Проект:История и применение фракталов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ ВО «ВОРОНЕЖСКИЙ ТЕХНИКУМ ПИЩЕВОЙ И ПЕРЕРАБАТЫВАЮЩЕЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ»

Научно-практическая конференция

«Исследовательская деятельность 

в профессиональном образовании» 2017

Загадочный беспорядок: история фракталов и области их применения

Автор: Крюкова Наталья Владимировна,

 ГБПОУ ВО «ВТППП»,

 группа ПК15-05, 2 курс

Руководитель: Шишлова Елена Николаевна,

преподаватель информатики и

математики, высшая категория.

Воронеж 2017г.

Содержание

Введение Гипотеза, цель, задачи	3
Теоретическая часть
Определение фрактала	4
История изучения фрактала	4
Классификация фракталов	5
Фракталы вокруг нас	7
Применение фракталов	9
Практическая часть
Моделирование	10
Заключение	13
Список использования источников	14

Введение

Гипотеза: если изучить закономерность построения фрактала, то можно смоделировать фракталы в прикладных программах, можно использовать их в профессиональной деятельности.

Цель: исследовать фракталы и составить программы моделирования фракталов.

Задачи:

-          узнать, что такое фракталы;

-          изучить историю возникновения и развития фрактальной геометрии и графики;

-          изучить классификацию фракталов;

-          найти информацию о фракталах в явлениях природы и их применении в жизни;

-          смоделировать фракталы на языке программирования Pascal АВС,

Актуальность: Интерес к проблеме обусловлен интересом к компьютерной графики

Результат исследования: Разработка программ построения фракталов на языке программирования Pascal АВС и применение их в профессиональной деятельности.

Теоретическая часть.

Слово “фрактал” — это что-то, о чем много людей говорит в наши дни, от ученых до учеников средней школы. Оно появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Цветные изображения фракталов сегодня можно найти везде: от открыток, футболок до картинок на рабочем столе персонального компьютера. Итак, что это за цветные формы, которые мы видим вокруг?

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — математическое множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).

История изучения.

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии. Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.

На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек, а кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, на подобие описанных (Броуновское движение, цены на акции).

 Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт – отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал.

Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1995 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии. Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала – это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно). Пионером в этой новой области познания, которого многие называют отцом фракталов был Франко-Американский математик профессор Бенуа Б. Мандельброт (Benoit B. Mandelbrot) родился в 1924 году в Варшаве. В 1936 году семья Мандельбротов переехала в Париж, где Бенуа окончил Политехническую школу (1947).

Ученую степень магистра наук (по аэрокосмическим наукам) защитил в Калтехе - Калифорнийском технологическом институте в Пасадене (1948), а высшую ученую степень доктора философии (по математике) - в Парижском университете (1952). До окончательного переезда в США (1958) Бенуа Мандельброт был приглашенным профессором в университетах Принстона, Женевы и Парижа. С 1974 года Мандельброт состоит членом совета по научным исследованиям фирмы IBM, а с 1984 года - профессором математики Гарвардского университета.

Помимо многочисленных статей перу Бенуа Мандельброта принадлежат три ставшие ныне классическими монографии о фракталах и их роли в математике, естественных и социальных науках: "Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность" (1955), "Фракталы: форма, случайность и размерность" (1977) и "Фрактальная геометрия природы" (1982).

Бенуа Мандельброт неоднократно подчеркивал заслуги своих предшественников Хаусдорфа и Безиковича в создании понятия дробной размерности, ставшего краеугольным камнем всей фрактальной науки.

В середине 1960х после десятилетий обучения и научной деятельности, Мандельброт разработал то, что он назвал фрактальная геометрия или геометрия природы (об этом он написал свой бестселлер — Фрактальная геометрия природы). Целью фрактальной геометрии был анализ сломанных, морщинистых и нечетких форм. Мандельброт использовал слово фрактал, потому что это предполагало осколочность и фракционность этих форм.

После выхода упомянутой книги началась настоящая "фрактальная лихорадка". Многим удалось по-новому взглянуть на объекты своих исследований, и оказалось, что они долгие годы изучают фракталы. Одна за другой стали появляться научные работы, где сообщалось о нахождении фрактальных объектов. Исследовались поверхности разломов твердых образцов, процессы агрегации кластеров и адсорбции, форма облаков и облачных зон над поверхностью Земли, шероховатость минералов, динамика экономических процессов, рост биологических популяций, волны в океане. В геологии и картографии, в физике и биологии – везде были обнаружены фракталы.

Сегодня Мандельброт и другие ученые, такие как Клиффорд А. Пикковер (Clifford A. Pickover), Джеймс Глейк (James Gleick) или Г. О. Пейтген (H.O. Peitgen) пытаются расширить область фрактальной геометрии так, чтобы она могла быть применена практически ко всему в мире, от предсказания цен на рынке ценных бумаг доовершения новых открытий в теоретической физике.

Как только Мандельброт открыл понятие фрактала, оказалось, что мы буквально окружены ими. Фрактальны слитки металла и горные породы, фрактальны расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая системы в организмах животных, фрактальны речные бассейны, поверхность облаков, линии морских побережий, горный рельеф...

Классификация фракталов

1.      Геометрические фракталы.

2.      Алгебраические фракталы.

3.      Стохастические фракталы.

Геометрические фракталы. История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса самые наглядные, в них сразу видна самоподобность частей.

Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа. Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения самого фрактала нужно бесконечное число этапов. Меняя основу и фрагмент, можно получить много разных геометрических фракталов.

Примерами геометрических фракталов являются: треугольник Серпинского, триадная кривая Кох, кривая Пеано, снежинка Коха, кривая дракона, губка Менгера и др.

Снежинка Коха

Ковер Серпинского

Вторая группа фракталов – алгебраические фракталы. Свое название они получили потому, что их строят на основе алгебраических формул. Одним из самых известных представителей этой группы является множества Мандельброта и Жюлиа.

Множество Мандельброта

Классический пример алгебраических фракталов – множество Мандельброта, описанное французским математиком Пьером Фату еще в 1905 году. Однако оно было построено Бенуа Мандельбротом в 1980 г.

В его основе лежит кардиоида и круг. Множество Мандельброта облеплено почками, наростами и причудливыми усами. Эти почки и наросты в свою очередь облеплены более мелкими почками и так далее.

Основная формула алгебраических фракталов.

Множество Жюлиа

Множества семейства Жюлиа строятся по той же формуле (1), что и множество Мандельброта, однако в данном случае комплексной переменной является лишь параметр с. 

Практическое значение алгебраических фракталов в машинной графике не может быть неоцененно. Множества Мандельброта и Жюлиа являются основами при создании фрактальных изображений.

Еще одной распространенной группой фракталов являются стохастические фракталы.

Их получают, меняя в итерационном процессе некоторые параметры случайным образом. Этим способом можно нарисовать такие природные объекты, как изрезанные береговые линии, рельеф местности, облака, волны на воде многое другое. Поэтому фрактальные модели сегодня широко применяют в компьютерных играх, создавая в них обстановку, которую уже трудно отличить от реальности.

Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма".

Фракталы вокруг нас

Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения. И вот их примеры:

Морские раковины

Молнии восхищают своей красотой.

Фракталы, созданные молнией не произвольны и не регулярны

Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora). Это особый вид является особенно симметричным фракталом.

Папоротник так же является хорошим примером фрактала среди флоры.

Павлины всем известны своим красочным опереньем, в котором спрятаны сплошные фракталы.

Лёд, морозные узоры на окнах это тоже фракталы

От увеличенного изображения листочка,

до ветвей дерева - во всём можно обнаружить фракталы.

Фракталы есть везде и всюду в окружающей нас природе. Вся Вселенная построена по удивительно гармоничным законам с математической точностью. Разве можно после этого думать, что наша планета это случайное сцепление частиц? Едва ли.

Применение фракталов

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:

Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Это фрактальное сжатие изображений. Современная физика и механика только начинают изучать поведение фрактальных объектов.

Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки.

Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью последующего высококачественного масштабирования, причем объем графических файлов составляет 15-20% от объема несжатых изображений.

В механике и физике фракталы используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты, обладают "шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь угодно большом увеличении модели. Наличие на фракталах равномерной меры, позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях.

Также фрактальную геометрию используют для проектировании антенных устройств. Теперь можно отказаться от использования в мобильных телефонах торчащих наружных антенн. Фрактальная антенна располагается прямо на основной плате внутри аппарата.

В медицине существуют множество гипотез по поводу применения фракталов – например, лимфатическая и кровеносная системы, лёгкие и многое другое тоже имеют фрактальные свойства.

Практическая часть

Методы исследования: сравнительный анализ, синтез, моделирование

Моделирование №1

program ww;

uses crt,graphabc;

var n,k: integer;

begin

for n:= 1 to 20 do

begin

k:= 200-n*10;

circle(320,200,k );

line(320,200-k,320+k,200) ;

lineto( 320,200+k);

lineto( 320-k,200);

lineto( 320,200-k)

end;end.

Моделирование №2

program ww;

uses crt,graphabc;

var n,k: integer;

begin

for n:= 1 to 20 do

begin

k:= 200-n*10;

line(320,200-k,320+k,200) ;

lineto( 320,200+k);

lineto( 320-k,200);

lineto( 320,200-k);

 circle(320,200,k-30 );

end;end.

Моделирование №3

program ww;

uses crt,graphabc;

var n,k: integer;

begin

for n:= 1 to 20 do

begin

k:= 200-n*10;

circle(320,200,k );

floodfill( 320,200, clrandom);

line(320,200-k,320+k,200) ;

lineto( 320,200+k);

lineto( 320-k,200);

lineto( 320,200-k);

 floodfill( 320,200, clrandom);

end;end.

Моделирование №4

program ww;

uses crt,graphabc;

var n,k: integer;

begin

for n:= 1 to 20 do

begin

k:= 200-n*10;

line(320+5*n,200-k,320+k,200) ;

lineto( 320+5*n,200+k);

lineto( 320+n-k,200);

lineto( 320+5*n,200-k);

floodfill( 320+5*n,200,clgreen );

 circle(320+5*n,200,k-20 );

   floodfill( 320+5*n,200, clblue);

end;end.

Моделирование №5

program ww;

uses crt,graphabc;

var n,k,a,b,x,y: integer;

begin

for n:= 1 to 30 do

begin

a:=random(640);   b:=random(400);

line (320,200,a,b);

 for k:= 1 to 30 do

 begin

   x:=random(640);   y:=random(400);

    line(a,b,x,y);

    end;end;end.

Моделирование №6

program ww;

uses crt,graphabc;

var n,k,a,b,x,y: integer;

begin

for n:= 1 to 30 do

begin

a:=random(640);   b:=random(200);

 for k:= 1 to 50 do

 begin

   x:=random(640);   y:=350;

    line(a,b,x,y);

    end;end;end.

Вывод:

В результате выполнения практической работы, связанной с моделированием простейших фракталов я пришла к выводу, что зная основные принципы построения фрактальных изображений можно смоделировать фрактал на языке Паскаль АВС. Тем самым подтверждается моя гипотеза.

Заключение

Фрактальная графика - это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Не только визуальными, но ещё и структурными, отражающими нашу жизнь. Взять, к примеру, ДНК, это всего лишь основа, одна итерация, а при повторении… появляется человек! И таких примеров много.

Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств и броуновского движения. Фрактальная графика необходима везде, и развитие "фрактальных технологий" - это одна из немаловажных задач на сегодняшний день.

Компьютер можно характеризовать как новое средство познания. Благодаря ему, можно увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас, можно визуализировать все фрактальные множества и не только на плоскости, но и в пространстве.

Выполняя исследовательскую работу, я убедилась в том, что область применения фракталов чрезвычайно велика: физика, механика, компьютерные технологии, медицина, текстильная индустрия, кондитерское дело, строительство.

Данную работу можно использовать на уроках информатики при изучении графики в среде PascalABC, а так же на уроках геометрии, физики и искусства, МДК.

Нами также разработан буклет, который знакомит с понятием и видами фрактала.

Цели, поставленные в начале работы были достигнуты. Но останавливаться на достигнутом мы не собираемся. Мне хотелось бы в дальнейшем изучить специализированные программы для создания фракталов, а также поэкспериментировать с их применением в профессиональной деятельности.

Литература

1) Алгебраические фракталы. / В.А. Трухачева, И. Сидоренко, А.В. Бородина. . – Режим доступа: http://dssp.petrsu.ru/~KOF/kse-pact/index.html

2) Вольхин К.А. Основы компьютерной графики: Электронные методические указания к лабораторным работам для студентов / Вольхин К.А. http://grafika.stu.ru/wolchin/umm/pr_kg/

Интернет-ресурсы

1)                 https://3dnews.ru/754657

2)           https://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактал

3)           http://www.delphis.ru/journal/article/fraktalnaya-vselennaya

4)           http://algolist.manual.ru/graphics/fracart.php

5)                 http://fractalworld.narod.ru/article/tree3.html