Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Проект, презентация и брошюра тема"Функционально-графический способ решения параметрических уравнений""
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Проект, презентация и брошюра тема"Функционально-графический способ решения параметрических уравнений""

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Брошюра.docx

библиотека
материалов








Функционально-графический
метод решения параметрических уравнений



Пособие для старшеклассников












C точки зрения алгебры, как определяется параметр. Параметр (от греческого “parametron” – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.

Решить уравнение - значит: найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами(a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.

Решение задач с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему значению к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определённый уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

В отношении уравнений с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи.

1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным требованиям.

Основной принцип решения уравнений с параметром состоит в следующем: нужно разбить область допустимых значений параметра на такие участки, в каждом из которых уравнение решается одним и тем же способом. Отдельно для каждого такого участка находятся решения, зависящие от значений параметра. Ответ к уравнению состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого из них всех решений этого уравнения.

Замечания.

1) Указанный подход к решению задач с параметром часто называется методом ветвления.

2) Для осуществления такого плана нужно знать “граничные” или “контрольные” значения параметра, которые разбивают ОДЗ на указанные участки. Поиск этих значений тесно связан со спецификой параметра и его двойственной природой (“число” – “неизвестная”).

Специфика уравнений с параметром состоит в том, что изменение значений параметра влечет за собой изменение не только коэффициентов, но и ряда других характеристик.

1) Степень уравнения (Например, уравнение 2ax 3x 6 0 при а = 0 является линейным, а при а 0 – квадратным).

2) Характер монотонности функции (Например, функция у  ax при a > 1 является возрастающей, а при 0 < a < 1 – убывающей).

3) ОДЗ переменной (Например, в неравенстве ax x 1 область допустимых значений переменной также зависит от а: при а = 0 ОДЗ: xR, при a > 0: ОДЗ: x 0, при a < 0 ОДЗ: x 0 ).

В тестах ЕГЭ по математике уравнения с параметрами можно разделить на три типа:

  • уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству;

  • уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра;

  • уравнения, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и их системы имеют заданное число решений.

Для решения уравнений с параметрами используют способы: аналитические и функционально-графические. Большинство уравнений с параметрами из тестов ЕГЭ по математике быстрее решать функционально-графическим способом.

Рассмотрим пример.

При каких значениях параметра a уравнение hello_html_627f083e.gif имеет три корня?

Решение (аналитический способ)

hello_html_m53755f38.gif

1) hello_html_m1f08b4e0.gif

hello_html_m395506b8.gif

hello_html_m3a5ac233.gif или hello_html_7531cff9.gif

hello_html_m2e886f7f.gif hello_html_m708224a8.gif

а) т.к. hello_html_m2e886f7f.gif, то hello_html_m5cc92064.gif

hello_html_a46a430.gif

hello_html_3b225844.gif

hello_html_m74c3d7d2.gif

б) т.к. hello_html_m708224a8.gif, то hello_html_m1461efd3.gif

hello_html_77c0cde6.gif

hello_html_m15d66050.gif

hello_html_2c957ed3.gif

hello_html_307f5ee2.gif

2) hello_html_77edead0.gif

hello_html_m5f5b6582.gif

hello_html_m53b60395.gif

hello_html_mdca4f58.gif


a) hello_html_2b414a24.gif

hello_html_68794fdb.gif

hello_html_c724c9d.gif

hello_html_m2e3d9010.gif

hello_html_m50b7a281.gif

hello_html_3dbb916f.gif

б) hello_html_m40aa8061.gif

hello_html_315804de.gif

hello_html_m781ee52d.gif

hello_html_7b8b2bf7.gif

hello_html_3b9e642d.gif

hello_html_m18e68c3d.gif

hello_html_m11296afa.gif


1

0,5

0,5




Решение (функционально-графический способ):

hello_html_m6895cf7b.gif; hello_html_65c49c1.gif

hello_html_3d204c75.png


На графике видно hello_html_536417ce.gif

Ответ: hello_html_536417ce.gif

Убедившись в том, что графический способ короче, я собрал в сборник задания, решаемые этим способом.


Образцы выполнения заданий.

Линейное уравнение с модулем

При каких значениях параметра а уравнение hello_html_m5f8e3958.gifимеет единственное решение?

Решение:

hello_html_m53f81948.gif

hello_html_m327c9848.gif; hello_html_m47f26d28.gif

hello_html_5d8a7a7.png

hello_html_22997d2e.gif, hello_html_m4ea43bb8.gif

Ответ: hello_html_m4ea43bb8.gif

Квадратное уравнение

Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2-(а+1)х+а+3=0  имеют разные знаки.

Решение:

Для того, чтобы парабола, являющаяся графиком функции у= ах2-(а+1)х+а+3, пересекала ось абсцисс в точках, между которыми располагается начало координат, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен ах2-(а+1)х+а+3  принимал в точке х = 0 отрицательное или положительное значение, в зависимости от направления ветвей параболы. Графическая интерпретация данной задачи:

Описание: http://arhuzin.narod.ru/Images_3/87.jpg

Тогда искомое условие задачи имеет вид:

Описание: http://arhuzin.narod.ru/Images_3/88.jpg

Ответ: а hello_html_5733b78f.gifhello_html_11852162.gif(-3;0).

Квадратное уравнение с модулем

Для каждого значения параметра а определите количество корней уравнения hello_html_m9fb703.gif.

Решение:

Построить график функции hello_html_6cd9b6d0.gif , и для каждого значения a определить количество общих точек этого графика с прямой у = а.

hello_html_m3b2a7107.gif

По графику видим, что при а < 0 корней нет; при a = 0 и a > 1 два корня; при a = 1 три корня; при 0 < a < 1 четыре корня.

Ответ: при а < 0 корней нет; при a = 0 и a > 1 два корня; при a = 1 три корня; при 0 < a < 1 четыре корня.

Дробно-рациональные уравнения

1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение hello_html_mff5acd9.gif на промежутке (0;) имеет ровно три корня.

Решение:

Найдем все значения параметра а, при которых прямая y аx 2 имеет ровно три общие точки с той частью графика функции hello_html_db08c96.gif, которая расположена в правой полуплоскости (х>0). Последний график представляет собой правую ветку гиперболы hello_html_m508df550.gif которую а) сместили на 3 единицы вниз, б) ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох зеркально отразили относительно оси абсцисс в верхнюю полуплоскость. Заметим также, что прямая y аx 2 проходит через точку (0; -2) при любом значении параметра а, который является угловым коэффициентом.

hello_html_6f80f447.gif

Видим, что условию задачи отвечают все прямые, расположенные внутри заштрихованной области. Значение параметра, соответствующее границе (1), находим из уравнения 0 2а 2, а=1.

Значение параметра, соответствующее границе (2), находим из условия касания прямой y аx-2 и графика функции hello_html_1c35e568.gif (отраженной части гиперболы). Уравнение hello_html_c51edf4.gifх-2 должно иметь ровно один корень. После преобразований получаем квадратное уравнение аx2 - 5х+  6=0 (очевидно, что а > 0), дискриминант которого приравниваем к нулю: 25 – 24а = 0, а = hello_html_m1edf339b.gif .

Ответ: 1 hello_html_m7c48e444.gif a hello_html_m7c48e444.gif hello_html_m1edf339b.gif.


2. При каких значениях а уравнение hello_html_m13122b00.gif имеет ровно три решения?

Решение:

hello_html_26327e3a.gif

график – гипербола hello_html_141c8c19.gif в системе координат hello_html_405ebce4.gifhello_html_m6831d449.png

hello_html_6073d445.gif

при hello_html_7e119d83.gifнет решения, при hello_html_m29762f4c.gifодно решение, hello_html_m3d22519e.gif два решения,

hello_html_m7b589ff2.gif три решения, hello_html_m77e47341.gif четыре решения.

Ответ: 6

Иррациональные уравнения

При каких значениях параметра а уравнение hello_html_9fa8e84.gif имеет ровно 2 корня?

Решение:

hello_html_83742e7.gif; hello_html_m51c35b4f.gif; x0 – точка касания (x0>0)

hello_html_50c73054.gif (т.к. y=|x|, k=1)

hello_html_m5274b7af.gifhello_html_20789be3.png

hello_html_m6e5fa614.gif

hello_html_m78102c1c.gif



Ответ: hello_html_m449963f6.gif

Тригонометрические уравнения


Найдите все значения параметра p, при которых уравнение hello_html_m7692083e.gifне имеет решений.

Решение:

hello_html_327f264d.gif

hello_html_1850f9d9.gif, hello_html_m8fb2229.gif, hello_html_3d898878.gif, hello_html_m7c135ea1.gif, hello_html_m227a113.gif

hello_html_m2dae6a4d.gif, hello_html_5789ab6f.gif или hello_html_20a94f6e.gif

hello_html_6b5f2275.png

Видно, что у графика есть максимум на отрезке hello_html_58bed2a8.gif, и решение зависит от того, точка максимума находится левее или правее точки hello_html_3f970800.gif. Это можно выяснить с помощью дифференцирования. Но мы изучим внимательнее функцию и заметим, при всех hello_html_7f8f09b7.gifверны неравенства: hello_html_m36e86b37.gif, т.к. hello_html_960b6d4.gif, причем hello_html_m51699111.gif

Следовательно, уравнение не имеет решений, если прямая hello_html_m1d9ca3ce.gif не пересекает график на отрезке, т.е. hello_html_mb71418f.gif

Ответ: hello_html_71468415.gif


Задачи с путеводителем.


Линейное уравнение с модулем

При каких значениях параметра a уравнение hello_html_273f96e8.gif имеет один корень?

Решение: (по алгоритму решить уравнение)

  1. Перенесите модуль с параметром в одну часть, а все, что без параметра, в другую.

  2. Постройте график функции без параметра, так называемый неподвижный график (hello_html_m1ba9e29a.gif).

  3. График функции с параметром hello_html_37c95767.gif постройте при a=0. (hello_html_m4fdd5727.gif)

  4. Двигая график функции hello_html_m4fdd5727.gif вдоль оси Х, найти те положения графика, когда пересечение с графиком функции hello_html_m1ba9e29a.gif будет в одной точке.

  5. Задать формулой полученные графики. (hello_html_51b3326.gif)

  6. Определить значения параметра и записать ответ.

Квадратное уравнение

При каком значении параметра a уравнение hello_html_m19780e71.gif имеет хотя бы два корня?

Решение:

  1. Перенесите слагаемое с параметром в правую часть, а число -2 в левую.

  2. Постройте неподвижный график функции. (hello_html_71d840ec.gif)

  3. График функции с параметром hello_html_mcfb93aa.gif проходит через точку (0;0), поэтому зафиксируйте прямую, проходящую через (0;0) и касающуюся параболы.

  4. Сколько таких прямых должно получиться? (2)

  5. Их угловой коэффициент равен производной функции hello_html_71d840ec.gif в точке касания (из уравнения касательной), т.е. y /(x0)=hello_html_2623d6fc.gif. Найдите производную функции hello_html_71d840ec.gif.

(y /(x0)=2(x0+1))

  1. Из уравнения 2(x0+1)=hello_html_2623d6fc.gif выразите x0. (x0= hello_html_m621dbcc5.gif)

  2. Выразите y0 , подставив x0 в уравнение параболы. (y0=hello_html_m6321b619.gif)

  3. Т.к. эта точка принадлежит и прямой, то выразите y0 , подставив x0 в уравнение прямой. (y0=hello_html_m5379b8d4.gif)

  4. Приравняйте y0 и найдите параметр.

Квадратное уравнение с модулем

При каких значениях параметра a уравнение hello_html_29433f3c.gif имеет три корня?

Решение: (по алгоритму решить уравнение)

  1. Постройте неподвижный график функции (hello_html_51625a6c.gif).

  2. Через какую точку проходит график функции y=ax, независимо от параметра?(0;0)

  3. Вращая прямую относительно начала координат, найдите такое положение, чтобы она пересекалась с графиком функции hello_html_51625a6c.gif в трех точках.

  4. Из трех точек две получаются нечеткими, а третья – точка касания прямой y=ax с кусочком графика параболы hello_html_51625a6c.gif на промежутке hello_html_m443dca89.gif.

  5. Раскройте модуль в функции hello_html_51625a6c.gif при hello_html_2f10721d.gif. (hello_html_3166db39.gif)

  6. Так как прямая y=ax является касательной для функции hello_html_857e4c6.gif, то используя производную и зная угловой коэффициент a, из уравнения f /(x0)=a выразите x0.

  7. Выразите y0, подставив x0 в формулу y=ax, так как точка (x0;y0) принадлежит графику функции y=ax .

  8. С другой стороны, точка (x0;y0) принадлежит и графику параболы, поэтому можно подставить в формулу hello_html_857e4c6.gif.

  9. Так как y0 – единственная ордината точки, то приравняв полученные выражения в пунктах 7 и 8, найдите значение параметра a .

Дробно-рациональные уравнения

При каких значениях b уравнение hello_html_m6480498b.gif имеет единственное решение?

Решение.

  1. Постройте неподвижный график (прямую) функции y = x +3.

  2. Постройте график функции hello_html_7df9ee63.gif при b=0.

  3. В какой точке прямая пересекает ось Х? (-3;0)

  4. Если график функции hello_html_7df9ee63.gif выходит из точки, лежащей левее точки (-3;0), то сколько точек пересечения? (одна).

  5. В этом случае, каким будет параметр b? (b >3).

  6. Если график функции hello_html_7df9ee63.gif выходит из точки (-3;0), то сколько будет точек пересечения? ( две) В этом случае параметр b=… ( 3).

  7. Точек пересечения будет две, до каких пор? ( пока прямая y= x +3 не станет касательной к графику функции)

  8. Так как угловой коэффициент касательной равен 1, то найдите абсциссу точки касания из условия   hello_html_68d59393.gif/(x0)=1 (x0=0,25-b)

  9. Точка касания принадлежит прямой и второму графику, из этого условия выразите y0 и приравняйте, откуда найдете b и x0.(b=2,75, a=-2,5)

  10. Укажите координаты вершины параболы. (-2,75;0) В этом случае точка пересечения графиков одна.

  11. При b < 2,75 сколько будет точек пересечения графиков? (не будет).


Задачник.


  1. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения х2+х+а=0 действительные, различные и оба больше а.

  2. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2+2(а+3)х+а+2=0 неотрицательны.hello_html_m7aa0634a.gif

  3. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2-(а+1)х+а+3=0  имеют разные знаки.

  4. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_m3f703246.gif

  5. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_27ea9c29.gif

  6. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_m66aa1425.gif

  7. При каких значениях параметра a уравнение hello_html_29b16d42.gif имеет единственное решение?

  8. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_3050a2a5.gif

  9. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_111910aa.gif

  10. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_m1e81343.gif

  11. При каких значениях параметра a уравнение hello_html_m5c7e55fd.gif имеет более трех решений?

  12. При каких значениях параметра a уравнение hello_html_m11df8380.gif имеет 4 различных решения?

  13. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_5e42a26b.gif

  14. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_m77c49ea6.gif

  15. При каких значениях параметра a корни уравнения hello_html_16b12bdd.gifменьше 1?

