Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Проект урока по математике на тему "Прогрессии вокруг нас"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Проект урока по математике на тему "Прогрессии вокруг нас"

библиотека
материалов

муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Танайковская основная общеобразовательная школа








Конкурсная работа методических материалов

Тема:

«Прикладное применение математических знаний»



Название мероприятия: проект урока

«Прогрессии вокруг нас»



hello_html_35da11c8.png








Подготовил:

учитель 1 категории

Первушкина М.В.



2014









2014г.

Аннотация проекта:

В работе дается ответ на вопрос: действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни? Для этого сделан исторический экскурс для установления авторства теории о прогрессиях. Приведены примеры применения прогрессий в различных отраслях хозяйства.

Актуальность исследования. (почему это важно).

В 9 классе изучаются прогрессии: определение, формулы n – го члена прогрессии, сумма первых членов прогрессии. Найдя ответы на вопросы: имеет ли это какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, учащиеся подтвердят или опровергнут утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Проблемный вопрос:

Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?

Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии.

Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий

Гипотеза исследования:

На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Цель исследования:

возможность практического применения полученных знаний, расширить представление о сфере применения прогрессии в нашей жизни.

Задачи исследования:

1. Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.

2. Выяснить:

- когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии;

- какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.

3. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.





Структура урока:


  1. Орг.момент, приветствие, пожелания.

  2. Актуализация опорных знаний - устная работа, повторение основных фактов теории.

  3. Защита проектов по решению задач практического содержания.

  4. Итог урока. Оценка деятельности учащихся.

  5. Домашнее задание.


Оборудование: компьютер, мультимедиапроектор.


Подготовительная работа к уроку.

При изучении темы алгебры 9 класса «Арифметическая и геометрическая прогрессии» применен метод проектов. Характерной особенностью темы являются широта и разнообразие практических иллюстраций: рост бактерий, деление атомов урана, распространение эпидемий, возможный рост населения земного шара и т.д. Формулы n-го члена и суммы n первых членов прогрессий позволяют прогнозировать будущее человека для перечисленных выше примеров. Класс разбит на четыре группы. Каждая группа проводит исследование, а на итоговом уроке представляет найденные материалы в виде презентации. Темы исследований:

I группа - «Прогрессия в древности…» (легенда об изобретателе шахмат)

II группа - «Прогрессии в природе » (скорость распространения бактерий, можно ли описать и прогнозировать это явление?)

III группа - «Прогрессии в банковских расчетах, в строительстве, в спорте»

IV группа - «Прогрессии в медицине, в экономике, литературе»


Ход урока.

  1. Орг.момент, приветствие, пожелания.

Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста. Сегодняшний урок я хотела бы начать словами:

Закончился 20-ый век.

Куда стремится человек?

Изучены и космос, и моря,

Строенье звёзд и вся Земля.

Но математиков зовёт

Известный лозунг:

«Прогрессио движение вперёд».

Я хочу, чтобы наша встреча сегодня принесла много открытий, опыта и хорошего настроения. Вместе с вами мы будем двигаться только вперёд, т.к. слово «Прогрессио» в переводе с греческого языка означает движение вперёд. Откройте свои тетради, запишите число, классная работа и тему нашего урока: «Прогрессии вокруг нас»

Цель сегодняшнего урока: обобщить представление о прогрессиях и их применении в окружающем мире.

  1. Актуализация опорных знаний.

Устная работа с классом.

а) А сейчас в качестве небольшой разминки выполним кроссворд.

Вопросы кроссворда: (слайд 3)

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

2. Укажите d последовательности: 5,5,5….

3. Способ задания последовательности.

4. Разница между последующим и предыдущим членами прогрессии.

5. Элементы, из которых состоит последовательность.

6. Натуральное число, обозначающее место члена в последовательности.

7. Функция, заданная на множестве натуральных чисел.

8.Последовательность, содержащая ограниченное число членов. hello_html_m3ce843d4.png

б) На доске написано два ряда чисел. Вызывается два ученика, каждый из которых определяет вид последовательности и записывает все формулы полученной прогрессии. (слайд 4 )



  1. Защита проектов.

Прогрессия в древности

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:

1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1). Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в.) (слайд 5).

Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более. В древней Греции еще пять столетий до н.э. были известны такие суммы:

1+2+3+…+nn(n+1);

1+3+5+…+(2n-1)=n2;

2+4+6+…+2n=n(n+1).

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.

В трудах Архимеда (ок. 287-212 гг. до н.э.) излагаются первые сведения о прогрессиях.

Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами.

Вопросами последовательности занимался Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., именуемой впоследствии "рядом Фибоначчи". (слайд 6).

О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц Шерам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля. Здесь явная геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2. (слайд 7).

Прогрессии широко встречаются в окружающей нас жизни.


Прогрессии в природе.

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:

ИНФУЗОРИИ… Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Ответ: b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)

БАКТЕРИИ… Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения будем называть поколением.

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов. (слайд 8)

Задача №524. [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов, - М.: Мнемозина, 2010]

Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

Решение. В сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1=

= 4 722 366 482 869 645 213 695. (слайд 11) Это число читается:

Всего бактерий

4 септиллиона

722 секстиллиона

366 квинтиллионов

482 квадриллионов

869 триллиона

645 миллиарда

709 миллионов

213 тысяча 695 (слайд 12)

Интенсивность размножения бактерий используют… в пищевой

промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов,

при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен) (слайд9-10)

ОДУВАНЧИК

Задачи:

Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих семян.

а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии? Ответ: 1012 км2

б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара?

Ответ: нет, Sсуши = 148 млн км2 (слайд12)


Прогрессии в банковских расчетах.

Каждому в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами.

Рассмотрим конкретный пример.

Пусть вклад составляв 10 000 р., банк дает 10% годовых, срок

хранения вклада - 5 лет. Если вы выбрали стратегию простых

пhello_html_m49abfae6.gifроцентов, то к концу срока хранения вы получите в итоге сумму,

равную10 000 • (1 + ,) т. е. 15 000 р. Если же вы выбрали стратегию

сhello_html_77a322ba.gifложных процентов, то к концу срока хранения вы получите

в итоге сумму, равную 10 000 • ( 1 + )5, т. е. 16 105,1 р.

Как говорится в одном рекламном слогане, почувствуйте разницу. (слайд 13)

Прогрессии строителю: Представьте, что вы – учетчик на стройке.Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу.

Количество бревен легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице, если бревна уложены так, как показано на рисунке. (слайд14)

Прогрессии в медицине.

[Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2010]

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?


Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства.

Решение. Составим математическую модель задачи:

5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

ап1+d(n-1),

40=5+5(п-1),

п=8,

Sп=((a1+aп)n)/2, S8 =(5+40)·8:2=180,

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства. (слайд15-16)


Прогрессии в спорте.

Задача № 468
[Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений / Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2010]

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Решение. Составим математическую модель задачи. Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов ( количество промахов) равно 7. Найдем число промахов - n. (слайд18)

[Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2010]

Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Решение. Составим математическую модель задачи: 1400, 1300, …, 1400-100(n-1). a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.

Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2; Условию задачи удовлетворяет

10000= (2800-100 n+100) n; n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn>0)

10000= (2900-100 n) n; Значит, альпинисты покорили

100 n2-2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.

n2-29 n+100=0; n=25, n=4. Ответ: за 4 дня.




Прогрессии в литературе.

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".

...Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...   

  Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

    Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

Примеры:

Ямб:

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...

Хорей:.

«Я пропАл, как звЕрь в загОне» Б. Л. Пастернак

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...

«бУря  мглОю  нЕбо  крОет»

прогрессия 1; 3; 5;7. А.С. Пушкин. (слайд20)


  1. Итог урока. Выводы.


Давайте обсудим следующие вопросы:

  1. Какие трудности вы испытывали при создании проектов?

  2. Достигли ли вы цели, поставленной перед собой по данной теме?

  3. Что тебе дало совместное выполнение проекта?

  4. Чему ты научился?

  5. Какие знания и умения приобрёл?

  6. Следующий проект ты хотел бы выполнять один или в группе? Почему?

  7. Какой проект ты хотел бы выполнить?


5. Домашнее задание. Тест для подготовки к контрольной работе по теме.







Список использованных источников:


  1. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 10-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2008.

  2. Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2012.

  3. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.

  4. http://ru.wikipedia.org

  5. http://arprog.ru/

  6. http://www. Math.ru/

  7. http://festival.1september.ru/articles/416294/

  8. http://festival.1september.ru/articles/508421/

  9. Арифметическая прогрессия в быту http://cor.edu.27.ru/catalog/res/5781955d-3c28-19b8-b315-f3a763be6f6a/?sort=order&&rubric_id http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/73bc8240-49f3-44c6-8991-a547d457a20f/112769/?interface=pupil&class=51&subject=17

  10. http://www.bryanskedu.net/metodik/math/didakt/

  11. http://cor.edu.27.ru/dlrstore/9/9cc8ddaf-8699-17cf-a944-aed055d17c62/index2.htm

  12. http://wiki-linki.ru/Page/526869

  13. http://school-collection.edu.ru













hello_html_65b5deed.gif

Краткое описание документа:

Аннотация проекта:

В работе дается ответ на вопрос: действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?  Для этого сделан исторический экскурс для установления авторства теории о прогрессиях. Приведены примеры применения прогрессий в различных отраслях хозяйства.

 Актуальность исследования.  (почему это важно).    

 В 9 классе изучаются прогрессии: определение, формулы  n – го члена прогрессии, сумма первых членов прогрессии. Найдя ответы на вопросы: имеет ли это какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, учащиеся подтвердят  или опровергнут  утверждение о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является  частью общечеловеческой культуры. 

Автор
Дата добавления 14.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров889
Номер материала 188565
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх