Выбранный для просмотра документ Зачем изучают логарифмы.doc
Приложение 1
Выступление учащегося. Тема ««Зачем изучают логарифмы сегодня»
Мы уже знаем из предыдущего выступления что логарифмы появились в ХVI в. под влиянием все возрастающих потребностей практики как средство для упрощения вычислений. Нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами? Так зачем изучают логарифмы сегодня?
Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Математики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики и связывая эмпирические данные с помощью различных математических зависимостей, тем самым составляют математическую модель явления. При составлении модели того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль.
Логарифмическую спираль можно увидеть на рис.1. Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая. Так почему в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль?
Известно, что живые существа обычно растут,
сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех
направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских
животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в
длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется
подобие раковины с ее первоначальной формой (рис.2).
Рис.1
А такой рост может совершаться
лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам.
Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога горных козлов закручены
по логарифмической спирали (рис.3).
Рис.2 Рис.3
Можно сказать, что эта спираль
является математическим символом соотношения формы и роста. Великий немецкий
поэт Иоганн-Вольфганг Гете считал ее даже математическим символом жизни и
духовного развития.
По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В подсолнухе (рис.4.) семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.
По логарифмическим спиралям закручены и многие
галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система
(рис.5).
Рис.4 Рис.5
Логарифмические линии в природе
замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос
чрезвычайно волновал Сальвадора Дали. И однажды, 18 декабря 1955г. Он вынес его
на повестку своего публичного выступления, которое проходило в Париже, в
главной аудитории Сорбонны. Сальвадор Дали рассказал о том, что происходило в
Сорбонне, в своем дневнике, из которого я привожу небольшие отрывки.
«…моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью, стала картина Вермера «Кружевница», репродукция которой висела в отцовском кабинете» (рис.6).
Рис.6-7
« Уже много лет спустя я попросил
в Лувре разрешение написать копию с этой картины. Потом я попросил киномеханика
показать на экране репродукцию нарисованной моей копии… Я объяснил, что, пока
не написал копию, в сущности, почти ничего не понимал в «Кружевнице», и мне
понадобилось размышлять над этим вопросом целое лето, чтобы осознать наконец,
что я инстинктивно провел на холсте строгие логарифмические кривые…» (рис.7).
«Одновременно с этим я углубил свои исследования по морфологии подсолнуха – вопросу, по которому в свое время сделал чрезвычайно интересные выводы еще Леонардо да Винчи. Никогда еще в природе не существовало столь совершенного примера логарифмических спиралей…)
Логарифмическая спираль знаменита и своими удивительными свойствами:
1.Она остается неизменной не только при преобразовании подобия, но и при других различных преобразованиях. Это свойство так поразило впервые изучавшего ее Якоба Бернулли (XVII в.), что он был склонен придать им мистический смысл и пожелал иметь на своей могильной плите изображение логарифмической спирали с надписью: «измененная, воскресаю прежней».
2. Логарифмическая спираль пересекает свои радиус-векторы под постоянным углом. На основании этого ее называют равноугольной.
3.Последнее свойство находит свое применение в технике. Дело в том, что в технике часто применяются вращающиеся ножи. Сила с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.
Логарифмическая спираль – это замечательная кривая, имеющая очень много интересных свойств, но примеры логарифмической функции в природе на этом не ограничиваются. Известно, что астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины и т. д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Получается, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов по основанию 2,5.
Практически аналогичная картина получается при оценивании громкости шума. Единицей громкости служит «бел», практически – его десятая доля, «децибел». Последовательные степени громкости 10 децибел, 20 децибел и т.д. составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же «сила» этих шумов составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10.Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.
При оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума, мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения. Оказывается, что оба эти явления – следствие общего психофизического закона Вебера-Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения. Логарифмы вторгаются и в область психологии. Теперь рассмотрим еще один интереснейший пример о связи логарифмов и музыки.
Нажимая на клавиши современного рояля, мы, можно сказать, играем на логарифмах. Действительно, так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. И основание этих логарифмов равно 2.
Это далеко не все, что можно рассказать о логарифмах. Если вас заинтересовало мое выступление дополнительные сведения можно почерпнуть в книгах Перельман Я.И. «Занимательная алгебра», Азевич А.И. « Двадцать уроков гармонии»
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ ЛОгарифмы и живопись.ppt
Скачать материал "ПРОЕКТ “Зачем изучают логарифмы?»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Логарифмы и живопись.
2 слайд
Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали.
Однажды, 18 декабря 1955г, он вынес его на повестку своего публичного выступления, которое проходило в Париже, в главной аудитории Сорбонны.
3 слайд
Его навязчивой идеей, маниакальной страстью стала картина Вермеера «Кружевница», репродукция которой висела в кабинете его отца.
Много лет спустя Сальвадор Дали попросил в Лувре разрешение написать копию с этой картины. Затем попросил киномеханика показать на экране продукцию нарисованной копии. Он объяснил, что, пока не написал эту копию, в сущности, почти ничего не понимал в «Кружевнице», и ему понадобилось
4 слайд
размышлять над этим вопросом целое лето, чтобы осознать наконец, что он инстинктивно провёл на холсте строгие логарифмические кривые.
Одновременно с этим он углубил свои исследования по морфологии подсолнуха – вопросу, по которому в своё время сделал чрезвычайно интересные выводы ещё Леонардо да Винчи. (Очертания логарифмической спирали в созревшей головке подсолнуха впервые увидел именно знаменитый итальянский художник и учёный.)
5 слайд
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !
ГРУППА 2:
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ ‹Ž£ à¨ä¬ë ¨ ¦¨§ì..ppt
Скачать материал "ПРОЕКТ “Зачем изучают логарифмы?»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Логарифмическая спираль
2 слайд
Путешествие на северо-восток
Вопрос: Если идти все время на северо-восток, то куда придешь?
Обычно на этот вопрос отвечают так: обойду земной шар и вернусь в точку начала пути.
Но этот ответ неверен. Ведь идти на северо-восток - это значит постоянно увеличивать восточную долготу и северную широту, и вернуться в более южную точку мы не сможем.
3 слайд
Путешествие на северо-восток
Ответ: Рано или поздно мы попадем на северный полюс.
При этом путь, который мы пройдем, будет иметь вид логарифмической спирали.
На рисунке вы можете видеть этот путь так, как мы увидели бы его, смотря на земной шар со стороны северного полюса.
4 слайд
Уравнение логарифмической спирали
Логарифмическая спираль описывается уравнением r=aф, где r – расстояние от точки, вокруг которой закручивается спираль (ее называют полюсом), до произвольной точки на спирали, ф – угол поворота относительно полюса, а – постоянная.
Спираль называется логарифмической, т.к. логарифм расстояния (logar) возрастает пропорционально углу поворота ф.
5 слайд
Свойства логарифмической спирали
Произвольный луч, выходящий из полюса спирали, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом.
Логарифмическая спираль не изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или растянуть эту спираль – то же самое, что повернуть ее на определенный угол.
6 слайд
Свойства логарифмической спирали
Если вращать спираль вокруг полюса по часовой стрелке, то можно наблюдать кажущееся растяжение спирали.
7 слайд
Логарифмическая спираль в природе
Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.
Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Логарифмы в природе.ppt
Скачать материал "ПРОЕКТ “Зачем изучают логарифмы?»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Логарифмы в природе
2 слайд
Зачем нужно изучать логарифмы ?
Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Математики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики и связывая эмпирические данные с помощью различных математических зависимостей, тем самым составляют математическую модель явления. Изучение этой модели позволяет людям больше узнать о природном явлении, глубже уяснить его природу и свойства. Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль.
3 слайд
Логарифмическая спираль
Уравнение логарифмической спирали в полярной системе координат имеет вид ф
p = a , где a >0
Переписав уравнение в виде
Ф=logap ,
мы увидим, что величина полярного угла пропорциональна логарифму радиус-вектора. Отсюда и происходит название логарифмическая спираль.
4 слайд
Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая
Так почему мы в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль?
5 слайд
Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детёныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой.
6 слайд
А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или её некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары, закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста.
7 слайд
Иоганн-Вольфганг Гёте считал :
Логарифмическая спираль есть математический символ жизни и духовного развития.
8 слайд
По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Один из наиболее распространённых пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.
9 слайд
По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит солнечная система
.
10 слайд
Мы видим что с помощью логарифмической спирали описываются многие явления природы.
11 слайд
Спасибо за внимание !!!
группа № 1
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ проект Логарифмы.doc
Скачать материал "ПРОЕКТ “Зачем изучают логарифмы?»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Учебная цель: поисковая деятельность учащихся по сбору информации о понятиях, видах, основных свойствах логарифмов; активизация познавательной деятельности которая, в свою очередь, способствует развитию разносторонней личности.
Воспитательная цель: воспитывать у учащихся стремление к самосовершенствованию, удовлетворению познавательных потребностей.
Участники: учащиеся 11 - А класса (физико –математического профиля).
Вид проекта: творческий, практико-ориентированный;
По содержанию: монопредметный;
По объему: среднесрочный;
Планируемый результат: Создание презентационных проектов (при защите проекта используются средства Microsoft Power Point) (компьютерная версия).
6 663 020 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Ткаченко Елена Станиславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72/144/180 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.