Проектная деятельность в рамках элективного курса "Параметр в школьном курсе математики"

• 1 слайд

  Внимание!!!
  Параметр и модуль
  
  
  
  
  

• 2 слайд

  Цели и задачи учебного проекта
  
  Расширить математический кругозор и изучить новые подходы к решению задач.
  
  Развить математическое, логическое мышление с помощью анализа, сравнения, обобщения.
  
  Приобрести навыки исследовательской работы.
  
  .
  
  

• 3 слайд

• 4 слайд

  При каких значениях а система
  имеет единственное решение?
  1 способ
  2 способ
  это решение
  единственное
  

• 5 слайд

  При каких значениях а система
  не имеет решений?
  2 способ
  

• 6 слайд

  При каких значениях а система
  имеет бесконечное множество
  решений?
  1 способ
  

• 7 слайд

  При каких значениях а система
  имеет решения?
  Найдем значения а,
  при
  которых
  система
  не имеет
  решений
  
  

• 8 слайд

  Исследование квадратных уравнений
  и неравенств с применением теоремы
  Виета и ей обратной
  Найдите все значения b, при которых уравнение
  
  Пусть и корни уравнения, тогда решим систему неравенств
  

• 9 слайд

  При каких значениях параметра а система
  имеет более одного решения?
  Условие единственности решения:
  Поскольку это квадратное уравнение, то при (1 + а)2 ≠ 0
  
  ∪
  а
  при
  Уравнение имеет более одного решения
  ∪
  

• 10 слайд

  Расположение корней квадратного трёхчлена относительно заданных точек
  

• 11 слайд

  Уравнения, неравенства и системы с модулем, содержащие параметр
  Данные задания целесообразно решать графически:
  для этого выражения, содержащие параметр, обособляют в одной части уравнения (неравенства) и строят графики левой и правой частей уравнения (неравенства)
  

• 12 слайд

  Сколько решений, в зависимости от значений параметра а, имеет уравнение 2 - ∣ х - а ∣= х2 ?
  2 способ
  2 - х2 = ∣ х – а ∣
  у1 = 2 - х2 и у2 = ∣х - а∣
  1 способ
  2 -∣х – а ∣= х2
  у1 =2 - ∣х – а ∣ и у2 = х2
  

• 13 слайд

  При каких значениях параметра а уравнение
  имеет единственное решение?
  Ответ: при а < 5
  

Пояснительная записка, 10 класс

Задачи с параметрами представляют собой богатейший материал для полноценной математической деятельности учащихся. С их помощью можно проверить глубину знания математики средней школы, склонности к иссле­довательской деятельности, нестандартность мышления.                 Отсутствие этой темы в программе по математике средней школы значительно обедняет курс математики. Между тем задания с параметрами предлагают на вступитель­ных экзаменах по математике почти во всех вузах, а также на выпускных эк­заменах по алгебре и началам анализа в средней школе. За последние годы появилось немало литературы, посвященной задачам с параметрами. Но чи­тать эти пособия нередко под силу только специалистам в этой области. Во-первых, даже в справочной литературе нет четкой трактовки основных поня­тий темы. Во-вторых, при написании этих книг почти не соблюдаются ос­новные дидактические принципы (доступности, наглядности, от простого к сложному и др). В-третьих, нет системы в изложении материала. Конечно, значительные трудности в "общении" с параметром создает то обстоятельст­во, что параметр имеет двоякую природу. С одной стороны, мы обращаемся с параметром как с числом, с другой стороны, неизвестность этого числа ог­раничивает степень свободы «общения».

Учитывая все выше сказанное, считаю полезным рассмотрение методов ре­шения уравнений (неравенств) с параметром. Для этого подбираются системы упражне­ний по различным видам функций и уравнений (неравенств) в соот­ветствии с программой по математике средней школы:

1.Уравнения и неравенства первой степени и к ним сводимые.

2.Уравнения и неравенства второй степени и к ним сводимые.

3.Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром.

4.Параметр и квадратичная функция

В ходе изучения курса ученик выбирает тему из рассматриваемых, которая ему ближе и понятней и работает над ней самостоятельно более глубоко /учитель оказывает помощь/. Результатом этой работы должен стать творческий проект, который необходимо защитить на итоговом занятии.
       По ходу изучения курса работаем над заданиями из презентации «Параметр и модуль» и я обращаю внимание учащихся на то, что свой проект они могут оформить в виде презентации, а я им буду помогать.
Два таких проекта я и представляю Вашему вниманию:

1.  «Уравнения и неравенства с параметром, основные понятия»

2.  «Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром»

Тематическое планирование курса.

 Содержание учебного материала                                    Количество часов 

Всего 17                      

 1. Основные понятия.                                                                                                                 1ч

2. Уравнения первой степени с параметром и к ним сводимые             3ч.

·        Уравнения первой степени с параметром (без "ветвлений")

·        Простейшие уравнения первой степени с параметром

(с "ветвлениями")

·                 Дробно-рациональные уравнения с параметром.

·                Уравнения с дополнительными условиями.

3. Неравенства первой степени с параметром и к ним сводимые        2ч.       

·        Подготовительные неравенства и их системы.

·        Простейшие неравенства первой степени с параметром

·        Дробно-рациональные неравенства с параметром

4.  Квадратичная функция и параметр                                                     3ч.

·                «Каркас» квадратичной функции /дискриминант, старший коэффициент, вершина параболы/

·                Теорема Виета

·                Расположение корней квадратичной функции относительно данных точек

·                Задачи, сводящиеся к исследованию корней квадратичной функции.

5. Уравнения второй степени с параметром                                                      3ч.     

·        Подготовительные уравнения

·        Простейшие уравнения второй степени с параметром

·         Более сложные, уравнения второй степени параметром

6.  Неравенства второй степени с параметром                                                 2ч.    

·        Подготовительные неравенства

·        Простейшие неравенства второй степени с параметром

7. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром         3ч.  

·        Основные понятия

·        Простейшие тригонометрические уравнения с параметром и к ним сводимые

·        Тригонометрические уравнения и системы с параметром

Пояснительная записка, 11 класс

Программа курса «Параметр в школьном курсе математики» в 11 классе представляет собой логическое продолжение курса с аналогичным названием, который ребята изучали в 10 классе. Первые пять занятий рассчитаны на повторение основных понятий и методов решения уравнений и неравенств первой и второй степени, тригонометрических уравнений, содержащих параметр.

По мере изучения программы 11 класса по алгебре, на элективных занятиях рассматриваются новые виды уравнений и неравенств, но уже с параметром и способы их решения. Таким образом, происходит закрепление и углубление программного материала.

Учитывая все выше сказанное, считаю полезным рассмотрение следующих тем:

1.Показательные уравнения и неравенства с параметром и к ним сводимые.

2.Иррациональные уравнения и неравенства с параметром и к ним сводимые.

3.Логарифмические уравнения и неравенства с параметром.

4.Параметр и квадратичная функция

5.Параметр при исследовании свойств функций.

6.Графические приёмы решения задач с параметрами.

Так же, как и в 10-м классе, в ходе изучения курса ученик выбирает тему из перечисленных, которая ему ближе и понятней и работает над ней самостоятельно более глубоко /учитель оказывает помощь/. Результатом этой работы должен стать творческий проект, который необходимо защитить на итоговом занятии.

Тематическое планирование курса.

Содержание учебного материала                                                  Кол-во часов
всего 34    

  1. Основные понятия (повторение)                                                                                            (1ч)                      
       2. Уравнения первой степени с параметром и к ним сводимые                    (1ч)

3. Неравенства первой степени с параметром и к ним сводимые                (1ч)

4. Уравнения второй степени с параметром и к ним сводимые                    (1ч)

5. Неравенства второй степени с параметром и к ним сводимые                 (1ч)

6. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром                  (4ч)

·        Тригонометрические уравнения и системы с параметром

·        Тригонометрические неравенства с параметром

5. Показательные уравнения с параметром                                                             (4ч)

·        Подготовительные уравнения

·        Простейшие показательные уравнения с параметром

·         Более сложные, показательные уравнения параметром

6. Показательные неравенства с параметром                                                         (4ч)

·        Подготовительные неравенства

·        Простейшие показательные неравенства с параметром

·        Более сложные показательные неравенства с параметром

7. Логарифмические уравнения с параметром                                                         (4ч)

·        Подготовительные уравнения

·        Простейшие логарифмические уравнения с параметром

·        Более сложные логарифмические уравнения,системы с параметром

8.   Логарифмические неравенства с параметром                                                      (4ч

·        Подготовительные неравенства

·        Примеры логарифмических неравенства с параметром

9.  Параметр при исследовании свойств функций.                                       (4ч.)

10.  Графические приёмы решения задач с параметрами.                           (5ч)

• 1 слайд

  Тригонометрические
  уравнения с параметром.
  Творческий проект
  подготовили ученики 10 кл:
  Замятина А.
  Казарцева Ю.
  Пожидаева Ю.
  Учитель: Киселева Л.Д.
  

• 2 слайд

  Цели проекта:
  Совершенствование умений и навыков решения тригонометрических уравнений;
  Расширение рамок школьного учебника за счёт введения параметра;
  Формирование логического мышления, математической культуры.
  

• 3 слайд

  Необходимые
  сведения из
  тригонометрии:
  

• 4 слайд

  Синус:
  

• 5 слайд

  Косинус:
  

• 6 слайд

  Тангенс:
  

• 7 слайд

  Котангенс:
  

• 8 слайд

  Решение простейших тригонометрических уравнений:
  

• 9 слайд

• 10 слайд

• 11 слайд

  Рис. 36
  Рис. 37
  Рис. 38
  

• 12 слайд

  Рис. 39
  Рис. 40
  

• 13 слайд

  Рис.41
  

• 14 слайд

• 15 слайд

  Тригонометрические уравнения + параметр.
  

• 16 слайд

• 17 слайд

• 18 слайд

• 19 слайд

• 20 слайд

• 21 слайд

  Попробуем закрепить!
  

• 22 слайд

  Решите самостоятельно:
  

• 23 слайд

  Проверим себя:
  

• 24 слайд

• 25 слайд

• 26 слайд

  Спасибо за внимание!
  

• 1 слайд

  
  
  Основные
  понятия
  в теме
  "Уравнения с
  параметром"
  

• 2 слайд

  Над проектом работали:
  Ученики 10 класса:
  1. Горбылёва А.
  2. Ильичёв А
  3. Пожидаева Ю.
  4. Михайлов С.
  
  Учитель: Киселева Л.Д.
  

• 3 слайд

  
  Познакомиться с основными понятиями и терминами, встречающимися при решении заданий с параметром.
  Сформировать представление об этих понятиях с помощью примеров.
  Осуществить межпредметные связи математики и информатики.
  Цели:
  

• 4 слайд

  Определение 1
  Пусть дано равенство с переменными х и а: f(х;а)=0.Если становится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение f(х;а)=0 называется уравнением с переменной х и параметром а .
  

• 5 слайд

  Обозначение параметра и
  переменной
  Параметр обычно обозначается первыми буквами латинского алфавита: а, b, c, d, ...
  Переменная, относительно которой решается уравнение, - последними буквами латинского алфавита:x, y, z, t, u, v, ...
  
  

• 6 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Примеры
  

• 7 слайд

  Определение 2
  Под областью определения уравнения f(х;а)=0 с параметром а будем понимать все такие системы значений х и а ,при которых f(х;а) имеет смысл.
  
