Проектирование изучения темы «Многогранники» на основе аналогии её построения с темой планиметрии «Многоугольники».

Анализ теоретического материала темы «Многогранники».

  1) В главе можно выделить 4 группы понятий:

А) базовые понятия – многогранник, призма, пирамида, правильный многогранник. Для них фактически даются описания на основе натуральных или графических моделей. Определение понятия многогранника вводится аналогично тому, как вводилось определение многоугольника в 8 классе. Сначала даются конструктивные описания понятий, затем вводятся определения основных элементов этих геометрических фигур. Проводя аналогию с темой «Многоугольники» ученики самостоятельно смогут сформулировать определения многогранника и основных его элементов, и показать это всё на натуральной модели. Аналогия прослеживается и в структуре построения тем «Многоугольники» и «Многогранники». Сначала вводится общее определение понятия, а затем рассматриваются более подробно частные виды многоугольников и многогранников, затрагиваются вопросы симметрии.

  Изучение отдельных видов многогранников строится по одному плану. Поэтому, изучив призму, рассмотрев и доказав основные свойства и теоремы, связанные с ней, ученики по аналогии уже сами могут сформулировать некоторые определения в теме «Пирамида. Усечённая пирамида» и доказать свойства и теоремы, опираясь на те же самые методы доказательства.

  Определения понятий: 1) призма и пирамида, 2) основания, боковые грани, боковые рёбра, вершины, высота призмы и пирамиды, 3) площадь полной и боковой поверхности призмы и правильной пирамиды, правильной усечённой пирамиды, методы и приёмы их доказательства аналогичны, поэтому на уроке лекции по данной теме целесообразно использовать метод У.Д.Е.

  Все описания понятий даны через род и видовые отличия.

Б) группы понятий, связанные с главными: выпуклый и невыпуклый многогранник, элементы многогранника, высота призмы (пирамиды), прямая призма, правильная призма (пирамида).

  Проводя аналогию с темой «Многоугольники» учащиеся могут выдвинуть гипотезу о том, что есть выпуклые, невыпуклые и правильные многогранники и попытаться самостоятельно дать определения данным понятиям. При формулировке определений выпуклых и невыпуклых многогранников учащиеся должны учитывать, что аналогом прямой в пространстве является плоскость.

  Все понятия группы б) определяются через род и видовые отличия, определения либо не имеют конъюнктивно – дизъюнктивной структуры, либо имеют конъюнктивную структуру (определение правильной пирамиды).

в) группы понятий, связанных с симметриями пространства: точки, симметричные относительно точки, прямой, плоскости; центр, ось, плоскость симметрии фигуры. Определения даны через род и видовые отличия. Первые имеют конъюнктивную структуру, вторые не имеют её, так как выделяется только одно видовое отличие.

  Понятия данной группы вводятся аналогично тому, как они вводились в 8 классе в теме «Многоугольники». В планиметрии рассматривали фигуры, симметричные относительно точки и относительно прямой, в стереометрии рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости. Но если в планиметрии мы рассматривали симметрию многоугольников, то в стереометрии рассматривают симметрию многогранников, которая вводится по аналогии.

г) частные виды правильных многогранников – правильный тетраэдр, правильный октаэдр, правильный икосаэдр, правильный додекаэдр, куб. Для них указывается только из скольких и каких правильных многоугольников они состоят.

  Все понятия представлены в вербальной, натуральной и графической формах. Отсюда возникает необходимость широко использования учебных наглядных средств. Все словесные описания должны сопровождаться иллюстрациями на натуральных и графических моделях.

  Существование объектов, относящихся к понятию, во всех случаях доказывается наличием натуральных моделей или считается очевидным по аналогии с понятиями в планиметрии.

  Доказывается существование только 5 видов правильных многогранников. Имеются широкие возможности для продолжения формирования умений подводить под понятие и выводить следствие, например, при работе с определениями групп б) и в).

  2. Теорем в главе немного, они четырёх типов:

а) теоремы – формулы для вычисления площади боковой поверхности прямой призмы и площади боковой поверхности правильной пирамиды. Их них далее следует правило вычисления площадей поверхностей этих многогранников.

  Существует аналогия в методах и приёмах доказательства этих теорем. Метод доказательства теорем – синтетический, приём – сведение к определению, поиск доказательства осуществляется путём анализа задачи.

б) свойство плоских углов при вершине многогранника даётся без доказательства; свойства правильной и усечённой пирамиды в учебнике как теоремы не выделены. Метод их доказательства синтетический, а приём доказательства – сведение к определению.

в) теорема: не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n6.

  В главе впервые формулировка теоремы начинаются со слов «не существует». Метод доказательства – метод от противного, идёт противоречие с фактом, который принимается без доказательства.

г) существование 5 видов правильных многогранников устанавливается путём метода исчерпывающих проб и построением натуральных или графических моделей (метод приведения примера).

  3. В теме имеются объективные предпосылки для формирования приёма аналогии, поскольку понятие многогранника аналогично понятию многоугольника, аналогичны понятия выпуклый и невыпуклый многогранник и многоугольник, аналогичны понятия точки, симметричные относительно точки, прямой на плоскости и в пространстве и т.д.

  Есть также возможность для формирования умений анализировать, синтезировать, обобщать, систематизировать.

4.  Поскольку есть аналогия с понятиями, изучаемыми в планиметрии, то есть возможность для «открытия» учащимися формулировок определений. Методы доказательства теорем тоже могут быть предложены учащимся. Например, теоремы группы а) и б).

5. Есть большие возможности для формирования действия моделирования и использование готовых моделей, изготовление моделей учащимися.

6.  С многогранниками вообще и с правильными многогранниками в частности приходится иметь дело в других науках, в искусстве, архитектуре. Это желательно показать учащимся, например, в заключение изучения темы можно провести семинар.

      7. Материал n. 27-30 достаточно прост и однороден. Поэтому есть возможность для самостоятельного его изучения полностью или частично (n. 28-30 по аналогии с n. 27, который может быть включен в лекцию, при изучении      n. 31 целесообразен метод У.Д.Е., . 32-33 могут быть изучены в порядке подготовки к семинару).

Анализ задачного материала по теме «Многогранники».

  Анализ задачного материала проведём следующим образом: выделим дидактические единицы темы и подберём задания, направленные на усвоение данных дидактических единицу, выделим среди них ключевые и задачи, связанные с ключевыми.

  При анализе задачного материала §1 и §2 главы III прослеживается аналогия при подборе задач, направленных на усвоение аналогичных дидактических единиц темы (нахождение ребра призмы и пирамиды, площади боковой поверхности призмы и пирамиды, площади сечения призмы и пирамиды и т.д.).

  Таким образом, можно организовать урок усвоения ключевых задач, направленный на совместное усвоение основных понятий, связанных как с призмой, так и с пирамидой. Задачи будем также выделить по 3-м параметрам: задачи на доказательство, задачи на построение, задачи на вычисление.

  Анализ задачного материала §1.

  Выделим ключевые задачи и группы задач связанные с ними.

№218 а

№235: 233, 234, 296

№218 б

№225: 219, 290, 224, 291, 232, 223

№226

№227: 680, 681, 295

№297: 678, 228, 298, 679

№230: 231

№236: 237, 238

Выводы по анализу задачного материала §1.

       1) а) в §1 достаточно задач на комплексное применение знаний из данной и ранее изученных тем таких, как: двугранный угол, линейный угол двугранного угла, теорема Пифагора, параллельность прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью, теорема Герона, метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, метод площадей.

   б) нет задач, в которых была бы дана наклонная призма и условие или заключение задачи было бы связано с двугранным углом при боковом ребре. Нет задач, связанных с понятиями многогранника.

  2) после изучения теорем должно быть решение задач – теорем, т.е. задач, в которых выделяются невыделенные в теории свойства (№218, №236). №218 является обязательным для любого класса; №236 – сам факт должен быть известен в любом классе, а доказательство – только в сильном.

  3) после изучения теорем необходимо выделить урок решения ключевых задач.

  4) целесообразно выделить специальные виды наклонных призм (можно провести урок – семинар, на котором ученики могут сами выделить такие призмы на основе задач №227, №228).

Анализ задачного материала §2.

  Выделим ключевые задачи:

№254: 255, 257, 299, 301

№256: 258, 259, 304-306

№264: 312

№241: 239, 240, 302

№242: 245, 303, 310, 742

№243: 244, 311, 696

№249: 309, 266, 253, 250, 251, 252, 693, 692, 740, 691, 695 (а)

№247: 246, 248, 308, 694, 695 (б)

№268: 269, 314

№270: 313

Выводы по анализу задачного материала §2.

  1) Важную роль среди задач данной темы играют задачи – теоремы. Их надо решить непосредственно после изучения теории (№267). Можно не доказывать в слабом классе, но учащиеся должны знать утверждающий в ней факт.

  №247, №249, №254, №256 должны быть решены в любом классе. Необходимо обратить особое внимание учащихся на результаты этих задач.

  2) №260- №262. как особые свойства правильной треугольной пирамиды решаются после задач №254, №256 в сильном классе.

  3) Целесообразно выделить специальные виды неправильных пирамид.

  4) Установить равносильность некоторых свойств №249, №247.

  5) Обратить внимание на построение линейных углов. Поэтому предложить решение задач с использованием линейных углов и сделать это устно.

Анализ задачного материала §3.

1)          Центр симметрии: №276.

2)          Осевая симметрия: №277.

3)          Симметрия относительно плоскости: №278, №319.

4)          Вычисление элементов: №279, №280, №281, №282, №283, №286, №287, №289.

5)          №284, №285, №315 - №318 – задачи на определение вида фигуры.

  Материал этого параграфа целесообразно вынести на семинар.

           Тематическое планирование темы «Многогранники».

  На изучение данной темы отводится 18 ч, их можно распределить следующим образом:

1)                     Урок – лекция по теме «Многогранники» (2 ч)

2)                     Урок усвоения теории и решения ключевых задач (3ч)

3)                     Уроки практикумы по теме «Многогранники» (4ч)

4)                     Урок – семинар по теме «Симметрия в пространстве. Правильные многогранники» (2ч)

5)                     Урок практикум по теме «Правильные многогранники» (1ч)

6)                     Урок обобщения и систематизации по теме «Многогранники» (2ч)

7)                     Зачёт по теме (2ч)

8)                     Контрольная работа (1ч).