Выбранный для просмотра документ Параметр.pptx

библиотека
материалов
Функционально-графический метод решения параметрических уравнений Исследовате...
Цель: научиться самому и помочь другим решать уравнения с параметрами. Задач...
8 класс – 1 час на решение квадратных уравнений с параметром, 9 класс – 1 ча...
Толковый словарь определяет  параметр как величину, характеризующую какое -...
уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либ...
При каких значениях параметра a уравнение имеет три корня? Решение (аналитич...
При каких значениях параметра a уравнение имеет три корня? Решение (аналитич...
При каких значениях параметра a уравнение имеет три корня? Решение (аналитич...
При каких значениях параметра a уравнение имеет три корня? Решение (функцион...
При каких значениях параметра a уравнение 		 имеет ровно три решения? график...
При каких значениях параметра a уравнение 		 имеет ровно три решения? Ответ:...
При каких значениях параметра a уравнение 		 имеет ровно два корня? x0 – точк...
При каких значениях параметра a уравнение 		 имеет ровно два корня? Ответ: Пр...
Перенесите модуль с параметром в одну часть, а все, что без параметра, в друг...
Задачи с путеводителем Квадратное уравнение ) ) )
18 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Функционально-графический метод решения параметрических уравнений Исследовате
Описание слайда:

Функционально-графический метод решения параметрических уравнений Исследовательский проект по математике Выполнил: Курдюмов Дмитрий Руководитель: учитель математики Курдюмова Елена Валерьевна ОБОШИ «Лицей-интернат пос. им. Маршала Жукова»

№ слайда 2 Цель: научиться самому и помочь другим решать уравнения с параметрами. Задач
Описание слайда:

Цель: научиться самому и помочь другим решать уравнения с параметрами. Задачи: классифицировать параметрические задания С5 из тестов ЕГЭ по математике изучить способы решения параметрических уравнений выбрать наиболее удобный способ для решения параметрических заданий из тестов ЕГЭ составить пособие по решению параметрических уравнений для старшеклассников.

№ слайда 3
Описание слайда:

№ слайда 4
Описание слайда:

№ слайда 5
Описание слайда:

№ слайда 6 8 класс – 1 час на решение квадратных уравнений с параметром, 9 класс – 1 ча
Описание слайда:

8 класс – 1 час на решение квадратных уравнений с параметром, 9 класс – 1 час на решение систем уравнений с параметром, 10 класс – 2 часа на решение тригонометрических уравнений с параметром, 11 класс – 4 часа на решение различных уравнений с параметром. Распределение учебных часов программы на изучение параметрических уравнений

№ слайда 7 Толковый словарь определяет  параметр как величину, характеризующую какое -
Описание слайда:

Толковый словарь определяет  параметр как величину, характеризующую какое - нибудь основное свойство машины, устройства, системы или  явления, процесса. Параметр (от греческого “parametron” – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. Что такое параметр

№ слайда 8 уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либ
Описание слайда:

уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству; уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра; уравнения, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и их системы имеют заданное число решений. Типы параметрических уравнений

№ слайда 9 При каких значениях параметра a уравнение имеет три корня? Решение (аналитич
Описание слайда:

При каких значениях параметра a уравнение имеет три корня? Решение (аналитический способ) или 1) а) т.к. , то б) т.к. , то

№ слайда 10 При каких значениях параметра a уравнение имеет три корня? Решение (аналитич
Описание слайда:

При каких значениях параметра a уравнение имеет три корня? Решение (аналитический способ) 2) a) б)

№ слайда 11 При каких значениях параметра a уравнение имеет три корня? Решение (аналитич
Описание слайда:

При каких значениях параметра a уравнение имеет три корня? Решение (аналитический способ) Ответ: – 1 – 0,5 0,5

№ слайда 12 При каких значениях параметра a уравнение имеет три корня? Решение (функцион
Описание слайда:

При каких значениях параметра a уравнение имеет три корня? Решение (функционально-графический способ)

№ слайда 13 При каких значениях параметра a уравнение 		 имеет ровно три решения? график
Описание слайда:

При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три решения? график – гипербола в системе координат Примеры задач

№ слайда 14 При каких значениях параметра a уравнение 		 имеет ровно три решения? Ответ:
Описание слайда:

При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три решения? Ответ: 2 при нет решения, одно решение, два решения, три решения, четыре решения. Примеры задач

№ слайда 15 При каких значениях параметра a уравнение 		 имеет ровно два корня? x0 – точк
Описание слайда:

При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно два корня? x0 – точка касания (x0>0) (т.к. y=|x|, k=1) Примеры задач

№ слайда 16 При каких значениях параметра a уравнение 		 имеет ровно два корня? Ответ: Пр
Описание слайда:

При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно два корня? Ответ: Примеры задач

№ слайда 17 Перенесите модуль с параметром в одну часть, а все, что без параметра, в друг
Описание слайда:

Перенесите модуль с параметром в одну часть, а все, что без параметра, в другую. Постройте график функции без параметра, так называемый неподвижный график ( Задачи с путеводителем Линейное уравнение с модулем При каких значениях параметра a уравнение имеет один корень? Решение: (по алгоритму решить уравнение) График функции с параметром постройте при a=0. ( Двигая график функции вдоль оси Х, найти те положения будет в одной точке. Задать формулой полученные графики. ( Определить значения параметра и записать ответ. ). ) графика, когда пересечение с графиком функции )

№ слайда 18 Задачи с путеводителем Квадратное уравнение ) ) )
Описание слайда:

Задачи с путеводителем Квадратное уравнение ) ) )

Выбранный для просмотра документ Работа.docx

библиотека
материалов

Областная бюджетная общеобразовательная школа-интернат

«Лицей-интернат пос. им. Маршала Жукова»

















Функционально-графический
метод решения параметрических уравнений



Исследовательский проект по математике














Выполнил: Курдюмов Дмитрий

Руководитель: учитель математики

Курдюмова Елена

Валерьевна













Курск-2014

Содержание


  1. Введение.

  2. Теоретическая часть.

  3. Практическая часть.

    1. Линейное уравнение с модулем

    2. Квадратные уравнения.

    3. Квадратные уравнения с модулем.

    4. Дробно-рациональные уравнения.

    5. Иррациональные уравнения.

    6. Тригонометрические уравнения.

    7. Задачи с путеводителем.

    8. Задачник.

  4. Заключение.

  5. Список используемой литературы.




















1. Введение

Как известно, результаты ЕГЭ по математике ниже, чем по другим предметам. По данным министерства образования в 2014 году средний балл по русскому языку составил 62,5, средний балл по математике — 39,6, по физике — 45,7 , по английскому языку — 61,2, по химии — 55,6, по биологии — 54,3, по истории — 45,7, по информатике и ИКТ — 57,2, по обществознанию — 53,1, по географии — 53,1, по литературе — 54. На 100 баллов написали: русский язык – 0,31%, математика – 0,07%, физика - 0,23%, химия – 0,43%, информатика и ИКТ – 0,74%, биология – 0,29%, история – 0,30%, география – 0,93%, английский язык – 0,78%, обществознание - 0,10%, литература – 0,21%. Такой низкий результат обусловлен сложностью заданий второй части.

При подготовке к ЕГЭ по математике я столкнулся с проблемой: решение параметрических уравнений (задания С5). Провел опрос среди старшеклассников лицея о необходимости сдачи экзамена по математике профильного уровня: среди 43 опрошенных 31 требуются хорошие баллы при поступлении в вузы, что составляет 72%, и 90% из них не умеют решать параметрические уравнения. Почему?

Я обратился к педагогам нашего лицея и узнал, что в рамках школьной программы хорошо отрабатываются задания С1-С3 тестов ЕГЭ. Задание С4 тоже можно решить, опираясь на школьные знания, но на него требуется время. А вот задания С5 - вообще не знаешь с чего начать. Эту ситуацию мне пояснили так: по программе в каждом классе отводится очень мало времени на изучение заданий с параметрами.

8 класс – 1 час на решение квадратных уравнений с параметром,

9 класс – 1 час на решение систем уравнений с параметром,

10 класс – 2 часа на решение тригонометрических уравнений с параметром,

11 класс – 4 часа на решение различных уравнений с параметром.

Всего 8 часов!

Цель: научиться самому и помочь другим решать уравнения с параметрами.

Задачи: классифицировать параметрические задания С5 из тестов ЕГЭ по математике, изучить способы решения параметрических уравнений, выбрать наиболее удобный способ для решения параметрических заданий из тестов ЕГЭ, составить пособие по решению параметрических уравнений для старшеклассников, в которое включить разобранные примеры (образец), задания с подсказками и задания с ответами.


2. Теоретическая часть.

Толковый словарь определяет  параметр как величину, характеризующую какое - нибудь основное свойство машины, устройства, системы или  явления, процесса. (Ожегов С.И. , Шведова Н.Ю.  Толковый словарь русского языка. Москва. 1999). Рассмотрение параметров - это  всегда выбор. Покупая какую-то вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики. Перед выбором мы стоим  и в различных жизненных ситуациях.

Рассмотрим с точки зрения алгебры, как определяется параметр. Параметр (от греческого “parametron” – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.

Решить уравнение - значит: найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами(a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.

Решение задач с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему значению к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определённый уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

В отношении уравнений с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи.

1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным требованиям.

Основной принцип решения уравнений с параметром состоит в следующем: нужно разбить область допустимых значений параметра на такие участки, в каждом из которых уравнение решается одним и тем же способом. Отдельно для каждого такого участка находятся решения, зависящие от значений параметра. Ответ к уравнению состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого из них всех решений этого уравнения.

Замечания.

1) Указанный подход к решению задач с параметром часто называется методом ветвления.

2) Для осуществления такого плана нужно знать “граничные” или “контрольные” значения параметра, которые разбивают ОДЗ на указанные участки. Поиск этих значений тесно связан со спецификой параметра и его двойственной природой (“число” – “неизвестная”).

Специфика уравнений с параметром состоит в том, что изменение значений параметра влечет за собой изменение не только коэффициентов, но и ряда других характеристик.

1) Степень уравнения (Например, уравнение 2ax 3x 6 0 при а = 0 является линейным, а при а 0 – квадратным).

2) Характер монотонности функции (Например, функция у  ax при a > 1 является возрастающей, а при 0 < a < 1 – убывающей).

3) ОДЗ переменной (Например, в неравенстве ax x 1 область допустимых значений переменной также зависит от а: при а = 0 ОДЗ: xR, при a > 0: ОДЗ: x 0, при a < 0 ОДЗ: x 0 ).

В тестах ЕГЭ по математике уравнения с параметрами можно разделить на три типа:

  • уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству;

  • уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра;

  • уравнения, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и их системы имеют заданное число решений.

Для решения уравнений с параметрами используют способы: аналитические и функционально-графические. Большинство уравнений с параметрами из тестов ЕГЭ по математике быстрее решать функционально-графическим способом.

Рассмотрим пример.

При каких значениях параметра a уравнение hello_html_627f083e.gif имеет три корня?

