Введение
Актуальность работы: это было самое любимое математическое развлечение в XVII и XVIII веках.
Способность отгадывать задуманное число, результат арифметических действий,
считалась в те времена чуть ли не колдовством.
Теперь мы знаем, что эти отгадывания
основаны на очень простых свойствах некоторых чисел и математических действий.
Однако и теперь такие фокусы являются великолепными развлечениями в
товарищеском кругу, они вызывают искреннее изумление и общий интерес.
Объект работы: для большей
краткости, чтобы иметь возможность привести больше разнообразных задач, мы
поместим угадывания в виде лаконичных указаний, какие обычно дает отгадчик, а
затем разъясним их короткими примерами или алгебраическими формулами, вскрывающими
теоретическую основу этих отгадываний.
Цель работы: исследовать
математические развлечения в XVII и XVIII веках, которые считались чуть ли
не колдовством.
Задачи:
1. Изучить простые
свойства некоторых чисел и математические действия для отгадывания.
2. Привести
лаконичные указания отгадчика и разъяснить их примерами или алгебраическими
формулами, вскрывающими теоретическую основу этих отгадываний.
Гипотеза: известно, как часто,
особенно из женских уст, можно услышать выражение: «это меньшая половина», «это
большая половина». Математики обычно высмеивают или порицают эту привычку. А
между тем эти выражения не так уж нелогичны, как это кажется многим. С этими
понятиями мы должны не только согласиться, но и научиться их применять, так как
некоторые отгадывания основаны именно на этих выражениях. Итак, условимся
называть меньшей половиной нечетного числа ту его часть, которая на единицу
меньше остальной части, то есть большей половины этого же числа; например, 3
будет меньшей, а 4 большей половиной числа 7.
Глава 1. Угадать
зачеркнутую цифру.
1.Напишите или-если умеете в уме выполнять
простые арифметические действия-задумайте произвольное число. Припишите к нему
0, отнимите задуманное число, прибавьте 117, в полученном числе зачеркните одну
цифру, но не зачеркивайте нуля; результат сообщите мне, и я тотчас же скажу
вам, какую цифру вы зачеркнули.
Например, партнер вычисляет: 518; 5180;
5180-518=4662; 4662+117=4779; 4*79.
Отгадывающему называют цифры: 4, 7, 9.
Сумма их равна 20. Отгадывание основано на быстром вычислении, что самым ближайшим
кратным 9, большим суммы данных цифр, будет 27; следовательно, было зачеркнуто
7.
Совершенно очевидно, что вместо 117 можно
предложить прибавить другое кратное 9.
2.Задумайте число, отнимите от него сумму
его цифр, в полученном результате как угодно переставьте цифры, прибавьте к
полученному таким образом новому числу 23, зачеркните одну из цифр меньше 9,
назовите мне сумму оставшихся цифр, и я тотчас же скажу, какое число вы
зачеркнули.
Например, партнер вычисляет: 8789;
8+7+8+9=32; 8789-32=8757; 7785; 7785+23=7808; 7*08; 7+8=15.
Отгадывающему сообщается число 15. От этого
числа отнимаем 5, остается 10. Ближайшее большее число, которое делится на 9,
это 18, а так как 18-10=8, следовательно, была зачеркнута цифра 8. Этим путем
нельзя получить однозначного ответа, если зачеркнутой цифрой будет 0 или 9; но
так как мы запретили зачеркивать девятку, то задача всегда будет иметь
однозначный ответ.
Если от какого-либо числа мы отнимем сумму
его цифр, то получим число, сумма цифр которого делится на 9. От суммы
оставшихся цифр 5 вычитается потому, что число, которое прибавляем – в данном
случае 23, - при делении на 9 дает остаток 5. Однако вместо 23 можно
предложить прибавить какое-либо другое число, остаток которого при делении на 9
известен угадывающему.
Если вместо 8 зачеркнуть 0, то останется
78*8. Сумма оставшихся цифр: 7+8+8=23. Отгадывающий отнимает 5; 23-5=18. Число
18 делится на 9, следовательно, зачеркнутым числом могло быть или число 9, или
0.
Однако по условию цифру 9 зачеркивать
нельзя, следовательно, был зачеркнут 0.
3.Напишите какое-либо число, сумму его цифр
умножьте на 80 и прибавьте к написанному числу; зачеркнув одну цифру – не
больше 8, назовите мне оставшиеся, а я скажу, какую цифру вы зачеркнули.
Например: 435; 4+3+5=12; 80*12=960;
435+960=1395; 1*95.
Отгадывание: 1+9+5=15. Ближайшим кратным 9
является 18; 18-15=3, следовательно, зачеркнута была цифра 3.
В условии задачи можно предложить, чтобы
вместо 9 не зачеркивали 0.
4.Напишите четырехзначное число,
произвольно переставьте в нем цифры, разность этих двух чисел умножьте на 67,
зачеркните любую цифру, только не 0, и назовите остальные.
Например: 3416; 6413; 6413-3416=2997; 67*2997=200799;
2007*9.
Отгадывание: 2 + 7 + 9 = 18. Это кратное 9,
а так как не мог быть зачеркнут 0, следовательно, зачеркнули 9.
Вместо 67 в подобного рода задачах можно
взять другое число.
5.Возьмите какое-либо целое число и
умножьте его на число, которое непосредственно за ним следует, а полученное
произведение умножьте на сумму обоих чисел; это второе произведение возведите в
квадрат; когда назовете мне все цифры окончательного результата, кроме одной, я
скажу, какую цифру вы утаили.
Например: 10*11=110; 110 (10+11) =2310;
2310 2 =5336100; 53*6100.
Угадывание основано на том, что построенное
нами произведение n (n+1) (2n+1) всегда делится на 3 и даже на 6, а его квадрат делится на 9.
Весь фокус заключается в том, что нужно отыскать ближайшее кратное 9 и вычесть
из него сумму названных цифр.
Если же в условии задачи не оговаривается,
что нельзя зачеркивать 0 или 9, в ответе можно это учесть и, определив, что
сумма остальных цифр делится на 9, ответить, что зачеркнуты 0 или 9.
6.Из избранного числа путем перестановки
цифр составьте два других, найдите сумму этих трех чисел и возведите ее в
квадрат, а потом спросите, какую цифру вы утаили, назвав все остальные.
Например: 215; 152; 512; 215+152+512=879;
8792 = 772641; 7*2641.
Отгадывание совершенно похоже на
предыдущее.
7.Три числа, непосредственно следующие друг
за другом, перемножьте, произведение возведите в квадрат, а я угадаю ту цифру,
которую вы утаите, при условии, что вы назовете мне сумму остальных цифр.
Например: 11,12,13; 11*12*13=1716;
17162 =2944656; 29*4656.
Отгадывание основано на том, что сумма трех
последовательных натуральных чисел всегда делиться на 3, следовательно, квадрат
этой суммы делится на 9.
8.Выберите три последовательных числа
натурального ряда, возведите их в куб, сложите и назовите мне сумму цифр
полученной суммы без одной цифры, а я сразу же назову вам эти цифры.
Например: 5,6,7; 53 +63 +73
=684; 68*.
Отгадывание основано на том, что сумма трех
последовательных кубов всегда делится на 9.
Глава 2. Отгадать
результат действий с неизвестными числами.
1. Возьмите любое нечетное число, не
делящееся на 3; возведите его в квадрат, прибавьте 17, разделите на 12, а я
заранее предскажу вам, какой вы получите остаток от деления. Это будет 6.
Например:
11; 112 =121; 121 + 17 = 138; 138 =
11*12 + 6.
2. К произвольному числу прибавьте 11,
сумму умножьте на 2, от произведения отнимите 20, то, что получите, умножьте на
5, от полученного числа вычтите умноженное на 10 первоначальное число, а я
скажу вам, что в окончательном результате вы получите 10.
Пример:
23; 23 + 11 = 34; 2*34 = 68; 68 – 20 = 48; 5*48
= 240; 240 – 230 = 10.
Алгебраическая формула для этого
отгадывания выражается следующим образом: 5* [2 (n+11) -20] - 10n = 10.
3.Возьмите число, составленное из трех
таких цифр, чтобы первая и последняя отличались более чем на 1; запишите число
в обратном порядке, вычтите одно из другого, запишите в обратном порядке
полученный результат, сложите оба последних числа – и всегда получите 1089.
Например:
326; 623; 623-326 = 297; 297 + 792 = 1089.
4.Произвольное число умножьте на 37, к
произведению прибавьте 17, сумму умножьте на 27, прибавьте 7, разделите
результат на 999- и всегда получите остаток 466.
Пример:
3; 3*37 = 111; 111+17=128; 128*27=3456; 3456+7=3463;
3463:999=3*999+466.
Вместо чисел 17 и 7 можно взять другие,
например a и b, однако с тем
условием, чтобы 27а+b <999. Тогда при неизвестном n получим 27(37n+a) +b=999n+(27a+b) и при делении на 999
будет остаток 27a+b, который можно вычислить заранее.
5.Любое число умножьте на 18, прибавьте к
произведению 291, сумму разделите на 3, из произведения вычтите шестикратное
первоначальное задуманное число, результат умножьте на число, непосредственно
следующее за ним,- и я могу предсказать, что если вы не ошибетесь при
вычислении, то в результате получите 9506.
Пример:
13; 18*13=234; 234+291=525; 525:3=175;
175-6*13=97; 97*98=9506.
Не мешает добавить, что как в этом случае,
так и во всех предыдущих и последующих, в которых действия начинаются с
совершенно произвольными числами, можно - чтобы слушателям было труднее
разобраться, на какой основе строятся данные угадывания, - предложить с самого
начала проделать разнообразные действия с избранным числом и только после
некоторого числа таких добавочных операций приступить, не заостряя на этом
внимания, к истинному условию задачи.
6. Изберите два трехзначных числа, запишите
меньшее из них сразу же за большим, а затем наоборот: на первом месте напишите
меньшее, а за ним большее. В результате получите два шестизначных числа.
Отнимите от первого второе, полученный результат разделите на разность
избранных вами чисел: можно вас уверить, что оно разделится без остатка, а в частном
вы получите 999. Вот пример:
873; 451; 873451 – 451873 = 421573; 873 – 451
= 422; 421578:422 = 999.
7. Изберите три цифры, составьте из них
шесть разных двузначных чисел, сумму этих чисел разделите на сумму взятых
вначале цифр. Когда вы выполните все действия, я назову вам результат: 22.
Вот пример:
3,4,8; 34,38,43,83,48,84;
34+38+43+83+48+84=330; 3+4+8=15; 330:15=22.
8. Напишите произвольное четырехзначное
число, прочтите его мне, запишите под ним число, которое я вам продиктую, а под
вторым запишите третье, избранное вами; потом я назову вам число, придуманное
мною, и, наконец, вы запишете пятое число. Но, прежде чем вы успеете его
написать, если только назовете его мне, я тотчас же продиктую вам сумму всех
пяти чисел. Угадывание основано на том, чтобы к двум первым числам продиктовать
два, представляющие собой их дополнения до 9999; тогда сумма всех пяти чисел
будет равна пятому числу, уменьшенному на 2, с дописанной двойкой на месте
десятков тысяч. Вот пример:
3854
6145, так как 9999 – 3854 = 6145;
+ 2791
7208, так как 9999 – 2791 = 7208;
5739
_________
25737, или 5739 – 2 + 20000.
Глава 3.
Отгадать задуманное число.
При подобного рода отгадываниях особенно
желательно (конечно, только в тех случаях, в которых действия совершаются с
произвольным числом) предлагать различные добавочные операции и только после
этого приступать к выключению настоящего условия задачи, так как слишком
простые комбинации могут быть легко раскрыты сообразительными партнерами.
1.Возьмите половину задуманного числа (если
вы избрали число нечетное, возьмите его меньшую половину), прибавьте 1, сумму
умножьте на 4, отнимите задуманное число и скажите, чему равна разность, а я
назову число, которое вы избрали.
Отгадывание: если было названо четное
число, то первоначально задуманное число на 4 меньше его, а если названо
нечетное число, то задуманное число меньше его на 2.
Примеры:
а) 22; 22:2=11; 11+1=12; 4*12=48; 48-22=26.
Отгадывание: число 26 четное; вычтя из него
4, получим 22.
b) 23; (23-1):2=11; 11+1=12; 4*12=48; 48-23=25.
Отгадывание: число 25 нечетное; вычтя из
него 2, получим 23.
2.Избранное вами число умножьте на 3, к
произведению прибавьте 1, сумму опять умножьте на 3 и, наконец, к полученному
результату прибавьте первоначальное число. Скажите, сколько получилось, а я
сразу же назову избранное вами число.
Чтобы угадать избранное число, достаточно
отбросить крайнюю цифру 3 от названного числа; оставшееся число и будет
искомым.
Пример: 13; 3*13 = 39; 39 + 1 = 40; 3*40 = 120;
120 + 13 = 133.
Отбросив 3, получим 13.
3.Какое-нибудь задуманное число возведите в
квадрат, потом число, на 1 больше задуманного, тоже возведите в квадрат,
сообщите мне только разность этих двух квадратов, если хотите, чтобы я знал,
какое число вы избрали. Отгадывание основано на известном свойстве разности
квадратов двух последовательных натуральных чисел; эта разность равна
удвоенному меньшему числу плюс 1. Итак, узнав, каков результат действий,
следует взять его меньшую половину – она будет искомым числом.
Пример:
17; 172 =289; 182 = 324; 324
– 289 = 35.
Меньшей половиной числа 35 является 17.
4.Задумайте какое-нибудь число, лучше -
хотя и не обязательно – однозначное, умножьте на 5, прибавьте 2, умножьте на 4,
прибавьте 3, умножьте на 5, прибавьте 7. Едва вы успеете назвать результат,
полученный вами, как я скажу вам, с какого числа вы начали.
Отгадывание заключается в отбрасывании двух
последних цифр полученного результата; например: 7; 35; 37; 148;
151; 755; 762.
От числа 762 следует отбросить две
последние цифры, останется 7.
5.Не очень большое число, во всяком случае
меньшее чем 996, умножьте на 37, прибавьте 111, умножьте на 27, а результат
округлите до тысячи. По полученному вами результату я отгадаю, какое число вы
задумали.
Чтобы угадать, нужно вычесть 3 из числа
тысяч.
Пример: 14; 518; 629; 16983; 17000.
Вычтя 3 из числа тысяч, то есть из 17,
получаем 14.
Заключение
Математических отгадываний существует
очень много. Чем же следует руководствоваться при их выборе? Главным образом
принципом наибольшего разнообразия. Все задачи легкие, доступные каждому, кто
хоть немного знаком с элементарной математикой. Вот и мы решили показать на
примерах отгадываний преемственность школьного курса вычислительных навыков,
которые включают все арифметические действия, приёмы устного счета, признаки
делимости. Они развивают мышление и математическую логику, что очень важно в
жизненных ситуациях. Такими примерами можно занять своё свободное время,
которые будут великолепными развлечениями в товарищеском кругу, в кругу своих
родителей и вызовут общий интерес.
Библиографический список
используемой литературы и электронных ресурсов
1.Еленский, Щепан. По следам Пифагора. Занимательная математика. –М.:
Государственное Издательство Детской Литературы Министерства Просвещения РСФСР,
1961. ˗ 483 с.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.