Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проэктные технологии в 10 - 11 классе по математике

Проэктные технологии в 10 - 11 классе по математике



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:






hello_html_470642cc.gifhello_html_470642cc.gifhello_html_2d05803f.gifhello_html_2d05803f.gif

Сучасні педагогічні технології











Горлівський НВК «ЗОШ І-ІІІ ступенів № 12 – багатопрофільний ліцей»

Учитель математики Танабаш Л.Ю.













«СУЧАСНІ ПЕДАГОГІЧНІ ТЕХНОЛОГІЇ»






Укладач:

Танабаш Л.Ю., заступник директора Горлівського НВК «ЗОШ І-ІІІ ступенів № 12 – багатопрофільний ліцей», учитель математики вищої категорії, «Учитель – методист», «Відмінник освіти України».




Рецензент:


Бутенко І.П., методист міського методичного центру Горлівської міської ради





У першому розділу роботи вміщено матеріали з теоретико – методичних засад сучасних педагогічних технологій, зокрема педагогічного проектування. Розкрито суть найважливіших термінів і елементів структури педагогічних технологій. Подані рекомендації щодо організації проектної діяльності вчителя і учнів при вивченні математики.

Другий розділ містить розробки педагогічних проектів при вивченні алгебри та початків аналізу у десятому класі.


























Зhello_html_19771cc.gifміст

В умовах становлення інформаційного суспіль­ства навчальний процес розглядається як засіб роз­витку учнів, а головне завдання школи полягає в тому, щоб не лише дати знання, а й створити стійку мотивацію до навчання, спонукати учнів до само­освіти, пов'язаної з розвитком їхнього пізнавального потенціалу і творчої діяльності. Необхідною умовою розв’язання цих завдань є застосування сучасних новітніх педагогічних технологій. 4

1. Поняття педагогічних технологій 4

1.1 Що таке технологія 4

1.2 Педагогічна технологія 4

Структура роботи над проектом 13























Педагогічна ідея - це повітря, в якому розправляє крила педагогічна творчість.

В.Сухомлинський

В умовах становлення інформаційного суспіль­ства навчальний процес розглядається як засіб роз­витку учнів, а головне завдання школи полягає в тому, щоб не лише дати знання, а й створити стійку мотивацію до навчання, спонукати учнів до само­освіти, пов'язаної з розвитком їхнього пізнавального потенціалу і творчої діяльності. Необхідною умовою розв’язання цих завдань є застосування сучасних новітніх педагогічних технологій.

1. Поняття педагогічних технологій

1.1 Що таке технологія

Технологія - це комплекс наукових та інженерних знань, реалізованих у прийомах праці, наборах матеріальних, технічних, енергетичних, трудових факторів виробництва, засобах їх об'єднання для створення продукту або послуги, що відповідають певним вимогам. Тому технологія нерозривно пов'язана з машинізацією виробничого або невиробничого, насамперед управлінського процесу. Управлінські технології грунтуються на застосуванні комп'ютерів і телекомунікаційної техніки.

1.2 Педагогічна технологія

Педагогічна технологія – це системний метод створення, використання і визначення всього процесу викладання та засвоєння знань з урахуванням технічних та людських ресурсів та їх взаємодії, що ставить перед собою завдання оптимізації форм освіти.

До сучасних педагогічних технологій відносяться:



1.Особистісно – орієнтовані технології:

  1. Технологія розвивального навчання.

  2. Проектна технологія.

  3. Технологія навчання як дослідження.

2.Модульне навчання.

3.Технології на основі активізації та інтенсифікації діяльності учнів:

  1. Проблемне навчання.

  2. Ігрові технології навчання.

  3. Інтенсивне навчання на основі схемних і знакових моделей навчального матеріалу.

4. Технології на основі підвищення ефективності управління та організації навчального процесу:

  1. Групові технології.

  2. Компютерні технології навчання

  3. Технології індивідуального навчання.

Бурхливий розвиток інформатики та інфор­маційних технологій загострив перед освітою зав­дання розширення практики розвиваючого навчан­ня, використання новітніх технологій навчання, вдосконалення освітніх методик.

Сучасні педагогічні технології сприяють розв’язанню багатьох освітніх проблем:

  • Самореалізація особистості дитини.

  • Розвиток творчих здібностей учнів.

  • Розвиток самоосвітньої діяльності учнів.

  • Розвиток мотивації навчання.

  • Розвиток емоційної сфери дитини.

1.3 Проектна технологія. Технологія навчання як дослідження.

«Нововведения подобны новорожденным - на первых порах они необычайно нехороши собой»
Френсис Бэкон

Як свідчить шкільна практика, вчителі сьогодні ще багато уваги приділяють саме переда­ванню учням змісту навчального матеріалу, а не роз­витку їх мислення, самостійності. При такому підході вчитель частіше застосовує класичні методи навчання, в результаті учень може зберігати в пам'яті великі об'єми інфор­мації, але не вміти її застосувати ні у межах на­вчального процесу, ні, тим більше, у життєвих не­стандартних ситуаціях.

Щоб цього уникнути я в своїй роботі застосовую проектну технологію, яка дуже тісно переплітається з технологією навчання як дослідження.

Вони сприяють:

формуванню активної життєвої позиції;

розвитку свідомого ставлення до навчання;

різкому зростання потреби у контролі та самокон­тролі;

  • розвитку самоосвітньої компетентності учнів.

При цьому:

  • мислення стає більш абстрактним, глибоким, різнобічним;

  • виникає потреба в інтелектуальній діяльності;

  • зростає значущість процесу навчання, його ці­лей, задач, форм і методів;

  • змінюється мотивація навчання, трансформу­ється співвідношення оцінки і самооцінки.

Об’єктивними перевагами проектних технологій є: мотиваційна спрямованість і розвивальне значення. Знання, які отримані в результаті виконання проекту більш глибокі і свідомі, вони безпосередньо пов’язані з емоціональним задоволенням дитини, яке вона отримує при самостійному розв’язанні поставлених проблем. Це стає стимулом до нового пошуку.

Шкільні проекти з математики мають чотири основні цілі:

  1. Втілення ідеї в конкретну форму (план проекту).

  2. Отримання естетичної насолоди.

  3. Розвиток інтелектуальної сфери.

  4. Розвиток пізнавальної і самоосвітньої компетентності учнів.

Проектні технології вимагають систематичного і послідовного моделювання розв’язків проблемних ситуацій, направлених на дослідження і розробку оптимальних шляхів їх розв’язку. При цьому обов’язково потрібно проводити публічний захист і аналіз отриманих результатів. Це надає можливість розвивати пошуковий досвід учнів.

Проекти можуть бути :

  • Індивідуальними.

  • Колективними ( парними, груповими)

Обов’язковими умовами складання і втілення проекту повинні бути:

  • Наявність освітньої проблем, складність і актуальність якої відповідає навчальним запитам і життєвим потребам учнів.

  • Дослідницький характер пошуку шляхів розв’язання проблеми.

  • Моделювання умов для розв’язання учнями поставлених навчальних проблем.

  • Самостійний характер творчої активності учнів.

  • Педагогічна цінність діяльності (учні самостійно отримують знання, розвивають особистісні якості, способи мислення)

Проектні технології необхідно застосовувати на всіх ступенях навчання. Але особливо актуальними вони стають у класах ІІІ ступеню, коли самосвідомість старшокласників переходить на більш високий рівень, що прояв­ляється у поглибленні самоконтролю, самооцінки, прагненні до самостійності та самовдосконалення. Потреба в саморегуляції, тобто в управлінні розвит­ком особистості, — важлива вікова особливість стар­шокласників, яку необхідно враховувати при орган­ізації навчального процесу.







2.Проектна технологія в десятому класі

В десятому класі математичного профілю учні розробили три проекти за темами:

    1. Проект «Функція».

Мета:

  • Узагальнити і систематизувати знання за темою «Функції»;

  • Розвивати вміння визначити властивості функції у нестандартних ситуаціях, побудувати його графік;

  • Навчити застосовувати комп’ютерну програму Gran 1для побудови графіків складних функцій.

  • Розвиток креативного, логічного мислення учнів.

  • Виховання творчої самостійної особистості.

  • Розвиток самоосвітньої, комунікативної компетентності учнів.

План.

  1. Привести приклади функцій, які відповідають геометричним перетворенням:



аhello_html_m2e4c82dc.gif
) y = f ( x hello_html_m78531b32.gif a ); Функції, які запропонували учні


бhello_html_2bb41266.gif
) y = f ( x ) hello_html_m78531b32.gifa ; Функції, які запропонували учні


вhello_html_6c4d11d0.gif
) y = f ( - x ) ; Функції, які запропонували учні


гhello_html_43d403ab.gif
) y = - f ( x ): Функції, які запропонували учні


  1. Привести приклади функцій, які відповідають геометричним перетворенням:


а) відображення відносно осі Ох; Функції, які запропонували учні

hello_html_m3833c528.gif

бhello_html_m69b6866d.gif
)
паралельне перенесення вздовж осі Оу; Функції, які запропонували учні


в) паралельне перенесення вздовж осі Ох;

гhello_html_m53d4ecad.gif
) відображення відносно осі Оу; Функції, які запропонували учні

hello_html_m5cd3cb9d.gif

дhello_html_717e80d0.gif
)
побудувати у = f (x), для х > 0, відобразити побудований графік симетрично відносно осі Оу: Функції, які запропонували учні


еhello_html_7ca14bc1.gif
)
відображення симетрично відносно осі Ох тієї частини графіку, де где у < 0. Функції, які запропонували учні


  1. Привести прклади і побудувати графіки функцій , мають такі властивості:

1.

    1. D (y) = R;

    2. E (y) = R ;

    3. Функція зростає на всій області визначення .

    4. Нулі функції: у = 0, при х = 1.

    5. Проміжки постійного знаку функції: у > 0, при hello_html_2268cf56.gif

y < 0, при hello_html_m603b5f59.gif

Наприклад: у= (х-1)3; у = х – 1; у = hello_html_m39becca6.gif.

2

  1. D (y) = hello_html_9e4f432.gif

  2. E (y) = hello_html_m2650ed9c.gif

  3. Функція зростає на всій області визначення .

  4. Функція не має нулів.

  5. Проаналізувати проміжки постійного знаку приведених функцій.

Наприклад: hello_html_5380bcc9.gif


  1. Побудувати графік функцій, скласти алгоритм побудови графіку. а) hello_html_629d132d.gif б) hello_html_m50ebcf2f.gif; в) у = - ( х –1 )3; г) у = hello_html_m3fdd6760.gif

д) у= 2 - hello_html_580e667d.gif е) у = hello_html_m62f6c661.gif

  1. При яких значеннях параметру m рівняння

hello_html_m74eb91e.gif

має три розв’язки?


  1. При яких значеннях параметру m рівняння hello_html_m5166d13c.gif

має чотири розв’язки ( найбільшу кількість розв’язків, найменшу кількість розв’язків)?

  1. За допомогою програми Gran 1, побудувати графік функції

hello_html_m48efe04c.gifнамалювати графік, описати властивості функції


  1. За допомогою програми Gran 1, побудувати графіки функцій

hello_html_159bf09f.gifу = х. Скільки спільних точок вони мають. Записати відповідне рівняння, якого степеню воно буде.


2.2. Міні – проект

Алгебраїчні рівняння вищих порядків.


Мета проекту: І. 1. Узагальнити та систематизувати:

  • теоретичні та практичні знання, вміння та навички виконання тотожних перетворень алгебраїчних виразів;

  • вміння записувати приклади різними способами;

  • наводити свої приклади;

  • пояснювати виконувані дії.

2. Класифікувати алгебраїчні рівняння вищих порядків за методами їх розв’язування.

3. Розв’язувати рівняння вищих порядків.

ІІ. Розвивати творчу компетентність учнів, процеси мислення; синтез, аналіз, порівняння, узагальнення.

ІІІ. Виховувати навички самоосвітньої діяльності, зацікавленість у навчанні, впевненість у своїх здібностях.

Завдання проекту:

Група " теоретиків "

  1. Теоретичні основи теми " Тотожні перетворення "

  2. Назвати методи тотожних перетворень алгебраїчних виразів. До трьох з них навести приклади ( І – ІІ рівнів складності ) з доведенням:

  • Винесення спільного множника за дужки.

  • Позбавитися ірраціональності у знаменнику.

  • Застосування формул скороченого множення.

3. Навести по 2 приклади зведених многочленів 3-го та 4-го степенів різних виглядів, які мають цілі корені.


Група " дослідників "


  1. Спростити вирази і проаналізувати застосовані методи та формули.


А) hello_html_m6e99822f.gif

Б) hello_html_3f72d15f.gif

В) hello_html_767a903b.gif якщо 0< a <2b.


  1. Записати умову різними способами і спростити вираз.

hello_html_6ce38407.gif.



Група " практиків "


З наведених прикладів вибрати і розв’язати рівняння, якщо можливо – різними способами :

  • Розкладання лівої частини рівняння на множники методом винесення спільного множника за дужки.

  • Розкладання лівої частини рівняння за допомогою групування.

  • Застосування формул скороченого множення.

  • Розкладання рівняння на множники за допомогою теореми Безу.

  • Симетричні рівняння.

  • Введення нової змінної.

  • Рівняння вигляду (f(x))4 + ( g(x) )4= a.


Рівняння:

    1. 4 х 4 – 8 х 3 + 3 х 2 + 8 х +4 = 0;

    2. ( х + 3 ) 4 + ( х + 5 ) 4 = 16;

    3. ( х 2 + 2х )2 – ( х + 1 )2 = 55;

    4. ( х – 1 ) 4 + ( х + 3 )4 = 82;

    5. 4 х 4 – 16 х 3 + 3 х 2 + 4 х - 1 = 0;

    6. х 4 – 2 х 3 – х 2 – 2 х + 1 = 0;

    7. х 3 – 3 х 2 + 3 х – 1 = 0 ;

    8. х3- 8 х 2 + 13 х –6 = 0;

    9. hello_html_431c0d0f.gif;

    10. 8 х4 + х 3 + 64 х 2 + 8 = 0;

    11. 7 х 3 + 21 х 2 – 4 х – 24 = 0;

    12. 27 х 3 + 9 х 2 – 48 х + 20 = 0;

    13. ( х + 3 )3 – ( х + 1 )3 = 56;

    14. ( х2 + х + 1 ) ( х2 + х + 2 ) = 12;

    15. hello_html_m59bfe5cd.gif.




2. 3. Проект «Тригонометрія.»

Мета проекту:

І. 1. Розширити, узагальнити та систематизувати

теоретичні та практичні знання, вміння та навички:

  • побудови графіків тригонометричних функцій;

  • дослідження їх властивостей;

  • виконання тотожних перетворень тригонометричних виразів;

  • вміння наводити свої приклади;

  • пояснювати виконувані дії;

2. Класифікувати тригонометричні рівняння за методами їх розв’язування.

3. Розв’язувати тригонометричні рівняння.

4. Доводити формули для обернених тригонометричних функцій.

ІІ. Розвивати:

  • творчу компетентність учні;

  • процеси мислення; синтез, аналіз, порівняння, узагальнення;

  • уміння самостійно отримувати знання;

  • навики дослідницької роботи;

  • навики самостійного конструювання знань, самостійного висунення гіпотези;

  • уміння приймати рішення щодо напряму та способів вирішення проблеми.

ІІІ. Виховувати:

  • навички самоосвітньої діяльності;

  • зацікавленість у навчанні;

  • впевненість у своїх здібностях;

  • прагнення успіху.

Структура роботи над проектом



hello_html_7df91c9.gif



hello_html_1f35fb9d.gif

hello_html_6b41f738.gif



hello_html_m57a1dfa2.gif

hello_html_7e28f816.gif



hello_html_m7b89fb2c.gifhello_html_m2b302191.gifhello_html_5a8bded6.gifhello_html_6e69dc53.gif

hello_html_70c0a85e.gifhello_html_699e51e8.gif

hello_html_m49f13682.gif

hello_html_m3c4de215.gif


hello_html_m2a60fff6.gifhello_html_m3b13b15a.gif

hello_html_m292229c8.gifhello_html_6e69dc53.gif

hello_html_m389949b0.gif

hello_html_5a1b50c1.gifhello_html_m7b89fb2c.gifhello_html_6c1b1502.gif

hello_html_49fd96f9.gifhello_html_m48826f9e.gif



















Група теоретиків (завдання)

І. Проаналізувати , з яких розділів складається тригонометрія.

ІІ. Підготувати матеріал за темою: " Побудова графіків тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень".

ІІІ. Підібрати по три завдання на застосування тригонометричних формул:

1. Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

2. Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел.

3.Формули зведення.

4. Тригонометричні функції подвійного аргументу.

5. Тригонометричні функції половинного аргументу.

6. Формули суми і різниці тригонометричних функцій

ІV. Скласти схему дослідження властивостей функцій

Група теоретиків (наробки учнів)


І. Проаналізувати , з яких розділів складається тригонометрія.

Тригонометрія складається з розділів:

  1. Тригонометричні функції та їх властивості .

  2. Обернені тригонометричні функції.

  3. Тотожні перетворення тригонометричних функцій.

  4. Тригонометричні рівняння та нерівності.


ІІ. Підготувати матеріал за темою: " Побудова графіків тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень".

Щоб побудувати графік функції вигляду:

  1. y = f(x) +a треба:

  • побудувати графік функції у = f ( x );

  • побудований графік паралельно перенести вздовж осі Оу на а одиниць вгору, якщо а>0, або перенести вниз, якщо а<0;

  1. y = f(x + а) треба:

  • побудувати графік функції у = f ( x );

  • побудований графік паралельно перенести вздовж осі Ох на а одиниць вліво, якщо а>0; або перенести вправо, якщо a<0;

  1. y = - f(x ) треба:

  • побудувати графік функції у = f ( x );

  • побудований графік симетрично відобразити відносно осі Ох;

  1. у = f( - x) треба:

  • побудувати графік функції у = f ( x );

  • побудований графік симетрично відобразити відносно осі Оу.

  1. y = а f(x) треба:

  • побудувати графік функції у = f ( x );

  • побудований графік при 0< а < 1 стиснути відносно осі Оу в а разів, при а >1 – розтягнути в а разів

  1. y = f(аx) треба:

  • побудувати графік функції у = f ( x );

  • побудований графік при 0< а < 1 розтягнути відносно осі Ох в а разів, при а >1 – стиснути в а разів.

  1. hello_html_m53d4ecad.gifу = | f ( x ) | треба:

  • побудувати графік функції у = f ( x );

  • відобразити симетрично відносно осі Ох частину графіка, де у < 0;

  1. y = f ( | x | ) треба:

  • побудувати частину графіка функції у = f ( x ), де х hello_html_m78774d40.gif0 ;

  • відобразити її симетрично відносно осі Оу . Об'єднання двох частин і буде потрібним графіком..

Працюючи з додатковою літературою, ми знайшли такі цікаві функції:

    1. у = arcsin( |x| -1), яку запропонували дослідницькій групі дослідити, скласти алгоритм побудови графіка і побудувати його.

    2. у = hello_html_m3b768a75.gif цю функцію ми вирішили запропонувати групі інформаційних технологій.

Проконсультувавшись з вчителем , ми склали неповний план дослідження цієї функції:

  1. Знайти область визначення і область значення функції.

  2. Визначити парна вона чи непарна.

  3. Знайти інтервали, де знаходяться нулі функції.

  4. Визначити, як поводить себе функція, якщо

х наближається до плюс та мінус нескінченності ( hello_html_253e9d0b.gif ).


ІІІ. Підібрати по три завдання на застосування тригонометричних формул:

1. Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу: sin2x + cos2x = 1; tg x = hello_html_23f08085.gif

1+tg2x=hello_html_m4b5cd87b.gif, 1+ctg2x=hello_html_490dc8ae.gif.

  • Довести тотожність: tg x + ctg x + tg 3x + ctg 3x = hello_html_469493f8.gif,

  • Спростити вираз: соs –4xsin –4x;

  • Обчислити : sin ( arccoshello_html_69458887.gif + ctg ( arcsin hello_html_10bdf881.gif.

Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел:

hello_html_187e67b7.gif

  • Довести тотожність: hello_html_272738db.gif

  • Спростити вираз: hello_html_3920f099.gif

  • Обчислити : соs( arcsinhello_html_1aec6fc3.gif


3.Формули зведення:

  • Довести тотожність: hello_html_68514178.gif

  • Спростити вираз: hello_html_m46f9bf33.gif

  • Обчислити : hello_html_m3f208cee.gif

4. Тригонометричні функції подвійного аргументу:

sin 2x = 2 sinx cosx, cos 2x = cos2x – sin2x, tg 2x = hello_html_m296137b0.gif.

  • Довести тотожність: hello_html_1d23620e.gif

  • Довести тотожність: cos2x – sin2 2x = cos2x cos2x – 2 sin2x cos2x;

  • Спростити вираз: hello_html_m3c203062.gif

  • Записати в алгебраїчному вигляді: sin(2arctgx)


5. Тригонометричні функції половинного аргументу:

sin2x = hello_html_2d490f17.gif

  • Довести тотожність:2sin2(hello_html_47a93030.gif

  • Спростити вираз: sin2( x + 2y ) +sin2 ( x – 2y ) –1;

  • Записати в алгебраїчному вигляді: hello_html_7d7fe0a6.gif.

6. Формули суми і різниці тригонометричних функцій:

hello_html_7cf8f62c.gifhello_html_36a84c90.gif

  • Довести тотожність: hello_html_4aae0a43.gif;

  • Спростити вираз: sin5xsin6xsin7x + sin8x;

  • Обчислити : hello_html_m5498acde.gif

Завдання було і цікавим і складним, але ж нам потрібно було з великої кількості прикладів вибрати ті, які задовольняють вимогам застосування певних формул.

При виконанні завдання наша група використовувала додаткову літературу:

"Збірник конкурсних задач з математики під редакцією М.І. Сканаві"

"Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту", Литвиненко Г.Н., ФедченкоЛ.Я., Швець В.А.,

" Збірник конкурсних задач з математики для вступу в ДДМА".

Працюючи з літературою ми вирішили вибрати різні види вправ, такі як:

довести тотожність, спростити вираз, обчислити, записати в алгебраїчному вигляді наприклад такий вираз hello_html_7d7fe0a6.gif.


Для виконання цього завдання необхідно застосувати формулу половинного кута соs x = hello_html_4e0a0f5a.gifтоді:

hello_html_m18931f08.gif.

Підібрані вправи були запропоновані учням класу для розв'язання, але ті де були обернені функції, на той час, ми виконати не могли. Людмила Юріївна пояснила, що нам необхідно спочатку познайомитися з оберненими функціями, вивести деякі формули і тільки після цього можна буде виконати запропоновані завдання. Тоді дослідницька група отримала завдання розглянути формули для обернених функцій.


ІV. Скласти схему дослідження властивостей функцій.

  • Дослідити властивості функції можна за схемою:

hello_html_1d116c9b.gif















hello_html_m6975b958.gif







1. D (y) – множина значень, які набуває незалежна зміна х;

2. Е (у) – множина відповідних значень у;

3. Областю визначення парної і непарної функції є множина значень х, яка симетрична відносно нуля на координатній прямій,

  • якщо у ( - х ) = у ( х ) - функція парна;

  • якщо у ( - х ) = - у ( х ) - функція непарна.

4. Функція у = f ( x ) називається зростаючою, якщо більшому значенню аргументу (х) відповідає більше значення функції (у).

( Для х1є D(y) i x 2 є D (y) , таких, що х2> x1, виконується нерівність f ( x2 ) > f ( x1 ) ).

5. Функція у = f ( x ) називається спадною, якщо більшому значенню аргументу (х) відповідає менше значення функції (у).

( Для х1є D(y) i x 2 є D (y) , таких, що х2> x1, виконується нерівність f ( x2 ) < f ( x1 ) ).

6. Нулі функції: у (х) = 0.

7. Проміжки сталого знаку: у > 0, y < 0.

8. Найбільше й найменше значення функції це у maxта y min при відповідних значеннях x max та x min

Дослідницька група ( Завдання)


1. Дослідити функцію у = arcsin (hello_html_dac81a5.gif,побудувати графік:


2. Записати тригонометричні вирази в алгебраїчному вигляді:

hello_html_m53d4ecad.gif sin ( arcsin x ) = x; hello_html_m53d4ecad.gif tg ( arctg x ) = x;

hello_html_m53d4ecad.gif cos ( arccos x ) = x; hello_html_m53d4ecad.gif ctg ( arcctg x ) = x;

sin ( arccos x ) =

cos ( arcsin x ) =

tg ( arcsin x ) =

tg ( arccos x ) =

sin ( arctg x ) =

cos ( arctg x ) =

sin ( arcctg x ) =

cos ( arcctg x ) =

3. Довести, що:

    1. arcsin x + arcos x = hello_html_m288e22f7.gif, hello_html_6d599a5.gif.

    2. hello_html_m53d4ecad.gifarcsin x + arcsin y = arcsin hello_html_m78a089ea.gif, якщо hello_html_1b455327.gif

Привести вирази до алгебраїчного вигляду:

1. sin ( 2 arctg x ) 2. sin ( arctg hello_html_m51ce4be7.gif ) 3. hello_html_7d7fe0a6.gif

4. соs( arcsinhello_html_1aec6fc3.gif.

Довести тотожність: arctghello_html_3cced84f.gif.

Група дослідників (наробки учнів)


Завдання:


1. Дослідити функцію у = arcsin (hello_html_dac81a5.gif, підготувати дані для побудови графіку:

  • Записати алгоритм побудови графіка;

  • Дослідити властивості функції за схемою:

hello_html_2d0e38ca.gifhello_html_m7c6d2ae3.gifhello_html_1586498d.gifhello_html_67d9e7e1.gif



hello_html_m5599ba87.gifhello_html_m5599ba87.gif



hello_html_m6768379.gif




hello_html_5a1e0361.gifhello_html_m70c0beb0.gif



hello_html_m76df0729.gif

hello_html_782643d4.gif

hello_html_m78442daa.gif


hello_html_m6975b958.gifhello_html_m76df0729.gif



hello_html_58fc4cf0.gifhello_html_m4b5c92ac.gif


hello_html_4c212f9e.gif








Алгоритм побудови графіку:


  1. Побудувати графік функції y = arcsin x;

2. у = arcsin ( x – 1 ) – паралельно перенести вздовж осі Ох на одну одиницю вправо;

3. у = arcsin ( |x| - 1 )- симетрично відобразити відносно осі Оу ту частину графіка , де hello_html_5fa6ce9c.gif.

hello_html_m7894804.png

Властивості функції:

1. hello_html_4998df20.gif,

2. hello_html_m3375565e.gif

3. Область визначення функції симетрична відносно початку координат,

у (-х ) = у ( х ), функція парна;

  1. Функція спадає при hello_html_71b10a7b.gif, функція зростає при hello_html_5d64728c.gif.

  2. Нулі функції: у ( -1 ) = у ( 1 ) = 0;

  3. y > 0 на інтервалах [-2;-1 ] і [ 1; 2 ] ;

y < 0 на інтервалі [ -1; 1 ].

7. у max = y ( -2 ) = y ( 2 ) = hello_html_m288e22f7.gif;

y min = y (0 ) =hello_html_606d1e73.gif .

  1. Записати тригонометричні вирази в алгебраїчному вигляді:

1.hello_html_m53d4ecad.gif sin ( arcsin x ) = x; -1hello_html_7e3af7e3.gif2.hello_html_m53d4ecad.gif tg ( arctg x ) = x;

3.hello_html_m53d4ecad.gif cos ( arccos x ) = x; -1hello_html_7e3af7e3.gif4. hello_html_m53d4ecad.gif ctg ( arcctg x ) = x;

5. sin ( arccos x ) = 9. cos ( arctg x ) =

6. cos ( arcsin x ) = 10. sin ( arcctg x ) =

7. tg ( arcsin x ) = 11. cos ( arcctg x )=

8. tg ( arccos x ) = sin ( arctg x ) =

Виконання завдання:

5. Застосуємо формулу sin 2x = 1 – cos2x , дістанемо:

sin ( arccos x ) = hello_html_218261a1.gif

6. Застосуємо формулу сos 2 x = 1 – sin 2 x, дістанемо:

cos ( arcsin x ) = hello_html_m176ebe0.gif.

7. Застосуємо формули hello_html_75c28e0.gif , hello_html_m23cdf3d9.gif, дістанемо:

tg ( arcsin x ) = hello_html_m1b8849e9.gif= ctg ( arccos x ), -1< x < 1.

8. Застосуємо формулу hello_html_75c28e0.gif, hello_html_m23cdf3d9.gif , дістанемо:

tg ( arccos x ) = hello_html_m36685a9.gif= ctg ( arcsinx ), -1hello_html_m4cf7931.gif

9. Застосуємо формулу

hello_html_m4d4e2df3.gif, дістанемо:

cos ( arctg x ) = hello_html_41f4c2b7.gif.

10. Застосуємо формулу hello_html_m3e511aca.gif дістанемо: sin ( arcctg x ) = hello_html_1c471911.gif .

11. Застосуємо формулу hello_html_69377baa.gif, дістанемо: sin ( arctg x ) = hello_html_m2cad758e.gif= cos ( arcctg x ).

Група практиків (завдання і звіт)

1. Довести, що:

    1. arcsin x + arcos x = hello_html_m288e22f7.gif, hello_html_6d599a5.gif.

Нехай А = arcsin x + arcos x, тоді

cos A = cos (arcsin x + arcos x ) = cos ( arcsin x ) cos ( arccos x ) -

sin ( arcsin x ) sin ( arcos x ) = x hello_html_m7a9261fc.gif.

cos A = 0, A = hello_html_m288e22f7.gif , тоді arcsin x + arcos x = hello_html_m288e22f7.gif, hello_html_6d599a5.gif.

в) hello_html_m53d4ecad.gifarcsin x + arcsin y = arcsin hello_html_m78a089ea.gif, якщо hello_html_1b455327.gif


Нехай А = arcsin x + arcsin у , тоді

sin A = sin (arcsin x + arcsin у ) = sin ( arcsin x ) cos ( arcsin y ) + cos ( arcsin x) sin (arcsin у) = hello_html_m78a089ea.gif.

Отже sin A = hello_html_m78a089ea.gif , тоді А = arcsin hello_html_m78a089ea.gif, якщо hello_html_1b455327.gif


2. Привести вирази до алгебраїчного вигляду:

1. sin ( 2 arctg x ) 2. sin ( arctg hello_html_m51ce4be7.gif ) 3. hello_html_7d7fe0a6.gif

4. соs( arcsinhello_html_1aec6fc3.gif.

Довести тотожність: arctghello_html_3cced84f.gif.

      1. Довести тотожність: hello_html_m252e823a.gif.

Доведення: Нехай А =hello_html_m8390a2b.gif, тоді cos A = cos (hello_html_m51f62966.gif= coshello_html_3dd242f5.gif

hello_html_m7f3f389d.gifА = arccos hello_html_maa7840b.gif .

Нехай В = hello_html_2103a08e.gif, тоді сos B = cos (hello_html_4ed1b1a9.gif B = arccoshello_html_maa7840b.gif.

Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведена.


      1. Обчислити без допомоги таблиць та калькуляторів:

а) hello_html_762eb254.gif.

Нехай А = hello_html_762eb254.gif, тоді sin A = sin (hello_html_762eb254.gif) = sin (hello_html_1b9b6ab9.gifcos (hello_html_2d17f4e3.gif) – sin (hello_html_2d17f4e3.gif) cos (hello_html_1b9b6ab9.gif= = 2 hello_html_5633e279.gif sin (hello_html_798982b0.gifcos (hello_html_798982b0.gif - hello_html_m64a616a9.gif= = hello_html_m72e2b73d.gif; отже sin A = 0, тоді А = 0, hello_html_762eb254.gif= 0.

б) hello_html_m41fa28d6.gif.

Розглянемо другий приклад.

Дослідницька група довела, що

arcsin x + arcsin y = arcsin hello_html_m78a089ea.gif, якщо hello_html_1b455327.gif

Тоді hello_html_m3bed7a28.gif

hello_html_11d6d2bb.gif; тому що arcsin x + arcos x = hello_html_m288e22f7.gif, hello_html_6d599a5.gif.


Відповідь: hello_html_m41fa28d6.gif= hello_html_m288e22f7.gif

3. З'ясувати, скільки додатних скільки від'ємних коренів мають рівняння:

1. arcos | x | - hello_html_m5dbfb7e3.gif, 2. hello_html_3705b670.gif.

Третє завдань ми вирішили виконувати графічно. Розглянемо рівняння № 1. Розкладемо його на дві функції у = arccos | x | i y = hello_html_5d9e0604.gif.

Запишемо алгоритм побудови графіків функцій:

у = arccos | x |

    1. Побудуємо графік функції у = arccos x , при hello_html_3c14209f.gif .

2. у = arccos | x | - побудований графік відобразимо симетрично відносно осі Оу. Обі дві частини і будуть графіком заданої функції.


hello_html_m7f4c1e79.gifhello_html_m69975930.gifу у

hello_html_m288e22f7.gif hello_html_m288e22f7.gif

hello_html_3a19e4f0.gifhello_html_3a19e4f0.gifhello_html_42ac3ef8.gif



hello_html_m352e90b8.gifhello_html_65d6e241.gif1 х -1 1 х


1. 2.


Другий графік:

y = hello_html_5d9e0604.gif.

  1. Побудуємо графік функції у = hello_html_m247fcf1a.gif.

  2. у = hello_html_m371b255c.gif - побудований графік перенесемо паралельно вздовж осі Ох на дві одиниці вправо.

  3. уhello_html_63b398a5.gifhello_html_63b398a5.gif = hello_html_m656bc7a6.gif - одержаний графік відобразимо симетрично відносно нової осі Оу. У y

hello_html_m7760472f.gifhello_html_5bf5ba6a.gifhello_html_5bf5ba6a.gifhello_html_m75039ea8.gifу


hello_html_64ebce88.gifhello_html_64ebce88.gifhello_html_11c317d1.gifх х х

2 2

hello_html_48a3a96c.gifу hello_html_m288e22f7.gif

hello_html_3a19e4f0.gifhello_html_42ac3ef8.gifhello_html_m1cab635f.gif



hello_html_2b84a4a9.gif х

-1 1 2


Другу функцію можна записати у вигляді 30 sin hello_html_7adab24c.gif. Ми знаємо, що

hello_html_4230c7d0.gif, тоже запишемо дві функції: у = 30 sin hello_html_20eb862b.gif, y = 2 | x | .

Перша функція нам добре відома і ми можемо скласти алгоритм побудови її графіку;

  1. Побудуємо графік функції у = sin x.

  2. Стиснемо його у пі разів по осі х і отримаємо графік функції у = sin hello_html_20eb862b.gif.

  3. Одержаний графік розтягнемо у 30 разів по осі у і будемо мати графік необхідної функції, у = 30 sin hello_html_20eb862b.gif.

Дhello_html_m3c2c0651.gifhello_html_m72613356.gifругу функцію ми ще не вивчали і тому звернулися до групи інформаційних технологій.

hello_html_m2a7690f7.gifу

30



hello_html_76228b14.gif





hello_html_m66e27d17.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gif-1 1 2 3 х







-30






4. Класифікувати, та розв'язати рівняння.

Для розв'язання нам було запропоновано 33 рівняння


  • Рівняння, які зводяться до простіших можна знайти зразу, це рівняння № № 2, 8,16,17.

  • Рівняння, які зводяться до квадратних в основному ми визначили навіть не розв'язуючи, це № 11, 15, 23. Рівняння № 1 і 29 ми віднесли до квадратних тільки після розв'язування. Але до квадратних зводяться також однорідні рівняння.

  • Метод розкладання на множники застосовується у рівняннях №№ 3, 10, 14, 18, 24, 28.

  • Введення допоміжного аргументу можна застосовувати у рівняннях № № 4, 9, 13.

  • Однорідні рівняння, це №№ 22, 25 їх ми класифікували зразу. Але працюючи з рівняннями № № 4, 9, 13 ми знайшли ще один метод, який нам сподобався більше. Він дозволяє звести ці рівняння до однорідних .

Розглянемо рівняння № 9 3 sin 5x –2 cos 5x = 3, застосуємо формули подвійного кута для sin 5 x i cos 5 x.

Отримаємо 6 sin hello_html_m52fd3bd2.gif 2 cos 2 hello_html_1d204b61.gif

-sin 2 hello_html_m38924f29.gif; маємо однорідне рівняння

sin 2 hello_html_288b6249.gif; поділимо все на hello_html_m3c4b9d5c.gif , отримаємо рівняння, яке зводиться до квадратного: hello_html_51900475.gif , тоді

hello_html_3bad56b3.gifабо hello_html_4cc1b7c7.gif. Отже х = hello_html_m701230fb.gif х = hello_html_m57f5ae7b.gif.

  • Формули зведення застосовуються при розв'язанні рівнянь №№ 7, 16,17,20,33.

  • Формули перетворення суми та різниці тригонометричних функцій у добуток, це рівняння №№ 5,26, 27,31.

  • Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму №№ 12,16,19,30.

  • Раціональні тригонометричні рівняння №№ 20, 32,33.











Рівняння.


1. hello_html_3ecff8c7.gif 2. ( 5 cos 2x + 4 ) cos 9x = 0,

3. ( 1 + cos 4x ) sin 2x = cos 2 2x, 4. 3 sin 2x +2 cos 2x = 3,

5. sin x – sin 2x + sin 5x + sin 8x = 0,


6. sin x sin 3x + sin 4x sin 8x = 0, 7. hello_html_45ef075f.gif

8. 2 sin ( 2 x + hello_html_m565bef04.gif9. 3 sin 5x –2 cos 5x = 3,

10. sin 2x = cos 4 hello_html_m35444943.gif, 11. 3 sin 2 2x + 7 cos 2x – 3 = 0,


12. 2 ( cos 4x – sin x cos 3x ) = sin 4x + sin 2x,

13. 4 sin 3x + hello_html_m16e5482e.gif14. ctg x – sin x = 2 sin 2 hello_html_m241b1c1d.gif

15. cos 2x – 5 sin x –3 = 0, 16. tg ( x – 7 hello_html_m1ca38398.gif

17. 6 cos ( x - hello_html_51dc4721.gif18. 1 – sin 3x = ( sin hello_html_m3946a440.gif

19. hello_html_18dd6e5.gif, 20. hello_html_2b4743c8.gif

21. cos (hello_html_m5b4a5513.gif22. 6 sin 2 x + sin x cos x – cos 2 x = 2,

23. 2 cos 2 x +5 sin x –4 = 0, 24. 2 tg 3 x – 2 tg 2x + 3 tg x – 3 = 0,

25. sin 2x –2 sin x cos x = 3 cos 2 x, 26. cos x - hello_html_d41243f.gif

27. cos 9x – cos 7x + cos 3x – cos x = 0,

28. sin 3 x cos x – sin x cos 3 x = hello_html_m1371c386.gif29. cos 4x + 2 sin 2 x = 0,

30. sin 2x sin 6x = cos x cos 3x, 31. sin 3x + sin 5x = sin 4x,

32. hello_html_2bf78203.gif, 33. hello_html_m645d6a8.gif.






Група інформаційних технологій (завдання)


Застосовуючи програму " GRAN 1 "


1. Побудувати графіки функцій: а) hello_html_m36e9fd30.gif б) hello_html_5261a0cb.gif.


Дослідити за схемою:


1) Знайти область визначення і область значення функції.

2) Визначити парна вона чи непарна.

3) Знайти інтервали, де знаходяться нулі функції.

4) Визначити, як поводить себе функція, якщо х наближається до плюс та мінус нескінченності ( hello_html_253e9d0b.gif ).


2. Визначити графічно, скільки додатних та від'мних коренів мають рівняння: 1. arcos | x | - hello_html_m5dbfb7e3.gif, 2. hello_html_3705b670.gif.


3. Дослідити властивості функції у = 2 - | x | .


Група інформаційних технологій (наробки)

hello_html_m36e9fd30.gif

hello_html_me74ea6f.gify

hello_html_mc4e16af.gifhello_html_4e148034.gifhello_html_4075871b.gifhello_html_m529f8a3a.gif1


hello_html_m7b641659.gif

x

hello_html_m67c3969b.gif

-1


  1. Область визначення функції hello_html_m42fc34bc.gif.

2. Область значення функції. E(y) = [-1;1]

3. Визначити парна вона чи непарна.

Функція парна. Область визначення симетрична відносно точки О на числовій осі, графік симетричний відносно осі Оу, у (-х ) = у ( х). Функція парна.

4. Знайти інтервали, де знаходяться нулі функції.

Нулі функції розташовані на інтервалах [-2;0) i (0;2 ].

  1. Визначити, як поводить себе функція, якщо х наближається до плюс та мінус нескінченності ( hello_html_253e9d0b.gif ).

При hello_html_m3d15800b.gif при hello_html_5235203e.gif


2. hello_html_5261a0cb.gif

hello_html_m201dc81.gifhello_html_m4906524.gify 5

hello_html_3ca6aebd.gifhello_html_1d6d41eb.gif





hello_html_m1ed33e7d.gif

-8 -3 3 8 x




hello_html_md532928.gif

-5


1. Область визначення функції hello_html_1d63446c.gif.

2. Область значення функції. E(y) = [-5;5 ]

3. Визначити парна вона чи непарна.

Функція парна. Область визначення симетрична відносно точки О на числовій осі, графік симетричний відносно осі Оу: у (-х ) = у ( х). Функція парна.

4. Знайти інтервали, де знаходяться нулі функції.

Нулі функції розташовані на інтервалах [-3;3 ].

5.Визначити, як поводить себе функція, якщо х наближається до плюс та мінус нескінченності ( hello_html_253e9d0b.gif ).

При hello_html_22ff32a4.gif при hello_html_52cc316c.gif

3. hello_html_3705b670.gif


1. у = 30 sin hello_html_20eb862b.gif, 2.. y = 2 | x | . Алгоритм побудови другого графіку:



hello_html_d5d13fa.gifhello_html_m64346f61.gifhello_html_2dbcc23a.gif1. у = 2 х для х hello_html_m4779de34.gif

hello_html_m7ec2ca0e.gifу 2. y = 2 | x |побудовану частину грфіку

відображуємо симетрично відносно

осі ОУ.

y = 2 | x |





х



hello_html_57fbc5a6.gifhello_html_54956f7.gifhello_html_m62e12f8f.gifОб'єднавши графіки будемо мати:

hello_html_m57b3903e.gifhello_html_6100d879.gif

hello_html_m40718296.gif


















6 додатних коренів 4 – від'ємних


Висновки


Мислення старшокласників, а значить уміння користуватись розумовими діями, слід не тільки сти­мулювати, а і розвивати. Учням старших класів притаманний високий рівень узагальнення та аб­страгування, прагнення до встановлення причинно-наслідкових зв'язків та інших закономірностей між предметами та явищами, критичність мислен­ня, здатність аргументувати свої переконання тощо. Ці якості дозволяють учителю цілеспрямовано роз­вивати гармонійну особистість, формувати здатність творчо підходити до розв'язання кожної конкрет­ної задачі.

Педагогічне управління процесом розвитку мис­лення учнів може досягти своєї мети лише за умов забезпечення поєднання ретельно підібраного та дидактичне представленого змісту, адекватних, вда­ло відпрацьованих методик та дійових соціальне значущих мотивів навчально-пізнавальної діяль­ності учнів з урахуванням індивідуальних власти­востей мислення, здібностей, інтересів.

Для реалізації конкретних педагогічних задач учитель повинен уявляти кінцеві результати своєї діяльності на кожному етапі проекту. Необхідно так організувати навчальний процес, щоб він сприяв фор­муванню та розвитку розумової діяльності: стимулю­вав самостійне мислення, активізував процес оп­рацювання нової інформації, сприяв встановлен­ню зв'язків між знайомим та новим матеріалом, стимулював засвоєння раціональних прийомів на­вчальної діяльності.









Література


  1. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. – М.: ИНТОР, 1996. – 544 с.

  2. Ершов А.П. Компьютеризация школы и математическое образование. //Информатика и образование. – 1992. – №5-6. – с.3-12.

  3. Жалдак М.І. Gran1 – математика для всех. //Компьютеры + программы. – 1995. – №5(20). – с.72-76.

  4. Жалдак М.І. Комп’ютер на уроках математики: Посібник для вчителів. – К., Техніка, 1997. – 304 с.

  5. Кнут Д. Информатика и ее связь с математикой.// Современные проблемы математики.: Сб. – М.: Знание, 1977. – с.4-32.

  6. Лупан І.В. Комп’ютерні лабораторні роботи з алгебри та початків аналізу. 10-11 клас: Методичні рекомендації. – Кіровоград: РВЦ КДПУ ім. В.Винни­ченка, 2001. – 88 с.

  7. Очков В. Рассказ о трех Э (Euraka, этика, экономика) //Информатика и образование. – 1990. – №2. – с.77-86.

  8. Раков С.А., Олелейник Т.А., Скляр Е.В. Использование пакета DERIVE в курсе математики. – Харьков: РЦНИТ, 1996. – 158 с.

  9. Шкіль М.І. та ін. Алгебра та початки аналізу: Проб. підруч. для 10-11 кл. середн. шк. / М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук. – К.: Зодіак-ЕКО, 1995. – 608 с.





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 15.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров192
Номер материала ДВ-066643
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх