Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Проект «Теорема Птолемея для вписанного четырехугольника»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Проект «Теорема Птолемея для вписанного четырехугольника»

библиотека
материалов

Мною проведено открытое факультативное занятие «Проект «Теорема Птолемея для вписанного четырехугольника» в 11 «А» классе гимназии № 1 г. Ивье. В результате получены положительные отзывы об этом занятии от коллег и администрации гимназии. Учащиеся подготовили и на занятии защитили семь разных доказательств теоремы Птолемея с помощью мультимедийных презентаций. Бегун Татьяна для доказательства теоремы Птолемея использовала подобие треугольников, Пешко Максим – теорему синусов, Гурина Юлия – теорему косинусов (попутно вывела формулу для выражения длины диагонали вписанного четырехугольника через его стороны), Садовский Дмитрий – метод площадей, Дмитриев Никита – педальный треугольник и прямую Симпсона, Ошейчик Мария – преобразование инверсии, Анацкий Денис – теорему Бретшнейдера, представляющую собой теорему косинусов для четырехугольника. Богданович Юлия и Богданович Иван представили свои решения вступительных задач по математике в вузы с использованием теоремы Птолемея. Таким образом, на проведенном факультативном занятии учащиеся углубили свои знания о вписанных четырехугольниках, убедились, что с помощью теоремы Птолемея можно доказать теорему Пифагора, теорему косинусов для треугольника, вывести формулы синуса суммы и синуса разности, что теорема Птолемея до сих пор является источником для множества обобщений и плодотворных идей.

Теорема Птолемея


Если четырехугольник ABCD (рис. 1) вписан в окружность, то произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:

AC . BD = AB . CD + AD . BC


Данная теорема установлена Клавдием Птолемеем во втором веке нашей эры.


Первое доказательство будет в основном следовать доказательству самого Птолемея, приведенному им в книге «Альмагест». Используется подобие треугольников.


На чертеже (рис. 1) изображен данный четырехугольник ABCD, его диагонали АС и ВD и описанная около него окружность. hello_html_7dc629e6.png

hello_html_m4341b2ab.gif

Рис. 1

Проведем из точки B отрезок BE до пересечения с диагональю AC таким образом, чтобы CBE = ABD. hello_html_7dc629e6.pngУглы BCЕ и BDA равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AB. Тогдаhello_html_7dc629e6.png треугольники ABD и С подобны (по двум углам). Отсюда следует, что hello_html_663dff4d.gif и, следовательно, далее имеем:


AD . BC = BD . CE.   (2)

hello_html_7dc629e6.pngПодобны также треугольники ABE и DBC, так как ABE = DBC и BAE = BDC.


Отсюда следует, что
hello_html_239c21b6.gif и затем имеем:

AB . CD = BD .AE.   (3)


Сложим соответственно левые и правые части равенств (2) и (3). Получим

AD . BC + AB . CD = BD . CE + BD . AE или


AD . BC + AB . CD = BD . (CE + AE) , то есть


AD . BC + AB . CD = BD . AC, что и требовалось.


Замечание. К этому же можно прийти, введя другие обозначения.

Если АВ = hello_html_6cdccad.gifВС = hello_html_416112a7.gif СD = hello_html_6476c34e.gifDА = hello_html_m6c3b7ff6.gifАС = hello_html_7e5dd1bd.gif ВD = hello_html_m7f97fea9.gif, то выберем на диагонали АС точку Е так, чтобы угол СВЕ был равен hello_html_368a497d.gif.

Тогда треугольники СВЕ и DВА подобны.

Поэтому ЕС : hello_html_9b6789c.gif

Из подобия треугольников АВЕ и DВС (углы АВЕ и DВС равны как равносоставленные) получаем АЕ : hello_html_m25080a5e.gif

Значит, ЕС = hello_html_m2b51c547.gifАЕ = hello_html_m768b5acd.gif АЕ + ЕС =АС, hello_html_m4af09f9.gif

отсюда hello_html_132e93f.gif

Теорема Птолемея доказана.


(Справедлива и теорема, обратная теореме Птолемея).




►► Второе доказательство. Используется теорема синусов.


