Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Проект урока "Геометрия треугольника"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Проект урока "Геометрия треугольника"

библиотека
материалов

hello_html_245c7feb.gifhello_html_76735f8a.gifhello_html_51cf471f.gifhello_html_m265e95c7.gifhello_html_7df58817.gifhello_html_m6e82c0f8.gifhello_html_m3b497efb.gifhello_html_m265e95c7.gifhello_html_5e7ba889.gifhello_html_m2636a6c6.gifhello_html_5e7ba889.gifhello_html_cce4095.gifhello_html_m30505a2.gifhello_html_692411d1.gifhello_html_m93a56c7.gifhello_html_m1385962f.gifhello_html_m1385962f.gifhello_html_14fe8d6b.gifhello_html_6fac7685.gifhello_html_217583f2.gifhello_html_m45502c13.gifhello_html_64ed13d9.gifhello_html_580bca77.gifhello_html_m4c2d836.gifhello_html_m7b744866.gifhello_html_7a6d5b44.gifhello_html_60eb2581.gifhello_html_7c1e5f63.gifhello_html_m737ae0fe.gifhello_html_338f30b3.gifhello_html_m174cdd05.gifhello_html_m31916816.gifhello_html_m5793d3d.gifhello_html_m3bdbe35b.gifhello_html_m1d1ab786.gifhello_html_m14378ed.gifhello_html_m6aebe5c0.gifhello_html_2f00c2e8.gifhello_html_m31916816.gifhello_html_1dbed2f2.gifhello_html_6713afe1.gifhello_html_m8344d5f.gifhello_html_m49b63611.gifhello_html_19d89dc8.gifhello_html_580bca77.gifhello_html_2bd8a4a9.gifhello_html_577e4108.gifhello_html_m2cc01936.gifhello_html_m3783d735.gifhello_html_m406d4468.gifhello_html_m75619529.gifhello_html_184b1ae3.gifhello_html_6b8a72cf.gifhello_html_5b121fe2.gifhello_html_45d17257.gifhello_html_m20419abd.gifhello_html_21c6ca8f.gifВВЕДЕНИЕ

Треугольник является важнейшей фигурой планиметрии, и потому в первую очередь изучают свойства этой фигуры. Любой многоугольник может быть разделён на треугольники, а изучение свойств этого многоугольника, сводится к изучению составляющих его треугольников. С треугольником связаны многие методы, используемые при решении различных геометрических задач. В каком-то смысле изучаемая в школьном курсе геометрия - это геометрия треугольника. Очень важно для учителя представлять себе методику изложения этой темы для правильного построения курса и избегания методических ошибок.

Данная работа проведена с целью, проанализировать методику изложения темы "Треугольники" в курсе геометрии 7-9 класса, а также подготовить проект урока по данной теме.

Задачи:

  1. Проанализировать подходы и особенности изложения данной темы.

  2. Выявить достоинства и недостатки изложения этой темы.

  3. Разработать проект урока итогового повторения.

Методические рекомендации: урок проводится в конце 8 класса. Повторение по данной теме проводится как урок одной задачи.

Анализ методики изложения материала будет проводиться по учебнику Атанасяна Л.С., Бутузова Б.Ф. и др. Геометрия 7-9.

В основной части работы представлены подходы и особенности изложения материала. Также представлен проект урока, в котором работа в парах и ответы на вопросы учителя оцениваются цветовыми полосками (при каждом ответе учащегося выдается учителем цветовая полоска из бумаги: отличный ответ – красная полоска, хороший ответ – синяя полоска, удовлетворительный ответ – желтая полоска, неудовлетворительный ответ – ничего не выдается), которые учащиеся приклеивают в заранее приготовленный табель. В конце урока, при подведении итогов, учащиеся подсчитывают среднее арифметическое своих оценок и получают итоговую отметку за работу на уроке, выставляют её в табель и сдают учителю.

Задача для общего разбора записана на доске. Решение задачи разбивается на пункты. Учащиеся по очереди выходят к доске для решения одного из этапов. Оценивается решение этапа цветовыми полосками.

Самостоятельная работа дана разноуровневая. Учащиеся самостоятельно определяют свой уровень и решают задачи. Оценивается учителем.

В заключительной части работы представлены выводы проделанной работы.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

В учебнике Атанасяна понятие треугольника вводится конструктивно: как фигура, состоящая из трёх точек и трёх отрезков соединяющих эти точки. При этом ничего не говорится о плоскости треугольника. Это делается с целью отступления от определения равных геометрических фигур с помощью отображений, сохраняющих расстояния (перемещений и движений).

Равнобедренные треугольники:

В силу того, что Атанасян не использует движения плоскости в 7 классе, основой для доказательства свойств равнобедренных треугольников являются признаки равенства треугольников. В доказательстве свойств равнобедренного треугольника Атанасян пользуется первым признаком равенства треугольников. Такое доказательство дается ученикам не трудно.

Признаки равнобедренного треугольника в учебнике не рассматриваются, хотя эти теоремы очень полезны.

Признаки равенства треугольников:

В учебнике применяется подход с использованием аксиомы существования треугольника равного данному, но нигде ссылок на эту аксиому нет. Доказательства проводятся на основе наглядности с помощью наложения и приложения. В учебнике Атанасяна аксиомы не являются основой, на которой строится школьный курс геометрии. Большое преимущество учебнику дает использование в качестве основного рабочего аппарата признаки равенства треугольников, а не свойства геометрических преобразований. Такой подход позволяет отработать общие приёмы доказательства теорем.

Признаки подобия треугольников:

Определение подобных треугольников даётся как треугольники, у которых соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Атанасян вводит понятие пропорциональных сходственных сторон. Доказательство признаков облегчается тем, в учебнике Теорема Фалеса рассматривается в самом начале 8 класса, а признаки подобия позже. Доказательство первого признака подобия треугольников в этом учебнике основывается на теореме об отношении площадей треугольников, утверждающей, что если в треугольниках ABC и A1B1C1 углы А и А1 равны, то hello_html_ed841fd.gif. Эта теорема не является традиционной для школьного курса и скорее всего носит вспомогательный характер. С другой стороны на основе этой теоремы весьма просто доказывается, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. По сути дела всё доказательство в одну строчку. Эта же теорема позволяет дать простое доказательство признаков подобия треугольников. В то же время её удалённость от места применения накладывает определённые трудности на усвоение учащимися доказательства признаков подобия треугольников.

Проект урока

Цель урока:

закрепить умения и знания, полученные ранее;

применить полученные знания для решения задач связанных с треугольниками.

План урока:

Организационный момент (2-3 мин).

Актуализация знаний (3-4 мин).

Фронтальная работа с классом (10-13 мин).

Самостоятельная работа (15 - 17 мин).

Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания (2 мин).

Ход урока

I. Организационный момент.

Настраиваем класс на работу. Сообщаем цель урока.

II. В начале урока проводится разминка фронтально с классом: повторение основных теоретических положений по данной теме.

1) Сформулируйте определение треугольника:

равнобедренного;

равностороннего;

прямоугольного.

2) Перечислите свойства равнобедренного треугольника.

Е

Задача на готовых чертежах:

hello_html_327b74fe.png

Найдите угол АВС.

Решение: треугольник BDE равнобедренный → угол EBD = 600 → угол ЕВС = 1200 как внешний. Так как угол АВС = углу ЕВА→ угол АВС = 600

Ответ: 600

3) Сформулируйте признаки равнобедренного треугольника.

4) Можно ли назвать равносторонний треугольник равнобедренным?

5) Какие треугольники называются равными?

6) Какие элементы называются соответственными?

7) Сформулируйте:

1-й признак равенства треугольников;

2-й признак равенства треугольников;

3-й признак равенства треугольников.

Задачи на готовых чертежах:

а) найдите пары равных треугольников и докажите, что они равны.



hello_html_m61c16d28.png




Рассмотрим треугольники PSC и KRC:

Так как угол NPC и угол MKC равны по условию, а так же являются внешними, то угол RKC = углу SPC.

По условию KC = PC, KR = PS.

Значит, рассмотренные треугольники равны по первому признаку.

Рассмотрим треугольники SKC и RPS:

Угол RKC = углу SPC (1-й случай).

По условию KC = PC, KR = PS, отрезок RS – общий.

Значит, рассмотренные треугольники равны по первому признаку.


б) найдите пары равных треугольников и докажите, что они равны.

hello_html_18fc2523.gif

Рассмотрим треугольники BDC и BFC: у этих треугольников сторона ВС – общая, угол DBC = углу FCB, угол DCB = углу FBC (по условию). Следовательно, эти треугольники равны по второму признаку.

Рассмотрим треугольники BDC и АВЕ: углы BDC и АВЕ равны как вертикальные. Сторона АВ = стороне ВС, DB = BE (по условию). Следовательно, эти треугольники равны по первому признаку.

8) Какие треугольники называются подобными?

9) Что значит пропорциональные стороны?

10) Что такое коэффициент подобия?

11) Сформулируйте:

1-й признак подобия треугольников;

2-й признак подобия треугольников;

3-й признак подобия треугольников.

Найдите х,у

hello_html_m7a043bca.gif

Рассмотрим треугольники ABC и DBE: угол В у этих треугольников общий, DEAC, BD и ВА лежат на одной прямой, ВЕ и ВС тоже лежат на одной прямой → эти треугольники подобны с коэффициентом пропорциональности hello_html_7fab0216.gif.

Следовательно, х=12, у=13.


12) Назовите:

формулу для вычисления площади треугольника;

формулу Герона;

формулу площади треугольника, вписанного в окружность;

формулу площади треугольника, описанного вокруг окружности.

С

13) Есть ли среди приведенных формул верные?

с

а


в

В

А

hello_html_m5d541795.gif


а) hello_html_7a2fe4c9.gifhello_html_6509a295.gif б) hello_html_1e43d552.gif

в) hello_html_21693a02.gif

г) hello_html_7c2d90ac.gif

д) hello_html_51ece9f.gif

Задача для общего разбора.

В прямоугольном треугольнике АВС один из острых углов равен 300 , точка О – середина гипотенузы АВ, I – точка пересечения биссектрис. Найдите угол IOC.

А


300




О



K


I


600



В

С



Рассмотрим треугольник ВОС: 1. т.к. точка О – середина гипотенузы АВ, значит она является центром описанной окружности → ОВ=ОС → треугольник ВОС равносторонний, т.к. угол при основании ОВС = 600

2. CI – биссектриса → угол BCI = 450OCI = ОВС – BCI = 150.

3. т.к. треугольник ВОС равносторонний, значит ВК является биссектрисой, высотой и медианой → СК = КО, ВК ┴ СО.

4. рассмотрим треугольник CIO:

точка I лежит на ВК → IK является медианой и высотой в треугольнике CIOOCI = ICO = 150











IV. Задачи для самостоятельной работы.

В

C

H

Первый уровень:

C

К

а) б)

В


F

А


D

M


D

А


В


В

в) г)


C

А


C

А


D



D


В

В


А

д) е)



1000

1000

D


C

А

D

C



                 Вариант 1.                                         

                          Вариант 2.    

1. В треугольниках ABD и СМН (рис. а)         

AB = СМ, AD =CН.                                           

http://festival.1september.ru/articles/575356/005_0003.gifABD = http://festival.1september.ru/articles/575356/005_0004.gifCМН, если …                                  

а) http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0007.gifВ = http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0008.gifМ;   б) http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0009.gifА = http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0010.gifН;  в)http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0011.gifА = http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0012.gifС   

2. АС – биссектриса http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0019.gifBAD (рис. в).              

http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0020.gifВСА = =http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0021.gifDCA.  http://festival.1september.ru/articles/575356/005_0007.gifАВС =http://festival.1september.ru/articles/575356/005_0008.gifADC               

 по …                                                               

а) двум сторонам и углу между ними;         

б) стороне и прилежащим к ней углам;          

в) трём сторонам.                                              

3. http://festival.1september.ru/articles/575356/008_0000.gifBCD =100˚ (рис. д). Найдите http://festival.1september.ru/articles/575356/008_0001.gifABC.   

Ответы: а) 40˚; б) 80˚; в) 100˚.                                  

     1. В треугольниках ABF и CDK (рис.б)

      http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0005.gifA = http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0006.gifC, AF= CК.

      http://festival.1september.ru/articles/575356/005_0005.gifABF = http://festival.1september.ru/articles/575356/005_0006.gifCDK, если …                                                                                                                         

      а) http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0013.gifВ = http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0014.gifD;   б) http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0015.gifF = http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0016.gifК;  в) http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0017.gifF = http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0018.gifD.

      2. DC = BC, AB = AD (рис. г)

       http://festival.1september.ru/articles/575356/005_0009.gifВAС =http://festival.1september.ru/articles/575356/005_0010.gifDAC по…

        а) двум сторонам и углу между ними; 

        б) стороне и прилежащим к ней углам;

         в) трём сторонам.

   3. http://festival.1september.ru/articles/575356/008_0002.gifBAD =110˚ (рис. е). Найдите http://festival.1september.ru/articles/575356/008_0003.gifABC.                               

Ответы: а) 110˚; б) 35˚; в) 70˚.


Е

В

Второй уровень:

10 см

а) б)

1

F

D


5 см

1

2

С

А


3 см

2


5 см

H


В

D


В


А

в) г)


1150


1240


D

С

А

D

С



                 Вариант 1.                                           

                          Вариант 2.     

1. В треугольниках АВС и ADC (рис. а) http://festival.1september.ru/articles/575356/010.gif   

 http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0022.gif1 = http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0023.gif2, AD = 5cм, DC = 3см.                       

Найдите AB.                                                        

Ответы: а) 5см; б) 3см;  в) недостаточно данных.                                                                 

2. Периметр равнобедренного треугольника  равнобедренного треугольника  равен 28см, а его боковая сторона равна 9см.  

Найдите длину основания  треугольника.       

Ответы: а) 10см; б) 14,5см; в) 29см.                  

3. http://festival.1september.ru/articles/575356/008_0004.gifBCD =115˚ (рис. в). Найдите http://festival.1september.ru/articles/575356/008_0005.gifABC.    

Ответы: а) 50˚; б) 65˚; в) 75˚. 

     1. В треугольниках DEF и DHF (рис. б)

      http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0024.gif1 = http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0025.gif2, FE = FH, FH = 5cм, DE=10cм

      Найдите DH.

      Ответы: а) 6см; б) 10см; в) недостаточно  данных.

     2. Основание равно 12см, а его периметр равен 38см.

      Найдите боковые  стороны треугольника.

     Ответы: а) 12см, 12см; б) 11см, 15см;

      в) 13см, 13см.

     3. http://festival.1september.ru/articles/575356/008_0006.gifBAD =124˚ (рис. г). Найдите http://festival.1september.ru/articles/575356/008_0007.gifACB.            

Ответы: а) 56˚; б) 68˚; в) 28˚.


С

Третий уровень:



В

А


К



                 Вариант 1.                                   

                               Вариант 2.     

1. В треугольниках АВС и А1В1С1             

 http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0026.gifА = http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0027.gif А1,  AВ = А1В1, АС = А1С1.        

На сторонах BC и В1С1 отмечены  точки К и К1, такие, что СК = С1К1.  АВ = 10cм, ВС = 13см, С1К1= 6см.               

Найти  В1К1.

Ответы: а) 10см; б) 7см; в) 19см.                   

2. Периметр треугольника ABC равен   39см. Одна из сторон на 4см больше второй и на 2см больше третьей   стороны.  Найдите стороны http://festival.1september.ru/articles/575356/005_0011.gifABC.               

Ответы: а) 9см, 13см, 17см;                             

               б) 11см, 13см, 15см;                           

               в) 10см, 12см, 17см.                           

3. Используя рисунок: а) Найдите пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике и запишите соответствующие равенства.

б) Напишите пары подобных треугольников и укажите признак, по которому они подобны с указанием конкретных элементов.

 1. В треугольниках АВС и А1В1С1

  http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0028.gifВ = http://festival.1september.ru/articles/575356/002_0029.gifВ1, АВ = А1В1, ВС = В1С1. На сторонах АC и А1С1 отмечены точки   D и D1 так, что АD = А1D1. АВ = 12см,  АС = 9см, D1С1 = 3см. Найти А1D1.

 Ответы: а) 12см; б) 9см; в) 6см. 

 2. Найдите стороны треугольника MNP, если  его периметр равен 63см, одна из сторон на 3см   меньше второй и в 2 раза меньше третьей.

Ответы: а) 15см, 18см, 30см;

                       б) 12,2см, 24,4см, 26,4см;

                        в) 14см, 17см, 28см.

      3. Используя рисунок: а) Найдите пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике и запишите соответствующие равенства.

б) Напишите пары подобных треугольников и укажите признак, по которому они подобны с указанием конкретных элементов.



V. Постановка домашнего задания. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

Заключительная часть


В данной работе был проведён краткий методический анализ учебника по геометрии для средней школы. Выделены подходы, достоинства и недостатки изложения данной темы, а также приведен проект урока итогового повторения с методическими рекомендациями. Проанализированы базовые понятия и теоремы, что позволяет выбрать наиболее верный подход и методику изложения курса.

Список литературы

1.В. Рыжик Тесты на экзамене. Геометрия 8-11 класс \\"Математика" приложение к газете "1 сентября" №1, 2002 г.

2.В.А. Смирнов О доказательствах признаков подобия треугольников \\ Математика в школе №6, 1990 г.

3.И. Смирнова, В. Смирнов Самостоятельные работы по геометрии 7 класс \\ "Математика" приложение к газете "1 сентября" №33, 2001 г.

4.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина О конкурсном учебнике геометрии для 7-9 классов \\ Математика в школе №1, 1989 г.

5.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина Геометрия: учебник для 7-9 класса средней школы. - М.: Просвещение, 2010г.

6.Л. Басова Признаки равенства треугольников \\ "Математика" приложение к газете "1 сентября" №34, 2000 г.

7.Л. Птичкина Тесты повторения по геометрии 7 класс \\"Математика" приложение к газете "1 сентября" №11, 2000 г.

8.Уроки итогового повторения 7-11 классы общеобразовательной школы \ Н. Гришкова, А. Илюхина \\ "Математика" приложение к газете "1 сентября" №13, 1999 г.

9.Э. Н. Балаян Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7 – 9 классы\\ Ростов – на – Дону: Феникс, 2013 г.


Краткое описание документа:

Урок проводится в конце 8 класса. Повторение по данной теме проводится как урок одной задачи.

Во время проведения актуализации знаний используются задачи на готовых чертежах, которые ученики решают в парах (с целью экономии времени можно актуализацию знаний проводить без устных задач).

Работа в парах и ответы на вопросы учителя оцениваются цветовыми полосками (при каждом ответе учащегося выдается учителем цветовая полоска из бумаги: отличный ответ – красная полоска, хороший ответ – синяя полоска, удовлетворительный ответ – желтая полоска, неудовлетворительный ответ – ничего не выдается), которые учащиеся приклеивают в заранее приготовленный табель. В конце урока, при подведении итогов, учащиеся подсчитывают среднее арифметическое своих оценок и получают итоговую отметку за работу на уроке, выставляют её в табель и сдают учителю.

Задача для общего разбора записана на доске. Решение задачи разбивается на пункты. Учащиеся по очереди выходят к доске для решения одного из этапов. Оценивается решение этапа цветовыми полосками.

 

Самостоятельная работа дана разноуровневая. Учащиеся самостоятельно определяют свой уровень и решают задачи. Оценивается учителем. 

Автор
Дата добавления 11.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров343
Номер материала 184176
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх