Проектная работа "Задачи на переливание" по математике

Проектная работа

                                                          «Задачи на переливание»

                                                                                                                 Работу выполнили

                                                                                                                   учащиеся 6 б класса

                                                                                                                  Васильев Валерий,

                                                                                                                     Хаертдинов Марсель

                                                                                                         Руководитель

                                                                                                           Кочкурова Л.Б.,

                                                                                                                    учитель математики

Содержание

1.Введение…………………………………………………………………………………………          3

2. Немного истории……………………………………………………………………………....           4

3. Типы задач на переливание, алгоритм их решения……………………………………            5

 4. Примеры задач на переливание, где участвуют два сосуда, воду наливают  из                 водопроводного крана (реки), лишнюю воду выливают………………………………                 6

5. Примеры задач, в которых три сосуда и воду выливать нельзя………………………          8

6. Литература……………………………………………………………………………………            10

Цель проекта – реализация проектного замысла: изучить виды логических задач на переливание, алгоритмы их решения, учиться применять их на практике.

Результат – заранее продуманный проектный продукт: решение практических задач.                                                         

Актуальность и выбор темы  связаны следующим фактором: мы активные участники дистанционных олимпиад по математике и заметили, что  часто встречаются  подобные задачи.

Введение

          Практически ни один классический сборник, связанный с играми и развлечениями, не обходится без раздела «Дележи», причём заметное место в нём занимают задачи о переливании жидкостей из сосуда  в сосуд. Задачи на переливание – это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач. Более систематический подход к решению задач "на переливание" заключается в использовании отдельных таблиц, в которые заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов. Задачи на переливание относят к логическим задачам, решение которых не только очень увлекательный, но и  полезный способ времяпрепровождения, как для школьников, так и для взрослых.

Немного истории

Непросто определить, в каком старинном трактате впервые появились задачи на переливание жидкостей. Пожалуй, самая известная из них опубликована более семи веков назад. Познакомимся с ней. В одном средневековом сочинении, восходящим к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача: «Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже послал за вином. «Сколько у тебя вина?» — спрашивает второй слуга. «8 мер», — отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», — заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж при помощи этих трёх сосудов? (т. е. у каждого из слуг должно получиться ровно по 4 меры вина)».

 Одной из самых известных задач подобного рода является задача Симеона Дени Пуассона (1781 – 1840), знаменитого французского математика и физика. Именно с решением одной из сложных задач о переливаниях, связывают раскрытие математических способностей выдающегося французского математика С. Д. Пуассона. Говорят, что эта задача сыграла решающую роль в выборе профессии. Однажды, знакомый принес юному Пуассону несколько задач на переливание, разного уровня сложности. Пуассон решил их менее чем за час, и определил выбор своей будущей профессии – математик.

Типы задач на переливание, алгоритм их решения

          Все задачи на переливание можно представить двумя типами:

ü  «Водолей» - задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых емкостей из бесконечного источника, из которого можно наливать жидкость, и в который ее можно выливать.

ü  «Переливашка» - задачи, в которых  необходимо разделить жидкость в большей емкости с помощью нескольких меньших по объему емкостей, жидкость можно только переливать из одной емкости в другую.

Первый тип задач  кажется полегче,  второй - сложнее.

       В задачах на переливание разрешены следующие операции:

ü  заполнение жидкостью одного сосуда до краев;

ü  переливание жидкости в другой сосуд или выливание жидкости;

          При решении таких задач необходимо учитывать следующие замечания:

ü  разрешается наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем помещается;

ü  разрешается переливать всю жидкость из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается;

ü  разрешается отливать из одного сосуда в другой столько жидкости, сколько необходимо, чтобы второй сосуд стал полным.

         Каждую задачу на переливание таким методом можно решать двумя способами:

а) начать переливания с большего сосуда;

б) начать переливания с меньшего сосуда.

          Какой из способов более рационален (т.е. каким способом мы быстрее получим нужное количество жидкости) зависит от условий задачи. Изначально это определить нельзя.

При решении задач первого типа («Водолей») можно использовать такой алгоритм:

1.   Наполнить большую емкость жидкостью из бесконечного источника.

2.   Перелить из большей емкости в меньшую емкость.

3.   Вылить жидкость из меньшей емкости.

4.   Повторить действия 1-3 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

         При решении задач второго типа («Переливашка») можно использовать следующий алгоритм: 

1.   Из большей емкости наполнить емкость промежуточного объема.

2.   Перелить жидкость из промежуточной емкости в самую маленькую емкость.

3.   Перелить жидкость из самой маленькой емкости в большую емкость.

4.   Повторять действия 2-3 до тех пор, пока емкость промежуточного объема не станет пустой.

5.   Если емкость промежуточного объема опустела, то  повторить действия 1-5 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

Примеры задач на переливание, где участвуют два сосуда, воду наливают  из водопроводного крана (реки), лишнюю воду выливают

1.  Как, имея два ведра: емкостью 5 и 9 литров, набрать из реки ровно 3 литра воды?

Решение:

1шаг - набираем 9л и переливаем в 5литровую, остается 4л 
2шаг - 5литровую выливаем и переливаем туда эти 4л 
3 шаг - теперь снова набираем 9л и доливаем из нее в 5литровую, тогда останется 8л 
4 шаг - 5литровую выливаем и отливаем 5л от 8л, останется 3л

Задача решена. В 9-литровом сосуде получили ровно 3л.

2. Как с помощью 2-литровой и 5-литровой банок отмерить ровно 1 литр? 

Решение:  Задача решена. В 5-литровом сосуде получили  ровно 1л.

3. Есть два кувшина емкостью 5 л и 9 л. Нужно набрать из источника 7 л воды, если можно пользоваться только кувшинами.

а)Решим задачу, наполнив первым действием 5-литровый кувшин. 



б)Решим задачу иначе. Наполним первым действием 9-литровый кувшин.

Задача решена. В 9-литровом кувшине получили  ровно 7л.

4. Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана? 

Решение :

Задача решена. В 5-литровом сосуде получили  ровно 1л.

5. Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

 Решение :

Задача решена. Во фляге получили  ровно 4л.

6. Имеются два сосуда вместимостью 3л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4 л воды?

 Решение :

3л	0	3	0	2	2	3
5л	5	2	2	0	5	4

    Задача решена. В 5-литровом сосуде останется ровно 4л.

7. Имеются два сосуда вместимостью 8л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 7л воды?

8л	0	5	5	8	0	2	2	7
5 л	5	0	5	2	2	0	5	0

 Решение :

     Задача решена. В 8-литровом сосуде получили ровно 7л.

8. Как, имея два ведра емкостью 4л и 9л, налить из водопроводного крана 6л воды?

9л	9	5	5	1	1	0	9	6
4л	0	4	0	4	0	1	1	4

 Решение :

     Задача решена. В 9-литровом ведре останется ровно 6л.

9. Как, имея лишь два сосуда вместимостью 5л и 7л, налить из водопроводного крана 6л воды?

7л	7	2	2	0	7	4	4	0	7	6
5л	0	5	0	2	2	5	0	4	6	5

     Решение :

Задача решена. В 7-литровом сосуде останется ровно 6л.

10. Имеются два сосуда вместимостью 17л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 13л воды?

 Решение :

17 л	0	5	5	10	10	15	15	17	0	3	3	8	8	13
5 л	5	0	5	0	5	0	5	3	3	0	5	0	5	0

Задача решена. В 17-литровом сосуде останется ровно 13л.

Примеры задач, в которых три сосуда и воду выливать нельзя

        Воду берут не из водопроводного крана. В таких задачах вода уже есть в каком-то сосуде, например, в самом большом. А маленькими ёмкостями мы будем переливать воду. Выливать воду нельзя. Если необходимо освободить сосуд, то лишнюю воду выливают в другой сосуд. Обычно больший сосуд – это хранилище, откуда берут воду и в него сливают лишнюю. Таблица может быть составлена на три сосуда, а можно обойтись и таблицей на два сосуда. 

1. Бидон ёмкостью 10 л наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л в семилитровый бидон, используя при этом ещё один бидон, вмещающий 3 л. Как это сделать? 

Запись решения отражает только два сосуда. В решении покажем только два бидона 5л и 3 л. Выливать молоко  будем обратно в 10-литровый бидон. 

1 действие. Из 10-литрового бидона нальем 3-литвовый бидон.

7 л	0	3	3	6	6	7	0	2	2	5
3 л	3	0	3	0	3	2	2	0	3	0

Запись решения отражает все три сосуда. В решении  покажем как изменялось количество молока во всех трех бидонах. Т.е.  добавляем еще строку выше для 10-литрового бидона, чтобы следить за количеством молока в нем. Это не сложно: надо следить за тем, чтобы общее количество молока все время было 10 литров. 

1 действие. Из 10-литрового бидона нальем 3-литвовый бидон.

10 л	7	7	4	4	1	1	8	8	5	5
7 л	0	3	3	6	6	7	0	2	2	5
3 л	3	0	3	0	3	2	2	0	3	0

Второй способ решения этой задачи. Можно начать с заполнения 7-литрового бидона.  Решение получилось короче на два переливания.

10 л	3	3	6	6	9	9	2	2
7 л	7	4	4	1	1	0	7	5
3 л	0	3	0	3	0	1	1	3

2. Двое должны разделить поровну 8 вёдер кваса, находящегося в большом бочонке. Но у них есть ещё только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 вёдер, а в другой – 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

Решение: 

Разделить квас пополам, т.е. надо получить 4 ведра. Начнем с заполнения 3-ведерного бочонка. Из 8-ведерного будем наполнять бочонки и сливать туда квас, когда нам надо будет освободить сосуд.

8 - вед	5	5	2	2	7	7	4	4
5 - вед	0	3	3	5	0	1	1	4
3х- вед	3	0	3	1	1	0	3	0

Задача решена. В 5-ведерном бочонке получилось 4 ведра кваса.

Еще 4 ведра в 8-ведерном бочонке. 

3. В первый сосуд входит 8 л и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда ёмкостью 5л и 3л. Как с помощью этих сосудов отмерить ровно 1 л?

Решение: 

8 л	8	3	3	5	5	2	2
5 л	0	5	2	0	3	3	5
3 л	0	0	3	3	0	3	1

Задача решена.В 3-литровом сосуде получился 1 л воды.

4. В первый сосуд входит 12 л и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда ёмкостью 5л и 8л. Как разделить воду на две равные части?

Решение:

12 л	12	4	4	9	9	1	1	6
8 л	0	8	3	3	0	8	6	6
5 л	0	0	5	0	3	3	5	0

Задача решена.

Литература

1.      Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин . Математическая шкатулка М.: Просвещение, 1988

2.      Я.И.Перельман. Занимательная геометрия М.: ГИФМЛ, 1959

3.      В.Н.Русанов. Математические олимпиады младших школьников М.:Просвещение, 1990

4.      Е.П.Коляда. Развитие логического и алгоритмического мышления учащихся //Информатика  и образование. 1996. N1.

5.      И.Ф.Шарыгин. Математический винегрет М., АГЕНТСТВО "ОРИОН", 1991

   В  век новых информационных технологий мы много времени тратим на бессмысленные игры на компьютере. А не лучше ли заняться решением разного типа логических задач, решения которых не требуют сложных математических вычислений?

Ведь задачи на логику развивают в человеке догадливость, сообразительность и интеллект. А мышление – высшая ступень познания человеком действительности. 
       Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. К классу логических задач относятся и задачи на переливания. Задачи на переливание - это не привычные всем со школы математические задачи.

        В данной работе рассматриваются виды задач на переливание, алгоритмы их решения, приводится решение некоторых из них. При решении задач авторы проявили исключительную самостоятельность. Процесс решения задач на переливание был очень увлекательным,  но и крайне полезным способом  времяпрепровождения  и хорошим способом  развития умственных способностей  авторов работы. Данная работа была представлена на школьной НПК, апробирована в виде презентации и получила отличную оценку среди работ шестиклассников.

Краткое описание документа:

В век новых информационных технологий мы много времени тратим на бессмысленные игры на компьютере. А не лучше ли заняться решением разного типа логических задач, решения которых не требуют сложных математических вычислений?

Ведь задачи на логику развивают в человеке догадливость, сообразительность и интеллект. А мышление – высшая ступень познания человеком действительности.
Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. К классу логических задач относятся и задачи на переливания. Задачи на переливание - это не привычные всем со школы математические задачи.

В данной работе рассматриваются виды задач на переливание, алгоритмы их решения, приводится решение некоторых из них. При решении задач авторы проявили исключительную самостоятельность. Процесс решения задач на переливание был очень увлекательным, но и крайне полезным способом времяпрепровождения и хорошим способом развития умственных способностей авторов работы. Данная работа была представлена на школьной НПК, апробирована в виде презентации и получила отличную оценку среди работ шестиклассников.