  Заметим, что иногда область определения уравнения устанавливается довольно легко, а иногда в явном виде это сделать трудно. Тогда ограничиваемся только системой неравенств, множество решений которой и является областью определения уравнения. Этого бывает, как правило, достаточно для решения уравнения.
  Установим область определения каждого из выше перечисленных уравнений.
  

• 8 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Примеры
  

• 9 слайд

  Определение 3
  Под решением уравнения f(х;а)=0 с параметром а будем понимать систему значений х и а из области определения уравнения, обращающую его в верное числовое равенство.
  

• 10 слайд

  
  Пусть дано уравнение ООУ
  Найдем несколько частных решений этого уравнения:
  
  Эти решения можно записать и так: Если а = 1, то х=2. Если а=2, то х=4. Если а=0, то х=0.Найдем общее решение данного уравнения: 1. 2. Если а=-1/2, то решений нет.
  Ответ: 1. Если а ≠ -1/2, то х=2а
  2. Если а = -1/2, то решений нет.
  Примеры
  

• 11 слайд

  Определение 4
  Решить уравнение f(х;а)=0 с параметром а – это значит, для каждого действительного значения а найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.
  

• 12 слайд

  Решим уравнение
  Решение: ООУ
  
  Ответ: 1. Если а≠1, то
  2. Если а=1, то решений нет
  
  Пример
  

• 13 слайд

  Определение 5
  Уравнения f(х;а)=0 и g(х;а)=0 равносильны при фиксированном значении а=а0, если уравнение без параметра f(х;а)=0 и g(х;а)=0 равносильны.
  

• 14 слайд

  
  Найдем все значения параметра а, при которых уравнения (а-1)х=а-2 и
  (а-1)х=3а-8 равносильны.
  Решение: 1. При а=1 оба уравнения решений не имеют, а потому равносильны. 2. Если а≠1, то
  -решение первого уравнения,
  
  - решение второго уравнения. Найдем значения а, при которых эти решения равны
  
  а=3. При а=3 х=1/2.
  Ответ: а=1; а=3.
  
  
  Пример
  

• 15 слайд

  Определение 6
  Уравнение f(х;а)=0 является следствием уравнения g(х;а)=0 при некотором значении а=а0, если множество решений уравнения g(х;а)=0 содержится среди множества решений уравнения f(х;а)=0 .
  

• 16 слайд

  Аналогичные определения легко сформулировать для неравенств с параметром, заметим в выше перечисленных определениях термин «уравнение» на термин «неравенство» .
  Рассмотрим пример, иллюстрирующий определение 6 для неравенств с параметром .
  

• 17 слайд

  
  При каких значениях а неравенство 2х>а (1) является следствием неравенства 3х+2>2а (2)
  Решение
  Решаем каждое из неравенств:
  
  
  А теперь достаточно решить неравенство 4а-4 > 3а, а > 4.
  Ответ: а (4;+∞).
  Пример
  

• 18 слайд

  
  Мы познакомились с основными понятиями и терминами, встречающимися при решении заданий с параметром, и разобрали простейшие примеры этих понятий. При этом сформировалось представление об одной из очень важных тем математики. Знание данной темы поможет лучшему изучению и освоению курса математики в целом.
  Вывод:
  

• 19 слайд

  Спасибо
  за
  внимание !
  
  
  

Краткое описание документа:

Задачи с параметрами представляют собой богатейший материал для полноценной математической деятельности учащихся. С их помощью можно проверить глубину знания математики средней школы, склонности к иссле­довательской деятельности, нестандартность мышления. Считаю полезным рассмотрение методов ре­шения уравнений и неравенств с параметром по различным темам в соот­ветствии с программой по математике средней школы.
В ходе изучения курса ученик выбирает тему из рассматриваемых, которая ему ближе и понятней и работает над ней самостоятельно более глубоко (учитель оказывает помощь).
Результатом этой работы должен стать творческий проект, который необходимо защитить на итоговом занятии.

В материалах представлено тематическое планирование двух курсов по теме, два итоговых проекта в виде презентаций и презентация-образец.