Проектная работа по математике на тему "Геометрия мобильной связи"

• 1 слайд

  Геометрия мобильной связи
  Проект выполнила:
  ученица 9 «А» класса
  ГУО «Вилейская гимназия №2»
  Каптюг Екатерина Сергеевна
  Руководитель:
  Борисевич Ольга Владимировна
  

• 2 слайд

  Гипотеза
  Цель
  Объект исследования
  Предмет исследования
  Задачи
  Методы исследования
  Основная часть
  Выводы
  
  Содержание
  

• 3 слайд

  Литература
  
   Геометрия: учебное пособие для 9 класса /Шлыков В.В. – Минск: Нар. Асвета, 2009.
  Ратынский М. В. Основы сотовой связи / Под ред. Д.Б.Зимина - М.: Радио и связь, 1998. -
  Рождение сотовой связи. - http://sviazist.nnov.ru
  Энциклопедический словарь юного математика. - М.:Педагогика, 1985
  
  

• 4 слайд

  Гипотеза
  
  Почему мобильную связь называют сотовой
  

• 5 слайд

  Цель
  
  Показать применение геометрии Евклида и сферической геометрии при решении практических задач
  

• 6 слайд

  Возможное расположение базовых станций на территории Вилейского
  района
  Объект исследования
  
  

• 7 слайд

  Предмет исследования
  
  Геометрические принципы организации сотовой связи
  

• 8 слайд

  Задачи
  
  Изучить литературу.
  Изучить структуру сотовой связи.
  Доказать экономичность принципа построения.
  
  

• 9 слайд

  Методы исследования
  
  Метод математического моделирования
  Частично-поисковый
  Аналитический
  
  

• 10 слайд

  Основная часть
  Странные общественные привычки и геометрические дарования пчел, не могли не привлечь внимания и не вызвать восхищения людей, наблюдавших их жизнь и использовавших плоды их деятельности
  Герман Вейль
  

• 11 слайд

• 12 слайд

  Сумма углов любого многоугольника вычисляется по формуле (n – 2)·180°, где n - число сторон многоугольника. Сумма углов правильных многоугольников = mn , где m-градусная мера угла многоугольника. Сумма углов, сходящихся в одной вершине равна 360˚.
  Получим m=
  
  
  к = = , к = , к= ,
  где к – количество многоугольников.
  
  

• 13 слайд

  При n= 3 k=6 . Значит, 6 правильных треугольников сводятся к одной вершине , 60˚·6=360˚;
  При n= 4 k=4 . Значит , 4 квадрата сводятся к одной вершине , 90˚·4=360˚;
  При n= 5 k=3,3… . Значит, пятиугольники не сводятся к одной вершине .
  При n= 6 k=3 . Значит, 3 правильных шестиугольника сводятся к одной вершине , 120˚·3=360˚;
  

• 14 слайд

  Так как внутренний угол правильного многоугольника
  меньше 180, то >2 или >0 . Только при n число 4 делится нацело.
  Значит, только правильными треугольниками, четырёхугольниками и шестиугольниками можно покрыть плоскость.
  Почему выбирают шестиугольники?
  
  
  

• 15 слайд

  Пусть даны правильные треугольник, четырехугольник и шестиугольник одинаковой площади. У какого из этих многоугольников наименьший периметр?
  
  Пусть S- площадь каждой из названных фигур, a3, a4, a6 - сторона соответствующего
  правильного n- угольника. Сумма внутренних углов выпуклого n- угольника равна (n-2)∙180˚, где n- число сторон многоугольника.
  
  
  
  
  h3
  
  a₃
  a4
  
  a4
  a6
  a₃
  

• 16 слайд

  Тогда S
  - площадь правильного треугольника,
  
  - площадь квадрата,
  
  - площадь правильного шестиугольника
  

• 17 слайд

  Теперь вычислим периметр каждой фигуры, зная её площадь:
  , , .
  Для сравнения периметров фигур найдём их отношение:
  Р₃ : Р₄ : Р₆ =1:0,877:0,816
  
  

• 18 слайд

  Физические принципы организации мобильной связи
  R
  R
  R
  h
  h
  S =
  

• 19 слайд

• 20 слайд

  Выводы
  В процессе данной работы мы получили ещё одно подтверждение совершенства геометрии, убедились в необходимости математических знаний при желании лучше познать окружающий нас мир
  

• 21 слайд

  Система сотовой связи представляет собой совокупность ячеек, покрывающих обслуживаемую территорию. Обычно ячейки схематично изображают в виде правильных шестиугольников, которые похожи на пчелиные соты , что и послужило поводом назвать данную систему сотовой.
  

• 22 слайд

  Спасибо за внимание
  

Государственное учреждение образования

«Вилейская гимназия №2»

Проектная  работа  на тему:

« Геометрия мобильной связи »

Выполнила

                                                           Каптюг Екатерина Сергеевна 

                                              ученица 9 «А» класса

 

 

 Руководитель:

                                Борисевич Ольга Владимировна,

          учитель математики

                                ГУО « Вилейская гимназия №2 »

Вилейка

2017 год

ЦЕЛЬ:

ü Показать применение  геометрии Евклида и сферической геометрии при решении практических задач.

ЗАДАЧИ.

ü Изучить литературу.

ü Изучить структуру сотовой связи.

ü Доказать экономичность принципа построения.

МЕТОДЫ:

ü Частично-поисковый

ü Математического моделирования

ü  Аналитический

ü Анализ библиографических данных

Объект исследования:

ü Возможное расположение базовых станций на территории Вилейского района.

Предмет исследования:

ü Геометрические принципы организации сотовой связи.

Гипотеза:

Почему мобильную связь называют сотовой.

Рецензия

на проектную работу по математике

 «Геометрия мобильной связи »,

выполненную учащейся 9 «А» класса

государственного учреждения образования

«Вилейская гимназия №2»

Каптюг Екатериной Сергеевной

под руководством учителя математики

Борисевич Ольги Владимировны

Предлагаемый материал представляет собой проектную работу учащейся  9 класса государственного учреждения образования «Вилейская гимназия №2 Каптюг Екатерины Сергеевны.

Цель исследования состоит в том, чтобы показать применение  геометрии Евклида и сферической геометрии при решении практических задач.

Данное исследование – это творческий процесс с опорой на уже известные теоретические факты, с поисками подтверждения их собственными наблюдениями, с размышлениями по отдельным вопросам темы.

Собран и обобщен большой материал по теме, проанализирована литература по данной теме.

Содержание работы, изложение материала в ней отличаются четкостью. Особую ценность работы представляет то, что показана практическая значимость геометрии многоугольников. В работе использованы методы частично-поисковый, математического моделирования,  а также проведен анализ библиографических данных.

Несомненно, результаты работы служат стимулом для создания положительной мотивации к изучению математики.

Рецензируемая проектная  работа  «геометрия мобильной связи»  заслуживает отличной оценки. Материалы исследования рекомендованы для использования в процессе преподавания математики (правильные многоугольники, геометрия сферы), физики (распространение электромагнитных волн).

22.03.2017г.                             Рецензент

                                                  заместитель директора 

                                      ГУО «Вилейская гимназия №2»

                                                  Т.П.Матусевич

Содержание

                                                                                                    стр.

Введение                                                                                     6                                                                                               

Основная часть

Глава 1. Математические секреты пчелиных сот                  7-9                                                                            

Глава 2. Принципы построения сотовой мобильной связи  10

Глава 3. Практическая работа                                                 11-12

Заключение                                                                               13                                                                                              

Список литературы                                                                  14                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

Тезисы                                                                                       15-19                                                                                               

Введение

      «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Это знаменитое высказывание М.Л.Ломоносова известно всем.

  На самом деле математика – орудие, с помощью которого человек познаёт и покоряет себе окружающий мир. Она нужна каждому.

  Однако для многих людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Отсутствие интереса к изучению математики   создаёт серьёзную исследовательскую проблему – как сделать данный предмет  увлекательным для всех.

   Ещё Блез Паскаль – великий французский физик и математик утверждал: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, сделать его немного занимательным».

  Мы же сочли важным показать, что эта наука полна неожиданностей на примере изучения мобильной связи.

   Отсюда, объект исследования: возможное расположение базовых станций на территории Вилейского района.

   Цель работы:  показать применение  геометрии Евклида и сферической геометрии при решении практических задач.

   В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи:

ü    Изучить литературу.

ü    Изучить структуру сотовой связи.

ü    Доказать экономичность принципа построения.

         Метод исследования:  частично-поисковый, сопоставления, математического моделирования, аналитический.

    Актуальность темы заключается в исследовании принципа построения   мобильной связи.

Основная часть

Глава 1. Математические секреты пчелиных сот                                                                                

Странные общественные привычки и геометрические дарования пчел,  не могли не привлечь внимания и не вызвать восхищения людей, наблюдавших их жизнь и использовавших   плоды их деятельности.                                                            Герман Вейль

Пчёлы - удивительные творения природы. Свои геометрические способности они проявляют при построении сот. Пчелиные соты представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками

Нас заинтересовали математические секреты пчелиных сот:

• Где научились пчелы делить самым бережным образом одну большую площадь на несколько мелких частей?

• Как они осознали преимущества шестиугольника перед равносторонним треугольником и квадратом.

• Как должна пчелами применяться геометрия .

Теперь попытаемся ответить на вопрос: «Почему пчелы строят соты именно так, почему они предпочли сеть правильных шестиугольников, а не правильных треугольников или квадратов?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо предварительно выяснить, какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков, то есть уложить их в виде паркета.

Задача.

Сумма углов любого многоугольника вычисляется по формуле (n – 2)·180°,  где n - число сторон многоугольника.  Сумма углов правильных многоугольников  = mn , где m-градусная мера угла многоугольника. Сумма углов, сходящихся  в одной вершине равна 360˚.

    Получим m=

 

 к =                    =                       ,    к =                          ,  к=              ,  

 где к – количество многоугольников.

Рассмотрим  правильные многоугольники.

1). Возьмём треугольник с количеством сторон равным трём.

Тогда, если n=3, то k=6. А это значит, что в одной вершине могут сходиться шесть правильных шестиугольников;

2). Возьмём квадрат с количеством сторон равным четырём.

Тогда, если n=4, то k=4, то есть в одной вершине могут сходиться четыре квадрата.

3). Возьмём пятиугольник с количеством сторон равным пяти.

Если n=5, то k=3,3… . А так как k  получили не целое число, то не существует покрытия  из правильных пятиугольников.

4). Возьмём шестиугольник с количеством сторон равным шести.

Тогда, если n=6, то k=3, то есть в одной вершине могут сходиться три правильных шестиугольника;

5). Возьмём семиугольник с количеством сторон равным семи.

Если n=7, то k=2,8. А так как k  получили не целое число, то не существует покрытия из правильных семиугольников.

И так можно продолжать дальше…

Теперь рассуждаем следующим образом:  так как внутренний угол правильного многоугольника меньше 180º;

значит,                 > 2  или               > 0.

По смыслу задачи значения n,  k   могут быть только целыми, поэтому 4 делится нацело на (n-2). Отсюда n = 3,4,6.

Итак, мы выяснили, что заполнить плоскость без пропусков можно, используя или правильные треугольники, или квадраты, или правильные шестиугольники. Только ими можно уложить плоскость  без пропусков.

Попробуем дальше развить «пчелиную» тему.

          Для того чтобы выяснить, почему пчела строит соты, в сечении которых - правильный шестиугольник, а не правильный треугольник или квадрат, рассмотрим вспомогательную задачу.

          Задача.

Даны три равновеликие друг другу фигуры – правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник. Какая из данных фигур имеет наименьший периметр?

Решение:

Пусть S- площадь каждой из названных фигур, a3, a4, a6    -  сторона соответствующего правильного n- угольника. Сумма внутренних углов  выпуклого n- угольника равна  (n-2)∙180˚, где  n- число сторон многоугольника.

1). Тогда вычислим площадь треугольника по формуле:

•      Тогда  - площадь правильного треугольника,  

 - площадь квадрата,    - площадь правильного     шестиугольника.

•      Теперь вычислим периметр каждой фигуры, зная её площадь:

,    , .

Для сравнения периметров фигур найдём их отношение:

Р: Р: Р=1:0,877:0,816

Мы видим, что из трёх правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Значит, выбрав правильный шестиугольник, мудрые пчёлы экономят воск и время для построения сот.

 «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам  Евклид      мог бы поучиться, познавая геометрию моих сотов».

(Тысяча и одна ночь)      

Глава 2. Принципы построения сотовой мобильной связи 

Как функционирует сотовая связь? Почему называется "сотовая"?

Итак, вся территория зоны, где преобладает сотовая связь, делится на соты (как у пчел), т.е. другими словами на шестиугольники. В центре шестиугольника находится базовая станция, которая передает сигнал на другую станцию, в которой находится ваш собеседник. Но все же, почему именно шестиугольник, а не другая геометрическая фигура? А ответ очень прост! Если бы был квадрат, то были бы разные расстояния, причем очень заметные, а это лишняя нагрузка на базу. Если бы был круг, то было бы много «мертвых зон», а это тоже плохо для связи. Абонент был бы часто недоступен.

Площади сотов могут быть разными — в городе, как правило, базовые станции расставлены гуще — это делается, как говорят связисты, для увеличения ёмкости сети. Иными словами, при большом количестве базовых станций гораздо больше людей могут одновременно вести разговоры.

Возникает законный вопрос: если ты находишься в центре города с мобильным телефоном и вокруг тебя много базовых станций, то через какую из них ты будешь дозваниваться?  Через ту, с которой лучше связь. Мобильная сеть работает, как единый организм. Если базовая станция, через которую твой телефон выходит на связь, почувствует, что ты удаляешься от её соты и сигнал начал слабеть, она тут же отправит предупреждение на коммутационный пункт. Аппаратура коммутационного пункта опросит другие базовые станции и определит, с какой из них у твоего телефона наилучшее соединение. Мы даже не заметим, как станция одной соты передаст соединение с телефоном другой станции из другой соты.

В этом главный смысл сотовой связи: где бы мы ни находились, с какой бы скоростью ни передвигались, нашему телефону вполне хватит его миниатюрного передатчика, чтобы установить наилучшую связь с ближайшей базовой станцией. Дальше сигнал с телефона отправится на коммутационный пункт, а уже оборудование этого пункта разыщет нашего будущего собеседника.

Глава 3.  Практическая работа

Задача.

Оптимальное расположение приемопередающих антенн для организации сотовой связи.

=.

При R = 6400км, h= 20м, s – расстояние между приемопередающими станциями могло бы быть приблизительно 32 км.

Однако при условии наличия естественных преград (лесные массивы, высотные здания), а также из-за рассеяния и поглощения излучаемого сигнала уверенную связь можно получить при высоте приемопередающих антенн до 30 м.

Увеличение размеров сот возможно при увеличении мощности передатчиков и приемников сигналов, а также при использовании природных ретрансляторов в виде водоемов большой площади:  Вилейское водохранилище, озера Нарочанской группы, а также искусственных спутников.

Произведя расчеты, получаем, что на территорию Вилейского  района потребуется  4 соты   

( S Вил. Района : S   =    2451,81 кв.км : 568 кв.км 4,32)

Оставшаяся часть района покрывается сотами прилегающих районов. Всего на территории района получается 10 приемопередающих станций.

Заключение

В процессе данной работы мы получили ещё одно подтверждение совершенства геометрии, убедились в необходимости математических знаний при желании лучше познать окружающий нас мир.

Система сотовой связи представляет собой совокупность ячеек, покрывающих обслуживаемую территорию. Обычно ячейки схематично изображают в виде правильных шестиугольников, которые похожи на пчелиные соты, что и послужило поводом назвать данную систему сотовой.

Практическую значимость работы видим в ее дальнейшем применении учителями и учащимися.

Материалы исследования могут быть использованы в процессе преподавания математики (правильные многоугольники, геометрия сферы), физики (распространение электромагнитных волн).

Литература

1.     Геометрия: учебное пособие для 9 класса /Шлыков В.В. – Минск: Нар. Асвета, 2009.

2.     Ратынский М. В. Основы сотовой связи / Под ред. Д.Б.Зимина - М.: Радио и связь, 1998. - 

3.     Рождение сотовой связи. - http://sviazist.nnov.ru

4.     Энциклопедический словарь юного математика. - М.:Педагогика, 1985

Тезисы

Здравствуйте, мы – я, ученица 9 класса Каптюг Екатерина и  мой руководитель Борисевич Ольга Владимировна представляем проектную работу «Геометрия мобильной связи»

Для  многих людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Отсутствие интереса к изучению математики  создаёт серьёзную исследовательскую проблему – как сделать данный предмет  увлекательным для всех.

         Ещё Блез Паскаль – великий французский физик и математик утверждал: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, сделать его немного занимательным».

        Мы же сочли важным показать, что эта наука полна неожиданностей на примере изучения принципа работы мобильной связи.

Содержание нашей работы перед вами на слайде:

ü    Гипотеза

ü    Цель

ü    Объект исследования

ü    Предмет исследования

ü    Задачи

ü    Методы исследования

ü    Основная часть

ü    Выводы

При выполнении работы была использована литература.  Вы видите на слайде.

       Гипотеза:

Почему мобильную связь называют сотовой.

       Цель работы:  показать применение  геометрии Евклида и сферической геометрии при решении практических задач.

     Объект исследования: возможное расположение базовых станций на территории Вилейского района.

     Предмет исследования:    геометрические принципы организации сотовой связи.

     В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи:

ü    Изучить литературу.

ü    Изучить структуру сотовой связи.

ü    Доказать экономичность принципа построения.

 Методы исследования:  частично-поисковый, сопоставления, математического моделирования, аналитический.

      Актуальность темы заключается в исследовании принципа построения   мобильной связи.

           Странные общественные привычки и геометрические дарования пчел,  не могли не привлечь внимания и не вызвать восхищения людей, наблюдавших их жизнь и использовавших плоды их деятельности           Герман Вейль

       Пчёлы - удивительные творения природы. Свои геометрические способности они проявляют при построении сот. Пчелиные соты представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками.

Нас заинтересовали математические секреты пчелиных сот:

• Где научились пчелы делить самым бережным образом одну большую площадь на несколько мелких частей?

• Как они осознали преимущества шестиугольника перед равносторонним треугольником и квадратом.

• Как должна пчелами применяться геометрия.

Теперь попытаемся ответить на вопрос: «Почему пчелы строят соты именно так, почему они предпочли сеть правильных шестиугольников, а не правильных треугольников или квадратов?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо предварительно выяснить, какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков.

Рассмотрим задачу

Задача.

Сумма углов любого многоугольника вычисляется по формуле (n – 2)·180°,  где n - число сторон многоугольника.  Сумма углов правильных многоугольников  = mn , где m-градусная мера угла многоугольника. Сумма углов, сходящихся  в одной вершине равна 360˚.

Рассмотрим  правильные многоугольники.

1). Возьмём треугольник с количеством сторон равным трём.

Тогда, если n=3, то k=6. А это значит, что в одной вершине могут сходиться шесть правильных шестиугольников;

2). Возьмём квадрат с количеством сторон равным четырём.

Тогда, если n=4, то k=4, то есть в одной вершине могут сходиться четыре квадрата.

3). Возьмём пятиугольник с количеством сторон равным пяти.

Если n=5, то k=3,3… . А так как k  получили не целое число, то не существует покрытия из правильных пятиугольников.

4). Возьмём шестиугольник с количеством сторон равным шести.

Тогда, если n=6, то k=3, то есть в одной вершине могут сходиться три правильных шестиугольника;

5). Возьмём семиугольник с количеством сторон равным семи.

Если n=7, то k=2,8. А так как k  получили не целое число, то не существует покрытия из правильных семиугольников.

И так можно продолжать дальше…

По смыслу задачи значения n, k   могут быть только целыми, поэтому 4 делится нацело на (n-2). Отсюда n = 3,4,6.

Итак, мы выяснили, что заполнить плоскость без пропусков можно, используя или правильные треугольники, или квадраты, или правильные шестиугольники. Только ими можно уложить плоскость  без пропусков.

Попробуем дальше развить «пчелиную» тему.

Для того чтобы выяснить, почему пчела строит соты, в сечении которых - правильный шестиугольник, а не правильный треугольник или квадрат, рассмотрим вспомогательную задачу - найдем периметры этих многоугольников.

Для сравнения периметров фигур найдём их отношение:

Р: Р:Р=1:0,877:0,816

Мы видим, что из трёх правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Значит, выбрав правильный шестиугольник, мудрые пчёлы экономят воск и время для построения сот.

        «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам  Евклид  мог бы поучиться, познавая геометрию моих сотов».

Тысяча и одна ночь

Физические принципы организации мобильной связи 

  При R = 6400км, h= 20м, s – расстояние между приемопередающими станциями могло бы быть приблизительно 16 км.

Однако при условии наличия естественных преград (лесные массивы, высотные здания), а также из-за рассеяния и поглощения излучаемого сигнала уверенную связь можно получить при высоте приемопередающих антенн до 30 м.

Увеличение размеров сот возможно при увеличении мощности передатчиков и приемников сигналов, а также при использовании природных ретрансляторов в виде водоемов большой площади: Вилейское водохранилище, озера Нарочанской группы, а также искусственных спутников.

Произведя расчеты, получаем, что на территорию Вилейского  района потребуется  4 соты   

( S Вил. Района : S   ,  2451,81 кв.км : 568 кв.км = 4,32)

Оставшаяся часть района покрывается сотами прилегающих районов. Всего на территории района получается 10 приемопередающих станций.

 В процессе данной работы мы получили ещё одно подтверждение совершенства геометрии.

       Практическую значимость работы видим в ее дальнейшем применении учителями и учащимися.

Материалы исследования могут быть использованы в процессе преподавания математики (правильные многоугольники, геометрия сферы), физики (распространение электромагнитных волн).

Краткое описание документа:

Предлагаемый материал представляет собой проектную работу.

Цель исследования состоит в том, чтобы показать применение геометрии Евклида и сферической геометрии при решении практических задач.

Данное исследование – это творческий процесс с опорой на уже известные теоретические факты, с поисками подтверждения их собственными наблюдениями, с размышлениями по отдельным вопросам темы.

Собран и обобщен большой материал по теме, проанализирована литература по данной теме.

Содержание работы, изложение материала в ней отличаются четкостью. Особую ценность работы представляет то, что показана практическая значимость геометрии многоугольников. В работе использованы методы частично-поисковый, математического моделирования,а также проведен анализ библиографических данных.

Результаты работы служат стимулом для создания положительной мотивации к изучению математики.