Так как четырехугольник вписанный, то кроме входящих в условие теоремы величин целесообразно рассмотреть радиус круга R и углы четырехугольника. Введя углы, мы сможем использовать свойство вписанного четырехугольника.

hello_html_m4341b2ab.gif

Рис. 1


Итак, пусть hello_html_m5d757c85.gif и hello_html_22c3c90f.gif вписанные углы, опирающиеся соответственно на стороны АВ, ВС и АD (рис. 1).


Тогда hello_html_7707454f.gifDВС = hello_html_7707454f.gifDАС = hello_html_361e6f24.gif.


По теореме синусов


hello_html_1dbdc580.gif.


Следовательно, hello_html_m42c58825.gif

hello_html_581b3a2f.gif


Так как hello_html_2f7345d2.gif,


то hello_html_d27f314.gif=hello_html_5528803a.gif


Значит, hello_html_2302386e.gif.



►►► Третье доказательство. Используется теорема косинусов.

hello_html_m4341b2ab.gif

Рис. 1


Пусть АВ = hello_html_6cdccad.gif ВС = hello_html_416112a7.gif СD = hello_html_6476c34e.gifDА = hello_html_m6c3b7ff6.gif АС = hello_html_7e5dd1bd.gif ВD = hello_html_m57ce7bc7.gif


Нужно доказать, что hello_html_132e93f.gif


По теореме косинусов имеем:


hello_html_m49cbab81.gif.


Избавляясь от косинусов и раскладывая на множители, получаем:

hello_html_413c9bac.gif,


hello_html_m1eba6d1e.gif


hello_html_2966276a.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m3c814d32.gif.


Аналогично, hello_html_1a456dd0.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_6fac92f6.gif.


Перемножив последние два равенства и произведя соответствующие сокращения, найдем:

hello_html_7ba0c0ea.gif,

откуда и следует утверждение теоремы Птолемея.



►►►► Четвертое доказательство. Используется метод площадей.

hello_html_mb7bea03.gif

Рис. 2


Будем применять те же обозначения, что и в предыдущем доказательстве.

Найдем площадь S четырехугольника АВСD двумя способами.


  1. Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:


hello_html_9b7df0c.gifгде hello_html_m749c816e.gifугол между диагоналями.

  1. Рассмотрим на дуге АВС (рис. 2) точку В´ такую, что АВ = СВ´. Поскольку треугольники АВС и СВ´А равны, то равны и их площади. Тогда равны площади четырехугольников АВСD и АВ´СD.

Разобьем вновь полученный четырехугольник АВ´СD на два треугольника диагональю DВ´.

Площадь треугольника АВ´D равна hello_html_53e4fdb7.gifDAВ´,

площадь треугольника СВ´D равна hello_html_ma5275be.gifDCВ´.


Так как четырехугольник АВ´СD вписанный, то углы DАВ´ и DСВ´ в сумме дают 180º и поэтому синусы этих углов совпадают.

Остается заметить, что


hello_html_7707454f.gifDAВ´=hello_html_2b53252e.gifCAВ´ = hello_html_m4d26813.gif


по теореме об угле между пересекающимися хордами.

Складывая площади треугольников и приравнивая результат к площади четырехугольника, получаем


hello_html_af5fce3.gif, откуда hello_html_5c4a261c.gif,


что и требовалось доказать.


Замечание. Та же идея может быть реализована по-другому. Покажем возникающие при этом нюансы.

hello_html_b3322c6.gif

Рис. 3


Произведение диагоналей четырехугольника АВСD (рис. 3) равно площади этого четырехугольника S, деленной на 0,5hello_html_b1547f8.gif

hello_html_2128627c.gif(как внешний угол треугольника ВОС).

Остается показать, что и

АВ · DС + ВС · DА = S : 0,5hello_html_m5f1c24be.gif.


Для этого заметим, что площадь четырехугольника АВСD не изменится, если треугольник ВСD «перевернуть», поменяв местами вершины В и D (рис. 4).

hello_html_m288be3f3.gif

Рис. 4

Тогда hello_html_7de9fd37.gif

После этого учтем, что в полученном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180º, т. е.


hello_html_6895e742.gifº, откуда следует,

что hello_html_m1e8e0e46.gif и


АС · DВ =АВ · DС + ВС · DА.


►►►►►Пятое доказательство. Используется прямая Симпсона.


Здесь потребуются некоторые дополнительные сведения из геометрии треугольника.


Определим такое понятие как педальный треугольник. Пусть Р – любая точка внутри треугольника АВС, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на его стороны ВС = hello_html_m734afb91.gif, СА = hello_html_559071c1.gif, АВ = hello_html_m12550da.gif будут hello_html_4f0c3d18.gif.

Тогда треугольник hello_html_m518d7682.gif, вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником точки Р относительно треугольника АВС


(например, треугольник с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника – педальный треугольник центра вписанной окружности).


Прямые углы в точках hello_html_m1a737c8e.gifи hello_html_m47d713b1.gif(рис. 5) указывают на то, что эти точки лежат на окружности с диаметром АР;

другими словами, точка Р лежит на окружности, описанной вокруг треугольника hello_html_m421269c0.gif.

Применяя теорему синусов к этому треугольнику, а также к самому треугольнику АВС, получим

hello_html_m2c16bc35.gif


hello_html_m2ee248cf.gif

Рис. 5


откуда hello_html_896ccea.gif Аналогично, hello_html_797b1133.gif и hello_html_33770f6c.gif

Таким образом, если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны hello_html_51e82b79.gif то длины сторон педального треугольника равны соответственно

hello_html_1e6a6a1e.gif


hello_html_7bbcc0a5.gif

Рис. 6


Теперь рассмотрим тот особый случай, когда точка Р лежит на описанной окружности вокруг треугольника АВС (рис. 6).

Тогда педальный треугольник hello_html_m518d7682.gif «вырождается» в прямую, называемую прямой Симпсона.

Хотя «педальный треугольник» hello_html_m518d7682.gifвырожден, длины его «сторон» все еще могут быть вычислены с помощью формул:

hello_html_m7f4e837d.gif, hello_html_797b1133.gif, hello_html_33770f6c.gif


Так как hello_html_4bfb8594.gif, то hello_html_m3e73673d.gif, т. е.


АВ · СР + ВС · АР = АС · ВР.


Так как АВСР – вписанный четырехугольник, то таким образом мы доказали теорему Птолемея.



►►►►►►Шестое доказательство. Используется преобразование, которое называется инверсией.


hello_html_2e779b89.gif

Рис. 7

Пусть задана некоторая окружность S с центром О и радиусом r (рис. 7).

Каждой точке Х, отличной от точки О, поставим в соответствие точку Х´ на луче ОХ, такую, что ОХ´·ОХ = hello_html_4b3a4d6e.gif.

Это преобразование и называется инверсией относительно окружности S.

Лемма (об инверсии). Пусть А´ и В´ − образы точек А и В при инверсии с центром О и радиусом r.

Тогда треугольники ОАВ и ОВ´А´ подобны и hello_html_72e7211c.gif (рис.8).


Приведем рассуждения, доказывающие утверждение леммы.

По определению инверсии выполняются равенства hello_html_m41c96fc5.gif, hello_html_50a3062c.gif.


Следовательно, hello_html_3b908c22.gif, и поэтому hello_html_m5db462b2.gif

hello_html_33a7e907.gif

Рис. 8


Значит, треугольники ОАВ и ОВ´А´ подобны (имеют общий угол при вершине О и их стороны, идущие от этой вершины, пропорциональны).

При этом вершине А соответствует вершина В´, а вершине В – вершина А´.

Но тогда и hello_html_m63f71553.gif

Из этого равенства имеем: hello_html_m73725aed.gif


Подставляя сюда выражение из определения hello_html_1bc68796.gif, получаем hello_html_m35622a2a.gif Лемма доказана.


Итак, пусть четырехугольник АВСD вписан в окружность S (рис. 9).

hello_html_m3fec093c.gif

Рис. 9

По теореме об инверсии эту окружность инверсия I с центром в точке D (и любым радиусом) переведет в прямую p, не проходящую через точку D.


Точки hello_html_m52de2db1.gifhello_html_m2612038.gif лежат на прямой p,

причем точка hello_html_m1fb3cb76.gif лежит на отрезке hello_html_m6be94018.gif.


Поэтому hello_html_m44a7ae00.gif.


По лемме об инверсии

hello_html_4069c44d.gifhello_html_m2aa8f99d.gif.


Подставив эти выражения в равенство hello_html_m44a7ae00.gif, получаем:


АС · DВ = АВ · DС + ВС · DА,


что и требовалось доказать.


Приведенные доказательства на самом деле не исчерпывают всех возможных доказательств теоремы Птолемея.


