Выдаём удостоверения и дипломы установленного образца

Получите 5% кэшбэк!

Запишитесь на один из 793 курсов и получите 5% кэшбэк стоимости курса на карту

Выбрать курс
Инфоурок Алгебра КонспектыПроектно-исследовательская работа на тему "Рисуем графиками функций" (10 класс)

Проектно-исследовательская работа на тему "Рисуем графиками функций" (10 класс)

Скачать материал
библиотека
материалов

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Дорогобужская средняя общеобразовательная школа № 2

имени кавалера ордена Мужества В.А. Шашина»

 

 

 

 

 

Проектно – исследовательская работа

по  математике

«Рисуем графиками функций»

 

 

 

 

 

                          Выполнил: ученик 10  класса

                                  Степченков Вадим Александрович

                                                     Руководитель проекта: учитель математики                                                          

                        Баринова Елена Алексеевна

 

 

 

 

                                                  г.Дорогобуж

                                                                  2020

Оглавление:


Паспорт проекта ……………………………………………………………….3
Введение……………………………………………………. …………….....4-5

 

Глава 1.  Функция
1.1.  Что такое функция? …………………………..……………..…………...5
1.2. Таблица простейших функций и их графиков …………………..……6-7
1.3. Таблица  функций и их графиков старшего звена……………………7-8

 

Глава 2.  Преобразования графиков функций

2.1.  Основные преобразования графиков функции………………………….9

2.2.  Примеры построения графиков функций……………………………....10

 

Глава 3.  Рисунки с помощью графиков функций

Рисунки «Ракета. Рыба». …………………………………………………......11

Рисунки «Ёлочка. Верблюд»…………………………………………………12

Рисунки «Птичка. Динозавр»…………………………………………………13

Рисунки «Очки. Зонтик»…………………………………………………........14

Рисунки «Кит. Лягушка»………………………………………………………15

 

Глава 4.  Учебные картины

Картина 1.  Графическая капля………………………………………………..17

Картина 2.  Единство функциональной зависимости……………………......18

 

Заключение ………………………………………….. ……………………….19



Список литературы…………………………………………………………...20






 

ПАСПОРТ ПРОЕКТА

п/п

Наименование пункта

Описание

1.

Название проекта

«Рисуем графиками функций»

2.

Автор проекта

Учащийся  10 класса МБОУ Дорогобужская СОШ №2   

Степченков Вадим Александрович

3.

Руководитель проекта

Баринова Елена Алексеевна

учитель математики МБОУ Дорогобужская СОШ №2

4.

Проблема, на решение которой направлен проект

Выяснить, можно ли  с помощью графиков функций рисовать картинки

5.

Целевая аудитория

Обучающиеся ОУ 9-11кл.

6.

Цель проекта

Научиться рисовать с помощью графиков функций  различные изображения фигур;  предметов из жизни и окружающей среды.

7.

Задачи проекта

1)изучить историю развития функции;

2)повторить основные функции, изученные в 7-10 классах;

3)обобщить способы преобразования графиков функций;

4)научиться рисовать с помощью графиков функций различные картинки.

8.

Сроки реализации

апрель-май 2020

9.

Поэтапный план работы над проектом

1. Подготовка: определение темы и целей проекта, его исходного положения.

2. Планирование:

 а) определение источников необходимой информации;

б) определение способов сбора и анализа информации;

в) определение способа представления результатов.

3. Исследова­ние:

а) сбор и уточнение информации по теме проекта ;

б) выявление и обсуждение с руководителем альтернатив, возникших в ходе выполнения проекта;

в) выбор оптимального варианта хода проекта;

г) поэтапное выполнение исследовательских задач.

4. Выводы:

а) анализ собранной информа­ции;

б) формулирование выводов.

5. Защита проекта: устный от­чет с демонстрацией мультимедийной презентации.

10.

Ожидаемые результаты

 Данный проект имеет познавательную значимость и может быть использован на уроках математики и изобразительного искусства  для обучающихся нашей школы и школ района.

 



 

Введение

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области.

Мы рисуем карандашами, красками, пальцами; с помощью мазков и  линий. Эти линии можно задавать и  функциями.

В школьном курсе изучается много различных функций и их графиков, но задания в наших школьных учебниках однообразные. При построении графиков кусочных функций хотелось дорисовать какие-то линии, чтобы получилось вполне узнаваемое изображение.

Актуальность данной работы заключается  в  умении изображать картинки, используя графики различных функций. Считаю, что такое умение  повышает интерес к данной теме, развивает художественные способности, которые лежат в основе различных профессий: архитектора, дизайнера, скульптора и т.д.

Изучая  функции с 7 по 10  класс, мы выполняли преобразования графиков  этих функций. В результате таких преобразований построение графика выполнялось легко и просто. И очень часто полученные изображения,  напоминали какие-то реальные предметы.  И я задумался: «А нельзя ли с помощью этих преобразований рисовать картинки?».

Поэтому я выбрал тему своей работы:

  «Рисуем графиками функций».

Цель: научиться с помощью графиков функций рисовать различные изображения фигур, предметов из жизни и окружающей среды.

         Задачи:

1)изучить историю развития функции;

2)повторить основные функции, изученные в 7-10 классах;

3)обобщить способы преобразования графиков функций;

4)научиться рисовать с помощью графиков различные картинки.

Методы и приемы:

- анализ знаний об известных функциях и их графиков

- изучение и анализ дополнительной литературы

- практический метод

 

Гипотеза: Используя графики различных  функций, можно рисовать картинки.

                            

 

 

Глава 1. Функция

1.1. Что такое функция?

         Описательно говоря, функция – это когда каждому значению некоторой величины, которую математики называют аргументом и обозначают обычной буквой x, отвечает значение другой величины y.

          Функция – это зависимость y = f(x), где каждому элементу x соответствует единственное значение функции y, где y – значение функции (зависимая переменная), x – значение аргумента (независимая переменная).
          Правило, с помощью которого по значению x находят соответствующее значение y можно задавать различными способами, и никаких ограничений на форму, в которой оно выражается, не накладывается.
           Функцию можно изображать геометрически с помощью графика.
График функции – множество точек на координатной плоскости, координатами которых являются пары чисел (х; у), где х – значение аргумента, у – соответствующее ему значение функции.

         С 7 класса мы изучаем алгебру по программе А.Г. Мордковича, за это время было изучено много функций. В таблице представлены графики и уравнения, задающие эти функции.

 

1.2. Таблица простейших функций и их графиков

Название

Уравнение

График

 

1

 

Линейная

 

y = kx+m

http://www.mathprofi.ru/f/grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image031.gif

 

2

 

Квадратичная

 

y = x2

http://www.absolom.ru/mathprofi/f/grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image059.gif

 

3

 

Функция обратной пропорциональности

 

y =

http://ru.static.z-dn.net/files/d78/6117fc6b5b6f988e2004766481036f2f.gif

 

4

 

 

y =

http://www.absolom.ru/mathprofi/f/grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image139.gif

5

 

y = |x|

http://spravmath.narod.ru/pic/img001.jpg

 

1.3. Таблица  функций и их графиков старшего звена

 

 

Определение функции

 

График функции

 

1.

 

Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией

 

 

2.

 

Логарифмической функцией называют функцию y = log a x ,

где   a – любое положительное число, отличное от   1

 

 

3.

 

Тригонометрическая функция

 

4.

Тригонометрическая функция

 

 

Глава 2. Преобразования графиков функций

         В чистом виде основные элементарные функции встречаются не  часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных при помощи различных преобразований. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат).

 

2.1. Основные преобразования графиков функции

 

 

 

 

 

 

2.2. Примеры построения графиков функций

Пример 1:      Построим график функции  y=sqrt{x-2}

1. Строим график функции y=sqrt{x}

2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/04/fr25.jpg

 Пример 2:  

 

Глава3.  Рисунки с помощью графиков функций

Рисунки, нарисованные с помощью функций, заданных на определенных промежутках.

Рисунок 1.   «Ракета»

Ракета

у = х + 6     на x [-6;-3]

 у = - х - 6      на x [-6;-3]

 у = 1/3х - 2         на x [-3;3]

 у = -1/3х + 2      на x [-3;3]

 у = -2/3х + 1      на x [3;6]

у =2/3х - 1      на x [3;6]

 у = - 15    на x [5;6]

   у= -3х + 15   на x [5;6]

https://fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_544cf706c8a78/risuiem-ghrafikami-linieinykh-funktsii_15.png

 

Рисунок 2.   «Рыба»

Рыба

у = х + 3    на x [-7;-2]

 у = - х + 1     на x [-7;-2]

 у = -3х -13        на x [-7;-5]

 у = 3х + 17     на x [-7; -5]

 у = 0,5х + 4      на x [-2;4]

у = -0,5х      на x [-2;4]

 у = х - 6    на x [4;8]

 у= -х + 10    на x [4;8]

Рисунок 3.  «Ёлочка»

«Ёлочка»

 

Рисунок 4.  «Верблюд»

Верблюд

у= -0,5х2 +4, xϵ[-2;2];

у = -0,5(х+4)2 +4, xϵ[-6;-2];

у = 0,5 (х-3)2 +1,5, xϵ[2;6];

у = -0,5 (х-8)2 +8, xϵ[6;10,5];

у = (х-9,5)2 +4, xϵ[8,5;10,5];

у = -0,5(х-8,5)2 +5, xϵ[4;8,5];

у = (1/8) (х+3)-5, xϵ[-7;1].

у =-0,25 (х+6)2 +2, xϵ[-11;-6];

у = 3 (х+6), xϵ[-8;-7];

у = -3х, xϵ[1;2].

 

 

 

 

 

 

Рисунок 5.     «Птичка»

Птичка

у = (-4/27) х2 +6, xϵ[0;9];

у = (1/9) (х-7)2 -4, xϵ[-2;7];

у = -0,5(х+2)2 +8, xϵ[-4;0];

у = (-1/16) (х+2)2 +5, xϵ[-6;2];

у = х+10, xϵ[-6;-4];

у = -х+3, xϵ[7;9];

у = 0,5х-1, xϵ[-6;1];

у = 0,5х-2,5, xϵ[-5;2].

https://ds04.infourok.ru/uploads/ex/0a46/000993ad-7ced9bc7/3/img15.jpg

 

Рисунок 6.      «Динозаврик»

Динозаврик

у = (-1/8) х2 +5, xϵ[-5,2;4];

у = (-5/16) (х-8)2 +8, xϵ[4;12];

у = -0,5 (х+7)2 +3, xϵ[-9;-5];

у = -0,5 (х-10)2 +1, xϵ[8;12];

у = (х+3)2 -7, xϵ[-5;-1];

у = (х-4)2 -7, xϵ[2;6];

у = -х -8, xϵ[-9;-5].

у =3 (х-7), xϵ[6;8];

у = (4/9) (х-0,5)2 -4, xϵ[-1;2];

у = 0,5(х-11)2 -7, xϵ[9;13].

 

 

 

 

 

 

 

 

 Рисунок 7.      «Очки»

 

1.   у = (-1/16) (х+5)2 +2,  xϵ [-9; -1];

2.    

3.   у = (-1/16) (х-5)2 +2,  xϵ[1;9];

4.    

5.   у = (1/4) (х+5)2 -3,  xϵ [-9; -1];

6.    

7.   у = (1/4) (х-5)2 -3,  xϵ[1;9];

8.    

9.   у = - (х+7)2 +5,  xϵ [-9; -6];

 

у = - (х-7)2 +5,  xϵ [6; 9];

10.                                                                                              

у = 0,5х2 +1,5,  xϵ [-1; 1].

 

 

Рисунок 8.   «Зонтик»

 

 y= - (1/8)*x² + 6,  x [-4;4]

 

 y= - 1\8(x + 8)² + 6,  x [-12;-4]

 

 y= -1/8(x + 8)² + 6;  x [4;12]

 

 y= 2(x + 3)² - 9,  x [-4;-0,3]

 

 y= 1,5(x + 3)² - 10,  x [-4;0,2]

 

 y= - (1/8)*x² + 12,  x [-12;12]

 

 

 

Рисунок 9.     «Кит»

Кит

y= 0,04*x² - 3,  x [-10 ; 0]

y= 2/9*(x + 6)² + 1,  x [-9 ; -3]

y= (2\27)*x² - 3,  x [0;9]

y= -(1/12)*(x – 3)² +6,  x [-3 ; 0]

y= (1/9)*(x – 5)² + 2,  x [5 ; 8,3]

y= (1/8)*(x – 7)² + 1,5,  x [5 ; 8,5]

y= -0,75*(x + 11)² + 6, x [-13 ; -9]

y= -0,5*(x + 13)² + 3, x [-15 ; -13]

y=1,  x [-15 ; -10];

y= 3,  x [3 ; 4 ]

 

 

 

 

Рисунок 10.       «Лягушка»

Лягушка

  y= (4/49)*x² + 1;  x [-7 ; 7]

y= -0,75(x + 4)² + 11;  x [-6,8 ; -2]

y= -0,75(x - 4)² + 11;  x [2 ; 6,8]

y= -(x + 4)² + 9;  x [-5,8 ; -2,8]

y= (x + 4)² + 9;  x [2,8 ; 5,8]

y= (4/9)*x² - 5;  x [-4 ; 4]

y= (4/9)*x² - 9;  x [-5,2 ; 5,2]

y= (1\16)*(x + 3)² -6;  x [-7;-2.8]

y= (1\16)*(x - 3)² - 6;  x [2,8 ; 7]

y= (1/9)*(x + 4)² -11;  x [-7 ; 0]

y= (3/49)*x² + 8;  x [-7 ; 7]

y= (1/9)*(x - 4)² -11;  x [0 ; 7]

y= -(x + 5)²;  x [-7 ;- 4,5]

y= -(x - 5)²;  x [4,5 ; 7]

y= (2/9)*x² + 2;  x [-3 ; 3

 

 

Рисунки, созданные с помощью компьютерной графики:

 

 

Глава 4. Учебные картины

Математика – наука весьма сложная для учащихся, поэтому нельзя упускать ни одного подхода, делающего её более доступной.

Эффективность преподавания математики, как и любого другого предмета в школе, зависит от многих факторов, одним из которых является 

наглядность.

Наглядность – это мощное воздействующее средство на восприятие ребёнка при обучении.

Английский математик Годфри Гарольд Харди говорил о творческом подходе к математике: “Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта, – совокупность идей, подобно совокупности красок или слов, должно обладать внутренней гармонией. Красота есть первый пробный камень для математической идеи, в мире нет места уродливой математике”.

http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/211300/img1.gifМатематикам очень часто помогает … цвет. Вот, например, одно из “цветных” доказательств теоремы Пифагора. На рисунке красным цветом выделен центральный прямоугольный треугольник, а красной штриховкой – еще шесть ему равных. Теперь нетрудно увидеть, что сумма площадей двух жёлтых квадратов равна площади зелёного квадрата. Доказана теорема Пифагора!

В математике существует много задач и теорем о различных раскрасках. Наиболее знаменитая из них – проблема четырёх красок, которой “переболели” тысячи любителей и математиков.

Ориентируясь на эти особенности, а так же на стремление развивать в детях творческое мышление и активизировать их познавательную деятельность,  созданы “учебные математические картины”.

Во-первых, красочность и необычность привлекает любого ребёнка. Во-вторых, название каждой картины заставляет задуматься над связью с изучаемым материалом. В-третьих, картины можно применять на уроках при объяснении нового материала, в процессе изучения темы, при повторении и в виде заданий поискового характера. Они содержат в себе теоретические моменты, простые и трудные задачи. В-четвёртых, картины содержат дополнительный материал, который не входит в школьный курс математики. В-пятых, они поддерживают и укрепляют межпредметные связи (алгебра –геометрия – физика ).

Учебные картины – украшение и своеобразное напоминание учащимся об изучаемом материале, призыв: “Вспоминай, думай, рассуждай!”

Давайте познакомимся с “учебными картинами” поближе.

 

 

Картина №1.

Каждый может представить себе каплю дождя, каплю воды из крана, каплю росы. Чтобы представить “Графическую каплю” надо посмотреть на следующую картину. Эта капля приковывает внимание зрителя своим красочным многообразием, возможностью пофантазировать, как Н.В. Лобачевский, исследуя поверхность, увидеть обычные графики в необычных условиях.

Графическая капля

 

Задание:

Найдите графики функций, изображенных на картине и запишите им соответствующие формулы.

Ответ:

у = х2;    у = – 3;

 у = х;    х2 + у2 = 4;

 у = – 6/х;

(х – 3)2 + (у – 4)2 = 1.

 

http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/211300/img2.jpg

Картина №2.

Единство функциональной зависимости

http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/211300/img7.jpg

Задание:

Напишите все семь формул, задающих указанные на картине функции.

Ответ:

у = соs x; у = 2соs х/2; у = sin х; у = 1/2sin х; у = 1/2sin 2х – 1,5; у = 2 соs x; у = 3sin 2х

Заключение

Подводя итог, можно с уверенностью сказать, что если к любому делу относиться творчески, с интересом, то даже такая сложная наука, как математика становиться более понятной, доступной и интересной, что очень важно.

Выводы:

- были повторены определение функции, основные функции, которые 

 изучались на уроках алгебры и способы преобразования их  графиков;

- мне удалось систематизировать знания, умения и навыки по построению,

исследованию функций, изучаемых в школе;

- составлены рисунки с помощью заданных графиков различных функций.

 

Гипотеза, которую мы ставили в начале работы,  подтвердилась.

Используя графики различных  функций, можно рисовать картинки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Учебник под редакцией А.Г. Мордкович. Алгебра 7. Москва «Мнемозина». 2017 г.

2. Учебник под редакцией А.Г. Мордкович. Алгебра 8. Москва «Мнемозина». 2018 г.

3. Учебник под редакцией А.Г. Мордкович. Алгебра 9. Москва «Мнемозина». 2018 г.

4. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебник для общеобразоват. организаций: базовый и профил. уровни /Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.– М.: Просвещение, 2018.
5. Цукарь А.Я. Рисуем графиками функций // Математика в школе. – 1999. – № 4. – С. 80-81.

6. Интернет – ресурсы:

http://rcio.pnzgu.ru/personal/99/1/2/feedback.htm
http://festival.1september.ru/articles/211300/
http://www.claw.ru/a-exact/21581.htm

 

 

  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:
Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Мы рисуем карандашами, красками, пальцами; с помощью мазков и линий. Эти линии можно задавать и функциями. В школьном курсе изучается много различных функций и их графиков, но задания в наших школьных учебниках однообразные. При построении графиков кусочных функций хотелось дорисовать какие-то линии, чтобы получилось вполне узнаваемое изображение. Актуальность данной работы заключается в умении изображать картинки, используя графики различных функций. Считаю, что такое умение повышает интерес к данной теме, развивает художественные способности, которые лежат в основе различных профессий: архитектора, дизайнера, скульптора и т.д. Изучая функции с 7 по 10 класс, мы выполняли преобразования графиков этих функций. В результате таких преобразований построение графика выполнялось легко и просто. И очень часто полученные изображения,напоминали какие-то реальные предметы.И я задумался: «А нельзя ли с помощью этих преобразований рисовать картинки?». Поэтому я выбрал тему своей работы: «Рисуем графиками функций». Цель: научиться с помощью графиков функций рисовать различные изображения фигур, предметов из жизни и окружающей среды. Задачи: 1)изучить историю развития функции; 2)повторить основные функции, изученные в 7-10 классах; 3)обобщить способы преобразования графиков функций; 4)научиться рисовать с помощью графиков различные картинки. Методы и приемы: - анализ знаний об известных функциях и их графиков - изучение и анализ дополнительной литературы - практический метод Гипотеза: Используя графики различных функций, можно рисовать картинки.
Проверен экспертом
Общая информация
Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Тема: Глава 2. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции
Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.