Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проектная работа ученика "Аликвотные дроби"

Проектная работа ученика "Аликвотные дроби"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m6c8c4fb8.gif

МКОУ «Николо –Поломская средняя

общеобразовательная школа»,

Парфеньевского района, Костромской области.







Исследовательский учебный проект



« Аликвотные дроби»









Автор работы:

Ученица 5 класса: Сироткина Евгения

Руководитель: Куликова Л.В.











2015 г.



Оглавление.

  1. Введение.

  1. Актуальность работы.

  2. Цели и задачи работы.

  3. Методическая база исследования.

  4. Практическая значимость исследования.

  5. Гипотеза.

  1. Основное содержание.

1. Определение

2. История возникновения.

3. Аликвотные дроби в других странах.

4. Старинные задачи на аликвотные дроби.

5. Аликвотные дроби сейчас.



  1. Заключение.

  2. Выводы.

  3. Литература.























I.Введение.

1. Актуальность работы.

При изучении обыкновенных и десятичных дробей по математике в 5 классе, меня заинтересовало , а есть ли еще какие дроби. и как возникли обыкновенные дроби. Тогда от учителя я слышала л таких дробях, как аликвотные дроби и меня заинтересовало это понятие. Я решила исследовать что это за дроби и изучить их хоть немного на данном уровне изучения математики.

2. Цели и задачи работы.

Цель исследования:

  • Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни.

Задачи исследования:

  • Узнать происхождение аликвотных дробей.

  • Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.

  • Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.



3. Методическая база исследования.

  • справочная литература

  • ресурсы Интернет

4. Практическая значимость исследования.

  • работать в коллективе и самостоятельно расширить свой математический кругозор;

  • пополнить свои математические знания;

  • научиться работать с дополнительной литературой;

  • приобрести навык публичного выступления с высказыванием собственной точки зрения; использование работы в просветительской деятельности.

5. Гипотеза.

"Что я знаю об аликвотных дробях?"







II. Основное содержание.

1. Определение

АЛИКВОТНАЯ ДРОБЬ - дробь вида http://i.enc-dic.com/dic/enc_math/images/010123-119.jpg, где http://i.enc-dic.com/dic/enc_math/images/010123-120.jpg-натуральное число.


2. История возникновения


Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности.   Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.

Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – http://i.enc-dic.com/dic/enc_math/images/010123-119.jpg – так называемые единичные дроби или аликвотные.

Египтяне ставили иероглиф

D21


(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

D21
Z1Z1Z1



= \frac{1}{3}

D21
V20



= \frac{1}{10}

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

Aa13



= \frac{1}{2}

D22



= \frac{2}{3}

D23



= \frac{3}{4}



Египетская дробь — в математике сумма нескольких  аликвотных дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

 Единичные дроби встречаются в древнейших, дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках.

В Древнем Египте «натоящими» математики считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.

Итак, Египтяне все дроби записывали как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например: 8/15=1/3+1/5. Дроби 1/n  ( где n - натуральные число ), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными (от латинского aliguot- " несколько'').  То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1. И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например,

hello_html_m3c609c39.gif=hello_html_m7fe0294d.gif,

hello_html_6eec8aff.gif=hello_html_7f8f9891.gif+hello_html_m11f0fb5b.gif,

hello_html_m394eec48.gifhello_html_685d8d49.gif=hello_html_3b7b3c70.gif+hello_html_m208cf19f.gif.



hello_html_4c2b3673.gif



Так, глаз «Хора» - единица для измерения ёмкостей и объемов,

hello_html_13b76292.png

представляла собой дробь hello_html_189e4a19.gif , так как согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на hello_html_189e4a19.gif . Каждая часть глаза соответствовала определённой дроби и была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом: hello_html_6eec8aff.gif + hello_html_685d8d49.gif + hello_html_m6e3ecaf7.gif + hello_html_m12cf78a7.gif + hello_html_76b176a5.gif + hello_html_322c61c2.gif = hello_html_189e4a19.gif.

3. Аликвотные дроби в других странах.

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой (позиционная система исчисления).

agapii: карта мира клавдия птолемея

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» -  это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Журналистские расследования - Рукотворный город: как строился Тольятти. Часть 2: Подрайская землица

4. Старинные задачи на аликвотные дроби.

«Разделить 7 хлебов между 8 людьми»   Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов (7 хлебов по 7 надрезов в каждом хлебе). А по-египетски эта задача решалась так: hello_html_m403f83f2.gif = hello_html_6eec8aff.gif + hello_html_685d8d49.gif + hello_html_m6e3ecaf7.gif. Значит, каждому человеку нужно дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

5. Аликвотные дроби сейчас.

Сейчас аликвотные дроби можно встретить лишь в олимпиадных заданиях. Например:

Задачи из журнала «Квант». Решение задач.

  1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

А) трёх слагаемых:

1 = hello_html_61053cd1.gif.

Б) четырёх слагаемых:

1 = hello_html_61053cd1.gif = hello_html_m52fcb42c.gif

hello_html_5f349d65.gif.

В) пяти слагаемых:

1 = hello_html_61053cd1.gif = hello_html_md4a0860.gif + hello_html_42b18ad1.gif + hello_html_m7db1663.gif.

Г) шести слагаемых:

1 = hello_html_61053cd1.gif = hello_html_md4a0860.gif + hello_html_42b18ad1.gif + hello_html_m7db1663.gif = hello_html_19e52120.gif+ hello_html_2308ce28.gif

  1. Представьте дробь hello_html_4aa51edc.png в виде аликвотных дробей.

Существует 2 способа представления дроби hello_html_4aa51edc.png в виде суммы и один - в виде разности аликвотных дробей. Это, опять-таки, из-за простоты числа 2011.

hello_html_2290c7ae.png

3. Верно ли равенство?


hello_html_12b12bfe.png


hello_html_m712821f8.png



hello_html_f9915bf.png

Равенство верно.









III. Заключение.

Таким образом, при разработке данной темы, я узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решали олимпиадные задачи по математике разных лет. Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести , разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

IV. Выводы.

Изучив и исследовав аликвотные дроби, я узнала, что они являются началом обыкновенных дробей, которые мы изучаем по математике в 5 классе.

Научилась складывать и вычитать эти дроби, решать задачи на аликвотные дроби.

V. Литература.

1. Депман И. Я. Мир чисел. М.: Детская литература,1982

2.Кординский Б. А.,Ахадов Л. А.Удивительный мир чисел: книга для учащихся. М.Просвещение,1986

3. Интернет ресурсы:

http://ru.wikipedia.org/wiki Симметрия http://slovari.yandex.ru


Краткое описание документа:

При изучении обыкновенных и десятичных дробей по математике в 5 классе, меня заинтересовало , а есть ли еще какие дроби. и как возникли обыкновенные дроби. Тогда от учителя я слышала л таких дробях, как аликвотные дроби и меня заинтересовало это понятие. Я решила исследовать что это за дроби и изучить их хоть немного на данном уровне изучения математики.

работать в коллективе и самостоятельно расширить свой математический кругозор;

пополнить свои математические знания;

научиться работать с дополнительной литературой;

приобрести навык публичного выступления с высказыванием собственной точки зрения; использование работы в просветительской деятельности.

Автор
Дата добавления 14.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1667
Номер материала 529466
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх