Проект по математике 5 класс "Удивительный мир чисел"

МБОУ Инзенская СШ №1 имени Ю.Т. Алашеева

Проект

«Удивительный мир чисел»

Работу выполнили

учащиеся 5 класса А

Руководитель проекта:

 Ёлчева Н.Л.

2014 г.

Пифагор

          Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не знали нуля, так как его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и частями", то есть между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней "семя и вечный корень". Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как "числового атома", роднило ее с точкой, считавшейся "геометрическим атомом". Вот почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Таким образом пифагорейские числа в современной терминологии - это натуральные числа. Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными. Итак, фигу́рные чи́сла — общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой

1.    Линейные числа

         Линейные числа - самые простые числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и вследствие этого могут быть изображены в виде линии, составленной из последовательно расположенных точек. Примером линейного числа является -  число 5

( л и н е й н о е   ч и с л о   5 )

      Эти числа называются простыми. Более двух тысяч лет назад в Греции знаменитый математик Эратосфен придумал очень остроумный способ выискивать простые числа. Он предложил для этого применять особое решето, сквозь которое все ненужные числа будут просеиваться, а все нужные – простые - оставаться.

      Чудесное решето назвали решетом Эратосфена. А действует оно следующим образом.

     Запишем все числа, начиная с двойки, по порядку:

2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; . . .

Такой ряд чисел называется натуральным рядом. Выбросим из этого ряда те числа, которые, которые наверняка не являются простыми, то есть делятся не только на себя, но и на другие числа. Сначала отбросим те числа, которые делятся на два. Затем отсеем те числа, которые делятся на три. Всё меньше и меньше остаётся чисел в решете. А дальше выбросим все числа, которые делятся на 5, потом те, что делятся на 7 и так далее. Так постепенно из ряда натуральных чисел будут выбывать составные числа, а простые останутся.

       Теперь мы уже знаем очень много простых чисел. Все зачёркнутые числа, кроме 1, являются составными. Число 1 не является простым числом, но оно относится к линейным числам.

2.    Плоские числа. Телесные числа.

      Плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, (или составные): 4; 6; 8; 10; . . .

          (число 6)                                                      (число 10)

Эти числа можно расположить в две линии.

      Телесные числа – числа, представимые в виде произведения трёх сомножителей: 8; 12; 16; 18; . . .

3.    Многоугольные числа.

         Выкладывая различные правильные многоугольники, мы получаем разные классы многоугольных чисел. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение «Возвести число в квадрат или в куб»

Треугольные числа.

      Нарисованные и попарно соединённые три точки создают правильный (равносторонний) треугольник. А если точек четыре – можно ли их расположить аналогичным способом? Оказывается, нет. Пять точек - тоже нет. А вот шесть точек расположить в требуемом порядке уже можно. При этом новый треугольник получается линейным увеличением последнего в три раза. Чтобы впечатление треугольника сохранялось нужно добавить четыре точки. Соответствующий треугольник получается линейным увеличением исходного в три раза.

      Продолжая добавлять точки, будем получать всё новые и новые треугольники.

В приведённых примерах точек сначала было три, потом шесть, затем десять и так далее. Эти числа по вполне понятным причинам называются треугольными. Простейшими из этих чисел являются - !; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; . . .

1

3=1+2

6=1+2+3

10=1+2+3+4

15=1+2+3+4+5

21=1+2+3+4+5+6 и т.д.

      Любое треугольное число можно представить в виде , где n – порядковый номер числа.

      Треугольные числа обладают следующими свойствами:

1.    Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат – квадратное число.

2.    Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное, . . .

Подсчитаем с помощью рисунка несколько первых треугольных чисел и составим таблицу.

        А можно ли продолжить таблицу дальше, без помощи рисунков? Сделать это совсем просто, если понять правило, по которому каждое следующее треугольное число получается из предыдущего. Посмотрите на таблицу: третье треугольное число получается, если ко второму прибавить число 3, т. е. его номер; четвертое треугольное число получается добавлением к третьему числу 4 и т. д.

        А можно ли найти какое-нибудь треугольное число, не вычисляя всех предыдущих? Попробуем найти треугольное число под номером 10. Десятое треугольное число равно сумме:

                      1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10.

        Для подсчета этой суммы запишем ее слагаемые в обратном порядке и расположим суммы одна под другой:

                      1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10.

                     10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1.

       Сумма каждой пары, расположенных друг под другом, равна 11. Всего таких сумм 10. Поэтому удвоенная сумма равна 10 · 11. А само треугольное число (10 · 11) : 2 =55.

Порешаем?

1. а) Шары укладывают в равносторонние треугольники. В пятнадцатом треугольнике 120 шаров. Сколько шаров в 16 треугольнике? В четырнадцатом?

      б) Заполни указанную часть таблицы

2.

      а) Шары уложили в равносторонний треугольник, в котором 25 рядов. Сколько потребовалось шаров?

      б) Чему равно треугольное число с номером 35? С номером 50? С номером 1000?

 3.

      а) Несколько шаров уложили на плоскости в равносторонний треугольник – остались лишними 3 шара. А когда построили треугольник, сторона которого содержит на 1 шар больше, то не хватило 4 шаров. Сколько было шаров?

      б) Несколько шаров уложили на плоскости в равносторонний треугольник – остались лишними 24 шара. А когда построили треугольник, сторона которого содержит на один шар больше, то не хватило 11 шаров. Сколько было шаров?

 4.

      В каком порядке идут четные и нечетные числа в последовательности треугольных чисел? Четным или нечетным является число с номером 17, 18, 19, 20? Четным или нечетным является число с номером 60, 78, 35?

 5.

      Найдите сумму:

 а) 15-го и 16-го треугольных чисел;

 б) 47-го и 48-го треугольных чисел.

Желаем успеха!

        Треугольные числа связаны с именем великого древнегреческого математика и философа Пифагора, который жил в VI в. До н. э. Пифагор использовал квадратные, пятиугольные числа. У него не только плоские фигуры изображали числа. Были также и пирамидальные числа, и кубические …

Квадратные числа.

Нарисованные точки образуют правильную геометрическую фигуру – квадрат. Квадратными числами называются числа ряда: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; . . .

1      4        9            16             25

1=1х1

4=2х2

9=3х3

16=4х4

25=5х5   и  т.д. 

       Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами.                                  

      Любое квадратное число можно представить в виде , где n – порядковый номер числа.

Пятиугольные числа.

     Пятиугольные числа - это числа, которые образуют правильный пятиугольник.

   1     5          12                 22

      Любое пятиугольное число можно записать в виде  , где n- порядковый номер числа.

                  Совершенные числа

     Совершенное число (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

• 6 — шесть. Натуральное четное число. Факториал 3!, Регулярное число (Число Хемминга), Совершенное число. В ряду натуральных чисел находится между числами 5 и 7.

Делители числа 6  -   1; 2; 3 – собственные делители.

                                        6=1+2+3

• 28 — двадцать восемь. Натуральное четное число. Совершенное число. В ряду натуральных чисел находится между числами 27 и 29.

Делители числа 28  -  1; 2; 4; 7; 14 -  собственные делители.

                              28=1+2+4+7+14

• 496 — четыреста девяносто шесть. Натуральное четное число. Совершенное число. В ряду натуральных чисел находится между числами 495 и 497.

Четвёртое совершенное число — 8128,

пятое — 33 550 336,

шестое — 8 589 869 056,

седьмое — 137 438 691 328 . . .
В диапазоне от 1 до 100 всего 2 числа- 6 и 28

                    Сказка о совершенных числах

        28 сентября число 28 решило пригласить в гости всех своих делителей, меньших, чем оно само. Первой прибежала единица, за ней двойка, за ней 4; 7; 14. Когда все гости собрались, число 28 увидело, что их немного. Оно огорчилось и предложило, чтобы каждый из гостей привел ещё и своих делителей. (Сколько придет новых гостей?). Единица объяснила числу 28, что новые гости не придут.

      Чтобы утешить число 28 , его гости соединились знаком "+". И, о чудо, сумма оказалась равной самому числу 28! Единица сказала, что всякое число, которое равно сумме своих меньших делителей, называется совершенным. Число обрадовалось и спросило, какие числа есть ещё совершенные. Всезнающая единица ответила, что совершенных чисел очень мало: среди чисел до миллиона их всего четыре: 6, 28, 496 и число 8128. Известно довольно много четных совершенных чисел, но не известно ни одного нечетного совершенного числа. Также неизвестно, конечно ли количество совершенных чисел. Возьмём совершенное число – 6. На какие числа делится это число? На 1, на 2 и на 3. Теперь сложим эти три числа: 1 + 2 + 3 = 6 Или вот другое совершенное число – 28, – Помните, какие у него младшие делители – 1, 2, 4, 7 и 14. Сложим их: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Значит, совершенные числа равны сумме всех своих младших делителей. К сожалению, совершенных чисел всего двадцать четыре: 6, 28, 496,8128, 130 816… Дальше они растут всё быстрее и быстрее, а вычислять их всё сложнее и сложнее. Может быть вам доведётся найти новое совершенное число.

                                Дружественные числа

          Дружественные числа – это пара чисел, обладающих таким свойством: сумма собственных делителей (не считая самого числа) первого из них равна второму числу, а сумма собственных делителей второго числа равна первому числу.

        Они открыты древнегреческими учеными - последователями Пифагора. Недаром знаменитый греческий математик Пифагор сказал: «Друг – это второе я!» – и при этом сослался на числа 220 и 284. Они замечательны тем, что каждое из них равно сумме младших делителей другого числа. Какие делители у числа 284?

 1, 2, 4, 71, 142.

 А у числа 220 делители:

 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110.

 Попробуем сложить делители каждого числа:

 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220,

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.

        Вот почему эти числа называются дружественными. Пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел: 220 и 284. Вторая дружественная пара (1184 и 1210) была найдена в 1867 году шестнадцатилетним итальянцем Б. Паганини. Пары дружественных чисел образуют последовательность: 220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, …

         Две стихии господствуют в математике - числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Само возникновение понятия числа - одно из гениальнейших проявлений человеческого разума. Действительно, числа не только что-то измеряют. Числа сравнивают и вычисляют, рисуют и проектируют, сочиняют и играют, делают умозаключения и выводы