Седьмое доказательство Теорема Птолемея может быть, например, получена и как следствие теоремы Бретшнейдера (теоремы косинусов для четырехугольника), которая утверждает следующее.


Квадрат произведения диагоналей выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов произведений его противоположных сторон без удвоенного произведения всех четырех сторон четырехугольника и косинуса суммы двух его противолежащих углов,


т. е. hello_html_5f397ae9.gif,


где hello_html_491c00ce.gifугол, равный сумме углов А и С или В и D,

так как hello_html_m54fb93bc.gif.


Поскольку во вписанном четырехугольнике сумма двух противоположных углов равна 180º, то по теореме Бретшнейдера в этом случае


hello_html_m2e94ac5.gif


или hello_html_206a20b0.gif, т. е. hello_html_m6220aada.gif.



hello_html_m24c23be0.gif

Рис. 10


Эта теорема понадобилась Клавдию Птолемею (ок.100 – ок.178) – знаменитому древнегреческому астроному и математику, жившему в Александрии, для составления таблицы синусов, точнее, таблицы длин хорд.

Если АС – диаметр окружности, то теорема Птолемея перепишется в виде

hello_html_149ae7f6.gif;


если же в качестве диаметра взять сторону АВ, то получим формулу для синуса разности этих углов (рис. 10).

Именно эти частные случаи использовал Птолемей для составления своих таблиц, очень нужных для астрономических расчетов.

В эпоху средневековья книга Птолемея, в которой содержались обширные сведения по астрономии, получила распространение в странах арабского Востока; астрономы называли ее там «Аль Маджисти» − «Величайшее», отсюда и происходит ее название «Альмагест».


Заметим, что если около выпуклого четырехугольника нельзя описать окружность, то произведение его диагоналей меньше суммы произведений противоположных сторон. Докажем это.

hello_html_m6b028e7b.gif

Рис. 11


Пусть для определенности в данном четырехугольнике АВСD hello_html_7707454f.gifАВС + hello_html_7707454f.gifАDС < 180º. Тогда вершина D лежит вне окружности, проведенной через вершины А, В и С.

Пусть hello_html_7707454f.gifDВС hello_html_m78774d40.gifhello_html_7707454f.gifАВD.

Построим (как на рис. 11) hello_html_7707454f.gifСВК = hello_html_7707454f.gifАВD, hello_html_7707454f.gifВСК = hello_html_7707454f.gifАDВ и проведем отрезок АК.

Тогда hello_html_4c7cd679.gif~hello_html_67f1295e.gif, а поэтому

hello_html_64670e9e.gif(4)


Следовательно, АD · ВС = ВD · КС. (5)


Так как hello_html_7707454f.gifDВС = hello_html_7707454f.gifАВК,

а из (4) следует, что hello_html_m16fd3f37.gif, то hello_html_3038a97a.gif~hello_html_12601125.gif.


Из подобия этих треугольников вытекает, что hello_html_2daae8ca.gif,

т. е.

АВ · СD = ВD · АК. (6)


Сложив (5) и (6) получаем:


АD · ВС + АВ · СD = ВD(АК + КС). (7)


Но точка К не лежит на прямой АС, поскольку hello_html_7707454f.gifВСК, равный hello_html_7707454f.gifАDВ, имеющему вершину вне круга, меньше вписанного угла АСВ.

Следовательно,

АК + КС > АС. (8)


Поэтому из (7) и (8) имеем:


АС · ВD < AD · BC + AB · CD.


Значит, для любого выпуклого четырехугольника АВСD имеет место неравенство

hello_html_m359f829a.gif


Рассмотрим теперь теорему, представляющую обобщение теоремы Птолемея.


В ней речь пойдет о четырех окружностях, касающихся внутренним (внешним) образом некоторой окружности в вершинах вписанного в нее четырехугольника.


Вместо расстояния между двумя вершинами А и В принимается касательное расстояние hello_html_21323ea1.gifмежду соответствующими двумя окружностями hello_html_m5a17490e.gif, hello_html_ac42d50.gif.

Под касательным расстоянием hello_html_21323ea1.gif подразумевается расстояние между двумя точками касания общей внешней касательной этих двух окружностей (рис. 12).


hello_html_m45e7d11f.gif

Рис.12

Обобщенная теорема Птолемея.


Если окружности hello_html_m5a17490e.gif, hello_html_ac42d50.gif, hello_html_1311843f.gif, hello_html_26b35f19.gif касаются окружности hello_html_m64cf85da.gif внутренним (внешним) образом в вершинах А, В, С, D выпуклого четырехугольника АВСD, вписанного в hello_html_m64cf85da.gif, то касательные расстояния между парами окружностей связаны соотношением:

hello_html_21323ea1.gif·hello_html_m1e8a2747.gif+hello_html_mbd6cf0d.gif·hello_html_269c1e0e.gif=hello_html_m609b7379.gif·hello_html_22b2ceac.gif.


Замечание. Если hello_html_m5a17490e.gif, hello_html_ac42d50.gif, hello_html_1311843f.gif, hello_html_26b35f19.gif − окружности нулевого радиуса, то получаем обычную теорему Птолемея.


hello_html_774ae975.gif


Рис. 13


Прежде чем непосредственно перейти к доказательству обобщенной теоремы Птолемея, вычислим касательное расстояние hello_html_21323ea1.gifмежду окружностями hello_html_m5a17490e.gifи hello_html_ac42d50.gif, если дана окружность hello_html_m64cf85da.gif(О,R) и две касающиеся ее внутренним образом в точках А и В окружности hello_html_33256d26.gif и hello_html_6f1647af.gif.


Пусть общая внешняя касательная касается hello_html_m5a17490e.gif в точке hello_html_d968bab.gif, а hello_html_ac42d50.gif − в точке hello_html_m1fb3cb76.gif(рис. 13).


Тогда hello_html_4205d7f8.gif,


где hello_html_m16196623.gif.


Далее, hello_html_49ab1363.gif, где hello_html_m6ce68a48.gif.


Из записанных уравнений следует после исключения hello_html_5474b2c9.gif и hello_html_6672eddc.gif равенство

hello_html_m5de3cde6.gif

или, после преобразований,


hello_html_m50d41e3b.gif.


Теперь докажем обобщенную теорему Птолемея.


Впишем в окружность hello_html_m64cf85da.gif четырехугольник АВСD и построим четыре окружности hello_html_m5a17490e.gif, hello_html_ac42d50.gif, hello_html_1311843f.gif, hello_html_26b35f19.gif, касающиеся hello_html_m64cf85da.gif внутренним образом в точках А, В, С, D (рис. 14).


Тогда согласно полученной формуле имеем:


hello_html_m7739d77f.gif, hello_html_m237a5b04.gif,

hello_html_e778e90.gif, hello_html_m418e8b8a.gif,

hello_html_33fb253.gif, hello_html_m2096f030.gif.


hello_html_m6cede854.gif

Рис. 14 Рис. 15


Подставим эти выражения для


hello_html_21323ea1.gif, hello_html_m1e8a2747.gif, hello_html_mbd6cf0d.gif, hello_html_269c1e0e.gif,hello_html_m609b7379.gif, hello_html_22b2ceac.gif


в равенство

hello_html_21323ea1.gif·hello_html_m1e8a2747.gif+hello_html_mbd6cf0d.gifhello_html_269c1e0e.gif=hello_html_m609b7379.gifhello_html_22b2ceac.gif.


В результате получим равенство, равносильное следующему:


АС · DВ = АВ · DС + ВС · DА,


что верно для четырехугольника АВСD по обычной теореме Птолемея.


Тем самым, ввиду равносильности соответствующих равенств, обобщенная теорема Птолемея доказана для четырех окружностей, касающихся hello_html_m64cf85da.gif внутренним образом.


Она же остается в силе и для четырех окружностей, касающихся hello_html_m64cf85da.gif внешним образом (рис. 15).


Отличие здесь только в том, что если две окружности hello_html_m5a17490e.gif и hello_html_m982aea4.gif касаются hello_html_m64cf85da.gif внешним образом, то


hello_html_m2f06109e.gif.


В качестве геометрического практикума по применению теоремы Птолемея решим с ее помощью задачи.


1. Из концов диаметра, равного 25 см, проведены по одну сторону от него две хорды длиной 24 см и 20 см. Определите расстояние между концами хорд, не лежащими на диаметре.


Имеем: АВ = 25 см, АС = 24 см, ВD = 20 см, hello_html_7707454f.gifАСВ = hello_html_7707454f.gifАDВ = 90º (рис. 16). Из треугольника АDВ по тереме Пифагора АD = hello_html_m311e3ec3.gif=15(см). Аналогично из треугольника АВС получаем: ВС = hello_html_47c343b0.gif= 7 (см).

hello_html_m5ca36e0a.gif

Рис. 16


Введем обозначения: ВО = х, DО = 20 – х, СО = у,

АО = 24 – у. По свойству пересекающихся хорд (АС и ВD):


(20 – х) · х = (24 – у) · у.


Из прямоугольного треугольника ОСВ: hello_html_m6c70c0e3.gif. Решаем систему уравнений:

hello_html_b9a91a4.gif

Из второго уравнения последней системы находим: у = 5, 25, т. е. СО = 5, 25 см, тогда х = 8, 75, т. е. ВО = 8, 75 см.

Треугольники DОС и АОВ подобны (hello_html_7707454f.gifDОС = hello_html_7707454f.gifАОВ как вертикальные, hello_html_7707454f.gifВDС = hello_html_7707454f.gifВАС как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу). Значит, hello_html_m7ab1c11a.gif. Отсюда DС = 15 см.


►► Используется теорема Птолемея.

Имеем: АВ = 25 см, АС = 24 см, ВD = 20 см, hello_html_7707454f.gifАСВ = hello_html_7707454f.gifАDВ = 90º (рис. 16).

Из треугольника АDВ по тереме Пифагора АD = hello_html_m311e3ec3.gif=15(см). Аналогично из треугольника АВС получаем: ВС = hello_html_47c343b0.gif= 7 (см).

Четырехугольник АВСD – вписанный.

По теореме Птолемея

АС · DВ = АВ · DС + ВС · DА, т. е.

24 · 20 = 15 · 7 + 25 · DС. Отсюда DС = 15 см.

Ответ: 15 см.


2. Четырехугольник АВСD вписан в окружность, причем hello_html_7707454f.gifАСD = 90º, hello_html_7707454f.gifАСВ = hello_html_7707454f.gifВАD, АD = 2, СD = hello_html_m6a973c00.gif. Найдите ВС.

hello_html_m3b06830e.gif

Рис. 17

Используется теорема Птолемея.

Из условия следует, что АD – диаметр, hello_html_7707454f.gifАВD = 90º, АВ = ВD (рис. 17). Следовательно, треугольник АВD – равнобедренный прямоугольный, откуда АВ = ВD = hello_html_1caef8ee.gif. Далее, из прямоугольного треугольника АСD находим катет АС. Он равен 8/5. Осталось применить теорему Птолемея: hello_html_m7948f7dd.gif.

Ответ: hello_html_m2fe6d3b3.gif.

►►Установив, что АВ = hello_html_1caef8ee.gif, АС = 8/5, hello_html_7707454f.gifАСВ = 45º (см. первое решение), дальше применим теорему косинусов (hello_html_m197b312d.gif, (рис. 17)): hello_html_m7f857ca5.gif. Решая полученное квадратное уравнение, найдем два его корня: hello_html_m62b985b7.gif. Один из них hello_html_m2a7a9367.gif посторонний, так как по условию ВС < АВ. Ответ: hello_html_m2fe6d3b3.gif.


Краткое описание документа:

Мною проведено открытое факультативное занятие «Проект «Теорема Птолемея для вписанного четырехугольника» в 11 «А» классе гимназии № 1 г. Ивье. В результате получены положительные отзывы об этом  занятии от коллег и администрации гимназии. Учащиеся подготовили и на занятии защитили семь разных доказательств теоремы Птолемея с помощью мультимедийных презентаций. Бегун Татьяна для доказательства теоремы Птолемея использовала подобие треугольников, Пешко Максим – теорему синусов, Гурина Юлия – теорему косинусов (попутно вывела формулу для выражения длины диагонали вписанного четырехугольника через его стороны), Садовский Дмитрий – метод площадей, Дмитриев Никита – педальный треугольник и прямую Симпсона, Ошейчик Мария – преобразование инверсии, Анацкий Денис – теорему Бретшнейдера, представляющую собой теорему косинусов для четырехугольника. Богданович Юлия и Богданович Иван представили свои решения вступительных задач по математике в вузы с использованием теоремы Птолемея. 

Автор
Дата добавления 05.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров3040
Номер материала 365530
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх