Проектная работа по теме " Фракталы"

Всероссийский Конкурс исследовательских проектов,

выполненных школьниками при научном консультировании

ученых Международной ассоциации строительных вузов

Воронежский государственный технический университет

Секция математики

Номинация 10 класс

Тема проекта Фракталы

Бабенко Станислав Анатольевич, (ученик 10 класса)

Калачеевская СОШ № 6, г. Калач

[e-mail]

Руководитель: учитель математики СОШ №6, г. Калач

Кашкина Антонина Владимировна

Научный консультант: Глазкова Мария Юрьевна к.ф.-м.н., доцент, кафедра «Прикладной математики и механики»

glazkovam@yandex.

2021 год

Перечень ключевых слов: фракталы, геометрические фракталы, самоподобие, симметрия,3D моделирование, салфетка и пирамида Серпинского, свойства фрактального многогранника, площадь поверхности.

Аннотация

Проект «Фракталы» приготовлен с использованием проектной технологии. В процессе работы над проектом автор проявил самостоятельность, использовал поисковый метод и моделирование рассмотрел область математики - фрактальную геометрию, которая появилась не так давно. Автор показал создание моделей геометрических фракталов на 3 D принтере, тем самым определил области применения фракталов с информатикой и математикой. Автор в результате исследования убедился в том, что площадь поверхности фрактального многогранника стремится к бесконечности. Таким образом, в рассматриваемой работе автор проявил умение разбираться в терминах, касающихся данной темы, систематизировал материал и обобщил его, благодаря чему углубляются школьные представления об исследуемой теме.

Данный проект может использоваться во внеурочной работе по математике.

Оглавление……………………………………………………………………2

Аннотация………………………………………………………………………2

Титульный лист………………………………………………………………1

I.        Введение ………………………………………………………………3-4

II.       Основная часть …………………………………………………………4-15

2.1      Понятие фрактала. Немного из истории ………………………………4-6

2.2      Геометрические фракталы ………………………………………………6-10

2.3      Исследование. «Моделирование фрактального многогранника - пирамида Серпинского. Площадь поверхности». …………………………………………………10-15

III.      Заключение.................................................................................................15

IV. Список использованной литературы………………………………………15-16

V. Приложения.

Введение.

 Природа создала объекты, которые не поддаются описанию при помощи классической геометрии.  Фрактальная геометрия задает их очень просто. Прошло всего несколько десятилетий с тех пор, как Бенуа Мандельброт заявил: «Геометрия природы фрактальна!», на сегодняшний день мы уже можем предположить намного больше, а именно, что фрактальность – это первоочередной принцип построения всех без исключения природных объектов. [2,6]

Мой исследовательский проект – «Фракталы». На мой взгляд эта тема отличается новизной, так как многие термин «фрактал» слышат впервые. И не удивительно, Бенуа Мандельброт, отец современной фрактальной геометрии, ввел термин «фрактал» в 1975 году, а рождение яркой фрактальной геометрии относится к 1977 году, когда была издана его книга «Фрактальная геометрия природы» материалы которой, я использовал в своей работе. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». [4,5] При подготовке к защите проекта, я изучил много научно- популярной литературы, список которую указал в работе.

       Актуальность моей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теме «Геометрические фракталы» в современной науке, а с другой стороны тем, что в школьном курсе геометрии такое понятие как «фрактал» не изучается.

Предметом моего исследования являются фракталы и модель фрактального многогранника -  пирамида Серпинского.

Цель научно-исследовательской работы:

·         исследовать новое направление математики –геометрические фракталы.

·          Моделирование фрактального многогранника «Пирамида Серпинского» и вычисление её площади поверхности.

В процессе работы мною были выделены следующие задачи исследования:

1.      Изучить историю возникновения фракталов.

2.      Классифицировать фракталы.

3.      Исследовать свойства геометрических фракталов.

4.      Смоделировать фрактальный многогранник «Пирамида Серпинского» при помощи 3D принтера.

5.      Рассмотреть свойства фрактального многогранника. Вывести площадь его поверхности.

6.      Дать представление о фракталах, встречающихся в нашей жизни.

7.      Определить области применения фракталов с информатикой и математикой.

Гипотеза: Фрактальное тело имеет конечный объем, но бесконечную площадь поверхности.

Методы исследования: 

·               Анализ научной литературы;

·               Сопоставление полученных данных;

·               Моделирование;

·               Абстрагирование;

·               Выполнение и оформление научно-исследовательской работы с применением проектной технологии и моделирования.

Основной метод, который использовался в работе, - это метод систематизации и обработки данных и моделирование.

Основные результаты исследования:

1.      Повышение интереса у учащихся к фрактальной геометрии.

2.      Создание моделей геометрических фракталов помощи 3D принтера.

3.      Убедился в том, что площадь поверхности фрактального многогранника стремится к бесконечности.

4.      Вычислил площади поверхности многогранников в зависимости от шагов.

5.      Заметил закономерность при вычислении площадей и вывел формулу площади поверхности фрактального многогранника.

6.      Оформление папки, создание мультимедийной презентации.

II. Основная часть.

2.1.   Понятие фрактала. Немного из истории.

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. [7,1]

  Рис.1

 Фракталы — язык геометрии. Однако их главные элементы недоступны непосредственному наблюдению. В этом отношении они принципиально отличаются от привычных объектов евклидовой геометрии, таких, как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур. Эти алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем. Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же чётко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии [2,9]

С математической точки зрения фрактал (fraction, fractional - дробь, дробный) - это прежде всего множество с дробной размерностью. В геометрии Эвклида точка имеет размерность 0, отрезок и окружность - размерность 1, круг и сфера - размерность 2.

Феликс Хаусдорф (1868-1942) в 1919 г. первым нашёл в математике множества с дробной размерностью (канторово множество, кривая Коха и др.). [2,9] Это направление развивал Абрам Самойлович Безикович (1891-1970), размерность Хаусфорда-Безиковича нашла применение в некоторых разделах математики, но громадный интерес к ней возник после публикации в 1975 году Бенуа Мандельбротом (1924-2010) книги (наиболее известное издание Benoit B. Mandelbrot//The Fractal Geometry of Nature Henry//Holt and Company, 1983, P. 468), в которой он привёл яркие примеры применения фракталов к объяснению некоторых природных явлений.

 

   Рис.2.

 Термин «фрактал» Б.Мандельброт ввёл в 1975 году. Он дал такое определение: фрактал (от лат. «fractus» - дробный, ломаный, разбитый) – это структура, состоящая из частей, подобных целому.  Свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов эвклидовой геометрии. Самоподобные фигуры существуют в микро и макромире. [2,3]

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:

- геометрические фракталы; (Приложение1,2,3)

- алгебраические фракталы;( Приложение 5)

- стохастические фракталы. (Приложение6)

2.2. Геометрические фракталы.

 Геометрические фракталы – самые наглядные, потому что в них видна самоподобность. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. [7,2]

В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором.  За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал. Именно с геометрических фракталов началась их история. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется «затравка»- аксиома- набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал.  Далее к этой «затравке» применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме), бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал (приложении 1) Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия. Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. [7,6]

Размерность – одно из фундаментальных понятий, выходящее далеко за пределы математики. [4,1]

В своей повседневной жизни мы постоянно встречаемся с размерностями. Линия имеет размерность 1. Это означает, что, выбрав точку отсчета, мы можем любую точку на этой линии определить с помощью одного числа – положительного или отрицательного. Причем это касается всех линий – окружность, квадрат, парабола и т.д.  Размерность 2 означает, что любую точку мы можем однозначно определить двумя числами.

Таким образом, размерность D можно рассчитать исходя из зависимости увеличения «размера» объекта S от увеличения линейных размеров L. D= log (S)/log (L).    Если попытаться применить эти правила к фрактальным объектам, то возникает парадоксальная ситуация – их размерность окажется дробным числом. Так вот, когда размерность фигуры, получаемой из каких-то простейших объектов (отрезков) больше размерности этих объектов - мы имеем дело с фракталом. [3,4]

·         Кривая Коха - фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом.

Рис. 3.   [6,3]

Инициатор – прямая линия;

Генератор – равносторонний треугольник.

Процесс её построения выглядит следующим образом: 

Единичный отрезок разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию длякаждого из четырёх получившихся звеньев и т. д.   Кривая Коха несамопересекающая непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке.  Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха» (приложение 1).

·                 Кривая Леви предложена французским математиком Леви, получается, если взять половину квадрата вида /\, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви (приложение 2). Кривая Леви нигде не дифференцируема и не спрямляема. На любом интервале кривой Леви есть точки самопересечения. Кривая Леви — крона дерева Пифагора.

 Рис.4. [6,2]

·         Кривая Минковского — классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Исходным элементом является отрезок, а генератором является ломаная из восьми звеньев (два равных звена продолжают друг друга) (приложение 1).

·         Кривая дракона 

Проделываем следующее: сложим полоску бумаги поперек вдвое. Повторим это пару раз. После развертывания получим полоску, состоящую из восьми кусков. Посмотрев на эту полоску в профиль, увидим ломаную линию. Это можно продолжать дальше, но не очень долго, из-за конечной толщины бумаги. Рис.5. [5,3]

 Геометрическое построение кривой дракона.

Сначала берем отрезок единичной длины. Затем он заменяется на два отрезка, образующих боковые стороны равнобедренного прямоугольного треугольника, для которых исходный отрезок является гипотенузой. В результате отрезок как бы прогибается под прямым углом. Направление прогиба чередуется. Первый отрезок прогибается вправо, второй – влево, третий – опять вправо и т.д. Таким образом, после каждого шага число имеющихся отрезков удваивается, а длина каждого соответственно уменьшается в  раз.             

             I.            Треугольник Серпинского.

Фрактал, называемый салфеткой Серпинского (Sierpinski gasket), получается последовательным вырезанием центральных   так, как показано на рисунке

 

Рис.6 [6,3].

Но и на этом не всё. Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос». С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы.

Игра Хаос [6,3].

Суть «игры» такова. На плоскости зафиксирован правильный треугольник A1A2A3. Отмечают любую начальную точку B0. Затем случайным образом выбирают одну из трех вершин треугольника и отмечают точку B1 — середину отрезка с концами в этой вершине и в B0 (на рисунке справа случайно выбралась вершина A1). То же самое повторяют с точкой B1, чтобы получить B2. Потом получают точки B3, B4, и т. д. Важно, чтобы точка «прыгала» случайным образом, то есть чтобы каждый раз вершина треугольника выбиралась случайно, независимо от того, что было выбрано в предыдущие шаги. Удивительно, что если отмечать точки из последовательности Bi, то вскоре начнет проступать треугольник Серпинского

Игра Хаос: 100, 500 и 2500 точек [6,4].

 Некоторые свойства

Фрактальная размерность log23 ≈ 1,584962.... Треугольник Серпинского состоит из трех копий самого себя, каждая в два раза меньше. Взаимное расположение их таково, что если уменьшить клеточки сетки в два раза, то число квадратиков, пересекающихся с фракталом, утроится. Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Это означает, что в фрактал не влезет ни один, даже очень маленький, кружок. То есть, если отталкиваться от построения первым способом, из треугольника «вынули» всю внутренность: после каждой итерации площадь того, что остается, умножается на 3/4, то есть становится всё меньше и стремится к 0.

Варианты

          II.            Ковер (квадрат, салфетка) Серпинского.

 Рис.7 [7,3].

Квадратная версия была описана Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ему удалось доказать, что любая кривая, которую можно нарисовать на плоскости без самопересечений, гомеоморфна какому-то подмножеству этого дырявого квадрата. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. Справа изображен классический способ: разделение квадрата на 9 частей и выбрасывание центральной части. Затем то же повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т. д.           Как и у треугольника, у квадрата нулевая площадь. Фрактальная размерность ковра Серпинского равна log38, вычисляется аналогично размерности треугольника.

Квадратная версия была описана Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ему удалось доказать, что любая кривая, которую можно нарисовать на плоскости без самопересечений, гомеоморфна какому-то подмножеству этого дырявого квадрата. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. Справа изображен классический способ: разделение квадрата на 9 частей и выбрасывание центральной части. Затем то же повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т. д. [9,5]

        III.            Пирамида Серпинского.

 Один из трехмерных аналогов треугольника Серпинского. Строится аналогично с учетом трехмерности происходящего: 5 копий начальной пирамиды, сжатой в два раза, составляют первую итерацию, ее 5 копий составят вторую итерацию, и т. д. Фрактальная размерность равна log25. У фигуры нулевой объем (на каждом шаге половина объема выбрасывается), но при этом площадь поверхности сохраняется от итерации к итерации, и у фрактала она такая же, как и у начальной пирамиды. Рис.8. [6,6]

2.3. Исследование. «Моделирование фрактального многогранника - пирамиды Серпинского. Площадь поверхности».  

Изучая, моделирование геометрических фракталов на плоскости и глядя на «решётку Серпинского», я поставил перед собой цель: смоделировать многогранник «пирамиду Серпинского» и проверить парадокс фрактальных структур (фрактальное тело имеет конечный объем, но бесконечную площадь поверхности).

Для того чтобы реализовать поставленную задачу мне пришлось изучить дополнительные темы: многогранники, развертки выпуклых многогранников, площадь поверхности правильных многогранников, современную геометрию. Часть своей исследовательской работы я начал с того, что смоделировал фрактальный многогранник -пирамиду Серпинского при помощи 3Dпринтера. (Приложение 4)

Печать созданных в проекте моделей выполнялась на принтере MakerBot Replicator Z18, установленном в школьном кабинете информатики. MakerBot Replicator Z18 это 3D-принтер пятого поколения. Для печати модели, спроектированной в программе Make Human, размером 70х200х55 принтеру потребуется 2 часа 45 минут и 30 грамм расходного материала, при этом будет нанесено 1760 слоев PLA нити.

 Рис.9.

Реализация:

Этапы:

1) Создание 3D модели фрактала пирамиды Серпинского.

При создании модели я пользовался Tinkercad – это кроссплатформенное программное обеспечение для создания и редактирования 3Д-проектов.

Данное приложение позволяет делать множество вариантов верстки 3D проектов. Онлайн-формат предполагает быстрый обмен моделями между пользователями. С помощью встроенных инструментов можно экспортировать проекты для последующей работы в других более мощных редакторах или печати на 3Д-принтерах. В построении модели нам потребуется форма «Пирамида», при её выборе на рабочей плоскости устанавливается равносторонняя четырёхугольная пирамида, разместим её в таком положении:

 Рис.9.

добавим ещё три пирамиды и разместим следующим образом:

 Рис.10.

разместим пятую пирамиду таким образом, чтобы своим основанием она касалась вершин четырёх низ лежащих пирамид, а именно так:

 Рис.11.

скопируем получившуюся конструкцию, скопируем несколько раз, разместим таким образом:

 Рис.12. Рис.13

Повторяем операцию несколько раз и получаем следующую конструкцию:

 Рис.14 

Я получил наглядную 3D модель фрактала пирамида Серпинского. (Приложение 4)

 Рис.15.  рис.16

Площадь поверхности пирамиды Серпинского.

Продолжу свое исследование.

 Цель: Вывести формулу поверхности фрактальной пирамиды Серпинского.

I.            Смоделирую    правильную треугольную пирамиду (тетраэдр). Вставим в неё октаэдр, ребро которого в два раза меньше ребра пирамиды. Заметим образовавшихся четыре «полые» пирамиды. Вставим в каждую из них октаэдр, ребро которого также в два раза меньше ребра меньшей пирамиды.

 Рис.17 Этот процесс можно продолжить до бесконечности. Таким образом можно смоделировать фрактальный многогранник пирамиду Серпинского, который обладает свойством самоподобия.

Шаги	1	2	3	4	5
Количество октаэдров	1	1+4	1+4+16	1+4+16+64	1+4+16+64+256
Закономерность чисел	40	40+41	40+41+42	40+41+42+43	40+41+42+43+44
Всего октаэдров	1	5	21	85	341

Таблица1.Количество вписанных октаэдров.

   Замечаем, что в пирамиду с каждым шагом добавляется 4^n-1 октаэдров, то есть на шестом шаге добавляется 4⁵ октаэдров, на седьмом шаге 4⁶ октаэдров и т.д

Вывод рекуррентной формулы для количества октаэдров:

   ,значит    и т.д. Рекуррентная формула:  

II.            Рассмотрим пошаговые изменения длины ребра октаэдров, вписанных во фрактальный многогранник пирамиды Серпинског.

Таблица 2.

шаг	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Длина ребра октаэдра
Длина ребра октаэдра

Последовательность чисел , ,  , , , ,,,...есть бесконечно убывающая геометрическая  прогрессия, где = - длина ребра первого вписанного октаэдра, .  

III.             Исследуем свойства площади поверхности фрактального многогранника пирамиды Серпинского.

Гипотеза: Будет ли площадь поверхности правильного фрактального многогранника, при увеличении вписанных октаэдров, больше площади поверхности пирамиды-основы фрактального многогранника?

Если ребро первого вписанного в пирамиду октаэдра равно , то ребро тетраэдра  равно 2. И площадь поверхности пирамиды Серпинского» -  основы фрактального многогранника равна:                  

 (рис.18)                

Площадь поверхности фрактального многогранника. Шаг первый:                                       

                          

Площадь поверхности фрактального многогранника. Шаг второй:

Площадь поверхности фрактального многогранника. Шаг третий:

Замечаем, что на третьем шаге площадь поверхности фрактального многогранника больше площади поверхности пирамиды – основы фрактального многогранника пирамиды Серпинского. Гипотеза доказана.

Площадь поверхности фрактального многогранника. Шаг четвёртый:

 

Таблица 3. Пошаговое увеличение площади:

Шаг 1	Шаг 2	Шаг 3	Шаг 4	Шаг 5
0				?
0				!

На пятом шаге площадь   увеличится  на 

Таблица 4. Площадей фрактального многогранника в зависимости от шагов.

шаги	1	2	3	4	5
Площадь многогранника

 Вывод: формула площади фрактального многогранника.     где 

Парадокс: несмотря на то, что фрактальный многогранник пирамиды Серпинского ограничен тетраэдром, площадь его поверхности с увеличением шагов стремится к бесконечности  

IV.            Заключение.

 В итоге исследовательской работы мною были доказаны гипотеза о том, что фрактальное тело имеет конечный объем, но бесконечную площадь поверхности. Были сделаны расчеты и получена формула площади поверхности фрактального многогранника, модели которого я сделал из подручных средств и при помощи 3D принтера.

В результате своего исследования я понял, что модели, построенные на основе фрактальных изображений, точно описывают реальный мир. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. В результате моего исследования поставленные цели и задачи достигнуты. Я изучил научные статьи и материалы о фракталах из интернета источников. Узнал много интересного о этих удивительных объектах, которые помогают нам понять красоту окружающего мира, я понял, что фрактальная геометрия — это наука о природе. Практическая значимость работы заключается в систематизации информации о геометрических фракталах и привлечении интереса к этой теме. В дальнейшем, я продолжу изучать другие виды фракталов и их применение. Мне доставляет удовольствие заниматься моделированием, тем самым обогащаю себя новыми открытиями.

                                                                                                                            V.            Список литературы:

1              Азевич А.И.  Фракталы: геометрия и искусство // Математика в школе —  2005.  —  № 4.  —  С.  76—78.

2              Бекман И.Н. Геометрия фракталов. Курс лекций//Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова//Москва, 2010-С.1-29.

3              Деменок С.Л. Просто фрактал. – СПб.: ООО «Страта», 2014.

4              Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – Москва: Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с.

5              Качарава А.С. Живая математика: Практическое применение фракталов в жизни // Международный школьный научный вестник. – 2019. – № 5-1. – С. 59-67;

Интернет-ресурсы:

6.      https://elementy.ru/posters/fractals/Sierpinski

7.      Саква  Д.Ю.  Фракталы  вокруг  нас  [Электронный  ресурс]  —  Режим  доступа.  —  URL:  http://www.codenet.ru/progr/fract/Fractals-Around/

 Приложения

 Приложение 1.  Снежинка Коха. Алгоритм построения.

Приложение 2. Кривая Леви.

Приложение 3. Кривая Минковского.     

Приложение 4.  Мои модели.

·         Пирамида Серпинского, изготовленная на 3 D принтере.

·         Салфетка Серпинского на станке ЧПУ

Приложение 5. Множество Мандельброта.