Проектная работа"Методика проведения уроков решения задач "

МКОУ Охлинская СОШ

Проектная работа на тему:

«Методика проведения уроков решения задач»

Автор

учитель математики и информатики:

Гашимовой.А.А.

Охли 2019год

I. Роль и место задач в обучении математике.

Глубокое и прочное усвоение школьником основ курса математики чрезвычайно важно для формирования их математической культуры. Вместе с тем формирование высокой математической культуры выпускников современной школы предполагает принципиально иную организацию собственной познавательной деятельности школьников, в процессе которой у них формируются умения изучать математику самостоятельно и творчески, а следовательно, создаются предпосылки к активному применению математических знаний в дальнейшем.

Активизации самостоятельной познавательной деятельности школьников при изучении курса математики способствует эффективное использование учебных задач, которые являются важным средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности в процессе изучения математики, средством их математического развития.

От эффективности применения задач в обучении математики во многом зависит и степень подготовленности школьников к последующей за обучением практической деятельности в любой сфере производства, хозяйства и культуры.

Поэтому можно утверждать, что педагогические основы использования задач в современном школьном обучении правомерно являются предметом специальных исследований в области методики обучения математики.

II. Как решать задачу (методические рекомендации)

А. Понимание постановки задачи.

Нужно ясно понять задачу.

Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие?

Возможно ли удовлетворить условию?

Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво?

Сделайте чертёж. Введите подходящие обозначения.

Разделите условие на части. Постарайтесь записать их.

Б. Составление плана решения.

Нужно найти связь между данными и неизвестным. Если не удаётся сразу обнаружить эту связь, возможно, полезно будет рассмотреть вспомогательные задачи. В конечном счете, необходимо прийти к плану решения.

Не встречалась ли вам раньше эта задача? Хотя бы в несколько другой форме?

Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Не знаете ли теоремы, которая могла бы оказаться полезной?

Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь вспомнить, знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным.

Вот задача, родственная с данной и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею? Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли использовать ее результат? Нельзя ли использовать метод ее решения? Не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей.

Нельзя ли иначе сформулировать задачу? Ещё иначе? Вернитесь к определениям.

Если не удаётся решить данную задачу, сначала попытайтесь сначала решить сходную!

Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу? Более общую? Более частную? Аналогичную задачу? Нельзя ли решить  часть задачи? Сохраните только часть условия, отбросил остальную часть: насколько определённым окажется тогда неизвестное! как оно сможет меняться? Нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных? Нельзя ли придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное?

Нельзя ли изменить неизвестное, или данные, или если необходимо, и то и другое так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу?

Все ли данные вами использованы? Все ли условия? Приняты ли вами во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?

Предполагая возможность использования при решении задачи какого-нибудь из известных вам общих математических методов (метод уравнений, геометрических преобразований, координатный или векторный метод и т.д.), постарайтесь выразить элемент задачи на языке соответствующего метода.

В. Осуществление плана

Нужно осуществить план решения.

Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли доказать, что он правилен?

Г. Взгляд назад (изучение полученного решения)

Нужно изучить найденное решение.

Нельзя ли проверить результат! Нельзя ли проверить ход решения? Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда?

Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения?

Правдоподобен ли результат? Почему? Нельзя ли сделать проверку?

Нет ли другого пути, ведущего к полученному результату? Более прямого пути?

Какие результаты ещё можно получить на том же пути?

III. Методика проведения уроков решения арифметических задач.

Решение любой сложной задачи состоит из следующих частей:

1. Усвоение учащимися содержания задачи.

2. Разбор задачи и составление плана (разложение сложной задачи на простые и составление плана решения)

3. Решение (выбор действий, их выполнение, запись хода решения и вычисления).

4. Проверка решения.

I.Этап. С учащимися можно практиковать такой приём для усвоения содержания задачи. Учитель называет номер задачи и предлагает учащимся прочитать условие про себя, разобраться в условии. После этого условие повторяется вызванными учащимися.

Такой приём приучает учащихся самостоятельно пользоваться книгой.

Другой приём ознакомления учащихся с условием задачи: учитель читает вслух условие задачи по учебнику или предлагает одному из учащихся читать вслух задачу. Остальные учащиеся следят за  чтением по учебнику.

Для того чтобы проверить, насколько внимательны учащиеся следили за чтением условия, учитель предлагает контрольные вопросы: например: о чем говорится в задаче? «Какие величины входят в условие задачи» и т.д.

Чтобы помочь учащимся  понять содержание задачи, следует записывать краткое условие задачи на доске и в тетрадях.

Запись вопроса задачи не обязательна.

Иногда условие задачи не сразу бывает понятно учащимся, так как в условии встречаются незнакомые учащимся слова, название и понятия.

Все такие названия, понятия должны быть предварительно разъяснены учащимся.

В некоторых задачах полезно употреблять графические иллюстрации: чертежи рисунки и т.д.

II. Этап. Второй этап решение задачи – составления плана решения, так как выяснение зависимости между величинами и разложение составной задачи на простые. Для каждой простой задачи должны быть указаны данные и искомое, находящиеся между собой в зависимости. Данные подбираются сначала из условий задачи, потом из вычисленных искомых. Только в последнее искомое указано в вопросе задачи.

 Разбор задач можно сделать двумя приемами.

1. Первый прием называется синтетическим. Он состоит в следующем. Из условий задачи учащиеся выбирают одну пару числовых данных, к ним подбирается вопрос, то есть составляется простая задача. Число полученный при решении этой простой задачи вместе с одним из данных условий составной задачи или другая пара чисел из условия задачи берутся для составления второй простой задачи и т.д. В последней простой задаче ставится вопрос составной задачи. Ответ на него является ответом задачи.

2. Второй прием разборка задачи называется аналитическим. Он состоит в следующем. Разбор начинается с главного вопроса задачи, к нему подбираются данные из условия задачи. Если условий нет данных для решения этого вопроса, ставятся новые вопросы для их определения. Так поступают (до их определения) и дальше до тех пор, пока дойдут до вопроса, для которого есть данные в условии.

Анализ и синтез связаны между собой. В сложных задачах для лучшего понимания хода решений применяют оба метода.

Урок в 5 классе

Тема: Решение задач.

Учебник: математика пятый класс, авторы И.Я.Виленкин и другие.

Задача №130. Для перевозки зерна выделили три машины. На одну из них погрузили 3 т зерна. На вторую - на 1 т больше, чем на первую, а на третью машину - в 2 раза меньше зерна, чем на вторую. Сколько зерна перевезли эти машины за три рейса?

Прежде чем ознакомиться учащихся с условием задачи выполняются устные упражнения такого характера:

1. Увеличить число на 2.

2. Увеличить число два раза.

3. Уменьшить число на 2.

4. Уменьшить число два раза.

5. Найти сумму нескольких чисел и т.д.

Далее изучаем условия задачи. В процессе изучения на доске записывается краткое условие задачи.

№130

I-3т

II-на 1 т больше, чем I              За 3рейса?

III- 2 раза меньше, чем II

Запись вопроса задачи не обязательна.

Теперь переходим к II этапу решение задачи, то есть к составлению плана решения.

Разбор задачи начнем с вопроса задачи.

Учитель: Что спрашивается в условии задачи?

Ученик: Сколько тонн зерна перевезли три автомашины за три рейса?

Учитель: Что надо знать, чтобы ответить на этот вопрос?

Ученик: Надо знать, сколько тонн зерна перевезли три автомашины за один рейс?

Учитель: А что надо знать, чтобы ответить на этот вопрос?

Ученик: Надо знать, сколько тонн зерна перевозит каждая автомашина по отдельности?

Учитель: Известны ли нам эти данные?

Ученик: Известно, что первая автомашина везёт три тонны, а вторая и третья автомашина нет.

Учитель: Можно ли определить грузоподъемность 3 автомашины?

Ученик: Можно если предварительно вычислить грузоподъемность второй автомашине?

Учитель: А как её вычислить?

Ученик: Её можно вычислить, зная грузоподъемность первой автомашины, и зная зависимость между грузоподъёмностями первой и третьей авто.

Примерно, вот таким образом производится разбор задач аналитическим способом.

Разбор задачи можно производить и синтетическим способом, примерно, следующим образом.

Зная, что первая автомашина перевозит 3 т, а вторая на 1 т больше, путём сложения (3+1) вычислим грузоподъёмность второй автомашины.

Зная, это можно вычислить грузоподъемность 3 автомашины (4:2=2).

Зная грузоподъемность всех трёх автомашин можно вычислить, сколько тонн зерна переводит они за один рейс (3+4+2=9т).

Зная это, можно ответить на вопрос задачи. Сколько тонн зерна перевезли эти машины за три рейса (9*3=27т)

Таким образом, вырисовывается план решения задач.

1. Сколько тонн зерна перевозит вторая автомашина за один рейс.

2. Сколько тонн зерна перевозит 3 автомашина за один рейс.

3. Сколько тонн зерна перевозят все три автомашины за один рейс

4. Сколько тонн зерна привезли эти машины за три рейса

III. Этап

Решение:

1) 3+1=4(т)

2) 4+2=2(т)

3) 3+4+2=9(т)

4) 9*3=27(т)

При синтетическом способе разбора задачи может идти параллельно с составлением плана: Выбрав из слова пару данных (иногда больше). Ставят к нему вопросы и выполняют решение этой простой задачи.

Также составляются и решаются вторая третья и другие простые задачи.

Ответ последней простой задачи является ответом всей составной задачи.

Запись плана не обязательна.

На IV этапе можно изучить найденное решение задачи. Определить нельзя ли решить эту задачу другим способом. Сравнивать различные способы решения и определения, какой из них наиболее рациональный.

IV. Решение задач с помощью уравнений.

Как уже было отмечено, что решение задач в курсе математики  имеет большое образовательное и воспитательное значение, оказывает огромное влияние на развитие самостоятельности мышления, быстроты, гибкости, глубины и точности мысли, а также на развитие речи, воображения, внимательности и памяти учащихся. В процессе решения задач школьники приобретают навык работать по плану, экономно выбирать средства для достижения цели анализировать и обосновывать свои действия.

Нисколько не умоляя арифметический способ решения задач, в настоящее время по праву отводится ведущее место алгебраическим методом. При этом речь идёт не о об упразднении арифметических способов, а их разумном сочетании с алгебраическим. Там же где задача легко решается арифметически, нет смысла прибегать к алгебраическому решению.

а) Решение задач на составление уравнений в 5-6 классах.

В методике решения задач в 5 классе можно выделить несколько этапов.

Цель I и этапа - показать учащимся, что составление уравнения сводится к переводу текста на язык математики. На этом этапе подбирается группа задач, простых по содержанию.

Сначала предлагались задачи с отвлеченными данными типа: К неизвестному числу прибавили 17, получилось 85. Найти неизвестное число.

«Задуманное число уменьшили в 2 раза и получили 5. Какое число задумано?»

Далее решаются задачи конкретным жизненным сюжетом.

Задача №274( а) И.Я. Виленкин и другие.

Математика 5 класс.

Решите с помощью уравнения задачу.

а) В корзине было несколько грибов. После того как неё положили ещё 27 грибов их стало 75. Сколько грибов было в корзине?

Чтобы сосредоточить внимание учащихся на новом способе решения, с ними проводится примерно такая беседа.

Раньше мы решали уравнения, которые для нас составляли авторы учебника. Сегодня будем учить с вами сами по тексту, составлять такие уравнения.

Решая задачу №274 рассуждали так:

В корзине несколько грибов. Как это записать с помощью переменной?( - х грибов)

Слова «положили ещё» в математике записывают с помощью знака «+»

В корзине было х грибов и в неё положили ещё 27 грибов, сколько же грибов стало?

Появляется запись (х +27)гр. А по условию задачи это сколько? -75.

Два равных выражений можно знаком равенства. Получили уравнение х+27=75

Чтобы найти неизвестное слагаемое надо от суммы вычесть известное слагаемое

х=75-27

х=48

Проверка 48+27=75

Ответ: 48 грибов.

Решения следующей задачи №274 (б) учащиеся уже записывали сами.

На II этапе решаем задачи такой же сложности, но одну и ту же зависимость выражали разными способами.

Задача №276

Используя рисунок 66, составьте уравнение и решите его

Можно составить разные уравнения

1) х+28=82

2) 82-х=28

3) 82-28=х

Цель этой задачи показать учащимся что одну и ту же зависимость можно выражать разными способами.

На III этапе обучаем учащихся решению наиболее сложных задач.

Урок в 5 классе

Tема: Решение задачи на составление уравнения.

I. Устные упражнения

1. Увеличить число 10 два раза.

2. Увеличить х в 5 раз.

3. Увеличить х в 10 раз.

4. Упростите выражения:

а) х+4х

б) 2х+5х+6х

5. Решите уравнения:

а) х+5х=12

б) 2х+3х+4х=27

II. Новый материал: Решение задачи на составление уравнений.

Задача № 446. Математика 5. И.Я. Виленкин. и др.

Чтобы приготовить состав для полировки медных из изделий берут 10 частей воды, 5 частей нашатырного спирта и две части мела (по массе). Сколько граммов каждого вещества надо взять чтобы приготовить 340 г вещества?

После изучения условий задачи

Учитель: Назовите величины, о которых речь идет, в условии задачи.

Учащиеся: Вес воды, нашатырного спирта, мела и общий вес.

Учитель: В какой зависимости находятся все эти величины?

Учащиеся: Общий вес равен сумме весу воды, нашатырного спирта и мела

Учитель: Изобразим это в виде схемы:

На доске появляется рисунок

Рис. 1

вес воды        вес наш\ спирта            вес мела                    общий вес

Учитель: В одинаковых ли количествах эти вещества входят в состав для полировки ?

Учащиеся: Нет. Вода – 10 частей, спирта – 5 частей, мел – 2 части (по весу).

Учитель: Давайте изобразим это в виде следующей схемы:

Рис. 2

Учитель: Какие будут предложения по ведению переменной  х.

Учащиеся: Обозначим вес одной части через х.

Учитель: Тогда как определить вес воды , спирта и мела?

1-Учащийся:  Вода состоит из 10 таких частей, следовательно, вот и будет 10 х г.

2-Учащийся: Спирт состоит из 5 частей таких частей, следовательно, вес спирта 5 х г.

3-Учащийся: Берётся  2 части мела, поэтому вес мела равно 2 х г.

Учитель: Чему равна сумма этих чисел по условию задачи?

Учащиеся:340 г

На доске записывается полученное уравнение

10х +5х +2х=340

Используя распределительный закон умножения

(10+5+2)*х=340

17х=340

х=340:17

х=20

(уравнение решает один из  учащихся  на доске)

Таким образом, вес одной части равен 20 г.

Вес воды: 20*10 = 200( г)

Весь спирта :20*5= 100( г)

Вес мела 20*2= 40( г)

Запись хода решения

х - вес одной части

10х - вес воды

5х - вес спирта

2х - вес мела

По условию задачи сумма этих чисел равна 340 поэтому получается следующее уравнение

10х+5х+2х = 340

17х=340

х=340:17

х=20

20*10=200(г)

5*2=10(г)

2*20=40(г)

Ответ: 200г,100г,40г.

III. Самостоятельная работа

Решить аналогичную задачу № 447.

IV. Дома № 448.

Основная методическая линия, начатая в 5 классе, продолжается и в 6 классе.

На каждом этапе обучения уравнения решаются по-разному. В V классе и первые дни в VI классе надо пользоваться правилами нахождения неизвестного компонента, распределительным законом умножения. Затем после изучения действий над положительными и отрицательными числами – перенесением слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя при этом их знак на противоположный.

б) В старших классах при решение более сложных задач на составление уравнения руководствуются следующим:

1. Выделяют взаимозависимые величины, входящие в условии задачи. Проводит анализ зависимостей между величинами.

2. Выбирают неизвестное.

3. Обозначают все величины входящие в условии задачи через данное неизвестное.

4. Составляют уравнение, используя один из зависимостей между величинами входящими в условие задачи.

5. Решают уравнения.

6. Проверяют решение по условию задачи.

Очень полезно при составлении уравнений использовать, где возможно графические иллюстрации.

Урок в 8 классе

Тема: Решение задачи на составление уравнения

Задача №478. Моторная лодка прошла 5 км по течению реки и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 1 час. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки по течению.

В процессе разбора на доске появляется следующий рисунок и краткая запись условия.

5 км - по течению

6 км - против течения

Скорость течения 3 км/ч .

I. Анализ зависимостей

Учитель: Какие величины входит условие задачи?

Ученик: Пройдённый путь, скорость и время.

Учитель : Как они связаны между собой?

Ученик: Пройдённый путь равен произведению скорости и времени

Учитель: Из чего складывается врем, затраченное на весь путь?

Ученик: Из времени затраченного для прохождения пути в 5 км по течению реки  и времени затраченного для прохождения 6 км против течения реки.

На доске записывается первая зависимость.

1)

Учитель : Как определить  и ?

Ученик: Как отношение пройденных путей к скоростям по течению реки и  против течения реки.

Учитель: Где скорость лодки больше ,в стоячей воде или по течению реки?

Учащиеся: Скорость лодки по течению реки больше, чем скорость в стоячей воде на величину скорости течения реки.

Учитель: Где и скорость лодки больше, в стоячей воде или против течения реки?

Учащиеся: Скорость лодки  против течения реки меньше, чем скорость лодки в стоячей воде, на величину скорости течения реки.

На доске записываются следующие зависимости

2) +

3)

Можно эту зависимость изобразить и графически

II.Выбор неизвестного

В большинстве задач при составлении уравнений за неизвестное принимается искомое. В нашей задаче требуется найти скорость лодки по течению реки. Чем принимать это за неизвестные, более рационально принимать за неизвестное скорость лодки в стоячей воде. Это видно и из последнего рисунка.

Таким образом пусть Х км/ч - скорость лодки в стоячий воде.

III. Выражение величин

Учитель : Чему равна скорость лодки по течению  реки?

Ученик: (х+3)км\ч

Учитель: Чему равно скорость лодки против течения реки?

Учащиеся : (х-3)км\ч

Далее находим время по течению реки 5/(х+3)ч время против течения реки - 6/(х-3) ч

IV. Составление уравнения и ее решение

Подставив последние два выражения в зависимость, получим уравнение

Затем уравнение решают и проверяют решение

Запись решения

Х км\ч - скорость лодки в стоячей воде (х>0)

(х+3)км\ч – скорость лодки по течению реки

(х-3) км\ч – скорость лодки против течения реки

ч – время лодки по течению реки

 – время лодки против течения реки

Так как лодка затратил а на путь 1 час, получаем уравнение

5х-15+6х+18=

(х+3)(х-3)≠0

х= ,     ,    

при х=-1,х=12,(х+3)(х-3)≠0 – верно, но х=-1 не удовлетворяет условию задачи

Таким образом, скорость лодки в стоячий воде равна 12 километров в час

Скорость лодки по течению реки равна 12 км/ ч+3 км/ч = 15 км/ч.

Проверка решения проводится по условию задачи, а не  по составленному уравнению так как при составлении можно получить неверное уравнение, а решив его верно и проверив  корни, мы установим только, что они удовлетворяют уравнению.

Чтобы этого избежать, желательно  проверять так, чтобы в последнем вопросе проверки  бралась та зависимость, которая не использована при составлении уравнения.

В данном случае у нас только (1) зависимость и проверку придётся провести по ней

1.     12 км\ч – скорость лодки в стоячей воде

2.     15 км\ч – скорость лодки по течению реки

3.     9 км\ч – скорость лодки против течения реки

4.     – время по течению реки

5.     – время против течения реки

6.     общее время.