решении таких задач. Поэтому необходимо выделить основные типы задач с параметрами и методы их решения. После изучения многой методической и математической литературы все задачи с параметрами можно разбить на обширные темы, которые будут изучать девятиклассники. При изучении нового материала необходимо использовать технологию работы с ключевой задачей. На основании решения ключевых задач определенных тем вырабатывается определенный алгоритм, который позволяет ученикам средней школы систематизировать свои знания и облегчает процесс решения задач с параметрами. Некоторые занятия элективного курса проводились на практике. Практика показала, что у детей возрастает интерес не только к решению разнообразных задач с параметрами, но и к самому предмету математика.

Такой элективный курс необходим школьникам не только для подготовки к сдаче ГИА, но и для дальнейшего изучения математики. Учитель должен правильно построить этот курс, учитывая возрастные и интеллектуальные способности учащихся.

Приложение к урокам

Схемы решения линейных уравнений и неравенств с параметром (пустая таблица)

Уравнение

неравенство

1. Находим ОДЗ неизвестного и параметра.

2. Находим значения параметра, при которых коэффициент при x равен нулю – контрольные значения.

Решаем уравнение (неравенство)

5. Записываем ответ

Схемы решения линейных уравнений и неравенств с параметром (заполненная таблица)

Уравнение

неравенство

1. Находим ОДЗ неизвестного и параметра.

2. Находим значения параметра, при которых коэффициент при x равен нулю – контрольные значения.

3. Отмечаем найденные значения параметра на оси и определяем знак коэффициента на каждом из промежутков.

Решаем уравнение (неравенство) при каждом контрольном значении параметра и при значениях, отличных от контрольных.

5. Записываем ответ

Приложение

Задания для проведения классной и домашней работы взяты из учебника Виленкина Н. Я.[1], и учебного пособия Галицкого М. Л.[5].

Тема 1. Линейные уравнения и неравенства с параметром [1].

№1: Решите уравнение относительно ;

№2:Решите неравенство относительно ;

№3: Решите неравенство относительно ;

№4: Решите уравнение относительно

№5: Решите неравенство относительно

№6: Решите уравнение относительно , при всех допустимых значениях параметра

№7: Решите неравенство относительно , при всех допустимых значениях параметра

№8: Решите неравенство относительно , при всех допустимых значениях параметра

№9: Решите уравнение относительно , при всех допустимых значениях параметра

№10: Решите неравенство относительно , при всех допустимых значениях параметра

№11: Решите неравенство относительно

№12: Решите уравнение относительно

№13: Решите неравенство относительно , при всех допустимых значениях параметра

№14: Решите уравнение относительно , при всех допустимых значениях параметра

№ 15: Решите неравенство относительно , при всех допустимых значениях параметра

№ 16: Решите уравнение

№ 17: При каких значениях ровно один из корней уравнения равен нулю: ?

№ 18: Решите уравнение

№ 19: Решите уравнение:

№ 20: При каких значениях параметра уравнение :

а) имеет различные действительные корни;

б) имеет один корень;

в) не имеет действительных корней.

№ 21: При каких значениях параметра один из корней уравнения равен удвоенному другому?

№ 22: При каких значениях произведение корней уравнения

равно нулю?

№ 23: В уравнении сумма квадратов корней равна 16. Найти .

№ 24: При каких значениях параметра один из корней квадратного уравнения в два раза больше другого?

№ 25: Известно, что корни уравнения на один меньше корней уравнения . Найти и корни каждого из уравнений.

№ 26: При каких значениях корни равны по модулю, но противоположны по знаку: 2?

№ 27: Решите уравнение

№ 28: Решите уравнение

№ 29 - № 30: При каких значениях параметра уравнение :

1) имеет один из корней равный 3;

2) имеет действительные различные корни;

3) имеет один корень;

4) не имеет действительных корней.

№ 31: При каких значениях корни равны по модулю, но противоположны по знаку

№ 32: Решите уравнение

№ 33: Найти сумму квадратов всех корней уравнения

№ 37: При каких значениях корни уравнения меньше, чем 3?

№ 38: При каких значениях уравнение имеет два различных действительных положительных корня?

№ 39: При каких значениях корни уравнения имеет два различных действительных положительных корня?

№ 40: Найти все значения параметра , при которых корни уравнения больше, чем 1.

№ 41: Найти все значения параметра , при которых корни уравнения меньше, чем 1.

№ 42: При каких значениях один из корней уравнения меньше 1, а другой больше 1?

№ 43: Определить количество корней уравнения графическим методом.

№ 44: При каких значениях параметра уравнение имеет три решения?

№ 45: Определить количество корней уравнения аналитическим методом.

№ 48:При каком значении система уравнений имеет бесконечное множество решений? Не имеет решений?

№ 49: При каждом значении параметра решите систему

№ 50: При каждом значении параметра решите систему

№ 51: При каждом значении параметра решите систему

№ 52: При каком значении система уравнений имеет бесконечное множество решений? Не имеет решений?

№ 53: При каждом значении параметра решите систему

№ 54: При каждом значении параметра решите систему

№ 55: При каждом значении параметра решите систему

№ 56: При каждом значении параметра решите систему

№ 57: При каждом значении параметра решите систему

№ 58: Для каждого значения параметра решите неравенство .

№ 59: При каком значении параметра неравенства равносильны: и .

№ 60: Решите неравенство , если известно, что .

№ 61: При каких значениях параметра любое решение неравенства

являются одновременно решениями неравенства ?

№ 62: При каких значениях параметра неравенство не имеет решений?

№ 63: При каких значениях параметра любое решение неравенства

являются одновременно решениями неравенства ?

Список литературы

1. Виленкин Н. Я., Сурвилло Г. С., Симонов А. С. Алгебра для 8 класса: учебник для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/ Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов. - М.: Просвещение, 2001.

2. Виленкин Н. Я., Сурвилло Г. С., Симонов А. С. Алгебра и математический анализ для 11 класса: учебник для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/ Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов. - М.: Просвещение, 2001.

3. Виленкин Н. Я., Сурвилло Г. С., Симонов А. С. Алгебра для 9 класса: учебник для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/ Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов. - М.: Просвещение, 2001.

4. Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике/ В. И. Голубев.-М.: Просвещение, 2007.

5. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре: учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики/ М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – М.: Просвещение, 2001.

6. Горбачев В. И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами не выше второй степени // Математика в школе. – 1999. - №6; 2000. - №2.

7. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами – М.: - Харьков: Илекса, Гимназия, 2002.

Ермаков Д. С., Рыбкина Т. И. Элективные курсы: требования к разработке и оценка результатов обучения// Профильная школа. – 2004-№3.
Звавич Л. И. Элективные курсы образовательной области «Математика»// Профильная школа. – 2004, №5.
Иванова Т. А., Перевощикова Е. Н., Кузнецова Л. И., Григорьева Т. П. Теория и технология обучения математике в средней школе: Учеб. Пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов / Под. Ред. Т. А. Ивановой. Н. Новгород: НГПУ, 2009.
Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. – М., 2002.
Крамор В. С. Задачи с параметрами и методы их решения: учебное пособие/ В. С. Крамор.- М.: Оникс; Мир и Образование, 2007.

13. Макарычев Ю. Н. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений/ Ю. Н. Макарычев.-М.: Просвещение, 1999.

14. Мирошин В. В. Решение задач с параметрами. Теория и практика/ В. В. Мирошин.- М.: Экзамен, 2009.

15. Моденов П. С., Новоселов С. И. Математика: пособие для поступающих в Вузы/ П. С. Моденов, С. И. Новоселов.- М.: МГУ, 1966.

16. Мордкович А. Г. Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учереждений/ А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2006.

17. Мордкович А. Г. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных учереждений/ А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2006.

18. Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е. Алгебра 8 класс: Задачник для общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская. – М.: Мнемозина, 2006.

19. Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е. Алгебра 9 класс: Задачник для общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская. – М.: Мнемозина, 2006.

20. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса/ С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин.- М.: Просвещение, 2001

Т. Г. Новикова Теория и практика организации предпрофильной подготовки. – М.: Просвещение, 2003.
Рогова Г. А. Элективные курсы как содержательная основа профильного обучения.
Российский государственный педагогический университет им. Герцена А. И. Методика разработки элективных курсов. – Санкт – Петербург, 2006.

24. Современные средства оценивания результатов обучения: Учебное пособие / Е. Н. Перевощикова, А. В. Поршнев, А. В. Юхова, Е. Ю. Клюева: Под ред. Проф. Е. Н. Перевощиковой. – Н.Н.: НГПУ, 2007.

25. Субханкулова С. А. Задачи с параметрами/ С. А. Субханкулова. – М.: ИЛЕКСА, 2010.

26. Толковый словарь математических терминов.- М. Просвещение, 1967.

27. Элективные курсы: вопросы и ответы // Математика. – 2007. – №2.

28. Элективные курсы для профильной подготовки и профильного обучения // Математика. – 2007. - №2.

29. Ястребинецкий Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры/ Г. А. Ястребинецкий.- М.: Просвещение, 1972.

Скачать материал

Скачать материал "Проект "Задачи с параметрами""

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 655 322 материала в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Урок по теме "Логарифмическая функция"

Рейтинг: 5 из 5

24.08.2016
1181
5

docx

Проект на тему "Правильные многогранники"

24.08.2016
4591
11

pptx

Презентация "Математика и горнолыжный спорт"

24.08.2016
943
3

docx

План - конспект урока по математике на тему: "Счет предметов"

24.08.2016
1245
2

pptx

Презентация по математике " Натуральные числа". Вводный урок. 5 класс.

Рейтинг: 3 из 5

24.08.2016
3070
155

docx

Рабочая программа по математике 6 класс по УМК виленкин

24.08.2016
364
0

zip

Технологическая карта урока «Решение уравнений вида x/a+x/b=с».

24.08.2016
357
1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 24.08.2016 10029
- DOCX 885.7 кбайт
- 77 скачиваний
- Рейтинг: 5 из 5
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Максимова Надежда Вадимовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Максимова Надежда Вадимовна
- На сайте: 8 лет и 1 месяц
- Подписчики: 1
- Всего просмотров: 25121
- Всего материалов: 15