Решение (аналитический способ)

hello_html_m53755f38.gif

1) hello_html_m1f08b4e0.gif

hello_html_m395506b8.gif

hello_html_m3a5ac233.gif или hello_html_7531cff9.gif

hello_html_m2e886f7f.gif hello_html_m708224a8.gif

а) т.к. hello_html_m2e886f7f.gif, то hello_html_m5cc92064.gif

hello_html_a46a430.gif

hello_html_3b225844.gif

hello_html_m74c3d7d2.gif

б) т.к. hello_html_m708224a8.gif, то hello_html_m1461efd3.gif

hello_html_77c0cde6.gif

hello_html_m15d66050.gif

hello_html_2c957ed3.gif

hello_html_307f5ee2.gif

2) hello_html_77edead0.gif

hello_html_m5f5b6582.gif

hello_html_m53b60395.gif

hello_html_mdca4f58.gif


a) hello_html_2b414a24.gif

hello_html_68794fdb.gif

hello_html_c724c9d.gif

hello_html_m2e3d9010.gif

hello_html_m50b7a281.gif

hello_html_3dbb916f.gif

б) hello_html_m40aa8061.gif

hello_html_315804de.gif

hello_html_m781ee52d.gif

hello_html_7b8b2bf7.gif

hello_html_3b9e642d.gif

hello_html_m18e68c3d.gif

hello_html_m11296afa.gif


1

0,5

0,5




Решение (функционально-графический способ):

hello_html_m6895cf7b.gif; hello_html_65c49c1.gif

E:\Maison\Митя\Сочи\2014\Проект\график 1.png

На графике видно hello_html_536417ce.gif

Ответ: hello_html_536417ce.gif

Убедившись в том, что графический способ короче, я собрал в сборник задания, решаемые этим способом.


3. Практическая часть.

Образцы выполнения заданий.

Линейное уравнение с модулем

При каких значениях параметра а уравнение hello_html_m5f8e3958.gifимеет единственное решение?

Решение:

hello_html_m53f81948.gif

hello_html_m327c9848.gif; hello_html_m47f26d28.gif

E:\Documentы\Леночка\Cочи\2014\Проект\график 6.png

hello_html_22997d2e.gif, hello_html_m4ea43bb8.gif

Ответ: hello_html_m4ea43bb8.gif

Квадратное уравнение

Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2-(а+1)х+а+3=0  имеют разные знаки.

Решение:

Для того, чтобы парабола, являющаяся графиком функции у= ах2-(а+1)х+а+3, пересекала ось абсцисс в точках, между которыми располагается начало координат, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен ах2-(а+1)х+а+3  принимал в точке х = 0 отрицательное или положительное значение, в зависимости от направления ветвей параболы. Графическая интерпретация данной задачи:

Описание: http://arhuzin.narod.ru/Images_3/87.jpg

Тогда искомое условие задачи имеет вид:

Описание: http://arhuzin.narod.ru/Images_3/88.jpg

Ответ: а hello_html_5733b78f.gifhello_html_11852162.gif(-3;0).

Квадратное уравнение с модулем

Для каждого значения параметра а определите количество корней уравнения hello_html_m9fb703.gif.

Решение:

Построить график функции hello_html_6cd9b6d0.gif , и для каждого значения a определить количество общих точек этого графика с прямой у = а.

hello_html_m3b2a7107.gif

По графику видим, что при а < 0 корней нет; при a = 0 и a > 1 два корня; при a = 1 три корня; при 0 < a < 1 четыре корня.

Ответ: при а < 0 корней нет; при a = 0 и a > 1 два корня; при a = 1 три корня; при 0 < a < 1 четыре корня.

Дробно-рациональные уравнения

1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение hello_html_mff5acd9.gif на промежутке (0;) имеет ровно три корня.

Решение:

Найдем все значения параметра а, при которых прямая y аx 2 имеет ровно три общие точки с той частью графика функции hello_html_db08c96.gif, которая расположена в правой полуплоскости (х>0). Последний график представляет собой правую ветку гиперболы hello_html_m508df550.gif которую а) сместили на 3 единицы вниз, б) ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох зеркально отразили относительно оси абсцисс в верхнюю полуплоскость. Заметим также, что прямая y аx 2 проходит через точку (0; -2) при любом значении параметра а, который является угловым коэффициентом.

hello_html_6f80f447.gif

Видим, что условию задачи отвечают все прямые, расположенные внутри заштрихованной области. Значение параметра, соответствующее границе (1), находим из уравнения 0 2а 2, а=1.

Значение параметра, соответствующее границе (2), находим из условия касания прямой y аx-2 и графика функции hello_html_1c35e568.gif (отраженной части гиперболы). Уравнение hello_html_c51edf4.gifх-2 должно иметь ровно один корень. После преобразований получаем квадратное уравнение аx2 - 5х+  6=0 (очевидно, что а > 0), дискриминант которого приравниваем к нулю: 25 – 24а = 0, а = hello_html_m1edf339b.gif .

Ответ: 1 hello_html_m7c48e444.gif a hello_html_m7c48e444.gif hello_html_m1edf339b.gif.


2. При каких значениях а уравнение hello_html_m13122b00.gif имеет ровно три решения?

Решение:

hello_html_m58478390.gif

график – гипербола hello_html_141c8c19.gif в системе координат hello_html_405ebce4.gif

hello_html_6073d445.gif

E:\Maison\Митя\Сочи\2014\Проект\график 2.png

при hello_html_7e119d83.gif нет решения, hello_html_m29762f4c.gif одно решение, hello_html_m3d22519e.gif два решения,

hello_html_m7b589ff2.gif три решения, hello_html_m77e47341.gif четыре решения.

Ответ: 6

Иррациональные уравнения

При каких значениях параметра а уравнение hello_html_9fa8e84.gif имеет ровно 2 корня?

Решение:

hello_html_83742e7.gif; hello_html_m51c35b4f.gif; x0 – точка касания (x0>0)

hello_html_50c73054.gif (т.к. y=|x|, k=1)

hello_html_m5274b7af.gif

hello_html_m6e5fa614.gif

hello_html_m78102c1c.gif


E:\Maison\Митя\Сочи\2014\Проект\график 4.png

Ответ: hello_html_m449963f6.gif

Тригонометрические уравнения


Найдите все значения параметра p, при которых уравнение hello_html_m7692083e.gifне имеет решений.

Решение:

hello_html_327f264d.gif

hello_html_1850f9d9.gif, hello_html_m8fb2229.gif, hello_html_3d898878.gif, hello_html_m7c135ea1.gif, hello_html_m227a113.gif

hello_html_m2dae6a4d.gif, hello_html_5789ab6f.gif или hello_html_20a94f6e.gif

E:\Maison\Митя\Сочи\2014\Проект\график 5.png

Видно, что у графика есть максимум на отрезке hello_html_58bed2a8.gif, и решение зависит от того, точка максимума находится левее или правее точки hello_html_3f970800.gif. Это можно выяснить с помощью дифференцирования. Но мы изучим внимательнее функцию и заметим, при всех hello_html_7f8f09b7.gifверны неравенства: hello_html_m36e86b37.gif, т.к. hello_html_960b6d4.gif, причем hello_html_m51699111.gif

Следовательно, уравнение не имеет решений, если прямая hello_html_m1d9ca3ce.gif не пересекает график на отрезке, т.е. hello_html_mb71418f.gif

Ответ: hello_html_71468415.gif



Задачи с путеводителем.


Линейное уравнение с модулем

При каких значениях параметра a уравнение hello_html_273f96e8.gif имеет один корень?

Решение: (по алгоритму решить уравнение)

  1. Перенесите модуль с параметром в одну часть, а все, что без параметра, в другую.

  2. Постройте график функции без параметра, так называемый неподвижный график (hello_html_m1ba9e29a.gif).

  3. График функции с параметром hello_html_37c95767.gif постройте при a=0. (hello_html_m4fdd5727.gif)

  4. Двигая график функции hello_html_m4fdd5727.gif вдоль оси Х, найти те положения графика, когда пересечение с графиком функции hello_html_m1ba9e29a.gif будет в одной точке.

  5. Задать формулой полученные графики. (hello_html_51b3326.gif)

  6. Определить значения параметра и записать ответ.

Квадратное уравнение

При каком значении параметра a уравнение hello_html_m19780e71.gif имеет хотя бы два корня?

Решение:

  1. Перенесите слагаемое с параметром в правую часть, а число -2 в левую.

  2. Постройте неподвижный график функции. (hello_html_71d840ec.gif)

  3. График функции с параметром hello_html_mcfb93aa.gif проходит через точку (0;0), поэтому зафиксируйте прямую, проходящую через (0;0) и касающуюся параболы.

  4. Сколько таких прямых должно получиться? (2)

  5. Их угловой коэффициент равен производной функции hello_html_71d840ec.gif в точке касания (из уравнения касательной), т.е. y /(x0)=hello_html_2623d6fc.gif. Найдите производную функции hello_html_71d840ec.gif.

(y /(x0)=2(x0+1))

  1. Из уравнения 2(x0+1)=hello_html_2623d6fc.gif выразите x0. (x0= hello_html_m621dbcc5.gif)

  2. Выразите y0 , подставив x0 в уравнение параболы. (y0=hello_html_m6321b619.gif)

  3. Т.к. эта точка принадлежит и прямой, то выразите y0 , подставив x0 в уравнение прямой. (y0=hello_html_m5379b8d4.gif)

  4. Приравняйте y0 и найдите параметр.

Квадратное уравнение с модулем

При каких значениях параметра a уравнение hello_html_29433f3c.gif имеет три корня?

Решение: (по алгоритму решить уравнение)

  1. Постройте неподвижный график функции (hello_html_51625a6c.gif).

  2. Через какую точку проходит график функции y=ax, независимо от параметра?(0;0)

  3. Вращая прямую относительно начала координат, найдите такое положение, чтобы она пересекалась с графиком функции hello_html_51625a6c.gif в трех точках.

  4. Из трех точек две получаются нечеткими, а третья – точка касания прямой y=ax с кусочком графика параболы hello_html_51625a6c.gif на промежутке hello_html_m443dca89.gif.

  5. Раскройте модуль в функции hello_html_51625a6c.gif при hello_html_2f10721d.gif. (hello_html_3166db39.gif)

  6. Так как прямая y=ax является касательной для функции hello_html_857e4c6.gif, то используя производную и зная угловой коэффициент a, из уравнения f /(x0)=a выразите x0.

  7. Выразите y0, подставив x0 в формулу y=ax, так как точка (x0;y0) принадлежит графику функции y=ax .

  8. С другой стороны, точка (x0;y0) принадлежит и графику параболы, поэтому можно подставить в формулу hello_html_857e4c6.gif.

  9. Так как y0 – единственная ордината точки, то приравняв полученные выражения в пунктах 7 и 8, найдите значение параметра a .

Дробно-рациональные уравнения

При каких значениях b уравнение hello_html_m6480498b.gif имеет единственное решение?

Решение.

  1. Постройте неподвижный график (прямую) функции y = x +3.

  2. Постройте график функции hello_html_7df9ee63.gif при b=0.

  3. В какой точке прямая пересекает ось Х? (-3;0)

  4. Если график функции hello_html_7df9ee63.gif выходит из точки, лежащей левее точки (-3;0), то сколько точек пересечения? (одна).

  5. В этом случае, каким будет параметр b? (b >3).

  6. Если график функции hello_html_7df9ee63.gif выходит из точки (-3;0), то сколько будет точек пересечения? ( две) В этом случае параметр b=… ( 3).

  7. Точек пересечения будет две, до каких пор? ( пока прямая y= x +3 не станет касательной к графику функции)

  8. Так как угловой коэффициент касательной равен 1, то найдите абсциссу точки касания из условия   hello_html_68d59393.gif/(x0)=1 (x0=0,25-b)hello_html_m7aa0634a.gif

  9. Точка касания принадлежит прямой и второму графику, из этого условия выразите y0 и приравняйте, откуда найдете b и x0.(b=2,75, a=-2,5)

  10. Укажите координаты вершины параболы. (-2,75;0) В этом случае точка пересечения графиков одна.

  11. При b < 2,75 сколько будет точек пересечения графиков? (не будет).


Задачник.


  1. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения х2+х+а=0 действительные, различные и оба больше а.

  2. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2+2(а+3)х+а+2=0 неотрицательны.

  3. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2-(а+1)х+а+3=0  имеют разные знаки.

  4. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_m3f703246.gif

  5. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_27ea9c29.gif

  6. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_m66aa1425.gif

  7. При каких значениях параметра a уравнение hello_html_29b16d42.gif имеет единственное решение?

  8. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_3050a2a5.gif

  9. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_111910aa.gif

  10. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_m1e81343.gif

  11. При каких значениях параметра a уравнение hello_html_m5c7e55fd.gif имеет более трех решений?

  12. При каких значениях параметра a уравнение hello_html_m11df8380.gif имеет 4 различных решения?

  13. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_5e42a26b.gif

  14. Для каждого значения параметра a решите уравнение hello_html_m77c49ea6.gif

  15. При каких значениях параметра a корни уравнения hello_html_16b12bdd.gifменьше 1?

В конце сборника есть ответы к задачнику.


4. Заключение

Я разбирался в решениях параметрических уравнений, узнал о различных способах. Задания я брал из тестов ЕГЭ по математике. Проанализировав решения, пришел к выводу, что большинство заданий быстрее решаются функционально-графическим способом, а это немало важно, ведь времени на ЕГЭ всего 4 часа. Результат моей работы в этом пособии по решению параметрических уравнений функционально-графическим способом для самоподготовки старшеклассников.

Мой сборник прошёл пока небольшую апробацию. На базе нашей школы есть центр "Дар" по работе с одаренными детьми. На занятиях в центре "Дар" учителя используют мой сборник: работают с ним на уроках и задают из него домашние задания. По данной теме материала в школьных учебниках очень мало. Отличные отзывы дают учителя и обучающиеся, т.к. можно рассмотреть разобранные примеры, решить задания с помощью путеводителя.

Решение уравнений, содержащих параметр, является, пожалуй, одним из самых трудных разделов элементарной математики. Для их решения обычно требуются гибкость мышления, логика в рассуждениях, умение хорошо и полно анализировать ситуацию. Опыт показывает, что учащиеся, владеющие методами решения задач с параметром, успешно справляются и с другими задачами. Но до сих пор задача с параметром остается самой "неудобной" для абитуриентов.

Я надеюсь, что для тех абитуриентов, которые в школе изучали решение параметрических уравнений по моему пособию, такие задания "неудобными" не будут.

В дальнейшем есть планы выпустить аналогичное пособие по решению параметрических неравенств.












Литература:


  1. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Калабухова. Математика. Подоготовка к ЕГЭ-2013. Учебно-тренировочные тесты. Легион-М, Ростов-на-Дону, 2013.

  2. Корянов А.Г. Математика ЕГЭ-2010. Задания С-5. Брянск, 2010.

  3. Высоцкий И.Р. и др. - Математика. Подготовка к ЕГЭ в 2014 году. Диагностические работы. МЦНМО.

  4. Панферов В. С., Сергеев И. Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ – М.: Ителлект-Центр, 2010.

  5. http://fipi.ru. Федеральный институт педагогических измерений.

  6. http://mathege.ru/or/ege/Main - Открытый банк заданий по математике.

Краткое описание документа:

 Данная проектная работа выполнена мною совместно с учеником 11 класса. Данный способ решения параметрических уравнений чаще можно использовать для решения заданиий С5 на ЕГЭ. 

 В работе  используются задания из ЕГЭ прошлых лет. Рассмотрены уравнения: линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, тригонометрические и различные уравнения с модулем.Часть заданий разобраны подробно, часть с алгоритмом для самостоятельного решения. К работе прилагается брошюра - результат проведенных исследований. В ней разобраны образцы заданий, есть задачи с путеводителем и задачник.

а)          

Автор
Дата добавления 10.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров1094
Номер материала 520880
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх