ПРОЕКТ Элективный курс для 9 класса "Элементы комбинаторики и теории вероятностей"

Тверской областной институт усовершенствования учителей.

 

 

 

 

 

Педагогический проект

 

 

Тип проекта: творческий

 

Тема проекта: Разработка элективного курса для предпрофильной подготовки учащихся 9 классов.

 

Математика

 

 

 

 

                                                                             Автор проекта: Мачехина Н.А.-                                                                                        МОУ «Застолбская СОШ», Рамешковский район.

 

 

 

 

 

 

                                                                                               

 

 

 

 

 

Тверь,

 2012 г.

Паспорт проекта.

 

 

Название проекта	Разработка элективного курса по математике для предпрофильной подготовки учащихся 9 классов.
Решаемая проблема	Недостаточное количество элективных курсов для предпрофильной подготовки в рамках перехода к профильному обучению в старших классах общеобразовательных школ. Ознакомление учащихся 9-х классов с элементами стохастики.
Автор проекта	Мачехина Н.А.
Цели и задачи	ЦЕЛЬ: Разработать программу элективных курсов предпрофильного обучения для учащихся 9 классов общеобразовательных школ  «Элементы статистики и теории вероятностей. Решение комбинаторных задач». ЗАДАЧИ: ·        Изучить концепцию профильного и предпрофильного обучения ·        Собрать и систематизировать необходимый материал ·        Разработать проведение занятий с использованием элементов интерактивной технологии.
Сроки и основные этапы выполнения проекта	1.     Подготовительный - 15.08.2012 – 17.09.2012 2.     Поисковый              -  20.09.2012 – 31.09.2012 3.     Технологический     - 1.10.2012– 10.10.2012 4.     Опытно – экспериментальный – 10.11.2012 – 18.10.2012 5.     Заключительный     -  1.12.2012 – 2.12.2012
Ожидаемые результаты реализации проекта	Использование разработки элективного курса в практике работы учителей.
Форма представления проекта	Защита курсовой работы
Самооценка	Работа выполнена на достаточно высоком уровне в короткие сроки с учётом современных требований к оформлению курсовых работ.
Экспертная оценка

Тверской областной институт усовершенствования учителей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Элективный курс

 

для учащихся 9-го класса общеобразовательной школы

 

«Элементы статистики и теории вероятностей. Решение комбинаторных задач»

 

 

 

 

 

     

 

 

                                                                                         Выполнила:                                                            Мачехина Н.А.-                                                                                        МОУ «Застолбская СОШ», Рамешковский район.

 

 

 

 

 

 

 

 

Тверь,

 2012 г.

Пояснительная записка

 

         Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно – статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно – статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на её основе обоснованные решения. Современные физика, химия, биология, весь комплекс социально – экономических наук построены и развиваются на вероятностно – статистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин уже в средней школе.

В настоящее время в курсе математики основной школы материал по элементам теории вероятностей и математической статистики отсутствует.

В школьном курсе математики и других естественных наук господствовала только одна идея – о существовании жестких связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме законов физики, химии, математики; даже в курсе истории нет места случайности: он представлен так, что складывается впечатление, что все события предопределены и закономерны.

Но окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъёмы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и т.д. Впрочем, мысль о том, что в окружающем мире много случайного, останется очевидной, но бесплодной, если не научиться измерять случайность, числом, вычислять шансы различных событий. А теория вероятностей – это математическая наука о случайном и закономерностях случайного.

Без знания понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффективного конкурентоспособного производства, внедрения новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение обоснованной социальной политики.

Изучение вероятностно – статистического материала направлено на развитие личности школьника, расширение возможности его общения с современными источниками информации, совершенствовании коммуникативных способностей и умения ориентироваться в общественных процессах, анализировать ситуации и принимать обоснованные решения, обогащать систему взглядов на мир осознанными представлениями о закономерностях в массе случайных событий.

Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9 классов посвящён изучению элементов статистики, теории вероятности и элементов комбинаторики.

Предлагаемый элективный курс:

·         призван ознакомить учащихся с истоками теории вероятности и статистики, с элементами математического аппарата: понятиями «факториал», «перестановки», «размещения», «сочетания»;

·         рассмотреть способы систематизации и представления данных: графики, диаграммы, таблицы; познакомить учащихся с процессом построения модели, учить анализировать, проверять адекватность построенной модели реальным ситуациям (на простейших моделях);

·          ввести понятие события, вероятности события, случайной величины.

 

 

 

 

 

 

Цели курса:

 

 

1.     Способствовать формированию вероятностно – статистического мышления школьников;

 

2.     Оказать учащимся помощь в осознанном выборе профиля обучения;

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи курса:

 

·        Расширить уровень математических знаний: познакомить учащихся с основами теории вероятностей, элементами математической статистики и элементами комбинаторики;

 

·        Развивать устойчивый интерес к  предмету, математические способности учащихся, подготовить к обучению в профильных классах;

 

·        Предоставить учащимся возможность формировать математический стиль мышления, развивать навыки  математической логики и развивать способность к самостоятельному обучению и творчеству в процессе решения задач и выполнения практических и самостоятельных работ;

 

·        Воспитывать навыки сотрудничества при работе в парах и группах;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Планируемые результаты:

 

1.     Получение учащимися знаний, дающих им возможность осознанного выбора профиля дальнейшего обучения.

 

2.     Формирование положительного отношения и познавательного интереса к предмету.

 

 

3.     Развитие математического мышления и творческой активности учащихся.

 

4.     Воспитание таких нравственных качеств личности, как трудолюбие, упорство в достижении цели.

 

 

 

 

 

 

 

 

Формы и методы работы:

 

 

1.     Использование наиболее эффективных приёмов, активизирующих работу школьников, дифференцированные задания, свободный выбор задач.

 

2.     Использование на занятиях работы в группах и парах, раскрепощающих учащихся и расширяющих их возможности.

 

3.     Формой контроля может быть обучающая самостоятельная работа, собеседование, творческая и исследовательская работа.

 

Формы и методы работы должны способствовать формированию логической и эвристической составляющей мышления, самостоятельности, активности, воспитанию трудолюбия, ответственности за принятое решение, стремлению к самореализации.

        По желанию учащихся контроль усвоения определятся накопительным баллом или защитой творческой работы.

 

 

 

Содержание программы:

 

Программа содержит два блока, связанные единой идеей. Учитель, в зависимости от уровня подготовки учащихся, может использовать все блоки или один из них.

Блок №1 – знакомит с историей развития теории вероятностей и статистики, дает сведения о математическом аппарате для исследования вероятностных моделей, формирует навыки для решения простейших комбинаторных задач.

1.     Истоки развития теории вероятностей и математической статистики.

2.     Статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, медиана, размах (их содержательный смысл разъясняется на примерах).

3.     Статистические исследования: представление данных в виде таблиц, диаграмм, полигонов, гистограмм.

4.     Введение в комбинаторику: примеры решения комбинаторных задач с помощью перебора вариантов и правила умножения.

5.     Начальные сведения из теории вероятностей: понятие и примеры случайных событий, частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчёт их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Всего отводится 11 часов.

 

Блок №2 –предполагает решение более сложных задач теории вероятностей, математической статистики и комбинаторики с привлечением компьютерных возможностей.

1.     Комбинаторика: понятия и формулы вычисления числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

2.     Теория вероятностей: элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события.

3.     Решение практических задач с применением вероятностно – статистических методов.

              Всего отводится 8 часов.

 

 

 

 

 

 

 

 

Тематическое планирование

 

№ п/п	Содержание	Всего   часов.	В том числе		Форма контроля
			Лекция	Семинар
1     2     3   4     5	Блок 1:   Истоки развития теории вероятностей и математической статистики.   Статистические характеристики.     Статистические исследования.   Введение в комбинаторику.     Начальные сведения из теории вероятностей.	11	1     1     1   1     1	1     1   2     2	Опорный конспект     Опорный конспект Обучающая с.р.   Опорный конспект Практическая р.   Опорный конспект Обучающая с.р.   Опорный конспект Творческая работа
1     2     3	Блок 2:   Комбинаторика     Теория вероятностей     Решение практических задач.	8	2     1	2     1     2	Опорный конспект Обучающая с.р.   Опорный конспект Практическая р.   Практическая р.
	Защита проектов			1

                                                  

                                                  Итого: 20 часов.

         На изучение двух блоков отводится 19 часов, из них 8 часов – лекции, 11 часов – семинары и практические работы.

         На защиту проектов – 1 час.

 

 

 

 

 

 

                                         Литература:

 

1.     Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.,(под редакцией С.А. Теляковского) «Элементы статистики и теории вероятностей», М.: Просвещение,2003г.

2.     Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., «Элементы статистики и вероятность», М.: Просвещение,2004г.

3.     Мордкович А.Г., Семёнов П.В., «События. Вероятность. Статистическая обработка данных», М.: Мнемозина, 2003г.

4.     Виленкин Н.Я., «Комбинаторика», М.:Наука,1969г.

5.     Федосеев В.Н., «Решение вероятностных задач»,(1 и 2 ч.), М.:ВШМФ Авангард,1999г.

6.     Ткачёва М.В., «Домашняя математика», М.: Просвещение, 1998г.

7.     Лютикас В.С., «Теория вероятностей», факультативный курс по математике 9-11кл., М.: Просвещение, 1990г.

8.     Журнал «Математика в школе»,№ 4, № 5 – 2002г, № 3, № 4, № 5, № 6, № 9 – 2003г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                       Приложение №1.

                                          

                                             Урок – лекция:

  Тема: «Истоки развития теории вероятностей и математической статистики»

   Цель: Создать целостное представление о возникновении и развитии части математики – теории вероятностей и математической статистики.

   Задачи: 1. Мотивировать изучение курса:

·        познакомить с некоторыми историческими сведениями,

·        показать связь математики с другими областями знаний,

·        подчеркнуть эстетические аспекты изучаемых вопросов.

                  2. Показать методику ведения опорного конспекта.

   Оформление: на доске тема, эпиграф (слова Б.В. Гнеденко), плакаты с изображением рис.1, рис. 2, рис. 3, «игральные кости», монета.

   Ход урока: 1. Организационный момент.

                       2.  Определение цели и задач курса.

                        3.  Лекция – беседа.

 

«Без учёта влияния случайных явлений человек становится бессильным направлять развитие интересующих его процессов в желательном для него направлении».

                            Б.В. Гнеденко.

Ещё первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьём зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.

Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов. Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства, умели как – то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были ещё очень далеки от теории вероятностей.

Позднее, с опытом, человек всё чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности. Вот простейший опыт – подбрасывают монету. Выпадение герба или решки, конечно, чисто случайное явление. Но при многократном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что появление герба происходит примерно в половине случаев.

Кто и когда впервые проделал опыт с монетой, неизвестно. Французский естествоиспытатель Ж.Л. Бюффон (1707 -1788) в восемнадцатом веке 4040 раз подбрасывал монету – герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале нашего столетия подбрасывал её 24000 раз – герб выпал 12012 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них является случайным событием, при многократном повторении подвластны объективному закону.

Рассмотрим другой, более сложный пример – эксперимент с так называемой доской Гальтона (рис.1). Доска размещена вертикально. Из верхнего резервуара стальные шарики катятся (на отдельных участках падают) вниз и накапливаются в нижних гнёздах. Каждый шарик, встретив на своём пути очередное препятствие, отклоняются или влево или вправо, затем падает вниз. Шарик, конечно, может попасть в любое из гнёзд. Между тем правильное расположение шариков (симметричное, при котором в центральных гнёздах их много, а в крайних мало), повторяющееся от эксперимента к эксперименту, убедительно свидетельствует о существовании объективного закона их распределения.

                                                Рис. 1.

 

Итак, случайности могут подчиняться относительно простым и более сложным закономерностям. Но, спрашивается, где же математика, где же Математические задачи?

Наиболее интересные для начинающих задачи теории вероятностей возникли в области азартных игр. Этому, по – видимому, способствовало наличие таких «наглядных пособий», как монета или игральная кость. Формированию основ теории вероятностей способствовали также выяснение длительности жизни, подсчёт населения, практика страхования. Мы начнём, естественно с простых задач.

К азартным играм относили бросание шестигранных игральных костей (рис.2). Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hasard, буквально означающего «случай», «риск».

              Рис.2.              

 

 

                                                   В 1494 году итальянский математик Л.                   Пачиоли (1454 – 1514) опубликовал энциклопедический труд по математике, где разбирал следующую ситуацию.

     Два игрока договорились играть в кости                                                                                                                                                          до момента, когда одному из них удастся                                                    выиграть m партий. Но игра была прервана после того, как первый выиграл a (a<m) партий, а второй b (b<m) партий. Как справедливо разделить ставку?

Сам Пачиоли верного решения не нашёл. Он предлагал разделить ставку в отношении a:b, не учитывая числа партий, которые нужно ещё выиграть, чтобы получить ставку.

Спустя без малого 50 лет другой итальянский математик Д. Кардано (1501 – 1576) поверг рассуждения Пачиоли справедливой критике, но и сам предложил ошибочное решение.

Прошло ещё 100 с лишним лет, и в 1654 году задача была наконец решена в ходе переписки между двумя выдающимися французскими математиками Б. Паскалем (1623 -1662) и П. Ферма (1601 – 1665).

Посмотрим, как решил Б.Паскаль задачу в случае m=3, a=2,b=1.

Допустим, что игра прервана, когда у игрока А две выигранные партии, а у игрока В одна. Как делить ставку, пока не ясно. В самом деле:

1)    если эту партию выигрывает игрок А, то он как набравший заветное число m=3 выигрышей получает всю ставку;

2)    если партию выигрывает игрок В, то справедливо разделить всю ставку пополам, так как у каждого по две выигрышные партии.

Возможности у каждого из этих ходов одинаковы.

Таким образом, А может выиграть всю ставку или  ставки, т.е. в среднем     ставки.

У В возможности поскромнее: он может или ничего не выиграть, или выиграть ставки, т.е. в среднем   ставки. Поэтому ставка должна быть разделена в отношении 3:1 (а не 2:1, как предлагал Пачиоли). Здесь мы сталкиваемся впервые с математическим ожиданием случайной величины. Об этом мы поговорим с вами позднее на наших занятиях.

В 1718 году в Лондоне вышла в свет книга со странным названием «Учение о случаях». Её автор – французский математик А. Муавр (1667 -1754). Самое большое его достижение – открытие закономерности, которая очень часто наблюдается в случайных явлениях. Он впервые заметил и теоретически обосновал роль распределения, которое позднее было названо нормальным. А. Муавру также принадлежит слава введения понятия независимости событий, открытия теоремы умножения вероятностей.

Муавр измерил рост у 1375 случайно выбранных женщин. Результат схематически изображён на рисунке 3. Колоколообразная кривая, которая приближённо «накрывает» диаграмму распределения роста, похожа на смещенный направо график функции ..

Закон нормального распределения имеет важное практическое значение. Оказывается, что так распределяется скорость газовых молекул, вес новорождённых и много других случайных событий физической и биологической природы.

 

 

 

                                                 

200

 

 

 

150

 

 

100

 

 

 

50

 

 

 

 

140           145         150         155          160         165         170          175            180

 

                                                            Рис. 3

Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским математиком П. Лапласом (1749 – 1827) в книге «Аналитическая теория вероятностей». В предисловии автор писал: «Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания…. Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами теории вероятностей».

Вероятность события А была определена Лапласом так: где n – общее число равновозможных событий, а m – число тех событий, когда происходит нужный исход («благоприятствующее событие»).

В 1713 г. опубликована книга «Искусство предложений» Якоба Бернулли, в которой разработаны основы комбинаторики как аппарата для исчисления вероятностей, ввёл ряд новых понятий и терминов, доказал одно из основных предложений теории вероятностей – «теорему Бернулли».

В 1846 году Петербургская академия наук издала книгу В.Я. Буняковского (1804 – 1889) под названием «Основания математической теории вероятностей». Это был первый русский учебник по теории вероятностей. По нему учился и выдающийся русский математик П.Л. Чебышев (1821 – 1892). Хотя он по теории вероятностей написал не так уж много трудов, но все они сохраняют первостепенное значение вплоть до наших дней. Так называемое неравенство Чебышева на веки веков вошло в сокровищницу математической науки.

Работы Чебышева П.Л., его учеников А.А. Маркова (1856 – 1822) и А.М. Ляпунова и других русских математиков оказали большое влияние на дальнейшее развитие теории вероятностей.

В первом десятилетии 20 века А.А. Марков положил начало теории последовательностей зависимых случайных величин, так называемых «цепей Маркова», которая вскоре стала важным средством изучения природы. Теорию цепей Маркова затем значительно развили С.Н. Бернштейн (1880 -1968), В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров (1903 – 1987) и французские математики Ж. Адамар и И. Фреше. После того как трудами А.Н. Колмогорова, Е.Е. Слуцкого (1880 – 1948), А.Я. Хинчина (1894 – 1959)и французского математика П. Леви была установлена связь между теорией вероятностей, с одной стороны, и теорией множеств и теорией функций действительного переменного – с другой, стало возможным добиться окончательного решения ряда классических проблем, поставленных ещё в прошлом веке П.Л. Чебышевым.

А.Н. Колмогоров и А.Я. Хинчин положили начало общей теории случайных процессов. Разработка аксиоматики теории вероятностей означала новый этап в развитии науки. Первое по времени аксиоматическое построение теории вероятностей изложил в 1917 г.С.Н. Бернштейн. В настоящее время общепринятой стала аксиоматика, разработанная в 1933г. А.Н. Колмогоровым. Среди видных современных советских математиков, разрабатывающих теорию вероятностей, следует назвать также Б.В. Гнеденко, внёсшего важный вклад и в математическую статистику, Ю.В. Линника и многих других.

В настоящее время теория вероятностей продолжает развиваться в тесном контакте с развитием техники и разных ветвей современной теоретической и прикладной математики.

Домашнее задание: работа по оценке состояния готовности к адекватному восприятию понятий статистики и вероятностей.

Домашняя работа.

Задание 1:

В каждое из приведённых ниже предложений впиши наиболее подходящее по смыслу слово, выбрав его из слов возможно, невозможно, наверняка, маловероятно:

1. завтра Солнце …………………………взойдёт на востоке;

2.  …………………………, что бутерброд упадёт маслом вниз;

3.  …………………………, что вы выиграете в лотерее автомобиль;

4.  …………………………, что у Пети день рождения 30 февраля;

5.  …………………………, что в Москве на улице ты встретишь тигра.

 

Задание 2:

Обведи номера тех пар событий, которые по твоему мнению, имеют равные шансы произойти в результате одного испытания:

1. появление орла и появление решки в результате одного бросания монеты;

2. выпадение одного очка и выпадение шести очков в результате броска игрального кубика;

3. выпадение одного очка и выпадение одного из четных очков (т.е. либо 2, либо 4, либо 6) в результате броска игрального кубика;

4. остановка после раскручивания стрелки рулетки на тёмном фоне и остановка стрелки на белом фоне;

 

 

5. остановка после раскручивания стрелки рулетки на тёмном фоне и остановка стрелки на белом фоне;

 

6.встреча на улице с любимым артистом и встреча на улице с одноклассником.

 

 

Задание 3:

В мешке лежат 1 чёрный и 2 белых шара (одинаковые по размеру и сделанные из одного материала). Саша хочет, не глядя, вытащить чёрный шар. Он запускает в мешок руку и вынимает, к своему сожалению, белый шар. После чего кладёт его в карман и лезет в мешок ещё за одним шаром. Как вы думаете, при второй попытке шансы Саши вытащить чёрный шар в сравнении с первой попыткой:

1. увеличились;     2. остались прежними;      3. уменьшились.

Обведи номер нужного ответа.

 

Задание 4:

Среди 600 юношей районного центра, прошедших медкомиссию, самый низкий имел рост 160 см, а самый высокий – 189 см.. Подсчитали число юношей в каждой из трёх групп: первая группа – рост от 160 см до 169 см; вторая группа – рост от 170 см до 179 см; третья группа – рост от 180 см до 189 см.

Оказалось, что:

1.     больше всего юношей в первой группе;

2.     больше всего юношей во второй группе;

3.     больше всего юношей в третьей группе;

   Обведи номер ответа, который кажется тебе наиболее правдоподобным.

 

Задание 5:

Кнопку бросали на стол 100 раз, из них 32 раза она упала остриём вверх и 68 раз – остриём вниз. Затем эту же кнопку бросали на стол ещё 100 раз и наблюдали, как она упадёт. Оказалось, что в этой серии испытаний остриём вверх она упала

1. 30 раз;    2. 50 раз;     3. 70 раз     4. 90 раз.

Обведи номер наиболее правдоподобного, по-твоему, результата.

 

Задание 6:

С помощью цифр 1и 2 запиши все возможные трёхзначные числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                 Приложение 2.

 

Урок  - обучающая самостоятельная работа.

Тема: «Статистические характеристики»

 

Цель: Повторить с  учащимися  простейшие статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, медиана, размах. Научить находить их в несложных случаях.

 

Задачи: 1. Учащиеся должны знать соответствующие определения;

              2.Уметь находить эти характеристики в несложных случаях;

              3. Понимать их практический смысл в конкретных ситуациях.

              4. Воспитывать навыки работы в парах.

 

Формы и методы работы: обучающая самостоятельная работа, учащиеся работают в парах. Учитель – консультант.

 

Ход урока:1. Организационный момент.

2.     Повторение простейших статистических характеристик: среднее арифметическое, мода, медиана, размах.

3.     Учащимся выдаётся справочный материал, задание самостоятельной работы, лист самоконтроля.

4. Домашнее задание.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Справочный материал:

 

       Среднее арифметическое ряда данных равно отношению суммы данных на их количество.

 

        Модой называют число, наиболее часто встречающееся в ряду данных. Ряд данных может иметь или не иметь моду.

 

        Медиана определяется  для упорядоченного ряда данных. При этом различают два случая — когда число членов ряда нечетное и когда оно четное. Если упорядоченный ряд содержит нечетное число членов, то медианой называется число, записанное в середине ряда. Если упорядоченный ряд содержит четное число членов, то за медиану принимается среднее арифметическое двух чисел, записанных в середине ряда. За медиану произвольного ряда данных принимают число, равное медиане соответствующего упорядоченного ряда.

 

         Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания самостоятельной работы:

 

Задание 1. В ходе опроса 34 учащихся школы было выяснено, сколько времени (с точностью до 0,5 ч) в неделю они затрачивают на занятия в кружках и спортивных секциях. Получили следующие данные:

5,  1,5,  0,   2,5,  1,  0,  0,  2,  2,5,  3,5,  4,

 5,  3,5,  2,5,  0,  1,5,  4,5,  3,  3,   5,  3,5, 4,  3,5,  3,   2,5,   2,   1,   2,   2,   4,5,   4,   3,5,   2,   5.

Этот ряд данных представили в виде таблицы частоты, одинаково затраченного времени.

Время (ч)	0	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5
Частота	4	2	2	5	4	3	5	3	2	4

 

 

 

 Найдите, сколько времени в среднем тратят учащиеся на занятия в кружках и спортивных секциях.

 

Задание 2. Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

 

Задание 3. В ряду  чисел 3,  8,  15,   30,---- , 24 пропущено одно число. Найдите его, если:

а) среднее арифметическое ряда равно 18;

б) размах ряда равен 40;

в) мода ряда равна 24.

 

Задание 4. Известно, что ряд данных состоит из натуральных чисел. Может ли для этого ряда быть дробным числом:

а) среднее арифметическое;

б) размах;

в) мода;

г) медиана?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Домашнее задание:

Пример. Ребята решили сыграть в «Поле чудес» и изготовили самодельную рулетку (рис. 1). За время игры стрелка останавливалась на секторе «Приз» — З раза, на секторе «Банкрот» — 2 раза, на секторе «+» — 1 раз, на секторе «250» — 4 раза, на секторе «100» 5 раз, на секторе «50» — З раза, на секторе «10» — 6 раз, на секторе «25» — 7 раз. Занесите эти данные в табл. 1.

Цель здесь очень проста: научить ребят представлять статистическую информацию в виде таблиц. Это весьма важно и не так легко, как кажется, дети не могут сразу овладеть необходимыми умениями: ошибаются в определении количества строк и столбцов, затрудняются в выборе надписей, допускают небрежность в оформлении и т.д. Но, научившись записывать исходные данные в предложенную таблицу и регистрировать результаты наблюдений, они делают первые шаги к самостоятельному проведению статистических экспериментов и исследований.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лист самоконтроля:

 

1. Решение:

 

2.     Решение. Так как среднее арифметическое ряда чисел равно 15, а число его членов равно 10.То сумма членов равна 15.10, т.е. 150. После приписывания числа 37 сумма стала равна 150 + 37. Т.е. 187, а число членов ряда оказалось равным 11,значит, среднее арифметическое нового ряда равно

187: 11, т.е. равно 17.

 

3.   Решение. а) Пусть х — искомое число. Тогда (3+8 +15+30+х+24):6

=18,  80 + х = 108,  х = 28.

б) Так как наименьшее число равно 3, а размах ряда равен 40, то наибольшее число равно 40 + 3. т.е. пропущено число 43.

в) Так как мода ряда равна 24, а все оставшиеся в ряду числа различны, то пропущенным является число 24.

 

4.  Решение. а) Может, так как частное от деления суммы натуральных чисел на натуральное число может быть дробным числом.

б) Нет, так как разность двух натуральных чисел не может быть дробным числом.

в) Нет, так как мода выражается числом, которое встречается в ряду данных.

г) да, может, в случае, если в ряду данных четное число членов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                           

 

 

                                                                                                          Приложение 3.

Урок – практическая работа.

 

Тема: «Статистические исследования»

 

Цель: Сформировать умение понимать и интерпретировать статистические результаты, представляемые, например, в средствах массовой информации.

 

Задачи: 1.  Научиться проводить комплексные статистические исследования;

              2.  Научиться применять математический аппарат для расчётов;

              3.  Формировать навыки работы в группах.

 

Формы и методы работы: практическая работа, учащиеся работают в группах, учитель – консультант.

 

Ход урока:

                  1. Организационный момент (разбиение на группы)

                  2.  Постановка целей и задач практической работы.

                  3.  Даются задания каждой группе индивидуально.

                  4.  Представление результата работы группы.

                  5.  Домашнее задание.

 

 

Задания группам:

 

Задание 1. В детском обувном магазине за декаду было куплено 750 пар обуви. Кладовщик Калошин проводил статистическое исследование и этой целью записывал размеры каждой пятой из затребованных пар. Эти числа составили следующий ряд данных:

а) Постройте таблицу частот.

б) Определите моду ряда (самый распространенный размер).

в) Постройте диаграмму частот.

г) Найдите средний размер в этой выборке.

 

 

 

Задание 2. На некотором маршруте метрополитена провели исследование пассажиропотока. Для этого каждый час в случайно выбранном вагоне электропоезда на протяжении всего пути считали число пассажиров разных возрастов. Результаты исследования представлены в следующей таблице.

а) Определите час пик — время, когда в вагоне едут максимальное число людей.

б) Найдите время, когда относительная частота возрастной категории от 30 до 40 лет максимальна.

в) Какой процент пассажиров вагона, отправившегося в 11 ч 30 мин, составляют люди в возрасте от 20 до 50 лет?

 

Задание 3. Известно, что «о» — самая распространенная гласная в русском языке. Прочтите отрывок из петербургской повести А.С.Пушкина «Медный всадник»:

На берегу пустынных волн

Стоял он, дум великих полн,

И в даль глядел. Пред ним широко

Река неслася; бедный челн

По ней стремился одиноко.

По мшистым, топким берегам

Чернели избы здесь и там,

Приют убогого чухонца;

И лес, неведомый лучам

В тумане спрятанного солнца,

Кругом шумел.

И думал он:

Отсель грозить мы будем шведу,

Здесь будет город заложен

Назло надменному соседу.

Природой здесь нам суждено

В Европу прорубить окно,

Ногою твердой стать при море.

Сюда по новым им волнам

Все флаги в гости будут к нам,

И запируем на просторе.

 

а) Подтверждает ли этот отрывок правильность утверждения, приведенного в условии задачи?

б) Сравните относительные частоты гласных «у»

и «и» в стихотворении.

в) Постройте полигон относительных частот появления гласных в этом отрывке.

 

 

Задание 4. Статистика аварий говорит о том, что за 10 лет происшествия на самолетах авиакомпании АВС происходили в три раза чаще, чем компании DEF, но в два раза реже, чем на лайнерах компании GНI.

а) Определите относительную частоту происшествий на самолетах компании DEF

б) Постройте диаграмму относительных частот аварий.

в) Если всего за 10 лет случилось 300 происшествий, то сколько пришлось на каждую  компанию?

 

 

Задание 5. На гистограмме (рис. 4) представлены данные о площадях квартир в одном из микрорайонов города N:

 

а) составьте таблицу частот для срединных значений каждого интервала, указанного на гистограмме, если всего в выборке 1500 квартир;

б) найдите среднюю площадь квартиры в исследуемом микрорайоне.

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 6. Работниками телевидения был проведен опрос среди молодежи с целью определения времени просмотра телевизионных программ. Всего было опрошено 1000 человек. Зависимость числа зрителей от времени суток показана на гистограмме (рис. 5).

 

 

а) В какие периоды времени число людей, смотрящих телевизор, превосходит 500 человек? Какой процент от всего времени показа составляет время, когда телевизор смотрят более 500 человек?

б) Сколько человек в среднем смотрят телевизор в течение часа в период с 16 до 19 часов? Какой процент от числа опрошенных составляют эти люди?

в) Определите, какое число зрителей приходится в среднем на 1 час вещания.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение заданий групп:

 

1. Решение. а) Сначала при просмотре всей выборки выясним, какие в ней встречаются размеры, и расположим их в порядке возрастания 15. 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Далее подсчитаем количество пар каждого размера в выборке (т.е. частоту появления каждого размера) и сведем данные в таблицу.

Заметим, что подсчеты можно вести с помощью ранжирования ряда или так, как показано ниже:

б) мода данного ряда — число 23.

в) Воспользуемся данными таблицы (рис. 1) для построения диаграммы частот, в которой по горизонтальной оси отложены номера имеющихся размеров, по вертикальной оси — количество пар каждого размера.

г) Найдем средний размер. для этого сначала вычислим сумму всех членов ряда:

 затем общее количество членов ряда. Это удобно сделать, сложив частоты:

12+8+11+16+19+15+14+19+20+16=150, далее, разделив первый результат на второй, получим средний размер:

 

 

 

2. Решение. а) Чтобы определить час пик, найдем общее количество людей, едущих в вагоне, за каждый час. для этого просуммируем данные таблицы по столбцам.

Из выборки видно, что час пик наступает в 8 ч 30 мин.

б) Сначала найдем относительную частоту указанной возрастной категории за каждый час. Для этого, воспользовавшись исходной таблицей и таблицей из пункта а), вычислим отношение числа людей данного возраста к общему числу людей в вагоне.

Таким образом, искомое время — 7 ч 30 мин.

в) В вагоне, отправляющемся в 11 ч 30 мин, находятся 15 + 18 + 12 = 45 пассажиров в возрасте от 20 до 50 лет. Они составляют 0,5, т.е. 50%  пассажиров вагона.

 

3.Решение. а) Для каждой гласной подсчитаем, сколько раз она встречается в тексте.

гласная	а	я	у	ю	о	ё	ы	и	э	е
частота	23	5	21	3	47	2	8	24	0	35

Из таблицы видно, что гласная «о» действительно встречается в тексте чаще, чем любая другая гласная.

б) Всего в стихотворении

23+5+47+2+21 + 3+8+24+0+35= 168

гласных.

Относительная частота буквы «у» равна . Относительная частота буквы «и» — Следовательно, относительная частота буквы «и» больше.

в) Сначала найдем относительную частоту появления каждой буквы (в процентах).

Теперь построим полигон относительных частот (рис. 2).

 

4.Решение. а) Пусть на самолетах компании DEF  произошло х аварий. Тогда на самолетах компании АВС произошло 3х аварий, а на самолетах компании GНI — 6х аварий. Всего произошло IОх аварий. Относительная частота происшествий на самолетах компании DEF составляет , т.е. 10%.

б) Составим таблицу относительных частот.

Построим диаграмму относительных частот (рис. 3): по горизонтальной оси укажем названия авиакомпаний, а по вертикальной оси — относительную частоту.

в) Вычислим количество происшествий, используя таблицу пункта а).

 

5.Решение. а) Срединное значение для каждого интервала найдем как среднее арифметическое значений на концах интервала.

Соответствующее значение частоты получим, умножив число 1500 на процент квартир для этого интервала.

Например, для интервала от 25 до 35 срединное значение равно

 По гистограмме на рис. 4 определяем, что квартиры такой площади составляют 20%. Их количество равно: 1500. 0,2 = 300.

б) Среднюю площадь квартиры здесь можно найти проще, чем в задаче, разобранной в тексте:

30 х 0,2 + 40 х 0,3 + 50 х 0,2 + 60 х 0,15 +

+ 70 х 0,1 + 80 х 0,05 = 48 (м²).

 

6.Решение. а) Более пятисот человек смотрят телевизор в периоды с 17 до 19 ч и с 20 до 23 ч. Показ передач начинается в б ч и заканчивается в 2 ч следующего дня. Таким образом, время телевещания — 20 ч. Больше пятисот человек находятся у

экранов в течение 5 ч. Это составляет  т.е. 25% всего времени показа.

б) Воспользуемся данными гистограммы. В течение трех часов с 16 ч до 19 ч телевизор смотрят 500 + 550 + 600 = 1650 человек. Следовательно, в среднем в этот период на час приходится человек. Они составляют 55 % от числа опрошенных, т.е. от 1000 человек.

в) За весь период вещания, т.е. за 20 ч, на один час в среднем приходится:

 человек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Домашнее задание:

Задание1. В таблице показано, сколько курток изготовила мастерская за каждый квартал 2000 и 2001 гг.:

 

Постройте полигон, иллюстрирующий выработку мастерской в 2000 и в 2001 гг. (по кварталам).

Пользуясь построенным полигоном,

а) охарактеризуйте динамику изменения производства курток в 2000 и 2001 гг. (по кварталам);

б) укажите два квартала, следующие друг за другом, когда произошло наибольшее увеличение выработки.

 

Задание 2. В оздоровительном лагере были получены следующие данные о весе 28 мальчиков (с точностью до 0,1 кг):

21,8 29,1 30,2 20,0 23,8 24,5 24,0

20,8 22,0 20,8 22,0 25,0 25,5 28.2

22,5 21,0 24,5 24,8 24,6 24,3 26.0

26,8 23,2 27,0 22,0 23,0 22,8 23.2

Используя эти данные, заполните табл. 8 и табл. 9 (перечертив их в тетрадь).

По данным этих таблиц постройте на разных рисунках в одном и том же масштабе две гистограммы. Что общего у этих гистограмм и чем они различаются?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                             Приложение 4.

Темы проектов:

1. Компьютерное представление уровня знаний учащихся по элективному курсу  «Элементы статистики и теории вероятностей. Решение комбинаторных задач».

 (представление информации с помощью приложения Excel).

2. Броуновское движение и задача о блуждании по плоскости.

3. Задача о блуждании по прямой и треугольник Паскаля.

4. Исторические комбинаторные задачи: фигурные числа, магические квадраты, латинские квадраты.