Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проектная работа учащегося по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Проектная работа учащегося по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Мhello_html_4bbfc813.jpgуниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Новосибирска

«Средняя общеобразовательная школа № 156

с углубленным изучением предметов художественно-эстетического цикла»

МБОУ СОШ № 156, г. Новосибирск, ул. Гоголя, 35-а









Пhello_html_m7a4fb710.gifроектная работа



hello_html_m1b3318f8.jpg



Выполнил:

Мисюковец Алексей,

9 «А» класс


Руководитель:

Федорченко Марина Васильевна




Новосибирск

2015


Содержание







1.Введение……………………………………………………….…….3

2. История возникновения прогрессии………….…………………...4

2.1 Древнейшие задачи на прогрессии………….….………………..6

3.Геометрическая прогрессия…………………………………….….10

3.1 Формула n-го члена геометрической прогрессии………….…...10

3.2 Характеристическое свойство геометрической прогрессии…...10

3.3 Таблица данных геометрической прогрессии….………….……11

3.4 Примеры применения формул…………………………………...11

4. Арифметическая прогрессия………………………………….…...13

4.1 Характеристическое свойство арифметической прогрессии…..13

4.2 Сумма n членов арифметической прогрессии………………...14

4.3 Таблица данных арифметической прогрессии.…………...…….14

4.4 Примеры применения формул….………………………………..15

5. Практическое применение………………………………………...16

6. Вывод………………………………………………………………..24

7. Продукт проекта (разработан буклет, памятка)..………………...25



























Введение

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:

  • Создать справочник, содержащий формулы для вычисления арифметической и геометрической прогрессий.

.


ЗАДАЧИ:

- достичь достаточно глубоко усвоения учащимися темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»;

- показать учащимся прикладную направленность этого материала;

- уяснить, как формировалось представление о прогрессии на протяжении веков;

 - создать условия, при которых учащиеся пользуются приобретёнными знаниями при решении практических задач;

- разобрать понятие прогрессии;

-активизировать интерес к предмету алгебра через поиск и решение как стандартных, так и занимательных задач;

-формировать умения видеть связь математики с жизнью;

-установить причину возникновения прогрессии;

-выяснить, какие виды прогрессий существуют.


ПРОБЛЕМНЫЕ ВОПРОСЫ :

  1. Откуда вошло в нашу жизнь слово «прогрессия».

  2. Арифметическая и геометрическая прогрессии – что это?

3.Имеют ли прогрессии практическое применение в повседневной жизни












История возникновения прогрессии


Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции.

Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно, что греческие математики учились у египтян.

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное. Закончился двадцатый век.

В клинописных табличках вавилонян, в египетских пирамидах(II в. до н. э) встречаются примеры арифметических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры.»

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта(v в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии. Но правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г.(Леонардо Пизанский)

Математический папирус Ахмеса — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное ок. 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см.

Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть — в Нью-Йорке.

Кhello_html_30ad5604.pngуда стремится человек?

Изучены космос и море,

Строенье звезд и вся Земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг:

Прогрессио – движение вперед”.



Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта(v в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии....





Древнейшие задачи на прогрессии


Древнейшая задача на прогрессию – не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце 19 века, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, ещё более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических, геометрических задач этого документа имеется такая:

«Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго и пятый больше четвёртого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трёх остальных. Сколько нужно дать каждому?»

hello_html_m3c84bdda.png

РЕШЕНИЕ.

Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый член х, разность у. Тогда:

Доля первого………………………………х

Доля второго………………………………х+у

Доля третьего……………………………..х+2у

Доля четвёртого………………………….х+3у

Доля пятого…………………………………х+4у


На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

х+(х+у)+(х+2у)=(х+3у)+(х+4у)=100

7(х+(х+у))=(х+2у)=(х+3у)+(х+4у).

После упрощений получаем: х+2у=20

11х=2у

Решив эту систему, получаем: Х=1 2/3, У=9 1/6

Значит, хлеб должен быть разделён на следующие части:

1 2/3, 10 5/6, 20, 29 1/6, 38 1/3.


Алгебра на клетчатой бумаге

Несмотря на пятидесятивековую древность этой задачи на прогрессии, в нашем школьном обиходе прогрессии появились сравнительно недавно. В учебнике Магницкого, изданном двести лет назад и служившем целых полвека основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины между собой, в нём не дано. Сам составитель учебника не без затруднений справлялся поэтому с такими задачами. Между тем формулу суммы членов арифметической прогрессии легко вывести простым и наглядным приёмом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой. Например, Фигура АВСD на рисунке изображает прогрессию: 2; 5; 8; 11; 14.

Чhello_html_7b7f24a8.pngтобы определить сумму её членов, дополним чертёж до прямоугольника АВGE. Получим две равные фигуры ABCD и ABGE.



Площадь каждой из них изображает сумму членов нашей прогрессии.



Значит, двойная сумма прогрессии равна площади прямоугольника ABGE, т.е. (АС +CE) x AB.

Но АС +CE изображает сумму 1-го и 5-го членов прогрессии. Поэтому двойная сумма

2S = (сумма крайних членов)х(число членов) ИЛИ

S= (первый +последний член)х(число членов).


Дюрер составил первый в Европе так называемый магический квадрат…

При g = 1 геометрическая прогрессия одновременно является и арифметической. Если g больше 1, то члены геометрической прогрессии быстро растут. В результате при сравнительно небольших номерах получаются числа-гиганты. С древнейших времён известны задачи и легенды, связанные с неправдоподобной на первый взгляд скоростью роста членов геометрической прогрессии. Одна из наиболее известных легенд – легенда об изобретателе шахмат. Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя. Тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую – два, за третью ещё в два раза больше, т.е. 4 и т.д. Эта задача привлекла внимание Л.Н. Толстого. Приведём часть его расчёта (шахматная доска здесь названа шашечницей): «Клеток в шашечнице восемь с одной стороны и восемь с другой; 8 рядов по 8=64.

На 1-ую 1, на 33-ю 4294967296

Нhello_html_157ec920.pngа 2-ю 2, на 34-ю 8589934592

На 3-ю 4, на 35-ю 17179869184

На 4-ю 8, на 36-ю 34359738368

На 62-ю 2305843009213693952

На 63-ю 4611686018427387904,

На 64-ю 9223372036854775808.

Если 40000 зерён в одном пуде, то на одной последней клетке вышло 2305843000921369 пудов. Число зёрен, о которых идёт речь, является суммой 64 членов геометрической прогрессии, первый член которой равен единице, а знаменатель равен 2.

Масса такого числа пшеничных зёрен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени. Можно вычислить, что если бы такое число зёрен рассыпать равномерно по всей земной суше, то образуется слой пшеницы около 9 мм.


Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времён. Греческих математиков интересовала связь с так называемыми многоугольными числами, вычислением площадей, объёмов, красивыми числовыми соотношениями типа:

1=12 1=13

1+3=22 3+5= 23

1+3+5=32 7+9+11 = 33

1+3+5+7=42 13+15+17+19=43

Бhello_html_m56b91a48.pngольшой популярностью даже в наши дни пользуются магические квадраты. Это квадраты, в каждую клетку которых вписаны числа так, что суммы чисел вдоль любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали равны. Такой магический квадрат изображён на гравюре немецкого художника А.Дюрера «Меланхолия».








Геометрическая прогрессия

hello_html_6da2d5b3.png

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел

(членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число hello_html_3444538a.png(знаменатель прогрессии), где hello_html_m231aa1c8.png, hello_html_m2f55115c.png: hello_html_19718.png


Геометрическая последовательность является возрастающей, если b1 > 0, q > 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81,....

Геометрическая последовательность является убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1

Например, 3, 3/2,3/4,3/8,3/16, …


Формула n-го члена геометрической прогрессии



bn=b1•qn-1


Характеристическое свойство геометрической прогрессии



Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.


bn2=bn-1•bn+1



Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна


hello_html_49be870e.png



Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

hello_html_m3ca04b3c.png


Основные определения и данные для геометрической прогрессии, сведенные в одну таблицу:



Определение геометрической прогрессии

bn+1 =b· q, где bn ≠ 0, q ≠ 0

Знаменатель  геометрической прогрессии

hello_html_m3e909cc2.png

Формула n-го члена   геометрической  прогрессии

bn = b· q n-1

Сумма n первых членов   геометрической  прогрессии

hello_html_49be870e.pnghello_html_m3ca04b3c.png

Характеристическое свойство  геометрической  прогрессии

bn2 = bn-1 · b n+1





Примеры

Пример 1.

Дана геометрическая прогрессия b1, b2, b3, ..., bn, ... .

Известно, что b1 = 2/3,  q = - 3. Найти b6

Решение.

В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.

Подставив в эту формулу n = 6 получим:

b6 = b1 · q5 = 2/3 · (-3)5 = -162

Ответ -162.



Пример 2.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3 , …

Решение.

b1= 12, b2= 4,

q = 4/12 = 1/3

S = 12 / (1 - 1/3) =  12 / (2/3) = 12 · 3 / 2  = 18

Ответ 18.

Пример 3.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.

Найти b1, если q = 1/3

Решение.

hello_html_m3ca04b3c.pnghello_html_81c8f93.jpg

150 = b1 / (1- 1/3)

b1 = 150· 2/3

b1= 100

Ответ 100.















Арифметическая прогрессия



Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией.

an+1 = an + d , n є N

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

d =  an+1 - an



Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и то же число, то это арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом.

Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.

Арифметическая прогрессия является:

возрастающей последовательностью, если d > 0, например, 1, 3, 5, 7, 9,11,...

убывающей, если d < 0, например, 20,17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... .

Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

Последовательность hello_html_295532a3.png есть арифметическая прогрессия hello_html_m24dff51a.png для ее элементов выполняется условие hello_html_8ac117d.png.



Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.





Арифметическая прогрессия может быть задана следующими способами:

а) рекуррентной формулой:  hello_html_4e6e4b92.png

б) формулой n-го члена:  an = a1+ d · (n - 1)

в) формулой вида,  an = k·n + b ,  где k и b – числа,  n – номер



Сумма n членов арифметической прогрессии:

hello_html_m4610fb49.png , где hello_html_14a7d49b.png — первый член прогрессии, hello_html_m5eee4f3c.png — член с номером

 hello_html_m3fadc5aa.png, hello_html_m3fadc5aa.png — количество суммируемых членов.

hello_html_63285003.png , где hello_html_14a7d49b.png — первый член прогрессии, hello_html_m701b78fa.png — разность прогрессии, hello_html_m3fadc5aa.png — количество суммируемых членов.



Основные определения и данные для арифметической прогрессии, сведенные в одну таблицу:



Определение арифметической прогрессии

an+1 = an + d

Разность арифметической прогрессии

d =  an+1 - an

Формула n-го члена  арифметической прогрессии

a= a1+ d · (n - 1)

Сумма n первых членов  арифметической прогрессии

hello_html_3e480d06.png hello_html_m270241ab.png

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

hello_html_4e6e4b92.png







Примеры

Пример 1.

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

hello_html_6b6ee4a8.png

Решение.

Кладку бревен рассмотрим в виде арифметической прогрессии, где а1= 1, а2= 2, аn= 12

d = 2 – 1 = 1

an = a1+ d · (n - 1)

12 = 1 + n – 1

n = 12

hello_html_11648040.png

hello_html_2066d828.png

Ответ: 78 бревен.





Пример 2.

Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если: а1 = -5, d = 0,5

Решение.

hello_html_m270241ab.png

hello_html_347ac4de.png

Ответ: -27

Практическое применение

  1. «Задачи на движение»

Исследуем результат решения задачи . «Турист, двигаясь по сильно пересечённой местности, за первый час пути прошёл 800 метров, а за каждый следующий час проходил на 25 метров меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь, равный 5700м.?»

Обозначив буквой n время движения туриста, мы получили для n две возможности: n1= 8, n2=57. По смыслу задачи из двух найденных значений надо выбрать первое: n=8. Почему не подходит второе значение? И, вообще, каков содержательный смысл второго значения, откуда оно взялось? Исследуем этот факт.

Дело в том, что математической моделью ситуации является арифметическая прогрессия 800,775,750,725… . Сумма первых членов этой прогрессии равна 5700 дважды, причём первый раз это происходит при n=8:

88+775+750+725+700+675+650+625=5700.

На 41-ом месте в данной прогрессии находится число 0, к этому моменту число Sn достигает максимума:

S41= 12300

Начиная с 42-го места члены прогрессии становятся отрицательными числами, сумма n членов прогрессии становится всё меньше и меньше и ,наконец, получается, что S57=5700. Вот теперь становится предельно ясно, почему по смыслу данной задачи взять нужно лишь значение n=8.

2. «Прогрессии и решение уравнений».

Знания, полученные при изучении прогрессий, можно применять для решения уравнений, соответствующих теме.

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ:

2+х+1)+(х2+2х+3)+(х2+3х+5)+…+(х2+20х+39)=4500


РЕШЕНИЕ.

Слагаемые, стоящие в левой части уравнения, образуют арифметическую прогрессию. В прогрессии 20 членов (это число нечётных членов последовательности).

а12+х+1, а22+2х+3, а32+3х+5

а212+2х+3-х2-х-1=х+2

а312+3х+5-(х2+2х+3)=х2+3х+5-х2-2х-3=х+2d=x+2

S20=a1+a20 20

2

а20=х2+20х+39

S20=x2+x+1+x2+20x+39 20

2

10(2x2+21+40)=4500

2x2+21x+40=450

2x2+21x-410=0

D=441+3280=3721, D>0

X1= -21+61=10

4

X2=-21-61=-20,5

4

ОТВЕТ: х=10; х=-20,5.


3. «Жемчужины задач»

ЖЕМЧУЖИНА ПЕРВАЯ.

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя. Тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую – два, за третью ещё в два раза больше, т.е. 4 и т.д. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?

ЖЕМЧУЖИНА ВТОРАЯ.

«Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго и пятый больше четвёртого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трёх остальных. Сколько нужно дать каждому

ЖЕМЧУЖИНА ТРЕТЬЯ.

В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 метров и шириной 2,5 метра. Поливая грядки, огородник приносит вёдра с водой из колодца, расположенного в 14 метрах от края огорода, и обходит грядки по меже, причём воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.

ЖЕМЧУЖИНА ЧЕТВЁРТАЯ

Старшеклассники обязались вырыть на школьном участке канаву и организовали для этого бригаду землекопов. Если бы бригада работала в полном составе, канава была бы вырыта в 24 часа. НО в действительности к работе приступил сначала только один член бригады. Спустя некоторое время присоединился второй; ещё через столько же времени – третий, за ним через такой же промежуток четвёртый и так до последнего. При расчёте оказалось, что первый работал в 11 раз дольше последнего. Сколько времени работал последний?

ЖЕМЧУЖИНА ПЯТАЯ.

В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу: Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу, говоря: — Нет мне резона покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: - Если по – твоему цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 1/ 4 копейки, за второй- 1/ 2 копейки, за третий- 1 копейку и т. д. Покупатель, соблазнённый низкой ценой, и желая получить лошадь даром, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить

не более 10 рублей. Насколько покупатель проторговался?

hello_html_342e7885.png



РЕШЕНИЕ.

За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить

1+ 1 +1 +2 +22 +23 +…+ 224-3

4 2

Копеек. Сумма эта равна 4194303 ¾ коп.

Т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь впридачу.

ЖЕМЧУЖИНА ШЕСТАЯ

Из другого старинного русского учебника математики, носящего пространное заглавие: « Полный курс чистой математики, сочинённый Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике»(1795), заимствую следующую задачу: «Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую-2 копейки, за третью – 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.»

hello_html_5e1ec2b6.png

РЕШЕНИЕ.

Составляем уравнение

65535=1+2+22+23+…+2х-1

Или

65536=2х и х=16

При столь «великодушной» системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.


4. «Банковские расчеты».

Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а рублей под р % годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладам, т.е. полученную прибыль в размере p x a руб.,

100

Либо прийти в банк один раз – в конце срока хранения вклада. Какой доход вы получите в том и другом случаях?

В первом случае при t=1 вы получите ( a + p x a ) руб.,

100

При t =2 ваша итоговая сумма составит (a + 2p x a)руб.,

100

При t =3 ваша итоговая сумма составит (a + 3p x a)руб., и т.д.

100

Математическая модель ситуации – арифметическая прогрессия.

Итак, через t лет вы получите a(1+ tp ) руб,- это так называемая

100

формула простых процентов.

Если вы решили прийти в банк только в конце хранения вклада, то при t=1 получаемая сумма составит, как и в первом случае ( a + p x a ) руб., , т.е.

100

a(1 + p )

100 руб.; сумма вклада увеличивается на (1 + p )

100 величину ежегодно.

Математическая модель ситуации – геометрическая прогрессия.

Итак, при второй стратегии поведения за t лет вы получите a(1 + p)

100 руб. – это так называемая формула сложных процентов.

Рассмотри конкретный пример. Пусть вклад составит 10000 руб. Банк даёт 10% годовых, срок хранения вклада – 5 лет. Если вы выбрали стратегию простых процентов, то к концу хранения вы получите в итоге сумму, равную 10000 (1 + 10х 5) т.е. 15000 руб.

100

Если же вы выбрали стратегию сложных процентов, то к концу хранения вы получите сумму, равную 10000(1 + 10 )5 т.е. 16501,1 руб.

100



5. Задание №6 ОГЭ 2015

В данной задаче на арифметическую прогрессию, мы вначале находим разность d, где из последующего члена отнимаем предыдущий, получим 4. Далее найдем a11 по любой из 3 формул, ответом будет 46.

hello_html_m577db965.png


Данная задача на арифметическую прогрессию требует найти сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии. Для этого как обычно находим разность d, затем 50-ый член прогрессии. В конце решения подставляем готовые числа в формулу суммы и находим ответ 2100.


hello_html_761b3fd9.png




Простое задание на арифметическую прогрессию, находим разность, а затем нужный член.


hello_html_2bfe8c74.png




В этом задании мы поочередно подставляем натуральные числа: 1,2,3 и т.д. в формулу вместо буквы n. Считаем результаты и находим, что число 7/2 является членом последовательности.


hello_html_m6eb63278.png


В начале решения задачи на арифметическую прогрессию, выражение с формулой преобразуем в неравенство большое единицы. Решая неравенство, находим, что n<5,5 и значит n=5, поскольку в условии n - это натуральные числа.


hello_html_m14e5a212.png


Еще одна интересная задачка на арифметическую прогрессию, когда известны 2 члена, причем не порядковых. В начале мы, как всегда, находим разность d, выражая больший член через меньший, решаем уравнение и получаем d=5. Затем, используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, находим S4, предварительно найдя a4 равное 23. Подставим числа в формулу, получим в ответе 62.


hello_html_65d4d288.png


Вывод

Мы выяснили, что прогрессий существует 2 вида. Так же выяснили, что изучением прогрессий занимались в древности. В результате работы разработан справочник, содержащий формулы для вычисления арифметической и геометрической прогрессий и планируется практическое занятие с применением данных формул, решением задач на факультативном занятии 9 «А» класса.

Прогрессии применяются при решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу пользуются знаниями арифметической и геометрической прогрессии. Задания по этой теме часто встречаются в ОГЭ и ЕГЭ. Это значит, что прогрессии играют значимую роль в нашей жизни. Геометрическая и арифметическая прогрессии играют большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях.

Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он часто применяется в теории рядов, рассматриваемой на II-III курсах университета. Поэтому крайне важно дать полное описание этого курса, дабы читатель мог повторить уже известный ему из школьного курса материал, или даже почерпнуть много нового и интересного.



























Продукт, представляющий проектную работу


Задание №6 ОГЭ 2015

В данной задаче на арифметическую прогрессию, мы вначале находим разность d, где из последующего члена отнимаем предыдущий, получим 4. Далее найдем a11 по любой из 3 формул, ответом будет 46.


hello_html_m577db965.png

















hello_html_761b3fd9.png




Данная задача на арифметическую прогрессию требует найти сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии. Для этого как обычно находим разность d, затем 50-ый член прогрессии. В конце решения подставляем готовые числа в формулу суммы и находим ответ 2100.










Проектная работа


«Арифметическая и

геометрическая прогрессии»


hello_html_81c8f93.jpg





















Вhello_html_4bbfc813.jpgыполнил:

Мисюковец Алексей Анатольевич,

9 «А» класс

Руководитель:

Федорченко Марина Васильевна


Куда стремится человек?

Изучены космос и море,

Строенье звезд и вся Земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг:

Прогрессио – движение вперед”.

Из Папируса Ахмеса (1858г.)

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел



(hello_html_6da2d5b3.pngчленов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением

его на определённое число hello_html_3444538a.png(знаменатель прогрессии), где

hello_html_m231aa1c8.pnghello_html_m2f55115c.pnghello_html_19718.png

Определение геометрической прогрессии

bn+1 =b· q, где bn ≠ 0, q ≠ 0

Знаменатель  геометрической прогрессии

hello_html_m3e909cc2.png

Формула n-го члена   геометрической  прогрессии

bn = b· q n-1

Сумма n первых членов   геометрической  прогрессии

hello_html_49be870e.pnghello_html_m3ca04b3c.png

Характеристическое свойство  геометрической  прогрессии

bn2 = bn-1 · b n+1


Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией. an+1 = an + d , n є N

Число d называют разностью арифметической прогрессии. d =  an+1 - an


Основные определения и данные для арифметической прогрессии, сведенные в одну таблицу:

Определение арифметической прогрессии

an+1 = an + d

Разность арифметической прогрессии

d =  an+1 - an

Формула n-го члена  арифметической прогрессии

a= a1+ d · (n - 1)

Сумма n первых членов  арифметической прогрессии

hello_html_3e480d06.png hello_html_m270241ab.png

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

hello_html_4e6e4b92.png




Применение:


Решить уравнение:

2+х+1)+(х2+2х+3)+(х2+3х+5)+…+(х2+20х+39)=4500















24



Краткое описание документа:

Проектная работа по математике выполнена учеником 9 класса. Содержит материал из истории возникновения прогрессии, решение древнейших задач на прогрессии, основные формулы, характеристики, таблицы данных арифметической и геометрической прогрессий. В работе учащимся рассмотрены области ее применения, разбор заданий из ОГЭ-2015г. Представлен продукт, содержащий основную информацию. Проект был представлен учащимся для усвоения данного материала в курсе "Алгебра" 9 класса.

Автор
Дата добавления 29.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров863
Номер материала ДВ-392625
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх