МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 9 х.ЖУКОВСКОГО НОВОСЕЛИЦКОГО
РАЙОНА СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ
Секция: «Человек и математика»
Исследовательская работа на тему:
Автор:
Андреева Людмила,
ученица 7 класса,
МОУ ООШ № 9
Руководитель:
Карслиева Нина Николаевна,
учитель математики высшей категории МОУ
ООШ № 9
х. Жуковский 2014
Оглавление
I. Введение..…………………………………………………………3
II. Основная часть …………………………..……………4
1. Мониторинговые исследования………………………4
2. Исторические сведения……………………………….5
- Измерение высоты дерева способ Фалеса………………….5
-
Измерение высоты дерева при помощи
простого булавочного
прибора………………………………………………………………
-
Измерение высоты дерева при помощи
записной книжки
3. Практическая часть……………………………...…….7
4. Заключение.
4. Библиографический список……………………………………..11
5. Приложения…………………………………………………….12
I.
Введение
Перед человеком к разуму, как говорил
древний мыслитель и философ Конфуций, живший примерно
2,5 тысячи лет назад три пути:
путь
размышления - это путь самый благородный,
путь подражания -
это путь самый легкий
и путь опыта -
это путь самый горький.
Несмотря на то, путь опыта –самый
горький, уже за несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае и Греции
существовали начальные геометрические знания, которые добывались опытным путём.
Геометрия – одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия»
означает «землемерие» («гео» - земля, «метрео» - мерить). Такое название
объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными
измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных
участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате
этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные
с геометрическими измерениями и построениями. Таким образом, геометрия возникла
на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила
преимущественно практическим целям.
Как только мы начали изучать в 7
классе новый предмет «геометрия», мне стало очень интересно узнать о
практическом решении геометрических задач до тех пор, пока их изложение не
стало представлять собой научную теорию, как применяется геометрия на практике
в повседневной жизни, и очень хотелось более подробно изучить решение
геометрических задач древними, а также выяснить, где и как можно применить эти
решения сейчас.
Тема исследования: «Геометрические
измерения древних в современном мире»
Объект исследования:
геометрические задачи с практическим содержанием в
окружающем нас мире.
Предмет исследования:
применение этих задач в повседневной жизни взрослыми и детьми.
Цель исследования:
изучение различных геометрических задач и методов их
решения.
Гипотеза:
Изучение способов решения задач древними геометрами
позволит узнать, какие из этих навыков актуальны в настоящее время и, как их
можно самостоятельно использовать в повседневной жизни.
Задачи,
которые нужно решить для реализации цели исследовательской работы:
1.
Изучить литературу по развитию науки
геометрии.
2.
Исследовать примеры решения геометрических
задач древними.
3.
Опробовать способы решения задач по
геометрии на практике.
4.
Выяснить у учащихся и их родителей, где и
как они применяют геометрию в повседневной жизни.
Проблема: аварийные
деревья – это серьезный источник достаточно высокой опасности для жизни, а
также имущества человека.
Для решения задач исследования мне
пришлось использовать в работе методы:
·
теоретические (изучение дополнительной
литературы по истории возникновения геометрии, рассмотрение различных
практических задач и способов их решения);
·
практические (опрос взрослых и детей по
применению геометрии на практике, использование способов решения
геометрических задач, выпуск брошюры для детей и взрослых «Практические
советы от древних геометров»).
II. Основная
часть.
1. Мониторинговые исследования.
В ходе работы изучила много
литературы по истории развития науки геометрия. Узнала, что великие геометры –
Фалес, Пифагор, Архимед, Платон, Евклид внесли огромный вклад в ее развитие.
Выяснила, что уже в древнем мире люди занимались решением практических задач.
Исходя из практики, возникла и теория.
Решение практических задач древними
геометрами позволяет:
·
находить на местности расстояние между
двумя точками, которое невозможно пройти по прямой;
·
находить на местности расстояние между
двумя точками, одна из которых недоступна;
·
определять высоту высоких предметов;
·
строить прямые углы на местности;
·
находить длину большой окружности;
·
определять без компаса стороны горизонта;
·
строить окружность при помощи веревки и
т.д.
Для ответа на вопрос, какие из них
применяются сейчас и нужна ли геометрия в современном мире, был проведен опрос (приложение
1) учащихся 7-8 классов и их родителей. Участие приняли: 13 учащихся и 20 родителей.
Результат (приложение 2) опроса показал, что геометрию на практике
применяют:
Применение
|
родители
|
учащиеся
|
Основной вид деятельности (работа, учеба)
|
25%
|
100%
|
В повседневной жизни
|
85%
|
13 чел.
|
На вопрос где вы используете
геометрию в жизни, родители ответили:
Использование геометрии
|
Чел.
|
%
|
строительство
|
2 чел.
|
10%
|
Ремонт квартиры, дома
|
16 чел.
|
80%
|
Приусадебный участок
|
17 чел.
|
85%
|
Из предложенных задач наиболее часто
применяемыми оказались:
·
определять высоту высоких предметов – 2
чел. - 10%;
·
определять без компаса стороны горизонта –
16 чел. - 80%;
·
строить прямые углы на местности – 6 чел. –
30 %.
На вопрос о важности использования
на уроках практических задач были получены следующие ответы:
|
Мнение родителей
|
Мнение учащихся
|
Да
|
100%
|
84 %
|
Нет
|
-
|
8 %
|
Не
знаю
|
-
|
8 %
|
2. Исторические сведения.
Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приемом. Бечевку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем бечевку растягивали на земле так, что получался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника, противолежащий стороне в 5 делений, был прямой. Если ремесленники пользовались верёвкой всегда одной и той же строго определённой длины, то площадь такого прямоугольного треугольника принималась за эталон. В настоящее время такой треугольник называется «египетский» в честь страны, в которой был «открыт».
В древние времена египтяне, приступая к постройке пирамиды, дворца или обыкновенного дома, сначала отмечали направление сторон горизонта. Это очень важно, так как освещённость в строении зависит от положения его окон и дверей по отношению к Солнцу. Действовали они следующим образом. Втыкали в землю отвесный шест. В полдень тень от шеста становилась короче всего и показывала направление на север. Египетские строители намечали линию север – юг. Для проведения линии восток – запад брали веревку с двумя колышками и проводили на земле дуги так, как это показано на рисунке. Через точки пересечения дуг натягивали веревку. Это и есть направление с востока на запад.
Египтяне
также умели находить длину окружности. В глубокой древности считалось, что для
этого достаточно взять самую широкую часть серединного сечения бочки и умножить
ее на 3. Это было не строго точно, но вполне достаточно для обиходных
измерений.
Однажды
гарпедонапты предложили греческому ученому Фалесу найти высоту громадной
пирамиды. Он воткнул длинную палку вертикально в землю и сказал: «Когда тень от
этой палки будет той же длины, что и сама палка, тень от пирамиды будет иметь
ту же длину, что и высота пирамиды».
Фалес умел
находить расстояние до недоступных точек, применяя признаки равенства и подобия
треугольников. Он доказал, что диаметр делит круг пополам, то есть что при
перегибании круга по диаметру одна половина в точности ляжет на другую. Он
также знал, что образованные при пересечении двух прямых вертикальные углы
равны.
Жителями стран Древнего Мира
широко использовались знания по геометрии. Об этом свидетельствуют папирусы,
найденные в тайниках этих стран. Судя по сохранившимся задачам, математикам
Вавилона было уже известно свойство средней линии трапеции. В книгах
древнеиндийской геометрии встречаются описания вычисления площадей, построения
квадрата по данной его стороне, деление отрезка пополам, есть примеры практического
применения подобия треугольников и теоремы Пифагора, которая имела следующую формулировку:
«Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его большей и меньшей
сторон» или «Квадрат на диагонали квадрата в два раза больше самого квадрата».
Китайским ученым было известно правило для определении площади круга: «Умножь
диаметр сам на себя, раздели на 4, возьми три раза».
Вывод
Уже в наше время задачи по геометрии по-прежнему находят широкое применение в строительстве, искусстве и архитектуре, а также во многих других отраслях промышленности. Теперь ученые, используя накопившиеся материалы в области геометрии, совершенствуют их, ищут что-то новое, создают свои гипотезы. А без практики не может существовать и теория.
Изучая литературу, проводя
исследование и, решая практические задания, я узнала, что существует множество
способов и методов нахождения высоты высоких предметов:
ü
способ Фалеса (приложение 3)
ü
измерение высоты дерева при помощи
булавочного прибора
(приложение
4)
ü
метод подобных треугольников с
использованием тени
ü
Измерение высоты школы при помощи записной
книжки (приложение 5)
ü
способ измерения при помощи высотомера
Использование «египетского
треугольника» из веревки позволяет решить задачи:
ü построение
прямых углов на местности (приложение 6)
ü определение
сторон горизонта
Измерения голыми руками.
«Измерь
самого себя – и ты станешь настоящим геометром!» - воскликнул средневековый философ
Марсилио Фичино.
Конечно,
измерить самого себя и стать настоящим геометром очень трудно. Не всякому
удается сделать это за всю жизнь, но если говорить о чем-то более простом, то с
уверенностью можно сказать, что каждому человеку, научившемуся считать и писать,
неоднократно приходилось что-либо измерять: высоту дерева, собственный вес,
длину прыжка и многое другое. Но не всегда в путешествии мы имеем сантиметровую
ленту. Хорошо бы каждому из нас обзавестись «живым метром», чтобы в случае
нужды пользоваться им для измерений.
Полезно
также помнить, что у большинства людей расстояние между концами расставленных
рук равно росту – правило, подмеченное гениальным художником и ученым Леонардо
да Винчи: оно позволяет пользоваться нашими «живыми метрами».
Искусство мерить шагами.
Очутившись
на дороге, мы можем выполнить ряд интересных геометрических измерений. Прежде
всего, воспользуемся шоссе, чтобы измерить длину своего шага и скорость ходьбы.
Это даст возможность измерять расстояния шагами – навык, который приобретается
довольно легко после недолгих упражнений. Главное здесь- приучить себя делать
шаги всегда одинаковой длины. На шоссе через каждые 100
м установлен белый столб, пройдя такой 100-метровый промежуток своим обычным
шагом и сосчитав число шагов, вы легко найдете среднюю длину своего шага.
Отметим любопытное соотношение, обнаруженное многократными измерениями: средняя
длина шага взрослого человека равна примерно половине его роста, считая до
уровня глаз. Если, например, рост человека до уровня глаз 1,4
м, то длина его шага – около 70 см
Проверим
это утверждение:
На
школьном дворе отмерили расстояние 10м и шагами прошлись 3 раза. Получили в
среднем у меня 11 шагов, а у Яны 13. Нашли длину шага у Яны и свою: . ( Мой рост 1,6м, а у Яны – 1,50м)
можно сделать вывод, что на самом деле длина шага человека равна половине его
роста, считая до уровня глаз с точностью 0,03м.
Как определить высоту
высокого предмета способом Жюля Верна
Взять шест, измерить его длину и
вертикально воткнуть в землю напротив высокого предмета, высоту которого надо
найти. Второму участнику нужно лечь на землю так, чтобы край шеста совпал с
самой высокой точкой предмета. Расстояние от шеста до головы участника так
относится к расстоянию от головы до основания высокого предмета, как высота
шеста к высоте предмета. Остается вычислить высоту предмета так: высоту шеста
умножить на расстояние от предмета до головы участника, лежащего на земле, и
разделить на расстояние от шеста до головы участника.
Как определить стороны
горизонта
Египетские строители поступали так.
Втыкали в землю отвесный шест. В полдень, когда тень от шеста была короче
всего, она показывала нам направление на север.
Наметьте на земле линию север—юг.
Затем возьмите веревку с двумя колышками и проведите на земле дуги так, как это
показано на нашем рисунке. Через точки пересечения дуг натянуть веревку.
Это и будет направление с востока на запад.
Кстати, линии север—юг и запад—восток
пересекаются под прямым углом. Потому, можно из планок изготовить прямоугольный
треугольник и использовать его в случае необходимости.
Как измерять голыми
руками
Когда-то
гениальный художник и ученый Леонардо да Винчи подметил правило, что у большинства
людей расстояние между концами расставленных рук равно росту человека. Но
полагаться на среднюю величину не следует: каждый должен измерить свой рост и
размах своих рук.
Задачи нахождения расстояний до
недоступных точек в древности решал Фалес. В наше время решение таких задач
также находит применение. Используя признаки подобия треугольников, можно
находить на местности расстояние между двумя точками, которое невозможно
пройти по прямой линии и расстояние между двумя точками, одна из которых
недоступна. Обе задачи встречаются в учебнике А.В.Погорелова.
Из множества существующих способов
измерения высоты дерева, не срубая его и не взбираясь на верхушку, при помощи
весьма незамысловатых приборов и даже без всяких приспособлений я выбрала самый
лёгкий и самый древний способ – без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес
за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался
её тенью. Фалес, - говорит предание, - избрал день и час, когда длина
собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна
также равняться длине отбрасываемой ею тени. А чтобы воспользоваться тенью для
решения задачи о высоте пирамиды, надо было узнать некоторые геометрические
свойства треугольника, -
Способ Фалеса в
указанном виде применим не всегда, так как солнце у нас низко стоит над
горизонтом, и тени бывают равны высоте отбрасывающих их предметов лишь в
околополуденные часы летних месяцев.
Нетрудно, однако, изменить этот
способ так, чтобы в солнечный день можно было пользоваться любой тенью, какой
бы длины она ни была. Измерив, кроме того, и свою тень или тень какого-нибудь
шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции:
AB:А1В1=BC:В1С1
т.е. высота дерева во столько же раз
больше вашей собственной высоты, во сколько раз тень дерева длиннее вашей тени.
Это вытекает, конечно, из геометрического подобия треугольников АВС и А1В1С1.
Рис.1 Измерение высоты дерева.
Измерение высоты дерева при помощи
простого булавочного прибора
Вполне возможно обойтись при
измерении высоты и без помощи теней. Прежде всего мы можем воспользоваться
свойством равнобедренного треугольника, обратившись к услугам весьма простого
прибора, который легко изготовить из дощечки и трёх булавок.
Рис.2 Булавочный прибор для измерения
высот.
Обращение с ним не сложнее
изготовления. Отойдя от измеряемого дерева, держите прибор так, чтобы один из
катетов треугольника был направлен отвесно, для чего можете пользоваться
ниточкой с грузиком, привязанной к верхней булавке.
Рис.3 Схема применения булавочного
прибора.
Рис.4
Приближаясь к дереву или удаляясь от
него, вы всегда найдёте такое место А (рис.3), из которого, глядя на булавки А1
и С1 , увидите, что они показывают верхушку С дерева: это значит,
что продолжение гипотенузы А1С1 проходит через точку С.
Тогда, очевидно, расстояние А1В равно СВ, так как угол а=450.
Следовательно, измерив расстояние А1В
и прибавив ВD, т.е. возвышение А1А глаза над землёй, получите
искомую высоту дерева.
При помощи записной книжки
Рис. 5 Измерение высоты дерева при
помощи записной книжки.
В качестве прибора для
приблизительной оценки недоступной высоты вы можете использовать и свою
карманную записную книжку, если она снабжена карандашом, всунутым в чехлик или
петельку при книжке. Она поможет вам построить в пространстве те два подобных
треугольника, из которых получается искомая высота.
Поэтому вы можете заранее вычислить,
какая высота соответствует тому или иному выдвижению, и нанести эти числа на
карандаш. Записная книжка превратится тогда в упрощённый высотомер, так как мы
при её помощи определять высоты сразу, без вычислений.
3. Практическая часть.
Переходя к практической
части своей работы, хотелось сказать о том, что мой интерес к изучению данной
темы не случаен. Каждый день, приходя в школу, я любуюсь красотою окружающей
природы. Но беспокойство вызывают высокие деревья, стоящие вокруг школы. Мне
захотелось выяснить – не опасны ли они для жизни, а также имущества человека.
Чуть ли не каждый день в результате какого-нибудь сильного порыва ветра происходит
падение различных сухих деревьев, что производит поистине катастрофические разрушения,
порой нанося невероятный ущерб.
В основном на сегодняшний день
присутствует несколько причин, вследствие которых удаляются деревья:
Ø
Деревья получают аварийный статус из-за
каких-либо стихийных бедствий и явлений, а так же за счёт воздействия
человеческого фактора, или же они просто-напросто зависают в кронах рядом
стоящих деревьев.
Ø
Дерево имеет постоянный наклон ствола
более чем на 45 градусов.
Ø
Дерево располагается вблизи сетей
электропередачи, а его ветви касаются проводов.
Ø
Дерево располагается вблизи какого-либо
строения, при этом представляя серьезную угрозу для них за счет его возможного
падения при сильном порыве ветра.
Ø
Дерево полностью засохло или же утратило
свою жизнеспособность.
Ø
У дерева появляются повреждения коры или
же корневой системы, причиной чего выступают различные заболевания
Ø
При сильном порыве ветра дерево достаточно
сильно качает
Я решила проверить, насколько близко
расположены деревья к школе и представляют ли угрозу зданию. Для этого
использовала способ Фалеса. Измерила с солнечный день тени деревьев и свою
тень. Вычислила искомую высоту из пропорции:
СB
: АВ=ОД : КД
Пришла к выводу, что высота деревьев
превышает расстояние до здания школы, при этом они представляют серьезную
угрозу за счет их возможного падения при сильном порыве ветра. Я считаю, что
есть необходимость в удалении этих деревьев с территории школы. Но так как вырубка
деревьев – это чрезвычайно ответственный процесс, который нужно доверять исключительно
профессионалам, так как в противном случае он может привести к неблагоприятным
последствиям, я обратилась в администрацию поселкового совета с просьбой об
оказании помощи в вырубке. Надеюсь, что моё предложение не останется безответным.
Заключение.
В результате проведённого
исследования я выяснила некоторые области применения геометрических измерений
древних в современном мире. Мною собрано и обработано много материала из
литературных источников и интернета по данной теме. Я изучила некоторые
исторические сведения по теме, решила ряд задач на применение геометрических
измерений. Главным в работе считаю предложения по решению выдвинутой мною
проблеме безопасности: аварийные деревья – это серьезный источник достаточно
высокой опасности для жизни, а также имущества человека.
В результате решения поставленных
задач я пришла к выводу, что выдвинутая гипотеза нашла подтверждение. Да,
действительно, изучение способов решения задач древними геометрами позволяет
узнать, какие из этих навыков актуальны в настоящее время и, как их можно
самостоятельно использовать в повседневной жизни. А также практическое применение
результатов моего исследования при решении проблемы, которые я обозначила в
своей работе и думаю, что администрация нашего хутора откликнется на мои
предложения.
Результатом моей работы является:
1.
приобретение навыка работы с литературными
источниками;
2.
приобретение навыка поиска нужного
материала в Интернете;
3.
научился работать с большим объёмом информации,
отбирать нужную информацию;
4.
это мой первый проект по математике, в
результате которого я приобрёл опыт обработки данных и написания
исследовательского проекта.
Было интересно почувствовать себя
исследователем, но главное меня заинтересовал процесс познания. Работа над
проектом помогла мне реально применить полученные на уроках знания, навыки,
опыт в практической деятельности, в соответствии с моими интересами.
План исследований
В современном мире люди
постоянно сталкиваются с решением геометрических задач. Мало кто из них
догадывается, что решением их занимались еще древние геометры.
Гипотеза:
Изучение способов решения задач древними геометрами,
позволит узнать, какие из этих навыков актуальны в настоящее время и, как их
можно самостоятельно использовать в повседневной жизни.
Этапы исследования:
|
Содержание этапа
|
Временный промежуток
|
1.
|
Изучить
соответствующую литературу по истории развития науки геометрия
|
сентябрь
– октябрь 2013 г.
|
2.
|
Исследовать примеры решения геометрических задач
древними учеными.
|
ноябрь
- декабрь 2013 г.
|
3.
|
Опрос взрослых
|
январь
2014 г.
|
4.
|
Опрос учащихся
|
февраль
2014 г.
|
5.
|
Применение способов решения геометрических задач на
практике.
|
февраль
2014 г.
|
6.
|
Написание
ходатайств
главе
администрации Новомаякского сельсовета Воробьеву Александру Дмитриевичу
начальнику
отдела образования АНМР Хмеленко Татьяне Леонидовне
|
март
2014 г.
|
Библиографический список
1. «За
страницами учебника математики», И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин: М.:
Просвещение,1989.
2.
«Занимательная алгебра. Занимательная
геометрия», .И.Перельман: М.: АСТ- Астрель,2002 .
3.
А.П.Савин «Энциклопедический словарь юного
математика»: М.: Педагогика- Пресс,1997.
4. «Учебник для 7 – 11 классов средней школы», А.В.Погорелов: М.:
Просвещение, 1992.
5. «Книга для внеклассного чтения по математике», А.А.Колосов: М.:
Учпедгиз, 1963.
6. «Изучаем геометрию. Книга для учащихся 6-8 классов средней школы»,
Е.Е.Семенов: М.: Просвещение, 1987.
7. http://www.ethbib.ethz.ch/exhibit/mathematik/images/tangram_nh.jpg
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.