Мною проведено открытое факультативное занятие «Проект «Теорема Птолемея для вписанного четырехугольника» в 11 «А» классе гимназии № 1 г. Ивье. В результате получены положительные отзывы об этом  занятии от коллег и администрации гимназии. Учащиеся подготовили и на занятии защитили семь разных доказательств теоремы Птолемея с помощью мультимедийных презентаций. Бегун Татьяна для доказательства теоремы Птолемея использовала подобие треугольников, Пешко Максим – теорему синусов, Гурина Юлия – теорему косинусов (попутно вывела формулу для выражения длины диагонали вписанного четырехугольника через его стороны), Садовский Дмитрий – метод площадей, Дмитриев Никита – педальный треугольник и прямую Симпсона, Ошейчик Мария – преобразование инверсии, Анацкий Денис – теорему Бретшнейдера, представляющую собой теорему косинусов для четырехугольника. Богданович Юлия и Богданович Иван представили свои решения вступительных задач по математике в вузы с использованием теоремы Птолемея. Таким образом, на проведенном факультативном занятии учащиеся углубили свои знания о вписанных четырехугольниках, убедились, что с помощью теоремы Птолемея можно доказать теорему Пифагора, теорему косинусов для треугольника, вывести формулы синуса суммы и синуса разности, что теорема Птолемея до сих пор является источником для множества обобщений и плодотворных идей.

Теорема Птолемея

Если четырехугольник ABCD (рис. 1) вписан в окружность, то  произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:

        AC ^. BD =  AB ^. CD + AD ^. BC

Данная теорема установлена Клавдием Птолемеем во втором   веке нашей  эры.

► Первое  доказательство будет в основном следовать доказательству самого Птолемея, приведенному им в книге «Альмагест». Используется подобие треугольников.

На чертеже (рис. 1) изображен данный четырехугольник ABCD, его диагонали АС и ВD и описанная около него окружность.                                 

                                             Рис. 1

        Проведем из точки B отрезок BE до пересечения с диагональю AC таким образом, чтобы Ð CBE = Ð ABD. Углы Ð BCЕ и Ð BDA равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же  дугу AB. Тогда треугольники ABD и СBЕ подобны (по двум углам). Отсюда следует, что   и, следовательно, далее имеем:

AD ^. BC = BD ^. CE.                (2)

Подобны также треугольники ABE и DBC, так как      Ð ABE = Ð DBC и Ð BAE = Ð BDC.

Отсюда следует, что     и   затем  имеем: 

       AB ^. CD = BD ^.AE.                (3)

Сложим соответственно левые и правые части  равенств (2) и (3). Получим

       AD ^. BC + AB ^. CD = BD ^. CE + BD ^. AE или

      AD ^. BC + AB ^. CD = BD ^. (CE + AE) , то есть

     AD ^. BC + AB ^. CD =  BD ^. AC,     что и требовалось.

Замечание. К этому же можно прийти, введя другие обозначения.

Если АВ = ВС =  СD =  DА = АС =  ВD = , то выберем на диагонали АС точку Е так, чтобы угол СВЕ был равен .

Тогда треугольники СВЕ и DВА подобны.

Поэтому ЕС :

Из подобия треугольников АВЕ и DВС (углы АВЕ  и DВС равны как равносоставленные) получаем АЕ :

Значит, ЕС = АЕ =  АЕ + ЕС =АС,  

отсюда

Теорема Птолемея доказана. ◄

(Справедлива и теорема, обратная теореме Птолемея).

►► Второе  доказательство.  Используется теорема синусов.

Так как четырехугольник вписанный, то кроме входящих в условие теоремы величин целесообразно рассмотреть радиус круга R и углы четырехугольника. Введя углы, мы сможем использовать свойство вписанного четырехугольника.

                                                Рис. 1

Итак, пусть  и  вписанные углы, опирающиеся соответственно на стороны АВ, ВС и АD (рис. 1).

Тогда DВС =  DАС = .

 По теореме синусов

.

Следовательно,

Так как ,

 то = 

Значит, .◄

►►► Третье  доказательство.  Используется теорема косинусов.

                                                Рис. 1

Пусть АВ =  ВС =  СD =  DА =  АС =  ВD =  

Нужно доказать, что   

По теореме косинусов имеем:

.

Избавляясь от косинусов и раскладывая на множители, получаем:

,

  .

Аналогично, .

Перемножив последние два равенства и произведя соответствующие сокращения, найдем:

,

откуда и следует утверждение теоремы Птолемея. ◄

►►►► Четвертое  доказательство.  Используется метод площадей.

                                         Рис. 2

Будем применять те же обозначения, что и в предыдущем доказательстве.

Найдем площадь S четырехугольника АВСD двумя способами.

1.   Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

где угол между диагоналями.  

2.   Рассмотрим на дуге АВС (рис. 2) точку В´ такую, что АВ = СВ´. Поскольку треугольники АВС и СВ´А равны, то равны и их площади. Тогда равны площади четырехугольников АВСD и АВ´СD.

        Разобьем вновь полученный четырехугольник АВ´СD на два треугольника диагональю DВ´.

Площадь треугольника   АВ´D равна DAВ´,

площадь треугольника СВ´D равна DCВ´.

Так как четырехугольник АВ´СD вписанный, то углы DАВ´ и DСВ´ в сумме дают 180º и поэтому синусы этих углов совпадают.

        Остается заметить, что

      DAВ´=CAВ´ =

 по теореме об угле между пересекающимися хордами.

         Складывая площади треугольников и приравнивая результат к площади четырехугольника, получаем

   ,       откуда   ,

 что и требовалось доказать. ◄

Замечание. Та же идея может быть реализована по-другому. Покажем возникающие при этом нюансы. 

                                    Рис. 3

Произведение диагоналей четырехугольника АВСD (рис. 3) равно площади этого четырехугольника S, деленной на 0,5

 (как внешний угол треугольника ВОС).

Остается показать, что и

АВ · DС + ВС · DА  = S : 0,5.

Для этого заметим, что площадь четырехугольника АВСD не изменится, если треугольник ВСD «перевернуть», поменяв местами вершины В и D (рис. 4).

                                                 Рис. 4       

Тогда  

После этого учтем, что в полученном четырехугольнике  сумма противоположных углов равна 180º, т. е.

º,  откуда следует,

что  и

                       АС · DВ =АВ · DС + ВС · DА.

►►►►►Пятое доказательство.  Используется прямая Симпсона.

Здесь потребуются некоторые дополнительные сведения из  геометрии  треугольника.

 Определим такое понятие как педальный треугольник. Пусть Р – любая точка внутри треугольника АВС, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на его стороны ВС = , СА = , АВ =  будут .                                                 

Тогда треугольник , вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником точки Р относительно треугольника АВС

 (например, треугольник с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника – педальный треугольник центра вписанной окружности).

Прямые углы  в точках  и (рис. 5) указывают на то, что эти точки лежат на окружности с диаметром АР;

другими словами, точка Р лежит на окружности, описанной вокруг треугольника .

Применяя теорему синусов к этому треугольнику, а также к самому треугольнику АВС, получим

                                           Рис. 5

откуда  Аналогично,   и                           

Таким образом, если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны  то длины сторон педального треугольника равны соответственно

                                         Рис. 6

Теперь рассмотрим тот особый случай, когда точка Р лежит на описанной окружности вокруг треугольника АВС (рис. 6).

Тогда педальный треугольник  «вырождается» в прямую, называемую прямой Симпсона.

Хотя «педальный треугольник»  вырожден, длины его «сторон» все еще могут быть вычислены с помощью формул:

 , ,  

Так как , то  , т. е.

 АВ · СР + ВС · АР = АС · ВР.

 Так как АВСР – вписанный четырехугольник, то таким образом мы доказали теорему Птолемея. ◄

►►►►►►Шестое доказательство. Используется преобразование, которое называется инверсией.

                                                       Рис. 7

Пусть задана некоторая окружность S с центром О и радиусом r (рис. 7).                                      

Каждой точке Х, отличной от точки О, поставим в соответствие точку Х´ на луче ОХ, такую, что ОХ´·ОХ = .

Это преобразование и называется инверсией относительно окружности S.

Лемма (об инверсии). Пусть А´ и В´ − образы точек А и В при инверсии с центром О и радиусом r.

 Тогда треугольники ОАВ и ОВ´А´ подобны и  (рис.8).

  Приведем рассуждения, доказывающие утверждение леммы.

По определению инверсии выполняются равенства ,    .

Следовательно, , и поэтому  

                                                               Рис. 8

Значит, треугольники ОАВ и ОВ´А´ подобны (имеют общий угол при вершине О и их стороны, идущие от этой вершины, пропорциональны).

При этом вершине А соответствует вершина В´, а вершине В – вершина А´.

Но тогда и  

Из этого равенства имеем:  

Подставляя сюда выражение из определения , получаем    Лемма доказана.

      Итак, пусть четырехугольник АВСD вписан в окружность S (рис. 9).

                                   Рис. 9       

По теореме об инверсии эту окружность инверсия I с центром в точке D (и любым радиусом) переведет в прямую p, не проходящую через точку D.

Точки    лежат на прямой p,

причем точка   лежит на отрезке  .

 Поэтому .

 По лемме об инверсии

  .

Подставив эти выражения     в равенство , получаем:

               АС · DВ = АВ · DС + ВС · DА,

что и требовалось доказать. ◄

Приведенные доказательства на самом деле не исчерпывают всех возможных доказательств теоремы Птолемея. 

Седьмое доказательство Теорема Птолемея может быть, например, получена и как следствие теоремы Бретшнейдера (теоремы косинусов для четырехугольника), которая утверждает следующее.

Квадрат произведения диагоналей выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов произведений его противоположных сторон без удвоенного произведения всех четырех сторон четырехугольника и косинуса суммы двух его противолежащих углов,

 т. е. ,

где угол, равный сумме углов А и С или В и D,

так как .

 Поскольку во вписанном четырехугольнике сумма двух противоположных углов равна 180º, то по теореме Бретшнейдера в этом случае

или ,  т. е. .

                                       Рис. 10

Эта теорема понадобилась Клавдию Птолемею (ок.100 – ок.178) – знаменитому древнегреческому астроному и математику, жившему в Александрии, для составления таблицы синусов, точнее, таблицы длин хорд.

Если АС – диаметр окружности, то теорема Птолемея перепишется в виде

;

 если же в качестве диаметра взять сторону АВ, то получим формулу для синуса разности этих углов (рис. 10).

Именно эти частные случаи использовал Птолемей для составления своих таблиц, очень нужных для астрономических расчетов.    

В эпоху средневековья книга Птолемея, в которой содержались обширные сведения по астрономии, получила распространение в странах арабского Востока; астрономы называли ее там «Аль Маджисти» − «Величайшее», отсюда и происходит ее название «Альмагест».

Заметим, что если около выпуклого четырехугольника нельзя описать окружность, то произведение его диагоналей меньше суммы произведений противоположных сторон. Докажем это.

                                       Рис. 11

Пусть для определенности в данном четырехугольнике АВСD  АВС + АDС < 180º. Тогда вершина D лежит вне окружности, проведенной через вершины А, В и С.

Пусть DВС   АВD.

Построим (как  на рис. 11)  СВК = АВD,   ВСК = АDВ и проведем отрезок АК.

Тогда ~, а поэтому

                                                  (4)

Следовательно,  АD · ВС = ВD · КС.              (5)

Так как  DВС = АВК,

а из (4) следует, что , то ~.

Из подобия этих треугольников  вытекает, что ,

т. е.

                     АВ · СD = ВD · АК.                 (6)

Сложив  (5) и (6) получаем:

    АD · ВС + АВ · СD = ВD(АК + КС).       (7)

Но точка К не лежит на прямой АС, поскольку ВСК, равный АDВ, имеющему вершину вне круга, меньше вписанного угла АСВ.

Следовательно,

                          АК + КС > АС.                     (8)

Поэтому из (7) и (8) имеем:

              АС · ВD < AD · BC + AB · CD.

Значит, для любого выпуклого четырехугольника АВСD имеет место неравенство

Рассмотрим теперь теорему, представляющую обобщение теоремы Птолемея.

В ней речь пойдет о четырех окружностях, касающихся внутренним (внешним) образом некоторой окружности в вершинах вписанного в нее четырехугольника.

Вместо расстояния между двумя вершинами А и В принимается касательное расстояние между соответствующими двумя окружностями , .

Под касательным расстоянием  подразумевается расстояние между двумя точками касания общей внешней касательной этих двух окружностей (рис. 12).

                                           Рис.12   

 Обобщенная теорема Птолемея.

Если окружности , , ,  касаются окружности  внутренним (внешним) образом в вершинах А, В, С, D выпуклого четырехугольника АВСD, вписанного в , то касательные расстояния между парами окружностей связаны соотношением:

                 ·+·=·.

Замечание. Если , , ,  − окружности нулевого радиуса, то получаем обычную теорему Птолемея.

                                                          Рис. 13

Прежде чем непосредственно перейти к доказательству обобщенной теоремы Птолемея, вычислим касательное расстояние между окружностями и , если дана окружность (О,R) и две касающиеся ее внутренним образом в точках А и В окружности  и  .

Пусть общая внешняя касательная касается  в точке , а   − в точке (рис. 13).

Тогда , 

   где .

Далее, , где .

Из записанных уравнений следует после исключения  и  равенство

или, после преобразований,   

         .

       Теперь докажем обобщенную теорему Птолемея.

Впишем в окружность  четырехугольник АВСD и построим четыре окружности , , , , касающиеся  внутренним образом в точках А, В, С, D (рис. 14).

Тогда согласно полученной формуле имеем:

         ,   ,

         ,    , 

         ,    .

               Рис. 14                           Рис. 15

Подставим эти  выражения для 

,  , , ,, 

 в  равенство 

·+=.

В результате получим равенство, равносильное следующему:

АС · DВ = АВ · DС + ВС · DА,

что верно для четырехугольника АВСD по обычной теореме Птолемея.

Тем самым, ввиду равносильности соответствующих  равенств, обобщенная теорема Птолемея доказана для четырех окружностей, касающихся  внутренним образом.

Она же остается в силе и для четырех окружностей, касающихся  внешним образом (рис. 15).

Отличие здесь только в том, что если две окружности  и  касаются  внешним образом, то  

                          .

В качестве геометрического практикума по применению теоремы Птолемея решим с ее помощью  задачи.

1. Из концов диаметра, равного 25 см, проведены по одну сторону от него две хорды длиной 24 см и 20 см. Определите расстояние между концами хорд, не лежащими на диаметре.

► Имеем: АВ = 25 см, АС = 24 см, ВD = 20 см, АСВ = АDВ = 90º (рис. 16). Из треугольника АDВ по тереме Пифагора АD = =15(см). Аналогично из треугольника АВС получаем: ВС = = 7 (см).

                                       Рис. 16

Введем обозначения: ВО = х, DО = 20 – х, СО = у,

АО = 24 – у. По свойству пересекающихся хорд (АС и ВD):

 (20 – х) · х =  (24 – у) · у.

Из прямоугольного треугольника ОСВ: . Решаем систему уравнений:

Из второго уравнения последней системы находим:  у = 5, 25, т. е. СО = 5, 25 см, тогда х = 8, 75, т. е. ВО = 8, 75 см.

Треугольники DОС и АОВ подобны (DОС = АОВ как вертикальные, ВDС = ВАС как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу). Значит, . Отсюда DС = 15 см. ◄

►► Используется теорема Птолемея.

Имеем: АВ = 25 см, АС = 24 см, ВD = 20 см, АСВ = АDВ = 90º (рис. 16).

Из треугольника АDВ по тереме Пифагора АD = =15(см). Аналогично из треугольника АВС получаем: ВС = = 7 (см).

Четырехугольник АВСD – вписанный.

По теореме Птолемея

АС · DВ = АВ · DС + ВС · DА, т. е.

 24 · 20 = 15 · 7 + 25 · DС. Отсюда DС = 15 см.

Ответ: 15 см. ◄

2. Четырехугольник АВСD вписан в окружность, причем АСD = 90º, АСВ = ВАD, АD = 2,  СD = . Найдите ВС.

                                         Рис. 17

► Используется теорема Птолемея.                                  

Из условия следует, что АD – диаметр, АВD = 90º, АВ = ВD (рис. 17). Следовательно, треугольник АВD – равнобедренный прямоугольный, откуда АВ = ВD = . Далее, из прямоугольного треугольника АСD находим катет АС. Он равен 8/5. Осталось применить теорему Птолемея: .

Ответ: .◄

►►Установив, что АВ =  , АС = 8/5, АСВ = 45º (см. первое решение), дальше применим теорему косинусов (, (рис. 17)):  . Решая полученное квадратное уравнение, найдем два его корня: . Один из них  посторонний, так как по условию ВС < АВ. Ответ: .◄