Проект по математике "Загадки геометрической прогрессии"

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Проект по математике
  ученицы 9 «Б» класса
  Преображенской средней школы
  Хайбуллиной Дины
  
  Руководитель: Рейхерт А.Н.
  2015г.
  

• 

  2 слайд

  Тема проекта:
  «Загадки геометрической прогрессии»
  

• 

  3 слайд

  Актуальность:
  
  Потребность в дополнительных знаний по данной теме, связь с жизнью.
  

• 

  4 слайд

  Объект работы:
  Нестандартные задачи геометрической прогрессии не входящие в школьный курс математики.
  

• 

  5 слайд

  Предмет исследования:
  Разнообразие, красота, и неожиданность задач геометрической прогрессии.
  

• 

  6 слайд

  Цель исследования:
  Поиск занимательных и нестандартных задач геометрической прогрессии не входящих в школьный курс математики.
  

• 

  7 слайд

  Задачи исследования:
  Научиться создавать проектную работу.
  Более глубокое изучение геометрической прогрессии.
  Поиск и решение интересных и нестандартных задач по геометрической прогрессии.
  
  
  
  

• 

  8 слайд

  Этапы подготовки и реализация проекта:
  •Формулирование проблемы, обоснование актуальности выбранной темы.
  •Постановка цели и конкретных задач исследования.
  •Определение объекта и предмета исследования.
  •Выбор метода (методики) проведения исследования.
  •Описание процесса исследования.
  •Обсуждение результатов исследования.
  •Формулирование выводов и оценка полученных результатов.
  
  
  

• 

  9 слайд

  Вступление.
  Недавно мы проходили темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Сравнивая их мы увидели настолько они отличаются друг от друга. Если арифметическая прогрессия увеличивается или уменьшается незначительно, то с геометрической прогрессией шутить нельзя и в это мы убедились когда разбирали задачу из учебника про изобретателя шахмат и царя, который хотел выкупить эту игру. После этого мне захотелось узнать, если ещё такие задачи, решение которых не укладывается в голове и ты не веришь в ответ пока сам не начнёшь их решать. Отсюда и появилась цель провести исследование по теме «Загадки геометрической прогрессии». И сейчас с результатом своей работы я вас познакомлю.
  

• 

  10 слайд

  Задача про шахматы и зерно.
  По преданию, индийский принц Сирам предложил изобретателю шахматной игры просить у него любую награду.
  

• 

  11 слайд

  
  
  Тот попросил, чтобы ему дали за первый квадрат шахматной доски одно пшеничное зернышко, за второй-2, за третий-4 и т.д., увеличивая вдвое за каждый из следующих квадратов.
  Принц согласился.
  

• 

  12 слайд

  Но когда подсчитали количество зерен пшеницы, которое следует выдать за все 64 квадрат шахматной доски, то оказалось, что награда в этом размере не может быть выдана из-за недостатка пшеницы.
  

• 

  13 слайд

  Не поверив в эти слова мы приступили к решению задачи всем классом. Но с каждой клеткой мы убеждались, что число увеличивается очень быстро:
  1клетка-1 зерно
  2 клетка-2 зерна
  3 клетка-4 зерна
  20 клетка-20 мил. зёрен
  21 клетка-40 мил. Зёрен и дт.
  

• 

  14 слайд

  Сколько же зерен пришлось бы выдать изобретателю за 64 клетки?
  

• 

  15 слайд

  Если бы такое число зерен рассыпать равномерно по всей земной суше, то образовался бы слой пшеницы толщиной около 1 см.
  Математики подсчитали, что все это зерно будет иметь массу около 700 млрд. тонн. Это заведомо превосходит количеств пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
  

• 

  16 слайд

  Ханойская башня.
  Ханойская башня является одной из популярных головоломок XIX века.. Даны три стержня, на один из которых нанизаны восемь колец, причем кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем. Задача состоит в том, чтобы перенести пирамиду из восьми колец за наименьшее число ходов на другой стержень. За один раз разрешается переносить только одно кольцо, причём нельзя класть большее кольцо на меньшее.
  Минимальное число ходов, необходимое для решения головоломки, равно 2n - 1, где n — число дисков
  

• 

  17 слайд

  Легенда о Ханойской башне.
  Легенда гласит, что в Великом храме города Бенарес, под собором, отмечающим середину мира, находится бронзовый диск, на котором укреплены 3 алмазных стержня, высотой в один локоть и толщиной с пчелу.
  

• 

  18 слайд

  Давным-давно, в самом начале времён, монахи этого монастыря провинились перед богом Брахмой. Разгневанный, Брахма воздвиг три высоких стержня и на один из них возложил 64 диска, сделанных из чистого золота. Причем так, что каждый меньший диск лежит на большем.
  
  

• 

  19 слайд

  С тех пор монахи перекладывают эти диски согласно правилам. Как только все 64 диска будут переложены со стержня, на который Брахма сложил их при создании мира, на другой стержень, башня вместе с храмом обратятся в пыль и под громовые раскаты погибнет мир.
  
  

• 

  20 слайд

  
  Количество перекладываний вычисляется по формуле 2^64 - 1 секунд .
  Число перемещений дисков, которые должны совершить монахи, равно
  18 446 744 073 709 551 615.
  Если бы монахи, работая день и ночь, делали каждую секунду одно перемещение диска, их работа продолжалась бы
  584 миллиарда лет.
  
  

• 

  21 слайд

  В рассказе Эрика Фрэнка Рассела «Ваш ход», чтобы оттянуть время казни инопланетянами, главный герой выбирает игру в Ханойскую башню с 64 дисками в качестве последней игры. Вы догадываетесь почему?......
  

• 

  22 слайд

  Задача про карты.
  Возьмем обычную колоду карт.
  Разрежем колоду карт пополам, положим половинки одну на другую. Получившуюся стопку разрежем еще раз пополам и так далее всего 64 раза. Как вы думаете какую высоту будет иметь получившаяся в итоге стопка?
  
  

• 

  23 слайд

  Толщина колоды обычно около 1 см. Ну а высота стопки будет примерно равно расстоянию от Земли до Солнца.
  

• 

  24 слайд

  Задача из арифметики Магницкого
  

• 

  25 слайд

  Решение задачи.
  Из решения задачи видно, что за каждый следующий гвоздь придется отдавать вдвое больше, а если сложить стоимость шести гвоздей то получится немыслимая сумма 42000 р.
  

• 

  26 слайд

  Задача из Древнего Рима.
  Полководец Теренций, по приказу императора, совершил победоносный поход и с трофеями вернулся в Рим. Прибыв в столицу, он просил допустить его к императору, что бы попросить у него плату в размере- миллиона динариев.
  - Доблестный Теренций! Ты великий воин, и славные подвиги твои заслужили щедрой награды. Я дам тебе богатство. Но на таких условиях.
  

• 

  27 слайд

  В моем казначействе лежит 5 миллионов медных брассов. И ты заберешь себе столько сколько унесёшь. Теперь внимай моим словам. Ты войдешь в казначейство, возьмешь одну монету в руки, вернешься сюда и положишь ее к моим ногам. На другой день вновь пойдешь в казначейство, возьмешь монету, равную 2 брассам, и положишь здесь рядом с первой. В третий день принесешь монету, стоящую 4 брасса, в четвертый - стоящую 8 брассов, в пятый - 16, и так далее, все удваивая стоимость монеты.
  И пока хватит у тебя сил поднимать монеты, будешь ты выносить их из моего казначейства. И когда заметишь, что не можешь уже больше поднять монету - остановись: уговор наш закончится, но все монеты, которые удалось тебе вынести, останутся твоими и послужат тебе наградой.
  

• 

  28 слайд

  Начались ежедневные посещения Теренцием государственного казначейства.
  В первый день вынес он из казначейства всего один брасс. Это небольшая монета, 21 мм в поперечнике и 5 г весом.
  Легки были также второй, третий, четвертый, пятый и шестой переходы, когда полководец выносил монеты двойного, тройного, 8-кратного, 16-кратного и 32-кратного веса. На шестнадцатый день полководец шатался под ношей, лежавшей на его спине. Это была монета, равная 32768 единичным монетам и весившая 164 кг; поперечник ее достигал 67 см.
  

• 

  29 слайд

  Восемнадцатый день был последним днем обогащения Теренция. В этот день закончились его посещения казначейства и странствования с ношей в приемную залу императора. Ему пришлось доставить на этот раз монету, соответствовавшую 131 072 единичным монетам. Она имела более метра в поперечнике и весила 655 кг. Пользуясь своим копьем как рычагом, Теренций с величайшим напряжением сил едва вкатил ее в залу. С грохотом упала монета к ногам императора.
  Теренций был совершенно измучен. Казначей исполнил поручение и сказал:
  - Государь, благодаря твоей «щедрости» победоносный воитель Теренций получил в награду 262143 брасса
  
  
  

• 

  30 слайд

  
  Проверим расчет казначея, а заодно и вес монет. Теренций вынес:
  в 1-й день 1 брасс весом 5 г,
  на 2 день 2 брасса весом 10 г,
  на 3 день 4 брасса весом 20 г,
  на 4 день 8 брасса весом 40 г,
  на 5 день 16 брасса весом 80 г,
  на 6 день 32 брасса весом 160 г,
  на 7 день 64 брасса весом 320 г,
  на 8 день 128 брасса весом 640 г,
  на 9 день 256 брасса весом 1 кг 280 г,
  на 10 день 512 брасса весом 2 кг 560 г,
  на 11 день 1024 брасса весом 5 кг 120 г,
  на 12 день 2048 брасса весом 10 кг 240 г,
  на 13 день 4096 брасса весом 20 кг 480 г,
  на 14 день 8192 брасса весом 40 кг 960 г,
  на 15 день 16384 брасса весом 81 кг 920 г,
  на 16 день 32768 брасса весом 163 кг 840 г,
  на 17 день 65536 брасса весом 327 кг 680 г,
  на 18 день 131072 брасса весом 655 кг 360 г.
  . Теренций просил у императора миллион динариев, т. е. 5 000 000 брассов. Значит, он получил меньше просимой суммы в
  5 000 000 : 262143 ≈ 19 раз.
  
  

• 

  31 слайд

  Задача «Новости»
  Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи! Иной раз и не пройдет и двух часов со времени какого-нибудь происшествия, которое видело всего несколько человек, а новость облетела уже весь город: все о ней знают, все слыхали. Необычайная быстрота эта кажется поразительной, прямо загадочной. Однако, если подойти к делу с подсчетом, то станет ясно, что ничего чудесного здесь нет: все объясняется свойствами чисел, а не таинственными особенностями самих слухов.
  

• 

  32 слайд

  В небольшой городок с 50-тысячным населением приехал в 8 час утра житель столицы и привез свежую, всем интересную новость. В доме, где приезжий остановился, он сообщил новость только трем местным жителям; это заняло, скажем, четверть часа. Итак, в 8 1/4 час. утра новость была известна в городе всего только четверым: приезжему и трем местным жителям.
  

• 

  33 слайд

  Узнав эту новость, каждый из трех граждан поспешил рассказать ее 3 другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней знало уже 4 + (3 х 3) = 13 человек. Каждый из 9 вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с 3 другими гражданами, так что к 8 3/4 часам утра новость стала известна
  13 + (3 x 9) = 40 гражданам.
  
  

• 

  34 слайд

  Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, т. е. каждый, узнавший про новость, успевает в ближайшие четверть часа сообщить ее 3 согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию:
  в 9 час. новость узнают 40 + (3 х 27) = 121 чел.,
  в 9 1/4 час. новость узнают 121 + (3 х 81) = 364 чел.,
  в 9 1/2 час. новость узнают 364 + (3 х 243) = 1093 чел. Спустя полтора часа после первого появления в городе новости ее будут знать, как видим, всего около 1100 человек. Это, казалось бы, немного для населения в 50000. Можно подумать, что новость не скоро еще станет известна всем жителям. Проследим, однако, далее за распространением слуха:
  в 9 3/4 час. новость узнают 1093 + (3 х 729) = 3280 чел.,
  в 10 час. новость узнают 3280 + (3 х 2187) = 9841 чел.
  Еще спустя четверть часа будет уже осведомлено больше половины города:
  9841 + (3 х 6561) = 29524.
  И, значит, ранее чем в половине одиннадцатого дня поголовно все жители большого города будут осведомлены о новости, которая в 8 час. утра известна была только одному человеку.
  
  

• 

  35 слайд

  Вывод:
  Данное исследование позволило мне выйти за рамки школьного курса, узнать много интересных фактов, событий. Расширить свой кругозор. Научиться самостоятельно находить нужную информацию и представлять её в единой системе. И самое важное, что все не понятное в этом мире можно объяснить с помощью математики.
  

• 

  36 слайд

  Спасибо за внимание!