Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проектная работа "Признаки делимости" выполнена учащимися 6 класса

Проектная работа "Признаки делимости" выполнена учащимися 6 класса



Внимание! Сегодня последний день приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Название документа Исследовательская работа.doc

Поделитесь материалом с коллегами:


Муниципальное общеобразовательное казенное учреждение

Основная общеобразовательная школа с.Руновка Кировского района

Приморского края








hello_html_5484afa1.gif

hello_html_d2e82e3.gif




Проект подготовили учащиеся 6 класса

Бондарчук Валерия и Тищенко Анастасия





Руководитель: Федченко Людмила Павловна

учитель математики первой категории






с. Руновка -2014 г.


Содержание




Введение…………………………………………………………………...3

1. Немного истории…………………………………………………….4 -5

2. Признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3(9) на 5, на 10,

изучаемые в школе…….……………………………………………….5-6

3. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, полученные самостоятельно…………………………………………..6-7

4. Признаки делимости на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описанные в разных источниках..................................................................................................8-11

5. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач……..................................................................................................11-14

6. Заключение. Выводы………………………………………………15

Список использованной литературы(источников)…………………16















Введение

Актуальность проекта: При изучении темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» нас заинтересовал вопрос о делимости чисел. Известно, что не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. При делении натуральных чисел, мы получаем остаток, допускаем ошибки, в результате - теряем время. Признаки делимости помогают, не выполняя деление, установить, делится ли одно натуральное число на другое. Мы решили написать исследовательскую работу по данной теме.

Гипотеза: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Объект исследования: Делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: Признаки делимости натуральных чисел.

Цель: Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе и дополнить свои знания о признаках делимости чисел.

Задачи:

  1. Изучить историографию вопроса.

  2. Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изучаемые в школе.

  3. Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел

на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.

  1. Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных нами признаков делимости.

  2. Выписать найденные из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.

  3. Сделать вывод.

  4. Составить слайдовую презентацию на тему: «Признаки делимости».

  5. Составить брошюру «Признаки делимости натуральных чисел».

Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.


I. Немного из истории.

Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).

При изучении темы: «Простые и составные числа» нас заинтересовал вопрос о составлении таблицы простых чисел, так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Оказывается, над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы.



Выделялись классы:

  • совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3),

  • дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142),

  • фигурных чисел (треугольное число, квадратное число),

  • простых чисел и др.

hello_html_m18e1f7ca.pnghello_html_m2ca0127.png hello_html_3853a6ac.jpg hello_html_1ee2ac7b.gif

Блез Паскаль Пифагор. Леонардо Пизанский Эратосфен (Фибоначчи)


Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать.

Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.




II. Признаки делимости натуральных чисел,

изучаемые в школе.


При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.

Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.

Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b, b - делитель а, b делит а.

Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

hello_html_54b36c6e.gif

III. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, полученные нами самостоятельно.


Выполняя действия деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действий, мы нашли закономерности и получили следующие признаки делимости.



Признак делимости на 4.

25·4=100; 56·4=224; 123·4=492; 125·4=500; 2345·4=9380; 2500·4=10000; …

Умножая натуральные числа на 4, мы заметили, что числа образованные из двух последних цифр числа делятся на 4 без остатка.

Признак делимости на 4 читается так:

Натуральное число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 6.

Заметим, что 6=2·3hello_html_m689ac127.gifПризнак делимости на 6:

Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.

Примеры:

216 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15׃3), значит, число делится на 6.

625 не делится ни на 2, ни на 3, значит, не делится на 6.

2120 делится на 2 (оканчивается 0), но не делится на 3 (2+1+2+0=5, 5 не делится на 3), значит, число не делится на 6.

279 делится на 3 (2+7+9=18, 18:3), но не делится на 2 (оканчивается нечетной цифрой), значит, число не делится на 6.


Признак делимости на 8.

125·8=1000; 242·8=1936; 512·8=4096; 600·8=4800; 1234·8=9872; 122875·8=983000;…

Умножая натуральное число на 8, мы заметили такую закономерность, числа оканчиваются тремя нулями, или три последние цифры составляют число, которое делится на 8.

Значит, признак таков:

Натуральное число делится на 8 тогда, когда три его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 8.


Признак делимости на 15.

Заметим, что 15=3·5hello_html_m689ac127.gifЕсли натуральное число одновременно делится и на 5 и на 3, то оно делится на 15.

Примеры:

346725 делится на 5 (оканчивается 5) и делится на 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), значит, число делится на 15.

48732 делится на 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), но не делится на 5,значит, число не делится на 15.

87565 делится на 5 (оканчивается 5), но не делится на 3 (8+7+5+6+5=31, 31 не делится на 3), значит, число не делится на 15.

Признак делимости на 25.

Выполняя умножение натуральных различных чисел на 25, я увидел такую закономерность: произведения оканчиваются на 00, 25, 50, 75.

Значит, натуральное число делится на 25, если оканчивается цифрами 00, 25, 50, 75.


Признак делимости на 50.

На 50 делятся числа: 50, 100, 150, 200, 250, 300,… Они оканчиваются либо на 50, либо на 00.

Значит, натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.

Объединенный признак делимости на 10, 100, 1000, …

Если в конце натурального числа стоят столько же нулей сколько в разрядной единице, то это число делится на эту разрядную единицу.

Примеры:

25600 делится на 100, т.к. числа оканчиваются на одинаковое количество нулей.

8975000 делится на 1000, т.к. оба числа оканчиваются на 000.





IV. Признаки делимости натуральных чисел

на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37,

описанные в различных источниках.


Из дополнительной литературы мы нашли подтверждение правильности сформулированных нами признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Так же мы нашли несколько признаков делимости на 7:


1. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.

Примеры:

478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.

479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.

2. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.

Примеры:

4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.

57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.

3. Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.

Примеры:

252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.

636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.

4. Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.

Примеры:

455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.

244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.

5. Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.

Примеры:

882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.

996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.

6. Четырехзначное натуральное число вида bаа , где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7.

Примеры:

2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.

1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.

7. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Примеры:

483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.

564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.

8. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.

Примеры:

10׃7=1 (ост 3)

100׃7=14 (ост 2)

1000׃7=142 (ост 6)

10000׃7=1428 (ост 4)

100000׃7=14285 (ост 5)

1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.

Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7).

Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000 на 7; 4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3-ост. от деления 10 на 7).

Признаки делимости на 11.

1. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.

Пример:

2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.

1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.

2. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.

Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.

3I. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.

Примеры:

594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.

473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.

861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.

Признак делимости на 12

Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.

Примеры:

636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.

587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.

27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.


Признаки делимости на 13

1. Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.

Примеры:

Число 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65, 65 делится на 13.

Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72, 72 не делится на 13.

2. Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры , делится на 13.

Примеры:

988 делится на 13, т.к. 98 - 9·8 = 26, 26 делится на 13.

853 не делится на 13, т.к. 85 - 3·9 = 58, 58 не делится на 13.

Признак делимости на 14

Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.

Примеры:

Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.

Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14.

Число 35882 делится на 2 и на 7, значит, оно делится на 14.

Признак делимости на 19

Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

Примеры:

1534 десятков-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.

1824 182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.


Признаки делимости на 37

1. Натуральное число делится на 37, если сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи делится соответственно на 37.

Пример: Определим, делится ли число 100048 на 37.

100/048 100+48=148, 148 делится на 37, значит, и число делится на 37.

2. Трехзначное натуральное число, написанное одинаковыми цифрами делится на 37.

Пример:

Числа 111, 222, 333, 444, 555, …делятся на 37.



Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

  • 1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми) – это признаки делимости на 2, на 5,на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50;

  • 2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это признаки делимости на3, на 9, на 7(1 признак), на 11, на 37;

  • 3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа – это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19;

  • 4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости - это признаки делимости на 6, на12, на 14, на 15.


V. Применение признаков делимости натуральных чисел

при решении задач


Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, а также при решении текстовых задач на применении НОД и НОК.

Задача 1: (Использование общих делителей и НОД)

Ученики 5 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников.

Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников


Задача 2. Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?

Решение:

Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел. НОД (60, 175, 225) = 15. Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина, 175 : 15 = 11 – орехов и 225 : 15 = 15 – конфет.

Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.


Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, 1/2 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий.

Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.


Задача 4.

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное кол-во детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Ответ: В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.

Задача 5.

Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?

Решение: НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков), тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов); 240: 40 = 6 (конфет); 200:40 = 5 (яблок).

Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.

Задача 6.

Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?

Решение: НОК(48, 72) = 144 (мин). 144 мин = 2 ч 24 мин.

Ответ: Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.


Задача 7. Дана таблица:

Имеет больше 6

делителей

Сумма цифр

кратна 4




Произведение цифр делится на их сумму




Цифра десятков кратна цифре единиц




В пустые клетки впишите следующие числа: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.


Задача 8.

Напишите какое – нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел, наименьшее из них.

Ответ: Наибольшее – 987652413, наименьшее – 102347586.

Задача 9.

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: Может оканчиваться только на цифру 7. Таких чисел 4: 167, 257, 347, 527.


VI. Заключение.


Выводы:

В процессе работы мы познакомились с историей развития признаков делимости.

Сами правильно сформулировали признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, чему нашли подтверждение из дополнительной литературы.

Работая с разными источниками, мы убедились в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Из дополнительной литературы нашли задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел.

Знание и использование вышеперечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых признаков сложноваты. Может, поэтому они не изучаются в школе.

Собранный нами материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы. Также рекомендуем ознакомиться с нашей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

В дальнейшем можно рассматривать такие вопросы:

- существуют ли еще признаки делимости, для исследования которых у нас не хватает пока знаний?





VII.Список использованной литературы (источников):



  1. Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – С. 352.

  2. Воробьёв Н. Н. Признаки делимости. – 3-е изд. – М.: Наука, 1980, 96 с. – (Популярные лекции по математике.)

  3. Гельфанд М. Б., Павлович В. С. Внеклассная работа по математике. М., - «Просвещение», 1985.

  4. Депман И. Я. История арифметики. М., - «Просвещение», 1965 г.

  5. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – М.: «Государственное издательство физико-математической литературы», 1958.

  6. Лепёхин Ю. В. Олимпиадные задания по математике. 5 – 6 классы – Волгоград: Учитель, 2011. – 236 с.

  7. Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости ».// Математика, 1999.-№5.-С.9.

  8. Признаки делимости. Материал из Википедии – свободной энциклопедии. – http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%E8%E7%ED%E0%EA%E8_%E4%E5%EB%E8%EC%EE%F1%F2%E8

  9. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А. П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова: Под общей ред. О.Г. Хонн. – М.: ООО «Фирма «Издательство АСТ», 1999. -480с.










1


Название документа Таблица Признаки делимости натуральных чисел.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Таблица. Признаки делимости натуральных чисел

Число делится на 2 тогда и только тогда,


когда оно оканчивается чётной цифрой.

Число 2367498 делится на 2, так как оно оканчивается цифрой 8.

Число делится на 3 тогда и только тогда,


когда сумма цифр числа делится на 3

Число 1 236 981 делится на 3, так как 1+2+3+6+9+8+1=30 делится на 3.

Число делится на 4 тогда и только тогда,


когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

Число 14676 делится на 4, так как его последние цифры 7 и 6, а число 76 делится на 4.

Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда,


когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.

Число 92 делится на 4, так как 2 ∙ 9 + 2 = 20 делится на 4.

Число делится на 5 тогда и только тогда,


когда оно оканчивается цифрой 5 или 0.

Числа 12325 и 8190 делятся на 5, так как первое оканчивается цифрой 5, а второе цифрой 0.

Число делится на 6 тогда и только тогда,

когда оно оканчивается чётной цифрой и сумма цифр делится на 3.

Число 2539782 делится на 6, так как оно чётное и 2+5+3+9+7+8+2 = 36 делится на 3.

когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Число 1254 делится на 6, так как 1254+4=504, 504+4=204, 204+4=84 делится на 6.

Число делится на 7 тогда и только тогда,

Когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот), делится соответственно на 7.

Число 253253 делится на 7, так как разность 253 - 253 = 0, а 0 делится на любое число (не равное нулю).

когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.

Число 138689257 делится на 7, так как |138 – 689 + 257| = 294 делится на 7.

когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7.

Число 154 делится на 7, так как 15∙3 + 4 = 49 делится на 7

Когда модуль разности числа десятков и удвоенного числа единиц делится на 7




Число 469 делится на 7, так как 46-92=28 делится на 7

Признаки делимости

Примеры

Индивидуальные признаки делимости на 7

Умножьте первую слева цифру испытуе­мого числа на 3 и прибавьте следующую цифру; резуль­тат умножьте на 3 и прибавьте следующую цифру и т. д. до последней цифры. После каждого действия разрешается из результата вычитать число, кратное семи. Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда окончательный результат делится на 7.

Определим делимость числа 48916 на 7.

43+8=206, 63+9=276, 63+1=195, 53+6=21 делится на 7, значит, 48916 делится на 7.

Умножьте первую справа цифру испытуе­мого числа на 5 и прибавьте следующую цифру; резуль­тат умножьте на 5 и прибавьте следующую цифру и т. д. до последней цифры. после каждого действия разрешается из результата вычитать число, кратное семи. Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда окончательный результат делится на 7.

Определим делимость числа 37184 на 7.

45+8=280, 05+1=1, 15+7=125, 55+3=28 делится на 7, значит 37184 делится на 7.

Удвойте последнюю цифру и вычтите предыдущую, удвоите результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение, уменьшая каждый резуль­тат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда окончательный результат делится на 7.


Определим делимость числа 12138 на 7.

82-3=136, 62+1=136, 62–2=103, 32+1=7

делится на 7, значит, 12138 делится на 7.

Число делится на 8 тогда и только тогда,

когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Число 253328 делится на 8, так как 328 делится на 8.

Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда,

когда двузначное число, образованное цифрами сотен и десятков, сложенное с половиной числа единиц, делится на 4.

Число 592 делится на 8, так как 59 + 1 = 60 делится на 4.

когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.

Число 952 делится на 8, так как 9∙4 + 5∙2 + 2 = 48 делится на 8

Число делится на 9 тогда и только тогда,

когда сумма цифр числа делится на 9

Число 12927 делится на 9, так как 1+2+9+8+7=27 делится на 9.

Число делится на 10 тогда и только тогда,


когда оно оканчивается цифрой 0.

Число 7168900 делится на 10, так как оно оканчивается цифрой 0.

Признаки делимости

Примеры

Число делится на 11 тогда и только тогда,

когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами, делится соответственно на 11

Число 253264 делится на 11, так как 264 - 253 = 11 делится на 11.

когда разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах и суммой цифр, стоящих на нечётных местах делится на 11.

Число 9163627 делится на 11, так как (9 + 6 + 6 + 7) - (1 + 3 + 2) = 22, делится на 11.

когда сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц) делится на 11.

Число 103785 делится на 11, так как 10+37+85=132 и 01+32=33 делятся на 11.

когда разность между числом десятков данного числа и числом его единиц делится на 11.

Число 27874 делится на 11, так как 2787-4=2783, 278–3=275, 27-5=22, 22 делится на 11.

Число делится на 13 тогда и только тогда,


когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот), делится на 13.

Число 279253 делится на 13, так как разность 279 - 253 = 26 делится н 13

когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Число 845 делится 13, так как 84 + 5∙4 = 104 и 10 + 4∙4 = 26 делятся на 13

когда разность числа десятков и девятикратного числа единиц делится на 13.

Число 845 делится 13, так как 84 – 9∙5 = 39 делятся на 13

Число делится на 17 тогда и только тогда,

когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Число 221 делится на 17, так как |22 – 5∙1|= 17 делится на 17.

когда модуль суммы числа десятков и двенадцатикратного числа единиц делится на 17.

Число 221 делится на 17, так как |22 + 12∙1| = 34 делится на 17.

Число делится на 18 тогда и только тогда,

когда оно оканчивается чётной цифрой и сумма цифр делится на 9.

Число 35964 делится на 18, так как 3+5+9+6+4=27 делится на 9.

Число делится на 19 тогда и только тогда,

когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Число 646 делится на 19, так как на 19 делятся и 64 + 26 = 76 и 7 + 26 = 19.

Число делится на 20 тогда и только тогда,

когда последняя цифра числа 0, а предпоследняя – чётная.

Число 19580 делится на 20, так как на оканчивается на 0, а предпоследняя цифра 8 четная.

когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Число 236860 делится на 20, так как 60 делится на 20.

Число делится на 23 тогда и только тогда,

когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Число 28842 делится на 23, так как 288 + 342 = 414 и 4 + 3 14 = 46 делятся на 23.





Признаки делимости

Примеры

Число делится на 25 тогда и только тогда,

когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 25.

Число 78975 делится на 25, так как 75 делится на 25.

Число делится на 27 тогда и только тогда,

когда сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц), делится на 27.

Число 358182 делится на 27, так как 358+182=540 делится на 27.

Число делится на 29 тогда и только тогда,

когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

Число 261 делится на 29, так как 26 + 31 = 29 делится на 29.

Число делится на 30 тогда и только тогда,

когда оно оканчивается цифрой 0 и сумма цифр делится на 3.

Число 145440 делится на 30, так как оканчивается цифрой 0 и 1+4+5+4+4+0=18 делится на 3

Число делится на 31 тогда и только тогда,

когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.

Число 1209 делится на 31, так как |120 – 39| =93 делится на 31.

Число делится на 37 тогда и только тогда,

когда сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц), делится на 37.

Число 259111 делится на 37, так как сумма 259+111=370 делится на 37.

когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Число 481 делится на 37, так как |34 + 48 – 17| = 37 делится на 37.

когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11.

Число 481 делится на 37, так как на 37 делится |4 – 118 + 101| = 74.

Число делится на 41 тогда и только тогда,

когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Число 1189 делится на 41, так как |118 – 49| = 82 делится на 41.

Число делится на 50 тогда и только тогда,

когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 50.

Число 743050 делится на 50, так как 50 делится на 50.

Число делится на 59 тогда и только тогда,

когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.

Число 767 делится на 59, так как 76 + 67 = 118,

11 + 68 = 59 делятся на 59.

Число делится на 79 тогда и только тогда,

когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.

Число 711 делится на 79, так как 71 + 81 = 79 делятся на 79.

Число делится на 99 тогда и только тогда,

когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Число 12573 делится на 99, так как 1 + 25 + 73 = 99 делится на 99.

Число делится на 101 тогда и только тогда,

когда модуль суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётные со знаком «-», делится на 101.

Число 590547 делится на 101, так как |59 – 5 + 47| = 101 делится на 101.





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 04.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров396
Номер материала ДБ-150840
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх